Commentatio mathematica, qua respondere

tentatur quaestioni ab Ill^{ma} Academia Parisiensi propositae:

“Trouver quel doit être l’état calorifique d’un corps solide homogène indéfeni pour qu’un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température q’un point puisse s’exprimer en fonction du temps et de deux autres variables indépendantes.”

.

Bernhard Riemann

[Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke, ed. Heinrich Weber, 2nd edition, Teubner 1892, pp. 391–404.]

Transcribed by D. R. Wilkins

Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000

Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Ill^{ma} Academia

Parisiensi propositae:

“Trouver quel doit être l’état calorifique d’un corps solide homogène indéfeni pour qu’un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température q’un point puisse s’exprimer en fonction du temps et de deux autres variables indépendantes.”

Bernhard Riemann

[Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke, ed. Heinrich Weber, 2nd edition, Teubner 1892, pp. 391–404.]

Et his principiis via sternitur ad majora.

1.

Quaestionem ab ill^{ma} Academia propositam ita tractabimus, ut primum quaestionem generaliorem solvamus:

quales esse debeant proprietates corporis motum caloris determinantes et distributio caloris, ut detur systema linearum quae semper isothermae maneant,

deinde

ex solutione generali hujus problematis eos casus seligamus, in quibus proprietates illae evadant ubique eaedem, sive corpus sit homogeneum.

Pars prima.

2.

Priorem quaestionem ut aggrediamur, considerandus est motus caloris in corpore qualicunque. Si u denotat temperaturam tempore t in puncto (x_{1}, x_{2}, x_{3}) aequationem generalem, secundum quam haec functio u variatur, hujus esse formae constat,

(I)  \frac{∂ (a_{1,1} \frac{∂u}{∂x_{1}} + a_{1,2} \frac{∂u}{∂x_{2}} + a_{1,3} \frac{∂u}{∂x_{3}} )}{∂x_{1}} ; +\frac{∂ (a_{2,1} \frac{∂u}{∂x_{1}} + a_{2,2} \frac{∂u}{∂x_{2}} + a_{2,3} \frac{∂u}{∂x_{3}} )}{∂x_{2}} ; +\frac{∂ (a_{3,1} \frac{∂u}{∂x_{1}} + a_{3,2} \frac{∂u}{∂x_{2}} + a_{3,3} \frac{∂u}{∂x_{3}} )}{∂x_{3}} = h\frac{∂u}{∂t}.

Qua in aequatione quantitates a conductibilitates resultantes, h calorem specificum pro unitate voluminis, sive productum ex calore specifico in densitatem designant et tanquam functiones pro lubitu datae ipsarum x_{1}, x_{2}, x_{3} spectantur. Disquisitionem nostram ad eum casum restringimus, in quo conductibilitas eadem est in binis directionibus oppositis ideoque inter quantitates a relatio

a_{ι,ι′} = a_{ι′,ι}

intercedit. Praeterea quum calor a loco calidiore in frigidiorem migret necesse est, ut forma secundi gradus

( \begin{matrix}a_{1,1}, & a_{2,2}, & a_{3,3} \\ a_{2,3}, & a_{3,1}, & a_{1,2} \end{matrix} )

sit positiva.

3.

Iam in aequatione (I) in locos coordinatarum rectangularium x_{1}, x_{2}, x_{3} tres variabiles independentes quaslibet novas s_{1}, s_{2}, s_{3} introducamus.

Haec transformatio aequationis (I) facillime inde peti potest, quod haec aequatio conditio est necessaria et sufficiens, ut, designante δu variationem quamcunque infinite parvam ipsius u, integrale

(A)  δ ∫∫∫ ∑_{ι,ι′} a_{ι,ι′} \frac{∂u}{∂x_{ι}} \frac{∂u}{∂x_{ι′}} dx_{1} dx_{2} dx_{3} + ∫∫∫ 2h \frac{∂u}{∂t} δu dx_{1} dx_{2} dx_{3}

per corpus extensum, solum a valore variationis δu in superficie pendeat. Introductis novis variabilibus haec expressio (A) transibit in

(B) δ ∫∫∫ ∑_{ι,ι′} b_{ι,ι′} \frac{∂u}{∂s_{ι}} \frac{∂u}{∂s_{ι′}} ds_{1} ds_{2} ds_{3} + ∫∫∫ 2k \frac{∂u}{∂t} δu ds_{1} ds_{2} ds_{3}

posito brevitatis causa

\frac{∑_{ι,ι′} a_{ι,ι′} \frac{∂s_{μ}}{∂x_{ι}} \frac{∂s_{ν}}{∂x_{ι′}}}{∑ ±\frac{∂s_{1}}{∂x_{1}} \frac{∂s_{2}}{∂x_{2}} \frac{∂s_{3}}{∂x_{3}}} = b_{μ,ν}, \frac{h}{∑ ±\frac{∂s_{1}}{∂x_{1}} \frac{∂s_{2}}{∂x_{2}} \frac{∂s_{3}}{∂x_{3}}} = k.

