Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica Volumen 23, 1998, 33–58

PERTURBATIONS ET ESPACES HARMONIQUES NON LINÉAIRES

Nadra Bel Hadj Rhouma, Abderrahman Boukricha et Mahel Mosbah

Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieurs, 2 Rue Jawaher Lal Nehru, 1008 Tunis, Tunisie

Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, 1060 Tunis, Tunisie Faculté des Sciences de Bizerte, 7021 Jarzouna, Tunisie

Abstract. Similar to the work done by F.Y. Maeda and F. van Gool, we consider a more general semi-linear perturbation of linear harmonic spaces, studying the solvability (existence and uniqueness of solutions) of the non-linear Dirichlet problem. We then prove that this perturbation leads to a more general non-linear harmonic Bauer space introduced by the authors. In the last sections of the paper we show that the majority of properties in the linear case has an analogue in this non-linear setting.

0. Introduction

Soit (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer au sens de [9]. Comme dans [8, §3], nous notons par 𝒰 (ℋ ) l’ensemble des ouverts U relativement compacts de X tels que \overline{U} est contenu dans un sous espace 𝒫 -harmonique de (X, ℋ ). Nous rappelons, voir [8, §3] ou [15], qu’une section (ou différence locale) de potentiels continus et réels est une famille (M_{U})_{U∈𝒰 (ℋ )} telle que M_{U} −M_{V} est harmonique sur U ∩ V pour U et V dans 𝒰 (ℋ ). Si M_{U} est un potentiel sur U pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) la section est dite positive.

Soit φ une application borélienne de X × R à valeurs dans \overline{R} et M une section positive de potentiels continus et réels. Nous supposons que φ est M - continue au sens suivant : Pour tout ouvert U de 𝒰 (ℋ ) et pour toute suite (u_{n})_{n} uniformément bornée dans ℬ_{b}(X) qui converge simplement vers u on a |φ( · , u_{n}) − φ( · , u)|^{•}M_{U}(x) converge vers zéro pour tout x ∈ X (^{•} désigne la multiplication spécifique, voir [9]).

Dans ce travail nous étudions les perturbations ^{φ}K_{U} non-linéaires définies par ^{φ}K_{U}f = (fφ( · , f))^{•}M_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et toute fonction f borélienne bornée sur U. Nous poursuivons l’étude dans [3] du problème de Dirichlet relatif à cette perturbation et à la lumière de cette étude nous proposons une axiomatique d’espaces harmoniques non-linéaires de Bauer. Si (X, ℋ ) est donné par un opérateur différentiel L sur R^{n}, c’est à dire pour tout ouvert U de R^{n}, ℋ (U) = {u ∈ 𝒞 (U) : Lu = 0 au sens des distributions}, nous montrons entre autres que si φ vérifie certaines conditions (non nécessairement localement lipschitzienne et bornée) alors si ℋ̃(U) = {u ∈ 𝒞 (U) : Lu = uφ( · , u) au sens des distributions}, on a (R^{n}, ℋ̃) est un espace harmonique de Bauer non-linéaire, c’est à dire qu’on a toutes les propriétés d’espaces harmoniques (voir [9]) sauf la linéarité du faisceau ℋ̃. Nous généralisons ainsi la notion d’espace harmonique non-linéaire introduite par van Gool dans sa thèse [14].

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 31C45, 31D05; Secondary 35G30, 35K60.

Dans le premier paragraphe, nous rappelons les notions de fonctions Katobornées et Kato–Lipschitziennes introduites dans [3].

Au second paragraphe nous caractérisons au moyen des sections de potentiels les perturbations semi-linéaires introduites par F. van Gool [13]. Nous montrons ensuite que si ^{φ}K est une perturbation au sens de van Gool, alors φ vérifie la condition (∗) suivante : il existe une section positive (S_{U})_{U∈𝒰 (ℋ )} de potentiels continus et réels telle que ∥S_{U}∥_{∞} < 1 et φ^{−}( · , v)^{•}M_{U} ≺ S_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et tout v ∈ B_{b}(U).

Nous montrons que la réciproque est fausse même si φ^{−} = 0. Si φ est localement Kato-bornée relativement à M et vérifie (∗), nous prouvons l’existence d’au moins une solution du problème de Dirichlet perturbé par ^{φ}K sur tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ).

Au troisième paragraphe nous considérons le cas parabolique et nous montrons que si φ est localement Kato-bornée et que si φ^{−} est Kato-bornée relativement à M (ne vérifiant pas nécessairement (∗)) alors pour tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour toute fonction f ∈ ℬ_{b}(∂U), il existe au moins une solution u ∈ 𝒞_{b}(U) de l’équation

(1)  u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

Si de plus φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M ou si l’application Ψ de R dans \overline{R} définie par Ψ(y) = yφ( · , y) est croissante, on a unicité de la solution de (1). Nous vérifions que dans ce cadre de perturbations les conditions précédentes qui donnent l’existence et l’unicité de (1) généralisent celles de van Gool [13] et Maeda [20], [21].

Dans le paragraphe IV, nous considérons un faisceau ℋ parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ) et nous montrons que sous des hypothèses convenables, l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = g possède une solution unique pour tout U dans 𝒰 (ℋ ) et pour tout g dans 𝒞_{b}(U).

