Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Bernhard Riemann [Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.] Transcribed by D. R. Wilkins Preliminary Version: December 1998

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Bernhard Riemann [Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.] Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhal- tenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Unter- suchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch die Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint. Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler ge- machte Bemerkung, dass das Product ∏ 1 1 − 1 ps = ∑ 1 ns , wenn für p alle Primzahlen, für n alle ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Veränderlichen s, welche durch diese beiden Aus- drücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch ζ(s). Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von s grösser als 1 ist; es lässt sich indess leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung^{∞ ∫ 0}e^{−nx}x^{s−1} dx = Π(s − 1) ns erhält man zunächst Π(s − 1)ζ(s) = _{∞ ∫ 0} x^{s−1} dx e^{x} − 1 . 1 Betrachtet man nun das Integral ∫ (−x)^{s−1} dx e^{x} − 1 von +∞ bis +∞ positiv um ein Grössengebiet erstreckt, welches den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzei- chen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht gleich (e^{−πsi} − e^{πsi})_{∞ ∫ 0} x^{s−1} dx e^{x} − 1 , vorausgesetzt, dass in der vieldeutigen Function (−x)^{s−1} = e^{(s−1) log(−x)} der Logarithmus von −x so bestimmt worden ist, dass er für ein negatives x reell wird. Man hat daher 2 sin πs Π(s − 1)ζ(s) = i_{∞ ∫ ∞} (−x)^{s−1} dx e^{x} − 1 , das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden. Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function ζ(s) für jedes beliebige complexe s und zeigt, dass sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von s, ausser 1, endlich ist, so wie auch, dass sie verschwindet, wenn s gleich einer negativen geraden Zahl ist. Wenn der reelle Theil von s negativ ist, kann das Integral, statt posi- tiv um das angegebene Grössengebiet auch negativ um das Grössengebiet, welches sämmtliche übrigen complexen Grössen enthält, erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul dann unend- lich klein ist. Im Innern dieses Grössengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem ganzen Vielfachen von ±2πi wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale nega- tiv um diese Werthe genommen. Das Integral um den Werth n 2πi aber ist = (−n 2πi)^{s−1}(−2πi), man erhält daher 2 sin πs Π(s − 1)ζ(s) = (2π)^{s}∑n^{s−1}((−i)^{s−1} + i^{s−1}), also eine Relation zwischen ζ(s) und ζ(1 − s), welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function Π auch so ausdrücken lässt: Π (s2 − 1) π^{−^{s} 2} ζ(s) bleibt ungeändert, wenn s in 1 − s verwandelt wird. 2

Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt Π(s−1) das Integral Π (s2 − 1) in dem allgemeinen Gliede der Reihe ∑ 1 ns einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function ζ(s) erhält. In der That hat man  1 ns Π (s2 − 1) π^{−^{s} 2} = _{∞ ∫ 0}e^{−nnπx}x^{_{^{s} 2} −1} dx, also, wenn man  _{∞ ∑ 1} e^{−nnπx} = ψ(x) setzt,  Π (s2 − 1) π^{−^{s} 2} ζ(s) = _{∞ ∫ 0}ψ(x)x^{_{^{s} 2} −1} dx, oder da 2ψ(x) + 1 = x^{−^{1} 2} (2ψ^{( 1 x)} + 1) , (Jacobi, Fund. S. 184) Π (s2 − 1) π^{−^{s} 2} ζ(s) = _{∞ ∫ 1}ψ(x)x^{_{^{s} 2} −1} dx +_{∞ ∫ 1}ψ^{( 1 x)} x^{^{s−3} 2} dx +_{1 2} _{1 ∫ 0} (x^{^{s−3} 2} − x^{_{^{s} 2} −1}) dx =  1 s(s − 1) +_{∞ ∫ 1}ψ(x) (x^{_{^{s} 2} −1} + x^{−^{1+s} 2} ) dx. Ich setze nun s = _{1 2} + ti und Π^{(s2)} (s − 1)π^{−^{s} 2} ζ(s) = ξ(t), so dass  ξ(t) = _{1 2} − (tt + _{1 4})_{∞ ∫ 1}ψ(x)x^{−^{3} 4} cos(_{1 2}t log x) dx oder auch  ξ(t) = 4_{∞ ∫ 1} d(x^{^{3} 2} ψ′(x)) dx x^{−^{1} 4} cos(_{1 2}t log x) dx. Diese Function ist für alle endlichen Werthe von t endlich, und lässt sich nach Potenzen von tt in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. 3