Quodsi formarum secundi gradus

(1)  ( \begin{matrix}a_{1,1}, & a_{2,2}, & a_{3,3} \\ a_{2,3}, & a_{3,1}, & a_{1,2} \end{matrix} )  (2)  ( \begin{matrix}b_{1,1}, & b_{2,2}, & b_{3,3} \\ b_{2,3}, & b_{3,1}, & b_{1,2} \end{matrix} )

determinantes sunt A, B et formae adjunctae

(3)  ( \begin{matrix}α_{1,1}, & α_{2,2}, & α_{3,3} \\ α_{2,3}, & α_{3,1}, & α_{1,2} \end{matrix} )  (4)  ( \begin{matrix}β_{1,1}, & β_{2,2}, & β_{3,3} \\ β_{2,3}, & β_{3,1}, & β_{1,2} \end{matrix} )

invenietur

A = B ∑ ±\frac{∂s_{1}}{∂x_{1}} \frac{∂s_{2}}{∂x_{2}} \frac{∂s_{3}}{∂x_{3}}

et

β_{μ,ν} = ∑_{ι,ι′} α_{ι,ι′} \frac{∂x_{ι}}{∂s_{μ}} \frac{∂x_{ι′}}{∂s_{ν}}

ideoque

∑_{ι,ι′} α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′} = ∑_{ι,ι′} β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′}

et

\frac{h}{A} = \frac{k}{B} .

Unde facile perspicitur transformationem aequationis (I) reduci posse ad transformationem expressionis ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′}.

Quae quum ita sint, problema nostrum generale hoc modo solvere possumus, ut primum quaeramus, quales esse debeant functiones b_{ι,ι′} et k ipsarum s_{1}, s_{2}, s_{3}, ut u ab una harum quantitatum non pendere possit. Qua quaestione soluta expressio ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} formari poterit. Tum ut, datis valoribus quantitatum a_{ι,ι′} et quantitatis h, inveniamus, num u functio temporis et duarum tantum variabilium fieri possit et quibusnam in casibus, quaerendum est, an expressio illa ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam datam transformari possit; et hanc quaestionem infra videbimus eadem fere methodo tractari posse, qua Gauss in theoria superficierum curvarum usus est.

Primum igitur quaeramus, quales esse debeant functiones b_{ι,ι′} et k ipsarum s_{1}, s_{2}, s_{3}, ut u ab una harum quantitatum non pendere possit. Ut denotationem simpliciorem reddamus, quantitates s_{1}, s_{2}, s_{3} per α, β, γ designemus et formam (2) per

(2)  ( \begin{matrix}a, & b, & c \\ a′, & b′, & c′ \end{matrix} )

si u a γ non pendet, aequatio differentialis erit formae

(II)  a\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} + 2c′ \frac{∂^{2}u}{∂α ∂β} + b\frac{∂^{2}u}{∂β^{2}} + e\frac{∂u}{∂α} + f \frac{∂u}{∂β} − k \frac{∂u}{∂t} = F = 0

posito

\frac{∂a}{∂α} + \frac{∂c′}{∂β} + \frac{∂b′}{∂γ} = e, \frac{∂b}{∂β} + \frac{∂c′}{∂α} + \frac{∂a′}{∂γ} = f.

Tribuendo ipsi γ valores determinatos diversos ex aequatione (II) inter sex quotientes differentiales ipsius u obtinebuntur aequationes diversae, quarum coefficientes a γ non pendent. Quodsi ex his aequationibus m sunt a se independentes

F_{1} = 0, F_{2} = 0, …, F_{m} = 0,

ita ut caeterae omnes ex iis sequantur, aequatio F = 0 necesse est pro quovis ipsius γ valore ex his m aequationibus fluat, unde F formae esse debet

c_{1}F_{1} + c_{2}F_{2} + ⋯ + c_{m}F_{m},

qua in expressione solae quantitates c a γ pendent.

Iam casus singulos, quando m est 1, 2, 3, 4 paulo accuratius examinemus simulque aequationes a γ independentes, in quas aequatio F = 0 dissolvitur, in formas simpliciores redigere curemus.

Casus primus m = 1.