Nous traitons en particulier la résolution du système

(∗)  \{ \begin{matrix}Lu − uφ( · , u) = 0 & au sens des distributions, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) & pour tout point L-régulier z ∈ ∂U \end{matrix}

où L est un opérateur parabolique et f une fonction continue sur la frontière de U.

Nous montrons à l’aide d’un exemple que si L désigne un opérateur elliptique, le système précédent n’a pas toujours de solution bornée pour toute f donnée à la frontière.

Dans le paragraphe V, nous introduisons la notion de faisceau non-linéaire et nous montrons que si φ est localement Kato-bornée relativement à M, alors l’application ℋ̃ définie sur l’ensemble des ouverts de X par

ℋ̃(U) = {u ∈ 𝒞_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V)

pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) vérifiant \overline{V} ⊂ U\} est un faisceau non-linéaire de fonctions sur X.

Pour un ouvert U de 𝒰 (ℋ ), K ∈ (R^{∗})^{+} , nous considérons une base d’ouverts 𝒰^{K}(U) assurant en particulier l’existence d’une solution unique notée H̃_{V} f de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f pour tout V dans 𝒰^{K}(U) et pour tout f dans ℬ_{b}(∂V) telle que ∥f∥_{∞} ≤ K.

Nous définissons alors les ensembles suivants :

ℋ̃ ^{∗} = {u ∈ ℬ_{b}(U) : u semi-continue inférieurement et H̃_{V} u ≤ u
pour tout V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U)} ,
ℋ̃_{∗} = {u ∈ ℬ_{b}(U) : u semi-continue supérieurement et H̃_{V} u ≥ u
pour tout V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U)}

et nous généralisons le résultat prouvé par F.Y. Maeda dans [21] qui est le suivant :

ℋ̃ ^{∗} = \{u ∈ ℬ_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ ^{∗}(V) pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ U\},
ℋ̃_{∗} = \{u ∈ ℬ_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ_{∗}(V) pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ U\}.

Dans le dernier paragraphe, nous introduisons la notion d’espace harmonique non-linéaire et nous définissons les fonctions ℋ̃-potentiels sur un ouvert U. Nous donnons ensuite des conditions suffisantes sur φ pour lesquelles la paire (X, ℋ̃) est un espace harmonique non-linéaire.

Dans le cas parabolique, nous montrons qu’on a le principe du minimum sur les ouverts de 𝒰 (ℋ ), et nous caractérisons de manière analogue à celle de Boukricha, Hansen et Hueber dans [8] les ℋ̃-potentiels.

I. Notations et définitions

(X, ℋ ) désigne toujours un espace harmonique où X est un espace localement compact à base dénombrable et ℋ le faisceau des fonctions harmoniques. Soit U un ouvert de X. Nous désignons par ^{∗}ℋ (U) l’ensemble des fonctions hyperharmoniques, par 𝒮 (U) les fonctions surharmoniques et par 𝒫(U) les potentiels sur U. 𝒞 (U) (respectivement ℬ(U)) dénote l’ensemble des fonctions continues (respectivement boréliennes) réelles sur U.

Pour tout ensemble 𝒜 de fonctions réelles, 𝒜^{+} (respectivement 𝒜_{b}) est l’ensemble de toutes les fonctions positives (respectivement bornées) de 𝒜 . Le noyau harmonique H_{U} est défini par H_{U}(x, ·) = μ_{x}^{U} pour tout x ∈ U et H_{U}(x, ·) = ε_{x} pour tout x ∈ (X \ U). μ_{x}^{U} est la mesure harmonique associée à U et x par la méthode de Perron–Wiener–Brelot.

Si u est une application de U dans \overline{R}, on notera par û la régularisée semicontinue inférieurement c’est à dire û(x) = lim inf_{y→x,y∈U} u(y) pour tout x ∈ U. On notera par ŭ la fonction de U dans \overline{R} définie par ŭ = − ˆ(−u).

Nous noterons par 𝒰 (ℋ ) l’ensemble des ouverts U de X relativement compacts et tels que \overline{U} est contenue dans un P -ensemble (c’est à dire un ensemble ouvert sur lequel il y a un potentiel strictement positif en chaque point).

ℳ (ℋ ) désigne l’ensemble formé par les différences locales de potentiels continus et réels ou section de potentiels et ℳ^{+}(ℋ ) le cône des éléments positifs de ℳ (ℋ ).

Le symbole “≺” désigne l’ordre spécifique dans 𝒫(U).

Définition. Une fonction f: X → \overline{R} borélienne est dite dans la classe de Kato-locale relativement à M et notée f ∈ K_{M}^{Loc} si le produit spécifique de |f| par M noté |f|^{•}M est aussi une section positive de potentiels continus et réels.

Nous rappelons les définitions suivantes qui ont été introduites dans [3], pour ceci nous considérons une section positive de potentiels continus et réels M et une application φ: X × R → \overline{R} borélienne.

Nous dirons que l’application φ est localement Kato-bornée relativement à M si : Pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , g)|^{•}M_{U} ≺ p_{U}^{c} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout g ∈ ℬ_{b}(X) tel que ∥g∥_{∞} ≤ c.

Nous dirons que l’application φ est Kato-bornée relativement à M s’il existe p ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , g)|^{•}M_{U} ≺ P_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout g ∈ ℬ_{b}(X).

