Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe. Bernhard Riemann [Annalen der Physik und Chemie. Bd. 95. 1855.] Transcribed by D. R. Wilkins Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000

Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe. Bernhard Riemann [Annalen der Physik und Chemie. Bd. 95. 1855.] Die Nobili’schen Farbenringe bilden ein schätzbares Mittel, die Gesetze der Stromverzweigung in einem durch Zersetzung leitenden Körper experi- mentell zu studiren. Die Erzeugungsweise dieser Ringe ist folgende. Man̈ ubergiesst eine Platte von Platin, vergoldetem Silber oder Neusilber mit ei- ner Auflösung von Bleioxyd in concentrirter Kalilauge und lässt den Strom einer starken galvanischen Batterie durch die Spitze eines feinen in eine Glas- röhre eingeschmolzenen Platindrahts in die Flüssigkeitsschicht ein- und durch die Platte austreten. Das Anion, Bleisuperoxyd nach Beetz, lagert sich dann auf der Metallplatte in einer zarten durchsichtigen Schicht ab, welche je nach der Entfernung von Eintrittspunkte des Stroms verschiedene Dicke besitzt, so dass die Platte nach Entfernung der Flüssigkeit Newton’sche Farbenrin- ge zeigt. Aus diesen Farbenringen lässt sich dann die relative Dicke der Schicht in verschiedenen Entfernungen bestimmen und hieraus mittelst des Faraday’schen Gesetzes, nach welchem die Menge der abgeschiedenen Sub- stanz der durchgegangenen Electricitätsmenge allenthalben proportional sein muss, die Stromvertheilung beim Austritt aus der Flüssigkeit ableiten. Der erste Versuch, die Stromvertheilung durch Rechnung zu bestimmen und das gefundene Resultat mit der Erfahrung zu vergleichen, ist von E. Bec- querel gemacht worden. Derselbe hat vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der Flüssigkeitsschicht gegen ihre Dicke als unendlich gross betrachtet wer- den dürfe, der Strom durch einen Punkt ihrer Oberfläche eintrete und sich nach den Ohm’schen Gesetzen in derselben ausbreite. Er glaubt nun bei die- sen Voraussetzungen ohne merklichen Fehler die Strömungscurven als gerade Linien betrachten zu können und leitet aus dieser Annahme das Gesetz ab, dass die Dicke der niedergeschlagenen Schicht dem Abstande vom Eintritts- punkte umgekehrt proportional sein müsste, welches Gesetz er experimentell bestätigt habe. Herr Du-Bois-Reymond hat dagegen in einem vor der physikalischen Ge- sellschaft zu Berlin gehaltenen Vortrage gezeigt, dass bei Voraussetzung gera- der Strömungslinien die Dicke der in ihrem Endpunkte abgeschiedenen Sub- 1 stanz vielmehr dem Cubus ihrer Länge umgekehrt proportional sich ergiebt und dadurch Herrn Beetz zu einer Reihe von dem Anschein nach bestäti- genden Versuchen veranlasst, welche in Poggendorff’s Annalen Bd. 71, S. 71 beschrieben sind und viel Vertrauen erwecken. Die genaue Rechnung indessen lehrt, dass die Voraussetzung gerader Strö- mungslinien unzulässig ist und ein ganz falsches Resultat liefert. Allerdings sind die Strömungslinien, wenigstens bei grösserer Entfernung ihres Austritts- punktes (da sie zwischen zwei sehr nahen Parallel-Linien liegen und höch- stens einen Wendepunkt besitzen), in dem mittleren Theile ihres Laufes in beträchtlicher Ausdehnung sehr wenig gekrümmt; hieraus aber darf man kei- neswegs schliessen, dass sie ohne merklichen Fehler durch gerade von ihrem Eintrittspunkte nach ihrem Austrittspunkte gehende Linien ersetzt werden können. Ich werde zunächst die bei genauer Rechnung aus den Voraussetzun- gen der Herren E. Becquerel und Du-Bois-Reymond fliessenden Folgerungen entwickeln und schliesslich auf die Versuche des Herrn Beetz zurückzukom- men mir erlauben. Ich nehme an, dass der Eintritt des Stromes in die durch zwei horizontale Ebenen begrenzte Flüssigkeitsschicht in einem Punkte stattfinde, und be- zeichne für einen Punkt derselben den Horizontalabstand von Einströmungs- punkt durch r, die Höhe über der unteren Grenzfläche durch z, die Erhebung seiner Spannung über die Spannung an der oberen Seite dieser Grenzfläche durch u. Ferner sei die Stärke des ganzen Stromes S, der specifische Lei- tungswiderstand der Flüssigkeit w, im Einströmungspunkt z = α, an der Oberfläche z = β. Es muss nun u als Function von r und z bestimmt wer- den; die Stromintensität im Punkte (r, 0), welcher nach dem Faraday’schen Gesetz die gesuchte Dicke der dort niedergeschlagenen Schicht proportional sein muss, ist dann gleich dem Werthe von 1 w ∂u ∂z in diesem Punkte. Wird zunächt vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der Flüssigkeitsschicht gegen ihre Dicke als unendlich gross betrachtet werden dürfe, so sind die Bedingungen zur Bestimmung von u 2