Si m = 1, in aequatione (II) rationes coefficientum a γ non pendebunt. At introducendo in locum ipsius γ novam variabilem ∫ k dγ semper effici potest, ut k fiat = 1, quo pacto coefficientes omnes a γ evadent independentes. Porro introducendo in locos ipsarum α, β novas variabiles semper effeci potest, ut a et b evanescant. Hoc enim eveniet, si expressio b dα^{2} + 2c′ dα dβ + a dβ^{2} (quae quadratum expressionis differentialis linearis esse nequit, si (2) est forma positiva) in formam m dα′ dβ′ redigitur et quantitates α′, β′ tanquam variabiles independentes sumuntur.

Aequatio igitur differentialis (II) hoc in casu in formam

2c′ \frac{∂^{2}u}{∂α ∂β} + e\frac{∂u}{∂α} + f \frac{∂u}{∂β} = \frac{∂u}{∂t}

redigi potest et in forma (2) a, b tum erunt = 0, a′ et b′ functiones lineares ipsius γ, et c′ a γ independens. Caeterum patet temperaturam in hoc casu semper a γ independentem manere, si temperatura initialis sit functio quaelibet solarum α et β.

Casus secundus, m = 2.

Sic aequatio (II) in duas aequationes a γ independentes discinditur, ope

alterius \frac{∂u}{∂t} ex altera ejici potest. Brevitatis causa haec ita exhibeatur

(1)  Δu = 0,

illa

(2)  Λu = \frac{∂u}{∂t},

denotantibus Δ et Λ expressiones characteristicas ex ∂_{α} et ∂_{β} conflatas.

Aequationem priorem facile perspicitur mutatis variabilibus independentibus ita transformari posse ut sit Δ

vel = ∂_{α}∂_{β} + e∂_{α} + f∂_{β}
vel = ∂_{α}^{2} + e∂_{α} + f∂_{β}
vel = ∂_{α},

valoribus e = 0, f = 0 non exclusis.

Quoniam sit

0 = ∂_{t}Δu = Δ∂_{t}u = ΔΛu,

ex his duabus aequationibus (1) et (2) sequitur

(3)  ΔΛu = 0.

Iam duo distinguendi sunt casus, prout haec aequatio (3) vel ex aequatione (1) fluat, (α), sive sit

ΔΛ = ΘΔ

denotante Θ novam expressionem characteristicam, vel non fluat, (β), novamque aequationem a Δu independentem sistat.

Casum priorem (α) ut saltem pro una forma ipsius Δ perscrutemur, supponamus

Δ = ∂_{α}∂_{β} + e∂_{α} + f∂_{β}.

Tum ΔΛu ope aequationis Δu = 0 ad expressionem reduci potest, quae solas derivationes secundam alteram utram variabilem contineat et coefficientes omnes cifrae aequales habere debeat. Ponamus, quum terminis ∂_{α}∂_{β} continens ope aequationis Δu = 0 ejeci possit,

Λ = a ∂_{α}^{2} + b ∂_{β}^{2} + c ∂_{α} + d ∂_{β}

formemusque expressionem

ΔΛ − ΛΔ.

In hac expressione quum coefficientes ipsarum ∂_{α}^{2}, ∂_{β}^{2} evanescere debeant,

invenitur \frac{∂a}{∂β} = 0, \frac{∂b}{∂α} = 0, unde si casus speciales a = 0, b = 0 excluduntur,

mutatis variabilibus independentibus effici potest, ut sit a = b = 1. Tum autem invenitur ponendo coefficientes ipsarum ∂_{α}^{2}, ∂_{β}^{2} in expressione reducta ΔΛ cifrae aequales

\frac{∂c}{∂β} = 2\frac{∂e}{∂α}, \frac{∂d}{∂α} = 2\frac{∂f}{∂β} ,

unde poni potest

Δ = ∂_{α}∂_{β} + \frac{∂m}{∂β} ∂_{α} + \frac{∂n}{∂α} ∂_{β}
Λ = ∂_{α}^{2} + ∂_{β}^{2} + 2\frac{∂m}{∂α} ∂_{α} + 2\frac{∂n}{∂β} ∂_{β}

denotantibus m, n functiones ipsarum α, β, quae jam duabus aequationibus differentialibus sufficere debent, ut coefficientes ipsarum ∂_{α}, ∂_{β} in expressione reducta ΔΛ evanescant.

Prorsus simili modo in reliquis casibus specialibus formae simplicissimae ipsarum Δ et Λ inveniuntur conditioni

ΔΛ = ΘΔ

satisfacientes. Sed huic disquisitioni prolixiori quam difficiliori hic non immoramur.