Nous dirons que φ est une fonction localement Kato–Lipschitzienne relativement à M si pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant :

|φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} ≺ |u − v|^{•}p_{U}^{c}

pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u, v dans ℬ_{b}(X) tels que ∥u∥_{∞} ≤ c et ∥v∥_{∞} ≤ c.

Nous dirons que φ est Kato–Lipschitzienne relativement à M s’il existe p ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} ≺ |u − v|^{•}P_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u, v dans ℬ_{b}(X). Nous dirons que φ est M -continue si pour toute suite (u_{n})_{n} uniformément bornée dans ℬ_{b}(X) qui converge vers u on a : Pour tout ouvert U de 𝒰 (ℋ ) et pour tout x ∈ X, |φ( · , u_{n}) − φ( · , u)|^{•}M_{U}(x) converge vers 0.

II. Etude de la perturbation semi-lineaire

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons aux perturbations semi-linéaires définies sur un espace harmonique (X, ℋ ) qui ont été introduites par F.Y. Maeda dans [20] et F. van Gool dans [13]. Nous traiterons le cas où la perturbation est donnée par ^{φ}K_{U}f = (φ( · , f)f)^{•}M_{U} avec U ∈ 𝒰 , f ∈ ℬ_{b}(U), M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X × R → \overline{R} borélienne. Nous donnerons une caractérisation des fonctions φ qui donnent des perturbations semi-linéaires au sens de van Gool. Puisque les perturbations semi-linéaires introduites par F.Y. Maeda vérifient les hypothéses de F. van Gool (voir [13]) il suffit donc d’étudier les conditions de ce dernier.

II.1. Notation. Soit Θ un recouvrement de X par des P -ensembles et soit 𝒰 la famille des ouverts U relativement compacts tels qu’il existe W ∈ Θ vérifiant \overline{U} ⊂ W.

II.2. Définition. Soient U un ouvert de 𝒰 et

K_{U}: ℬ_{b}(U) → 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) − 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U)

vérifiant :

1) Il existe q ∈ 𝒫(U), ∥q∥_{∞} < 1 tel que pour tout M > 0 il existe p ∈ 𝒫(U) et tel que pour tout f ≥ g vérifiant |f| ≤ M, |g| ≤ M on a :

(g − f)^{•}q ≺ K_{U}f − K_{U}g ≺ (f − g)^{•}p.
2) Soit V ∈ 𝒰 vérifiant \overline{V} ⊂ U on a K_{U}f = H_{V} K_{U}f + K_{V} f.

L’application (U ∈ 𝒰 ) ↦ I + K_{U} définit une perturbation semi-linéaire au sens de van Gool si pour tout U ∈ 𝒰 , K_{U} vérifie les propriétés 1) et 2).

II.3. Exemple. On considère l’espace harmonique classique c’est à dire (X, ℋ ) où ℋ est le faisceau harmonique associé à l’équation de Laplace Δh = 0. Soit p un potentiel continu sur X et μ la mesure associée. On considère une fonction g continue lipschitzienne sur X × R et on définit K_{X}(f)(x) = g(x, f(x))^{•}p et K_{U}(f) = K_{X}(f) − H_{U}K_{X}f. On obtient alors une perturbation semi-linéaire et un espace harmonique perturbé associé à l’équation Δh − g( · , h)μ = 0 (voir [13]).

II.4. Remarque. La condition 2) implique que pour tout f ∈ ℬ_{b}(X), (K_{U}(f))_{U∈𝒰} définit une section de potentiels continus et réels. En particulier, pour tout y ∈ R, (K_{U}(χ_{{y}}))_{U∈𝒰} est une section de potentiels continus et réels.

On adoptera la notation (M_{U})_{U∈𝒰} à la place de (M_{U})_{U∈𝒰 (ℋ )} .

II.5. Théorème. Soit (K_{U})_{U∈𝒰} une famille d’applications de ℬ_{b}(U) dans 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) − 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) vérifiant les conditions de la définition II.2. Alors il existe une section (q_{U})_{U∈𝒰} positive de potentiels continus et réels telle que pour tout U ∈ 𝒰 , ∥q_{U}∥_{∞} < 1 et pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe une section positive p^{c} = (p_{U}^{c})_{U∈𝒰} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : Pour tout U ∈ 𝒰 et pour tout f, g ∈ ℬ_{b}(U) avec f ≥ g, ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c on a :

(g − f)^{•}q_{U} ≺ K_{U}f − K_{U}g ≺ (f − g)^{•}p_{U}^{c}.

Démonstration. Soit c ∈ R∗_{+} et soit U un ouvert de 𝒰 ; désignons par p_{U}^{c} et q_{U} respectivement les plus petits potentiels qui vérifient la condition 1 de la définition II.2. Il suffit de prouver que (p_{U}^{c})_{U∈𝒰} est une famille compatible de différence locale de potentiels continus c’est à dire p_{U}^{c} − p_{W}^{c} est dans ℋ (U ∩ W) pour tout U, W dans 𝒰 .

Soit V ∈ 𝒰 vérifiant \overline{V} ⊂ U et soient f et g dans ℬ_{b}(U) telles que f ≥ g, ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c. Il existe p_{1} ∈ 𝒫(U) vérifiant (f − g)^{•}p_{U}^{c} = K_{U}f − K_{U}g + p_{1} . Posons p_{c}^{V} = p_{U}^{c} − H_{V} p_{U}^{c}, on a :

\begin{aligned}(f − g)^{•}p_{c}^{V} & = K_{V} f − K_{V} g + H_{V} (K_{U}f − K_{U}g) − H_{V} ((f − g)^{•}p_{c}^{U}) + p_{1} \\ & = K_{V} f − K_{V} g + s \end{aligned}

avec

s = H_{V} (K_{U}f − K_{U}g) − H_{V} ((f − g)^{•}p_{U}^{c}) + p_{1}.