Da für einen Werth von s, dessen reeller Bestandtheil grösser als 1 ist, log ζ(s) = − ∑ log(1 − p^{−s}) endlich bleibt, und von den Logarithmen der̈ ubrigen Factoren von ξ(t) dasselbe gilt, so kann die Function ξ(t) nur ver- schwinden, wenn der imaginäre Theil von t zwischen _{1 2}i und −_{1 2}i liegt. Die Anzahl der Wurzeln von ξ(t) = 0, deren reeller Theil zwischen 0 und T liegt, ist etwa  = T 2π log T 2π − T 2π; denn das Integral ∫ d log ξ(t) positiv um den Inbegriff der Werthe von t er- streckt, deren imaginärer Theil zwischen _{1 2}i und −_{1 2}i und deren reeller Theil zwischen 0 und T liegt, ist (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grösse 1 T) gleich (T log T 2π − T ) i; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von ξ(t) = 0, multiplicirt mit 2πi. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Gren- zen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Sei- te gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. Bezeichnet man durch α jede Wurzel der Gleichung ξ(α) = 0, so kann man log ξ(t) durch  ∑ log (1 − tt αα) + log ξ(0) ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Grösse t mit t nur wie log t 2π wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches t nur unendlich wie t log t; er unterscheidet sich also von log ξ(t) um eine Function von tt, die für ein endliches t stetig und endlich bleibt und mit tt dividirt für ein unendliches t unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von t = 0 bestimmt werden kann. Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, bestimmen. Es sei F (x), wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um _{1 2} grösser, so dass für ein x, bei welchem F (x) sich sprungweise ändert, F (x) = F (x + 0) + F (x − 0) 2  . Ersetzt man nun in log ζ(s) = −∑ log(1 − p^{−s}) = ∑p^{−s} + ^{_{1 2} ∑}p^{−2s} + ^{_{1 3} ∑}p^{−3s} + ⋯ 4

p^{−s} durch s_{∞ ∫ p}x^{−s−1} ds, p^{−2s} durch s_{∞ ∫ p2}x^{−s−1} ds, …, so erhält man  log ζ(s) s = _{∞ ∫ 1}f(x)x^{−s−1} dx, wenn man  F (x) + _{1 2}F (x^{^{1} 2} ) + _{1 3}F (x^{^{1} 3} ) + ⋯ durch f(x) bezeichnet. Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth a + bi von s, wenn a > 1. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung g(s) = _{∞ ∫ 0}h(x)x^{−s} d log x gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier’schen Satzes die Function h durch die Function g ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn h(x) reell ist und g(a + bi) = g_{1}(b) + ig_{2}(b), in den beiden folgenden: g_{1}(b) = _{∞ ∫ 0}h(x)x^{−a} cos(b log x) d log x, ig_{2}(b) = −i_{∞ ∫ 0}h(x)x^{−a} sin(b log x) d log x. Wenn man beide Gleichungen mit (cos(b log y) + i sin(b log y)) db multiplicirt und von −∞ bis +∞ integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier’schen Satze πh(y)y^{−α}, also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit iy^{α} multiplicirt, 2πih(y) =_{a+∞i ∫ a−∞i}g(s)y^{s} ds, worin die Integration so auszuführen ist, dass der reelle Theil von s constant bleibt.  5