Caeterum patet in hoc casu temperaturam semper a γ independentem manere, si temperatura initialis est functio quaelibet ipsarum α et β aequationi Δu = 0 satisfaciens, sequitur enim ex aequationibus

Δu = 0
Λu = \frac{∂u}{∂t}

0 = ΘΔu = ΔΛu = Δ∂_{t}u = \frac{∂Δu}{∂t} et proin aequatio Δu = 0 subsistere

pergit, si initio valet et functio u secundum aequationem Λu = \frac{∂u}{∂t} variatur. Tum autem satisfit legi motus caloris sive aequationi F = 0.

Restat casus specialis alter (β) quando ΔΛu = 0 a Δu = 0 est independens. Ut simul et casus sequentes m = 3, m = 4 amplectemur, suppositionem generaliorem examinemus, praeter aequationem Δu = 0 haberi aequationem

differentialem quamlibet linearem Θu = 0, ipsum \frac{∂u}{∂t} non continentem et a Δu = 0 independentem.

Si Δ est formae ∂_{α}∂_{β} + e∂_{α} + f∂_{β}, ope aequationis Δu = 0 expressio Θ a derivationibus secundum ambas variabiles liberari potest.

Iam duo distinguendi sunt casus.

Si ex expressione Θ omnes quotientes differentiales secundum alteram utram variabilem ex. gr. secundum β simul excidunt, obtinetur aequatio differentialis solos quotientes differentiales secundum α continens formae

(1)  ∑_{ν} a_{ν} \frac{∂^{ν}u}{∂α^{ν}} = 0,

sin minus, semper elici poterit aequatio differentialis formae

(2)  ∑_{ν} a_{ν} \frac{∂^{ν}u}{∂t^{ν}} = 0

sive solos quotientes differentiales secundum t continens.

Nam in hoc casu expressiones Λu, Λ^{2}u, Λ^{3}u, …, quibus quotientes differentiales ipsius u secundum t aequales sunt, ope aequationium Δu = 0, Θu = 0 semper ita transformari possunt, ut solos quotientes differentiales secundum alteram utram variabilem contineant eosque non altiores quam Θu. Quorum numerus quum sit finitus, eliminando aequationem formae (2) obtineri posse manifestum est. Coefficientes a_{ν} utriusque aequationis sunt functiones ipsarum α, β.

Observare conveniet, alteram utram harum aequationum semper valere etiamsi Δ non st formae ∂_{α}∂_{β} + e∂_{α} + f∂_{β}. Casus specialis, quando Δ = ∂_{α}^{2} + e∂_{α} + f∂_{β} ad utrumque casum referri potest, quum ope aequationis Δu = 0 tum ex Θu, tum ex Λu omnes derivationes secundam β ejici possint, quo facto aequatio utriusque formae facile obtinetur. Si f = 0, hic casus sicuti casus Δ = ∂_{α} ad casum priorem referendus est.

Iam casum posteriorem accuratius perscrutemur.

Solutionem generalem aequationis

∑_{ν} a_{ν} \frac{∂^{ν}u}{∂t^{ν}} = 0

e teminis formae f(t)e^{λt} conflatam esse constat, denotante f(t) functionem integram ipsius t et λ quantitatem a t non pendentem, facileque perspicitur hos terminos singulos aequationi (I) satisfacere debere. Iam demonstrabimus fieri non posse, ut sit λ functio ipsarum x_{1}, x_{2}, x_{3}.

Sit kt^{n} terminus summus functionis f(t) distinguanturque duo casus. 1^{o}. Quando λ aut realis est aut formae μ + νi et μ, ν functiones unius

variabilis realis α ipsarum x_{1}, x_{2}, x_{3}, substituendo u = f(t)e^{λt} in parte laeva aequationis (I) coefficiens ipsius t^{n+2}e^{λt} invenitur

= k (\frac{∂λ}{∂α})^{2} ∑_{ι,ι′} a_{ι,ι′} \frac{∂α}{∂x_{ι}} \frac{∂α}{∂x_{ι′}} .

Sed haec quantitas evanescere nequit, nisi

\frac{∂α}{∂x_{1}} = \frac{∂α}{∂x_{2}} = \frac{∂α}{∂x_{3}} = 0

sive α = const., quum forma

( \begin{matrix}a_{1,1}, & a_{2,2}, & a_{3,3} \\ a_{2,3}, & a_{3,1}, & a_{1,2} \end{matrix} )

ut supra monuimus, sit forma positiva.