Donc s = p_{1}−H_{V} (p_{1}) ∈ 𝒫(V) et alors K_{V} f −K_{V} g ≺ (f −g)^{•}p_{c}^{V} pour tout f ≥ g telles que ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c. D’après la définition de p_{V}^{c} on a p_{V}^{c} ≤ p_{c}^{V} . Soit p ∈ C(U) définie par

p = \{ \begin{matrix}p_{U}^{c} & sur U \ V, \\ p_{U}^{c} ∧ (H_{V} p_{U}^{c} + p_{V}^{c}) & sur V. \end{matrix}

Ainsi p ∈ 𝒫(U) d’après la propriété de troncature. De plus, pour tout f, g ∈ ℬ_{b}(U) telles que f ≥ g, ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c, on a :

K_{U}f − K_{U}g = K_{V} f − K_{V} g + H_{V} (K_{U}f − K_{U}g)

et

K_{U}f − K_{U}g ≺ (f − g) · p_{V}^{c} + H_{V} ((f − g)^{•}p_{U}^{c}) ≺ (f − g) · (p_{V}^{c} + H_{V} P_{U}^{c})

sur V . D’autre part K_{U}f − K_{U}g ≺ (f − g)^{•}p_{U}^{c} donc, K_{U}f − K_{U}g ≺ (f − g)^{•}p. Ainsi p_{U}^{c} ≤ p ≤ p_{V}^{c} + H_{V} p_{U}^{c} et par suite p_{c}^{V} ≤ p_{V}^{c} . Finalement p_{V}^{c} = p_{U}^{c} − H_{V} p_{U}^{c} pour tout V ∈ 𝒰 tel que \overline{V} ⊂ U. De manière analogue, on montre que (q_{U})_{U∈𝒰} est une famille compatible de différence locale de potentiels continus et réels.

II.6. Proposition. Soit (K_{U})_{U∈𝒰} une famille d’applications de ℬ_{b}(U) dans 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) − 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) vérifiant les conditions de la définition II.2. Alors pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe (p̃_{U})_{U∈𝒰} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant pour tout f, g ∈ ℬ_{b}(U) telles que ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c : −|f − g|^{•} p̃_{U} ≺ K_{U}f − K_{U}g ≺ |f − g|^{•} p̃_{U}. En particulier |K_{U}f − K_{U}g| ≤ |f − g|^{•} p̃_{U}.

Démonstration. Soient U ∈ 𝒰 , p et q les sections positives de potentiels continus et réels du théorème II.5. Soient f et g dans ℬ_{b}(U) telles que ∥f∥_{∞} ≤ c et ∥g∥_{∞} ≤ c. Posons h = f ∧ g, on a ∥h∥_{∞} ≤ c, h ≤ f et h ≤ g. Donc

\{ \begin{matrix}(h − f)^{•}(p_{U} + q_{U}) ≺ K_{U}f − K_{U}h ≺ (f − h)^{•}(p_{U} + q_{U}), \\ (h − g)^{•}(p_{U} + q_{U}) ≺ K_{U}g − K_{U}h ≺ (g − h)^{•}(p_{U} + q_{U}). \end{matrix}

Par suite (2h − (f + g))^{•}(p_{U} + q_{U}) ≺ K_{U}f − K_{U}g ≺ (f + g − 2h)^{•}(p_{U} + q_{U}). Posons p̃_{U} = p_{U} + q_{U}, ainsi −|f − g|^{•} p̃_{U} ≺ K_{U}f − K_{U}g ≺ |f − g|^{•} p̃_{U}.

II.7. Théorème. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X × R → \overline{R} borélienne. On suppose que pour tout U ∈ 𝒰 , l’application ^{φ}K_{U}: ℬ_{b}(U) → 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) − 𝒫_{b}(U) ∩ 𝒞_{b}(U) définie par K_{U}u = (uφ( · , u))^{•}M_{U} vérifie les conditions de la définition II.2 et que φ^{−}( · , 0) = 0. Alors il existe (S_{U})_{U∈𝒰} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant ∥S_{V} ∥_{∞} < 1 et φ^{−}( · , v)M_{V} ≺ S_{V} pour tout V ∈ 𝒰 et pour tout v ∈ ℬ_{b}(V).