(1) für −∞ < r < ∞, 0 < z < β ∂^{2}u ∂r2 + 1r ∂u ∂r + ∂^{2}u ∂z2 = 0; (2) für −∞ < r < ∞, z = 0,  u = 0; (3) für −∞ < r < ∞, z = β,  ∂u ∂z = 0; (4) für r = ±∞, 0 < z < β,  u endlich; (5) für r = 0, z = α,_{u = wS 4π  1 √rr + (z − α)2 oder = wS 2π  1 √rr + (z − α)2} + einer stetigen Function von r, z, je nachdem der Einströmungspunkt im Innern oder in der Oberfläche liegt. Diesen Bedingungen genügt u = sW 4π _{∑ −∞,∞}(−1)^{m} ^{}1 √rr + (z + 2mβ − α)2 −  1 √rr + (z + 2mβ + α)2 oder wenn man zur Vereinfachung S = 4π w annimmt: u = _{∑ −∞,∞}(−1)^{m} ^{}1 √rr + (z + 2mβ − α)2 −  1 √rr + (z + 2mβ + α)2 . Setzt man u = a_{1} sin πz 2β + a_{2} sin 2πz 2β + a_{3} sin 3πz 2β + ⋯, so wird für ein gerades n der Coefficient a_{n} = 0 und für ein ungerades βan = ∫^{2β 0} sin n πt 2β ^{∑ −∞,∞}(−1)^{m}(  1 √rr + (z + 2mβ − α)2 −  1 √rr + (z + 2mβ + α)2 ) = ∫_{∞ −∞} (sin n π 2β (t + α) − sin n π 2β (t − α)) dt √rr + tt 3

= 2 sin nπα 2β ∫^{∞ −∞} cos n πt 2β dt √rr + tt = 2 sin nπα 2β ∫_{∞ −∞} e^{n_{^{π} 2β} ti} dt √rr + tt. In letzterem Integral kann statt_{∞ ∫ −∞} auch 2_{∞i ∫ ri} geschrieben werden. Führt man für t als Veränderliche tri ein, so erhält man a_{n} = 4 sin n π 2β α β  ∫_{∞ 1} e^{−n_{^{π} 2β} rt} dt √tt − 1 , also  u = ∑ sin n π 2β z 4 sin n π 2β α β  ∫_{∞ 1} e^{−n_{^{π} 2β} rt} dt √tt − 1 , über all positiven ungeraden Werthe von n ausgedehnt. Nimmt man an, dass die Flüssigkeit bei r = c begrenzt sei und zwar bei- spielshalber durch einen Nichtleiter, so muss für r = c ∂u ∂r = 0 werden und also zu dem oben erhaltenen Werth von u, der durch u′ bezeichnet werden möge, noch eine Function u′′ hinzufügt werden, welche folgenden Bedingun- gen genügt (1) für −c < r < c, 0 < z < β ∂^{2}u′′ ∂r2 + 1r ∂u′′ ∂r + ∂^{2}u′′ ∂z2 = 0; (2) für −c < r < c, z = 0,  u′′ = 0; (3) für −c < r < c, z = β,  ∂u′′ ∂z = 0; (4) für r = ±c, 0 < z < β,  ∂u′′ ∂r = −∂u′ ∂r ; und überall stetig ist. Den Bedingungen (1) bis (3) zufolge muss u′′ ebenfalls in der Form b_{1} sin π 2β z + b_{3} sin 3 π 2β z + b_{5} sin 5 π 2β z + ⋯, darstellbar sein, und zwar fliesst aus (1) für b_{n} die Bedingung ∂^{2}bn ∂r2 + 1r ∂bn ∂r − nnππ 4ββ b_{n} = 0. 4