2^{o}. Quando λ est formae μ + νi et μ, ν sunt functiones independentes ipsarum x_{1}, x_{2}, x_{3}, quantitates μ + νi et μ − νi pro variabilibus independentibus α et β sumi poterunt continebitque ipsum u praeter terminum f(t)e^{αt} etiam terminum complexum conjugatum φ(t)e^{βt}. Quodsi

Δu = a\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} + b\frac{∂^{2}u}{∂α ∂β} + c\frac{∂^{2}u}{∂β^{2}} + e\frac{∂u}{∂α} + f \frac{∂u}{∂β}

est, ex aequatione Δu = 0 substituendo u = f(t)e^{αt} et aequando coefficientem ipsius t^{n+2}e^{αt} cifrae, obtinetur α = 0 et perinde c = 0 substituendo

u = φ(t)e^{βt}. Unde ope aequationis Δu = 0 aequatio Λu = \frac{∂u}{∂t} ita transformari potest, ut solos quotientes differentiales secundum alteram utram variabilem contineat. Sed substituendo

u = f(t)e^{αt}, u = φ(t)e^{βt}

coefficiens summi cujusque horum quotientium differentialium invenitur = 0,

unde et hi quotientes differentiales ex aequatione Λu = \frac{∂u}{∂t} omnes excidere debent, q. e. a., quum u ex hyp. non sit constans.

In casu igitur posteriori functio u componitur e numero finito terminorum formae f(t)e^{λt} in quibus λ est constans et f(t) functio integra ipsius t.

In casu priori quando habetur aequatio formae

(1)  ∑_{ν} a_{ν} \frac{∂^{ν}u}{∂α^{ν}} = 0,

functio u erit formae

u = ∑_{ν} q_{ν}p_{ν},

denotantibus p_{1}, p_{2}, … solutiones particulares aequationis (1) et q_{1}, q_{2}, … constantes arbitrarias sive functiones solarum β et t. Quodsi haec expressio in aequatione

Λu = \frac{∂u}{∂t}

substituitur, obtinetur aequatio formae

∑ P Q = 0,

in qua quantitates Q sunt quotientes differentiales ipsarum q ideoque functiones solarum β et t, quantitates P autem functiones solarum α et β. At tali aequationi supra vidimus, si ex n terminis componatur, subjacere μ aequationes lineares inter functiones Q et n − μ aequationes inter functiones P, quarum coefficientes sint functiones solius β, denotante μ quempiam nu-

merorum 0, 1, 2, …, n. Obtinebuntur igitur expressiones ipsarum \frac{∂q}{∂t} per quotientes differentiales ipsarum q secundum β ab ipsa α liberae.

Iam casus singulos problematis nostri ad hunc casum pertinentes perlustremus.

Quando m = 2 et Δ est formae ∂_{α}∂_{β} + e∂_{α} + f∂_{β}, aequatio reducta ΔΛu = 0, si a quotientibus differentialibus secundum β libera evadit, formam induet:

\frac{∂^{3}u}{∂α^{3}} + r\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} + s\frac{∂u}{∂α} = 0,

unde u erit formae

ap + bq + c,

denotantibus a, b, c functiones solarum β et t, p et q autem functiones solarum α et β. Iam in locum ipsius α variabilis independens q introduci potest. Quo pacto obtinetur

u = ap + bα + c,

ubi jam sola p est functio ambarum variabilium α et β. Substituendo hanc expressionem in aequationibus

Δu = 0, Λu = \frac{∂u}{∂t}

coefficientium formae facile eruuntur.

Restat casus quando jam una aequationeum, in quas aequatio F = 0 discinditur, formam (1) habet, ideoque formam

r\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} + s\frac{∂u}{∂α} = 0.

Tum erit u = ap + b, denotantibus a et b functiones solarum β et t et p functionem solarum α et β. Si in locum ipsius α variabilis independens p introducitur, prodibit

u = aα + b, \frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} = 0.

Invenimus igitur, si m sit = 2 sive aequatio F = 0 in duas aequationes

Δu = 0
Λu = \frac{∂u}{∂t}

dissolvatur, esse aut ΔΛ = ΘΔ, aut functionem u composituam esse e numero finito terminorum formae f(t)e^{λt}, in quibus λ constans et f(t) functio integra ipsius t est, aut formam induere

φ(β, t)χ(α, β) + αφ_{1}(β, t) + φ_{2}(β, t),

sit m = 3, functionem u aut esse e numero finito terminorum f(t)e^{λt} conflatam aut formae

φ(β, t)α + φ_{1}(β, t).

Casus denique m = 4 nullo negotio penitus absolvi potest.