Démonstration. Soit U ∈ 𝒰 , il existe q_{U} ∈ 𝒫(U) tel que ∥q_{U}∥_{∞} < 1 et (φ( · , u)u − φ( · , v)v)^{•}M_{U} ≻ −(u − v)^{•}q_{U} pour tout u, v ∈ ℬ_{b}(U) vérifiant u ≥ v. Soit A = {x ∈ U : u(x)φ(x, u(x)) − v(x)φ(x, v(x)) ≥ 0}. On a : (uφ( · , u) − vφ( · , v))^{−} ^{•}M_{U} ≺ 1_{A^{c}}(u − v)^{•}q_{U} ≺ (u − v)^{•}q_{U}. Pour u ≥ v = 0 on a u^{•}(φ^{−}( · , u)^{•}M_{U}) ≺ u^{•}q_{U}. Pour v ≤ u = 0 on a −v^{•}(φ^{−}( · , v)^{•}M_{U}) ≺ (−v)^{•}q_{U}. Or |u|φ^{−}( · , u) = u^{+}φ^{−}( · , u^{+}) + u^{−}φ^{−}( · , −u^{−}). Donc pour tout u ∈ ℬ_{b}(U), |u|^{•}(φ^{−}( · , u)^{•}M_{U}) ≺ u^{+} ^{•}q_{U} + u^{−} ^{•}q_{U} = |u|^{•}q_{U}. Ainsi

(|u|φ^{−}( · , u)1_{{u≠0}})^{•}M_{U} ≺ |u|1_{{u≠0}}^{•}q_{U}.

Posons

v = \{ \begin{matrix}|u| & sur \{u ≠ 0\}, \\ 1 & sur \{u = 0\}. \end{matrix}

On aura :

\begin{aligned}(φ^{−}( · , u)1_{\{u≠0\}})^{•}M_{U} & = (\frac{|u|}{v}φ^{−}( · , u)1_{\{u≠0\}})^{•}M_{U} \\ & ≺ (\frac{|u|}{v}1_{\{u≠0\}})^{•}q_{U} = 1_{\{u≠0\}}^{•}q_{U}. \end{aligned}

Ainsi

\begin{aligned}φ^{−}( · , u)^{•}M_{U} & = (φ^{−}( · , u)1_{\{u≠0\}})^{•}M_{U} + (φ^{−}( · , 0)1_{\{u=0\}})^{•}M_{U} \\ & = (φ^{−}( · , u)1_{\{u≠0\}})^{•}M_{U}. \end{aligned}

Donc φ^{−}( · , u)^{•}M_{U} ≺ q_{U}.

II.8. Remarques. a) Dans le cas où φ^{−}( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} , l’hypothèse φ^{−}( · , 0) = 0 n’est plus nécessaire pour la démonstration du théorème précédent et par suite pour l’étude des perturbations semi-linéaires au sens de van Gool. En effet, il suffit de considérer la famille d’ouverts

𝒰̃= {U ∈ 𝒰 : ∥q_{U} + φ^{−}( · , 0)^{•}M_{U}∥_{∞} < 1}.

L’application U ↦ I + ^{φ}K_{U}, U ∈ 𝒰̃, définit une perturbation semi-linéaire au sens de van Gool. De plus, pour tout U ∈ 𝒰̃et pour tout u ∈ ℬ_{b}(U) on a d’après ce qui précède :

(φ^{−}( · , u)1_{{u≠0}})^{•}M_{U} ≺ 1_{{u≠0}}^{•}q_{U}.

Donc

\begin{aligned}φ^{−}( · , u)^{•}M_{U} & = (φ^{−}( · , u)1_{\{u≠0\}})^{•}M_{U} + (φ^{−}( · , 0)1_{\{u=0\}})^{•}M_{U} \\ & ≺ 1_{\{u≠0\}}^{•}q_{U} + (φ^{−}( · , 0)1_{\{u=0\}})^{•}M_{U} ≺ q_{U} + φ^{−}( · , 0)^{•}M_{U}. \end{aligned}

Il suffit de prendre S_{U} = q_{U} + φ^{−}( · , 0)^{•}M_{U}.

b) La réciproque du théorème II.7 n’est pas vraie. Il suffit de considérer l’exemple φ(x, y) = y^{2} sin^{2} y.

Nous montrons plus tard que φ ne permet pas de définir une perturbation semi-linéaire au sens de van Gool (voir II.10 et II.12).

II.9. Proposition. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X × R → \overline{R} borélienne. On suppose que :

i) φ est localement Kato-bornée relativement à M.

ii) L’application φ est M -continue.

iii) Il existe q ∈ ℳ^{+}(ℋ ) telle que pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u ∈ ℬ_{b}(V) on a φ^{−}( · , u)^{•}M_{V} ≺ q_{V} et ∥q_{V} ∥_{∞} < 1.

Alors pour tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂U), il existe au moins une solution de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

Démonstration. Soit V ∈ 𝒰 (ℋ ) et u ∈ ℬ_{b}(V), on a ∥φ^{−}( · , u)^{•}M_{V} ∥_{∞} < 1. Donc d’après [8], corollaire 2.9, l’opérateur (I + φ( · , u)^{•}M_{V} ) est inversible et (I + φ( · , u)^{•}M_{V})^{−1}s ≥ 0 pour tout s surharmonique positive bornée sur V . De plus, pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) on a H_{V} f ∈ 𝒞_{b}(V) (voir [8]) et

|(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} f| ≤ H_{V} ∥f∥_{∞}.

En effet : H_{V} ∥f∥_{∞} ± H_{V} f ∈ 𝒮b^{+}(V). Donc

(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}(±H_{V} f) ≤ (I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} ∥f∥_{∞} ≤ H_{V} ∥f∥_{∞}.

Ainsi

|(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} f| ≤ H_{V} ∥f∥_{∞}.

