Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 021.01702
Autor: Erdös, Paul
Title: An extremum-problem concerning trigonometric polynomials. (In English)
Source: Acta Litt. Sci. Szeged 9, 113-115 (1939).
Review: Der Verf. beweist den folgenden Satz: Es sei S(x) ein trigonometrisches Polynom nter Ordnung derart, daß |S(x)| \leq 1 ist für alle reellen Werte von x. Dann haben unter den graphischen Darstellungen aller dieser Polynome diejenigen, deren Gleichungen y = \cos(nx+\alpha) mit reellem \alpha sind, die maximale Bogenlänge zwischen 0 und 2\pi. Auch wird ein von P. Csillag herrührender zweiter Beweis desselben Satzes gegeben. Bei diesen Beweisen wird das folgende Lemma von J.G.van der Corput und G.Schaake angewendet [Satz 3 in Compositio Math. 2, 321-361 (1936; Zbl 013.10802)]: Sei S(x) ein trigonometrisches Polynom nter Ordnung derart, daß |S(x)| \leq 1 ist und T(x) = \cos nx. Wenn x1 und x2 zwei reelle Zahlen sind derart, daß -1 < S(x1) \leq T(x2) < 1 ist, so gilt |S'(x1)| \leq |T'(x2)|. Wenn das Gleichheitszeichen in einem einzigen Falle gilt, so gilt es stets, also ist dann S(x) = T(x+\alpha). Der Verf. vermutet die Gültigkeit des folgenden Satzes: Wenn f(x) ein Polynom nter Ordnung ist derart, daß |f(x)| \leq 1 in (-1,1), so hat unter den graphischen Darstellungen aller dieser Polynome diejenige des Tschebycheffschen Polynoms die maximale Bogenlänge zwischen -1 und +1.
Reviewer: G.Schaake (Groningen)
Classif.: * 42A05 Trigonometric polynomials
33C25 Orthogonal polynomials and functions
Index Words: Analysis
Citations: Zbl 013.10802
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