Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 121.29602
Autor: Erdös, Pál; Rényi, Alfréd
Title: Remarks on a problem of Obreanu (In English)
Source: Can. Math. Bull. 15, 267-273 (1963).
Review: Es sei a1 < a2 < a3 < ··· eine Folge A von positiven ganzen Zahlen. Nehmen wir an, daß die unendliche Zahlenfolge {un} folgende Bedingung erfüllt: Zu jeder Zahl \epsilon > 0 gibt es einen Zahlenwert n0 = n0(\epsilon), so daß für jedes n > n0 und jedes k die Ungleichung (1) |un+ak-un| < \epsilon gilt. Als Antwort einer Fragestellung von Obreanu [ibid. 3, Problem 35 (1960)] haben N. G. de Bruijn und P. Erdös bewiesen, daß die Konvergenz der Folge {un} aus der Bedingung (1) genau dann folgt, wenn die Folge {an} unendlich und der größte gemeinsame Teiler der Zahlen an gleich 1 ist. Im vorliegenden Aufsatz wird diese Behauptung verschärft, indem folgendes bewiesen wird: Setzen wir voraus, daß die Folge {un} die Bedingung limn ––> oo {limsup}r |un+ar-un| = 0 (2) erfüllt. Aus (2) folgt die Konvergenz von {un} genau dann, wenn A die folgenden zwei Eigenschaften hat: I. Für jede ganze Zahl d > 1 gibt es unendlich viele k, so daß ak \not\equiv 0 (mod d) gilt. II. ak+1-ak strebt nicht gegen oo, falls k ––> oo.
Reviewer: St.Fenyö
Classif.: * 40A05 Convergence of series and sequences
Index Words: series, summability
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