Par suite

|(I + φ( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} f|

= |∑_{n≥0}[(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V})^{−1}φ^{−}( · , u)^{•}M_{V} ]^{n}×(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} f|

≤ ∑_{n≥0}[(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{V})^{−1}φ^{−}( · , u)^{•}M_{V} ]^{n}H_{V} ∥f∥_{∞}

≤ ∑_{n≥0}(φ^{−}( · , u)^{•}M_{V} )^{n}H_{V} ∥f∥_{∞} ≤ ∑_{n≥0} q_{V}^{n} H_{V} ∥f∥_{∞}

≤ ∥f∥_{∞}∥H_{V} 1∥_{∞} · \frac{1}{1 − ∥q_{V} ∥_{∞}} .

Posons c = ∥f∥_{∞}∥H_{V} 1∥/(1 − ∥q_{V} ∥_{∞}) on a alors

∥(I + φ( · , u)^{•}M_{V} )^{−1}H_{V} f∥_{∞} ≤ c.

D’après [3, théorème 3.8] il existe au moins une solution de l’équation

u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f.

II.10. Remarque. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) non nulle sur tout ouvert non vide et φ: X × R → R qui ne dépend que de y ∈ R. Notons φ(x, y) = f(y). On suppose que l’application U ↦ I +^{φ}K_{U}, U ∈ 𝒰 , définit une perturbation semi-linéaire au sens de van Gool. Soit μ une mesure de Radon sur X telle que supp μ = X. On a : 0 < ∫ M_{U} dμ < +∞ ⇔ U ∈ 𝒰 (ℋ ), U ≠ ∅. (M_{U} ≠ 0 sinon la perturbation est nulle.)

Soient r, s ∈ R tels que r > s. Posons c = max(|r|, |s|). On a :

(r − s)p_{U}^{c} ≻ (f(r)r − f(s)s)^{•}M_{U} ≻ −(r − s)q_{U}.

Donc

(r − s) ∫_{X} p_{U}^{c} dμ ≥ (f(r)r − f(s)s) ∫_{X} M_{U} dμ ≥ −(r − s) ∫_{X} q_{U} dμ.

Ainsi

−\frac{∫_{X} q_{U} dμ}{∫_{X} M_{U} dμ} ≤ \frac{f(r)r − f(s)s}{r − s} ≤ \frac{∫_{X} p_{U}^{c} dμ}{∫_{X} M_{U} dμ}.

Posons

K_{c} = \frac{∫_{X} p_{U}^{c} dμ}{∫_{X} M_{U} dμ}  et  K = \frac{∫_{X} q_{U} dμ}{∫_{X} M_{U} dμ} ;

f vérifie alors l’encadrement suivant : −K ≤ (f(r)r − f(s)s)/(r − s) ≤ K_{c}. Pour tout r, s ∈ R avec r > s et où c = max(|r|, |s|).

II.11. Exemples. On va donner des exemples d’applications φ pour lesquelles l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f admet des solutions pourtant l’application U ↦ I +^{φ}K_{U}, U ∈ 𝒰 , ne définit pas une perturbation semi-linéaire au sens de van Gool.

a) Soit φ: X × R → R définie par φ(x, y) = y^{2p} sin^{2} y (p > 1) et g l’application de R dans R définie par g(y) = y^{2p+1} sin^{2} y. g est dérivable sur R et g′(y) = (2p + 1)y^{2p} sin^{2} y + y^{2p+1} sin 2y, y ∈ R. Pour y_{n} = nπ − \frac{1}{4}π, g′(y_{n}) = (−\frac{1}{4}π + nπ)^{2p}(p + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}π − nπ) et on a lim_{n→+∞} g′(y_{n}) = −∞. Ainsi la condition (rf(r) − sf(s))/(r − s) ≥ −K est impossible. L’application φ vérifie les conditions suivantes : Pour M ∈ ℳ^{+}(ℋ ),

i) φ localement Kato-bornée relativement à M. ii) L’application φ est M -continue. iii) φ est positive sur X × R.

Donc d’après la proposition II.9 on a : Pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂U) il existe au moins une solution de l’équation

(∗)  u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.
b) Soit φ: X × R → R

(x, y) ↦ f(y) = \{ \begin{matrix}arctan \sqrt{y − 1} + 1, & y ≥ 1, \\ 1, & y ≤ 1. \end{matrix}

Pour r = 1 et s > 1 on a :

\frac{f(r)r − f(s)s}{r − s} = \frac{arctan \sqrt{s − 1}}{s − 1} ⟶_{s→1} +∞.

La condition (f(r)r − f(s)s)/(r − s) ≤ K_{c} est alors impossible. L’application φ vérifie les conditions suivantes : Pour M ∈ ℳ^{+}(ℋ ),

i) φ est Kato-bornée relativement à M. ii) L’application φ est M continue. iii) L’application y ↦ φ( · , y)y est croissante sur R.

D’après [3], il existe une base d’ouverts 𝒱 telle que pour tout V ∈ 𝒱 et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V), on a existence et unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f.

Dans la suite, si de plus ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ), nous montrons l’unicité de la solution de (∗) (voir III.1) uniquement sous l’hypothèse localement Kato–Lipschitzienne.

III. Perturbation non linéaire des espaces harmoniques paraboliques

Nous étudions dans ce chapitre une perturbation non linéaire des espaces harmoniques paraboliques. Nous partons d’un espace harmonique (X, ℋ ) tel que le faisceau ℋ est parabolique au sens de [4] ou [17] sur tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ), nous considérons une application φ: X × R → \overline{R}, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ), U ∈ 𝒰 (ℋ ) et g ∈ 𝒞_{b}(U) et nous étudions l’existence et l’unicité des solutions de l’équation “intégrale” u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = g.