Eine particuläre Lösung dieser Gleichung ist, wie schon bekannt, ∫_{∞ 1} e^{−n_{^{π} 2β} rt} dt √tt − 1 ; eine andere erhält man, wenn man dasselbe Integral zwischen −1 und 1 nimmt; die allgemeinste ist also, wenn c_{n} und γ_{n} Constanten bedeuten, b^{n} = c^{n} ∫^{∞ 1} e^{−n_{^{π} 2β} rt} dt √tt − 1 + γ^{n} ∫^{1 −1} e^{−n_{^{π} 2β} rt} dt √1 − tt oder wenn man ∫_{∞ 1} e^{−2qt} dt √tt − 1 durch f(q), ∫_{1 −1} e^{−2qt} dt √1 − tt durch φ(q) bezeichnet:  b_{n} = c_{n}f (n π 4β r) + γ_{n}φ (n π 4β r) . Die Entwicklung nach steigenden Potentzen von q giebt f(q) = _{∑ 0,∞} ^{q2m} m!m!(Ψ(m) − log q), φ(q) = π_{∑ 0,∞} ^{q2m} m!m!; es wird also f(q) für q = 0 unendlich und damit u′′ für r = 0 stetig bleibe, muss c_{n} sein; γ_{n} ergiebt sich dann aus (4) gleich −4 sin n π 2β α β  f′ (n π 4β c) φ_{′} (n π 4β c), mithin u = ∑^{n} sin n π 2β z 4 sin n π 2β α β  _{}f (n π 4β r) − φ (n π 4β r) f′ (n π 4β c) φ_{′} (n π 4β c) , über positiven ungeraden Werthe von n ausgedehnt. 5

Zur Berechnung von f(q) und φ(q) können für grosse Werthe von q die halbconvergenten Reihen f(q) = e^{−2q}√ π 4q _{∑ m<4q+1}(−1)^{m} (1 . 3 … 2m − 1)2 m!(16q)m  , φ(q) = e^{2q}√ π 4q ^{∑ m<4q+1}(−1)^{m} (1 . 3 … 2m − 1)2 m!(16q)m benutzt werden, welche indess ihren Werth nur bis auf Bruchtheile von der Ordnung der Grösse e^{−4q} geben; genügt diese Genauigkeit nicht, so ist es wohl am zweckmässigsten die Entwicklungen nach steigenden Potenzen von q anzuwenden. Für hinreichend grosse Werthe von r β erhält man also mit Vernachlässi- gung von Grössen von der Ordnung der Grösse e^{−3 ^{π} 2β} r u = sin πz 2β 4 sin πα 2β β √βr {e^{−^{πr} 2β} ∑ (1 . 3 … 2m − 1)2 m!  (− β 4πr )m^{− ∑ (1 . 3 … 2m − 1)2 m!  ( β 4πr )m e^{^{π} 2β} (r−2c)} ×^{∑ (1 . 3 … 2m − 1)^{2}(2m + 1) m!(2m − 1)  (− β 4πc)m ∑ (1 . 3 … 2m − 1)^{2}(2m + 1) m!(2m − 1)  ( β 4πc)m} } und die Dicke der Schicht proportional ^{(∂u ∂z )}_{0} oder proportional^{^{e−^{πr} 2β} √r ∑ (1 . 3 … 2m − 1)2 m!  (− β 4πr )m} −^{e^{^{π} 2β} (r−2c)} √r ∑ (1 . 3 … 2m − 1)2 m!  ^{( β 4πr )}m ×_{∑ (1 . 3 … 2m − 1)^{2}(2m + 1) m!(2m − 1)  (− β 4πc)m ∑ (1 . 3 … 2m − 1)^{2}(2m + 1) m!(2m − 1)  ( β 4πc)m} . Dieses Resultat bleibt im Allgemeinen auch richtig, wenn statt des Ein- stömungspunktes eine beliebige Umdrehungsfläche als Kathode angenommen 6