Si enim praeter aequationem Λu = \frac{∂u}{∂t} habentur tres aequationes inter

\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} , \frac{∂^{2}u}{∂α ∂β} , \frac{∂^{2}u}{∂β^{2}}, \frac{∂u}{∂α}, \frac{∂u}{∂β},

aut prodibit aequatio formae

r\frac{∂u}{∂α} + s\frac{∂u}{∂β} = 0

et proin variabiles independentes ita eligere licebit, ut u fiat functio unius tantum variabilis, aut

\frac{∂^{2}u}{∂α^{2}} , \frac{∂^{2}u}{∂α ∂β} , \frac{∂^{2}u}{∂β^{2}},

ideoque etiam Λu, Λ^{2}u, Λ^{3}u per \frac{∂u}{∂α}, \frac{∂u}{∂β} exprimi poterunt. Tum autem

emerget aequatio formae

a\frac{∂^{3}u}{∂t^{3}} + b\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} + c\frac{∂u}{∂t} = 0,

unde u habebit formam

pe^{λt} + qe^{μt} + r vel(p + qt)e^{λt} + r

constatque per praecedentia λ et μ esse constantes.

Iam sumta p pro variabili independente α et substitutis his expressionibus

in aequatione Λu = \frac{∂u}{∂t} invenitur fieri non posse, ut q sit functio ipsius α, siquidem λ et μ sint inaequales. Ergo p et q vice variabilium independentium

fungi possunt. Praeterea ex aequatione Λu = \frac{∂u}{∂t} invenitur r = const.

In hoc igitur casu u aut est functio ipsius t et unius tantum variabilis, aut alteram utram formarum

αe^{λt} + βe^{μt} + const., (α + βt)e^{λt} + const.

induet, valore μ = 0 non excluso.

Postquam formae quas functio u induere potest inventae sunt, aequationes F_{ν} = 0, quas brevitati consulentes perscribere noluimus, facillimae sunt formatu. Unde in singulis quibusque casibus et forma

( \begin{matrix}b_{1,1}, & b_{2,2}, & b_{3,3} \\ b_{2,3}, & b_{3,1}, & b_{1,2} \end{matrix} )

et forma adjuncta

( \begin{matrix}β_{1,1}, & β_{2,2}, & β_{3,3} \\ β_{2,3}, & β_{3,1}, & β_{1,2} \end{matrix} )

innotescet. Si jam in expressionibus ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in locos quantitatum s_{1}, s_{2}, s_{3} functiones quaelibet ipsarum x_{1}, x_{2}, x_{3} substituuntur, manifesto obtinebuntur casus omnes, in quibus u functio temporis et duarum tantum varaibilium fieri possit. Unde quaestio prior soluta erit.

Superest ut quaeramus, quando expressio ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam datum ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′} transformari possit.

Pars secunda.

De transformatione expressionis ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam datum ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′}.

Quum quaestio ab Ill^{ma} Academia ad corpora homogenea restricta sit, in quibus conductibilitates resultantes sint constantes, evolvamus primum conditiones, ut expressio ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′}, aequando quantitates s functionibus ipsarum x, in formam ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′}, constantibus coefficientibus a_{ι,ι′} affectam transformari possit. Deinde de transformatione in formam quamlibet datam pauca adjeciemus.

Expressionem ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′}, si est, id quod supponimus, forma positive ipsarum dx, semper in formam ∑_{ι} dx_{ι}^{2} redigi posse constat. Unde si

∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam ∑ α_{ι,ι′} dx_{ι} dx_{ι′} transformari potest, redigi etiam potest in formam ∑_{ι} dx_{ι}^{2} et vice versa. Quaeramus igitur, quando in for-

mam ∑_{ι} dx_{ι}^{2} transformari possit.

Sit determinans ∑ ±b_{1,1}b_{2,2} … b_{n,n} = B et determinantes partiales = β_{ι,ι′};

quo pacto erit ∑_{ι} β_{ι,ι′}b_{ι,ι′} = B et ∑_{ι} β_{ι,ι′}b_{ι,ι′′} = 0, si i′ > < i′′.

Si ∑_{ι,ι′} β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} = ∑_{ι} dx_{ι}^{2} pro valoribus quibuslibet ipsarum dx, sub-

stituendo d+δ pro d invenitur etiam ∑_{ι,ι′} b_{ι,ι′} ds_{ι} δs_{ι′} = ∑ dx_{ι} δx_{ι} pro valoribus

quibuslibet ipsarum dx et δx.

Hinc si quantitates ds_{ι} per dx_{ι} et quantitates δx_{ι} per quantitates δs_{ι} exprimuntur, sequitur

(1)  \frac{∂x_{ν′}}{∂s_{ν}} = ∑_{ι} b_{ν,ι} \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν′}}

et proinde

(2)  \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν′}} = ∑_{ν} \frac{β_{ν,ι}}{B} \frac{∂x_{ν′}}{∂s_{ν}} .