III.1. Théorème. Soient φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

b) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. Alors pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout g ∈ 𝒞_{b}(U), l’équation “intégrale” u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = g possède au plus une solution bornée dans 𝒞_{b}(U).

Démonstration. Pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} ≺ |u − v|^{•}p_{U}^{c} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u, v ∈ ℬ_{b}(X) tels que ∥u∥_{∞} ≤ c et ∥v∥_{∞} ≤ c. φ est localement Kato-bornée relativement à M. En effet, soient c ∈ R∗_{+} , V ∈ 𝒰 (ℋ ) et u ∈ ℬ_{b}(X) avec ∥u∥_{∞} ≤ c. On a :

|φ( · , u)|^{•}M_{V} ≺ |φ( · , u) − φ( · , 0)|^{•}M_{V} + |φ( · , 0)|^{•}M_{V} ≺ cp_{V}^{c} + |φ( · , 0)|^{•}M_{V} .

Soient u et v deux solutions bornées de l’équation “intégrale”

u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = g.

Posons

c = max(∥u∥_{∞}, ∥v∥_{∞})

et

ϕ^{u,v} = \{ \begin{matrix}(φ( · , u)u − φ( · , v)v)/(u − v) & sur \{u ≠ v\}, \\ 0 & sur \{u = v\}. \end{matrix}

On a u − v + ((u − v)ϕ^{u,v})^{•}M_{U} = 0 c’est à dire (I + ϕ^{u,v}^{•}M_{U})(u − v) = 0. Or

|φ( · , u)u − φ( · , v)v|^{•}M_{U} ≺ |u| |φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} + |φ( · , v)| |u − v|^{•}M_{U}
≺ c|u − v|^{•}p_{U}^{c} + |u − v|(cp_{U}^{c} + |φ( · , 0)|^{•}M_{U})
≺ |u − v|^{•}(2(cp_{U}^{c}) + |φ( · , 0)|^{•}M_{U}) = |u − v|^{•}p̃_{U}^{c}.

Posons

w = \{ \begin{matrix}u − v & sur \{u ≠ v\}, \\ 1 & sur \{u = v\}. \end{matrix}

On aura

|ϕ^{u,v}| ≤ |\frac{φ( · , u)u − φ( · , v)v}{w} |

et

|\frac{φ( · , u)u − φ( · , v)v}{w} |^{•}M_{U} ≺ \frac{|u − v|}{|w|}^{•}p̃_{U}^{c}.

Donc

|ϕ^{u,v}|^{•}M_{U} ≺ (|\frac{u − v}{w} |1_{\{u≠v\}})^{•}p̃_{U}^{c} + (|\frac{u − v}{w} |1_{\{u=v\}})^{•}p̃_{U}^{c} ≺ 1_{\{u≠v\}}^{•}p̃_{U}^{c} ≺ p̃_{U}^{c}.

Ainsi ϕ^{u,v} ∈ K_{M}^{Loc} . D’après [17] l’opérateur (I+ϕ^{u,v}^{•}M_{U}) est inversible et puisque (I + ϕ^{u,v}^{•}M_{U})(u − v) = 0, alors u = v.

III.2. Proposition. Soient φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) φ est Kato bornée relativement à M. ii) L’application φ est M -continue. Alors, pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ), l’opérateur I +^{φ}K_{U} est surjectif de 𝒞_{b}(U) dans 𝒞_{b}(U).

Démonstration. Puisque φ est Kato bornée relativement à M, alors il existe p ∈ ℳ^{+}(ℋ ) telle que : |φ( · , u)|^{•}M_{U} ≺ p_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u ∈ ℬ_{b}(X).

Considérons g ∈ 𝒞_{b}(U) et notons c = ∥g∥_{∞}∥∑_{n≥0}(K_{U}^{p})^{n}1∥_{∞}. Soit

E = {u ∈ 𝒞_{b}(U): ∥u∥_{∞} ≤ c}

et soit T_{g}: E → ℬ_{b}(U) définie par T_{g}(u) = (I + K_{U}^{M^{u}})^{−1}g avec K_{U}^{M^{u}}f = (fφ( · , u))^{•}M_{U}. On a :

|T_{g}u| = |(I + K_{U}^{M^{u}})^{−1}g| = |∑_{n≥0}(−1)^{n}(K_{U}^{M^{u}})^{n}g| ≤ ∥g∥_{∞}∥∑_{n≥0}(K_{U}^{p})^{n}1∥_{∞}.

Ainsi ∥T_{g}u∥_{∞} ≤ c et par suite T_{g}(E) ⊂ E.

D’après [3] T_{g} est un opérateur complètement continu et T_{g}(E) est relativement compact. Une application du théorème du point fixe de Schauder montre que T_{g} possède au moins un point fixe u_{g} vérifiant u_{g} + (u_{g}φ( · , u_{g}))^{•}M_{U} = g.

III.3. Exemple. Soit φ une application de X × R dans \overline{R} définie par φ(x, y) = φ_{1}(x)φ_{2}(y) avec φ_{1} ∈ K_{M}^{Loc} et φ_{2} ∈ 𝒞_{b}(R) alors φ vérifie les hypothéses i) et ii) de la proposition III.2.