wird; denn für Werthe von r zwischen c und demjenigen Werthe, bis zu wel- chem die Bedingungen (1) bis (3) gültig bleiben, muss u auch dann durch eine Reihe von der Form u = ∑ K^{n} sin nπz 2β ^{}f (nπr 4β ) − φ (nπr 4β ) f′ (n πc 4β ) φ′ (n πc 4β ) dargestellt werden. Eine Ausnahme würde nur eintreten, wenn K_{1} = 0 wür- de. Die von Herrn E. Becquerel gemachte und von Herrn Du-Bois-Reymond in Wesentlichen beibehaltene specielle Voraussetzung ist die, dass die Ka- thode ein Punkt der Oberfläche, also α = β sei; in diesem Falle ist, wie die geführte Rechnung zeigt, die Dicke der Schicht für grosse Werthe von r α we- der der Entfernung von Einströmungspunkte, wie Herr Becquerel, noch ihrem Cubus, wie Herr Du-Bois-Reymond gefunden hat, umgekehrt proportional, sondern sie nimmt mit wachsenden r α vielmehr ab, wie eine Potenz mit dem Exponenten r α, so dass  α log^{(∂u ∂z )}0 r sich einem festen Grenzwerthe −π 2 schliesslich bis zu jedem Grade nähert. Dagegen ist das Gesetz des Herrn Du-Bois-Reymond nicht bloss näherungs- weise für grosse Werthe von r α, sondern strenge richtig, wenn β = ∞ ist, da sich alsdann u = _{∑ −∞,∞}(−1)^{m} ^{}1 √rr + (z + 2mβ − α)2 −  1 √rr + (z + 2mβ + α)2 auf  1 √rr + (z − α)2 −  1 √rr + (z + α)2 und folglich  ^{(∂u ∂z )0 auf  2α √rr + αα3} reducirt. Die Vermuthung aber, aus welcher derselbe dieses Resultat abge- leitet hat, dass nämlich die Strömungslinien als gerade betrachtet werden 7

dürften, bestätigt sich keineswegs. Die Gleichung der Strömungslinien ist ∫ (r∂u ∂z dr − r∂u ∂z dz) = v = const., und zwar ist die Constante, multiplicirt mit 2π w , wenn man das Integral so nimmt, dass es für r = 0 verschwindet, gleich dem innerhalb der Umdre- hungsfläche (v = const.) fliessenden Theile des Stromes. In unserem Falle also sind die Strömungslinien die in der Gleichung v = 2 −  z + α √rr + (z + α)2 ±  z − α √rr + (z − α)2 = const. enthaltenen Linien, welche Linien für alle grösseren Werthe der const. be- trächtlich von einer geraden abweichen. Da Herr Du-Bois-Reymond zwar die Annahme macht, dass der Einströmungspunkt in der Oberfläche liege, seine ferneren Schlüsse aber nicht wesentlich auf diese Annahme stützt, so liegt wohl die Vermuthung nahe, dass bei den Versuchen des Herrn Beetz, welche eine nicht zu verkennende Annäherung an das Gesetz der Cuben ergeben, die Forderung der Herrn Du-Bois-Reymond, dass die Oberfläche der Flüssigkeit durch die Einströmungspunkt gehe, nicht berücksichtigt worden ist, sondern dass Herr Beetz, was zweckmässiger sein dürfte, grössere Flüssigkeitsmengen anwandte, so dass in der Reihe für ^{(∂u ∂z )}0_{∑ −∞,∞}(−1)^{m} _{}_{2mβ + α √rr + (2mβ + α)23} − _{2mβ − α √rr + (2mβ − α)23} die späteren Glieder oder doch ihre Summe gegen das erste vernachlässigt werden konnten. In diesem Falle würden die hübschen Versuche des Her- ren Beetz wirklich als ein Beweis anzusehen sein, dass die Stromvertheilung nahezu nach den vorausgesetzten Gesetzen erfolgt. Sollte aber diese Ver- muthung irrig sein, so wäre aus Herrn Beetz’s Versuchen zu schliessen, dass noch andere Umstände bei der Berechnung der Stromvertheilung in Betracht zu ziehen sind, deren Ermittlung einer neuen experimentellen Untersuchung obliegen würde.  8