Das Integral stellt für einen Werth von y, bei welchem eine sprungweise Aenderung der Function h(y) stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function h zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetz- ten Bestimmungsweise der Function f(x) besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein f(y) = 1 2πi_{a+∞i ∫ a−∞i}log ζ(s) s y^{s} ds. Für log ζ kann man nun den früher gefundenen Ausdruck s2 log π − log(s − 1) − log Π^{(s2)} + ∑^{α} log (1 + (s − ^{1 2})2 αα ) + log ξ(0) substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann ins Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweck- mässig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in f(x) = − 1 2πi 1 log x_{a+∞i ∫ a−∞i} dlog ζ(s) s ds x^{s} ds umzuformen. Da  − log Π^{(s2)} = lim (_{n=m ∑ n=1} log (1 + s 2n) − s2 log m) , für m = ∞, also −d1s log Π (s2) ds  = _{∞ ∑ 1} d1s log (1 + s 2n) ds  , so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdruckes für f(x) mit Ausnahme von  1 2πi 1 log x_{a+∞i ∫ a−∞i} 1 ss log ξ(0)x^{s} ds = log ξ(0) die Form  ± 1 2πi 1 log x_{a+∞i ∫ a−∞i} d (1s log (1 − s β )) ds  x^{s} ds. 6

Nun ist aber  d (1s log (1 − s β )) dβ  = 1 (β − s)β , und, wenn der reelle Theil von s grösser als der reelle Theil von β ist, − 1 2πi_{a+∞i ∫ a−∞i} x^{s} ds (β − s)β = xβ β =_{x ∫ ∞} x^{β−1} dx, oder  = _{x ∫ 0} x^{β−1} dx, je nachdem der reelle Theil von β negativ oder positiv ist. Man hat daher 1 2πi 1 log x_{a+∞i ∫ a−∞i} d (1s log (1 − s β )) ds  x^{s} ds = − 1 2πi_{a+∞i ∫ a−∞i}1s log (1 − s β ) x^{s} ds = _{x ∫ ∞} ^{xβ−1} log x dx + const. im ersten und  = _{x ∫ 0} ^{xβ−1} log x dx + const. im zweiten Falle. Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von β negativ unendlich werden lässt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis x um 2πi verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positivem oder negativem Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von i in dem Werthe von β positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite log (1 − s β ) zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.  7

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von f(x) erhält man f(x) = Li(x) −^{∑α} (Li (x^{_{^{1} 2} +αi}) + Li (x^{_{^{1} 2} −αi})) +_{∞ ∫ x} 1 x^{2} − 1 dx x log x + log ξ(0), wenn in ∑^{α} für α sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung ξ(α) = 0, ihrer Grösse nach geord- net, gesetzt werden. Es lässt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function ξ, leicht zeigen, dass bei dieser Anordnung der Werth der Reihe ∑ (Li (x^{_{^{1} 2} +αi}) + Li (x^{_{^{1} 2} −αi})) log x mit dem Grenzwerth, gegen welchen 1 2πi_{a+bi ∫ a−bi} d1s ∑ log (1 + (s − ^{1 2})2 αα ) ds  x^{s} ds bei unaufhörlichem Wachsen der Grösse b convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können. Aus f(x) findet sich F (x) mittelst der durch Umkehrung der Relation f(x) = ∑ 1 nF (x^{^{1} n} ) sich ergebenden Gleichung F (x) = ∑(−1)^{μ} 1 mf (x^{^{1} m} ) , worin für m der Reihe nach die durch kein Quadrat ausser 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und μ die Anzahl der Primfactoren von m bezeichnet. Beschränkt man ∑^{α} auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für f(x) oder, bis auf einen mit wachsendem x sehr schnell abnehmenden Theil, 1 log x − 2^{∑α} cos(α log x)x−^{1} 2 log x einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate + _{1 3} von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Grösse x.  8

Die bekannte Näherungsformel F (x) = Li(x) ist also nur bis auf Grössen von der Ordnung x^{^{1} 2} richtig und giebt einen etwas zu grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke von F (x) sind, von Grössen, die mit x nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen: Li(x) − _{1 2}Li(x^{^{1} 2} ) − _{1 3}Li(x^{^{1} 3} ) − _{1 5}Li(x^{^{1} 5} ) + _{1 6}Li(x^{^{1} 6} ) − _{1 7}Li(x^{^{1} 7} ) + ⋯ In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt vorgenomme- nen und bis zu x = drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von Li(x) mit der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon vom ersten Hundert- tausend an stets kleiner als Li(x) ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit x. Aber auch die von den pe- riodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Gesetzmässigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluss der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodi- schen Glieder zu verfolgen. Einen regelmässigeren Gang als F (x) würde die Function f(x) zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit Li(x) + log ξ(0) im Mittel übereinstimmend erkennen lässt. 9