Unde porro deducitur, quoniam sit

∑_{ν} \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι}} = 1 et ∑_{ν} \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι′}} = 0, si ι > < ι′,

(3)  ∑_{ν} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι′}} = b_{ι,ι′},  (4)  ∑_{ν} \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν}} \frac{∂s_{ι′}}{∂x_{ν}} = \frac{β_{ι,ι′}}{B}

et differentiando formulam (3)

(4)  ∑_{ν} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι} ∂s_{ι′′}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι′}} + ∑_{ν} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι}} = \frac{∂b_{ι,ι′}}{∂s_{ι′′}} .

Iam ex his ipsarum

\frac{∂b_{ι,ι′}}{∂s_{ι′′}} , \frac{∂b_{ι,ι′′}}{∂s_{ι′}} , \frac{∂b_{ι′,ι′′}}{∂s_{ι}} ,

expressionibus eruitur

(5)  2 ∑_{ν} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′}} \frac{∂x_{ν}}{∂s_{ι}} = \frac{∂b_{ι,ι′}}{∂s_{ι′′}} + \frac{∂b_{ι,ι′′}}{∂s_{ι′}} − \frac{∂b_{ι′,ι′′}}{∂s_{ι}}

et si haec quantitas per p_{ι,ι′,ι′′} designatur

(6)  2\frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′}} = ∑_{ι} \frac{∂s_{ι}}{∂x_{ν}} p_{ι,ι′,ι′′}.

Quantitatibus p_{ι,ι′,ι′′} iterum differentiatis obtinetur

\frac{∂p_{ι,ι′,ι′′}}{∂s_{ι′′′}} − \frac{∂p_{ι,ι′,ι′′′}}{∂s_{ι′′}} = 2 ∑_{ν} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′}} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι} ∂s_{ι′′′}} − 2 ∑_{ν} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′′}} \frac{∂^{2}x_{ν}}{∂s_{ι} ∂s_{ι′′}} ,

unde tandem prodit, substitutis valoribus modo inventis (6) et (4)

(I)  \begin{matrix}\frac{∂^{2}b_{ι,ι′′}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′′}} + \frac{∂^{2}b_{ι′,ι′′′}}{∂s_{ι} ∂s_{ι′′}} − \frac{∂^{2}b_{ι,ι′′′}}{∂s_{ι′} ∂s_{ι′′}} − \frac{∂^{2}b_{ι′,ι′′}}{∂s_{ι} ∂s_{ι′′′}} \\ +\frac{1}{2} ∑_{ν,ν′}(p_{ν,ι′,ι′′′}p_{ν′,ι,ι′′} − p_{ν,ι,ι′′′}p_{ν′,ι′,ι′′})\frac{β_{ν,ν′}}{B} & = 0. \end{matrix}

Hujus modi igitur aequationibus functiones b satisfaciant necesse est, quando ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam ∑_{ι} dx_{ι}^{2} transformari potest: partes laevas

harum aequationum designabimus per

(ιι′, ι′′ι′′′).

Ut indoles harum aequationum melius perspiciatur, formetur expressio

δδ ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} − 2dδ ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} δs_{ι′} + dd ∑ b_{ι,ι′} δs_{ι} δs_{ι′}

determinatis variationibus secundi ordinis d^{2}, dδ, δ^{2} ita, ut sit

δ′ ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} − δ ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} δ′s_{ι′} − d ∑ b_{ι,ι′} δs_{ι} δ′s_{ι′} = 0,

δ′ ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} − 2d ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} δ′s_{ι′} = 0,
δ′ ∑ b_{ι,ι′} δs_{ι} δs_{ι′} − 2δ ∑ b_{ι,ι′} δs_{ι} δ′s_{ι′} = 0,

denotante δ′ variationem quamcunque. Quo pacto haec expressio invenietur

(II)  = (ιι′, ι′′ι′′′)(ds_{ι} δs_{ι′} − ds_{ι′} δs_{ι})(ds_{ι′′} δs_{ι′′′} − ds_{ι′′′} δs_{ι′′}).

Iam ex hac formatione hujus expressionis sponte patet, mutatis variabilibus independentibus transmutari eam in expressionem a nova forma ipsius ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} eadem lege dependentem. At si quantitates b sunt constantes, omnes coefficientes expressionis (II) cifrae aequales evadunt. Unde si ∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in expressionem similem constantibus coefficientibus affectam transformari potest, expressio (II) identice evanescent necesse est.

Perinde patet, si expressio (II) non evanescat, expressionem

(III)  −\frac{1}{2} \frac{∑(ιι′, ι′′ι′′′)(ds_{ι} δs_{ι′} − ds_{ι′} δs_{ι})(ds_{ι′′} δs_{ι′′′} − ds_{ι′′′} δs_{ι′′})}{∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} ∑ b_{ι,ι′} δs_{ι} δs_{ι′} − (∑ b_{ι,ι′} ds_{ι} δs_{ι′})^{2}}

mutatis variabilibus independentibus non mutari, insuperque immutatam maneri, si in locos variationum ds_{ι}, δs_{ι} expressiones ipsarum lineares quaelibet independentes α ds_{ι} + β δs_{ι}, γ ds_{ι} + δ δs_{ι} substituantur. Valores autem maximi et minimi hujus functionis (III) ipsarum ds_{ι}, δs_{ι} neque a forma expressionis ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} neque a valoribus variationum ds_{ι}, δs_{ι} pendebunt, unde ex his valoribus dignosci poterit, an duae hujusmodi expressiones in se transformari possint.

Disquisitiones haece interpretione quadam geometrica illustrari possunt, quae quamquam conceptibus inusitatis nitatur, tamen obiter eam addigitavisse juvabit.

Expressio \sqrt{∑_{ι,ι′} b_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′}} spectari potest tanquam elementum lineare in spatio generaliore n dimensionum nostrum intuitum transcendente. Quodsi in hoc spatio a puncto (s_{1}, s_{2}, …, s_{n}) ducantur omnes lineae brevissimae, in quarum elementis initialibus variationes ipsarum s sunt ut

α ds_{1} + βδs_{1} : α ds_{2} + βδs_{2} : …: α ds_{n} + βδs_{n},

denotantibus α et β quantitates quaslibet, hae lineae superficiem constituent, quam in spatium vulgare nostro intuitui subjectum evolvere licet. Quo pacto expressio (III) erit mensura curvaturae hujus superficiei in puncto (s_{1}, s_{2}, …, s_{n}).

Si jam ad casum n = 3 redimus, expressio (II) est forma secundi gradus ipsarum

ds_{2} δs_{3} − ds_{3} δs_{2}, ds_{3} δs_{1} − ds_{1} δs_{3}, ds_{1} δs_{2} − ds_{2} δs_{1},

unde in hoc casu sex obtinemus aequationes, quibus functiones b satisfacere debent, ut ∑ β_{ι,ι′} ds_{ι} ds_{ι′} in formam constantibus coefficientibus gaudentem transformari possit. Nec difficile, ope notionum modo traditarum, est demonstratu, has sex conditiones, ut hoc fieri possit, sufficere. Observandum tamen est ternas tantum esse a se independentes.

Iam ut quaestionem ab Ill^{ma} Academia propositam persolvamus, in his sex aequationibus formae functionum b, methodo supra exposita inventae, sunt substituendae, quo pacto omnes casus invenientur, in quibus temperatura u in corporis homogeneis functio temporis et duarum tantum variabilium fieri possit.

Sed angustia temporis non permisit hos calculos perscribere. Contenti igitur esse debemus, postquam methodos quibus usi sumus exposuimus, solutiones singulas quaestionis propositae enumerasse.

Si brevitatis causa casum simplicissimum, quando temperatura u secundum legem

(I)  \frac{∂^{2}u}{∂x_{1}^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂x_{2}^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂x_{3}^{2}} = aa\frac{∂u}{∂t}

variatur, solum respicimus, ad quem casus reliquos facile reduci posse constat: casus m = 1 tum tantum evenire potest, quando u est constans aut in lineis rectis parallelis, aut in circulis helicibusve, ita ut coordinatis rectangularibus z, r cos φ, r sin φ rite electis, poni possit α = r, β = z + φ . const.

Casus m = 2 locum inveniet si u = f(α) + φ(β), casus m = 3 si u = αe^{λt} + f(β), denotante λ constantem realem, casus denique m = 4, ut jam supra invenimus, si u est aut = αe^{λt}+βe^{μt}+const., aut = (α+βt)e^{λt}+const., aut = f(α).

Iam ut formae functionis u penitus innotescant, annotari tantum opus est, temperaturam u, nisi sit formae αe^{λt}, tum tantum functionem temporis et unius variabilis esse posse, quando sit constans aut in planis parallelis, aut in cylindris eadem axi gaudentibus, aut in sphaeris concentricis. Si u est formae αe^{λt}, ex aequatione differentiali (I) sequitur

\frac{∂^{2}α}{∂x_{1}^{2}} + \frac{∂^{2}α}{∂x_{2}^{2}} + \frac{∂^{2}α}{∂x_{3}^{2}} = λaaα

et perinde in casu quarto substituendo valores ipsius u in aequatione differentiali (I), functiones α et β facile determinantur, dummodo animadvertas, in hoc casu αe^{λt} et βe^{μt} esse posse quantitates complexas conjugatas.