III.4. Proposition. Soient φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) φ est Kato bornée relativement à M. ii) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. Alors, pour tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout g ∈ 𝒞_{b}(U), l’équation “intégrale” u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = g posséde une unique solution dans 𝒞_{b}(U).

Démonstration. D’après ii) l’application φ est M -continue, donc d’après le théorème III.1 et la proposition III.2 on a le résultat.

III.5. Exemple. φ: X × R → \overline{R}, (x, y) ↦ φ(x, y) = φ_{1}(x)φ_{2}(y) où φ_{1} ∈ K_{M}^{Loc} et φ_{2} est bornée, localement Lipschitzienne sur R. φ vérifie les hypothèses i) et ii) de la proposition III.4.

III.6. Proposition. Soient φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) φ est localement Kato-bornée relativement à M. ii) φ^{−} est Kato-bornée relativement à M. iii) L’application φ est M -continue. Alors pour tout ouvert U de 𝒰 (ℋ ) et pour toute fonction f ∈ ℬ_{b}(∂U), il existe au moins une solution u ∈ 𝒞_{b}(U) de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

Démonstration. Soit U un ouvert de 𝒰 (ℋ ) et soit u ∈ ℬ_{b}(U). On a :

|(I + φ( · , u)^{•}M_{U})^{−1}H_{U}f|

= |∑_{n≥0}[(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{U})^{−1}φ^{−}( · , u)^{•}M_{U}]^{n}(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{U})^{−1}H_{U}f|

≤ ∑_{n≥0}[(I + φ^{+}( · , u)^{•}M_{U})^{−1}φ^{−}( · , u)^{•}M_{U}]^{n}H_{U}(∥f∥_{∞})

≤ ∑_{n≥0}(φ^{−}( · , u)^{•}M_{U})^{n}H_{U}∥f∥ ≤ ∑_{n≥0}(K_{U}^{p})^{n}H_{U}∥f∥_{∞}

où p ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant |φ^{−}( · , u)|^{•}M_{U} ≺ p_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u ∈ ℬ_{b}(X). Ainsi

∥(I + φ( · , u)^{•}M_{U})^{−1}H_{U}f∥_{∞} ≤ ∥∑_{n≥0}(K_{U}^{p})^{n}H_{U}1∥_{∞}∥f∥_{∞} < +∞.

D’après [3, théorème 2.7] il existe au moins u ∈ 𝒞_{b}(U) solution de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

III.7. Proposition. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) φ localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. ii) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . iii) φ^{−} est Kato bornée relativement à M. Alors pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour toute fonction f ∈ ℬ_{b}(∂U) on a l’existence et l’unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

Démonstration. D’après i) φ est M -continue. D’après la proposition III.6 et le théorème III.1 on a l’existence et l’unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

III.8. Corollaire. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. ii) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . iii) φ est positive sur X × R. Alors, pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour toute fonction f ∈ ℬ_{b}(∂U) on a l’existence et l’unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

III.9. Exemple. Soient M ∈ ℳ^{+}(ℋ ), g de R dans \overline{R} localement Lipschitzienne et C de X dans \overline{R}^{+} telle que C ∈ K_{M}^{Loc} . Soit φ l’application de X × R dans \overline{R} définie par φ(x, y) = C(x)|g|(y). Alors pour tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂U), il existe une unique u ∈ 𝒞_{b}(U) vérifiant : u + (u|g(u)|C)^{•}M_{U} = H_{U}f.

IV. Application : Cas d’un opérateur parabolique

Dans la suite nous considérons X = R^{n} × R, (n ≥ 1), L un opérateur différentiel parabolique autonôme de la forme

L = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} + ∑_{i=1}^{n} b_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} + c − \frac{∂}{∂t}

et ℋ le faisceau harmonique associé à L. C’est à dire pour tout ouvert U de R^{n} × R, ℋ (U) = {u ∈ 𝒞 (U) : Lu = 0 au sens des distributions}.

Soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et soit φ: X × R → \overline{R} borélienne, localement Kato– Lipschitzienne relativement à M et telle que φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . On se propose de résoudre l’équation Lu − uφ( · , u) = 0 au sens des distributions avec lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z régulier de la frontière de U, où U est un ouvert de 𝒰 (ℋ ) et f ∈ 𝒞 (∂U).

IV.1. Proposition. Soit φ: R^{n+1} × R → \overline{R} borélienne. On suppose que φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} et que φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. Si de plus φ^{−} est Kato-bornée relativement à M, alors pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ 𝒞_{b}(∂U), il existe une solution unique u ∈ 𝒞_{b}(U) de l’équation Lu − uφ( · , u) = 0 au sens des distributions telle que lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z L-régulier de la frontière de U.

Démonstration. On a :

\{ \begin{matrix}Lu − uφ( · , u) = 0 & au sens des distributions, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) & pour tout point z ∈ ∂U L-régulier \end{matrix}

si et seulement si u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f. D’après la proposition III.7 on a pour tout f ∈ 𝒞 (∂U) une solution unique u de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f.

IV.2. Exemple. a) Si φ(x, y) = C(x)g(y) avec C de R^{n+1} dans R^{+} localement Kato-bornée relativement à M et g: R → R localement Lipschitzienne sur R. Alors pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ 𝒞 (∂U) il existe une unique solution u ∈ 𝒞_{b}(U) du système

\{ \begin{matrix}Lu − C|g(u)|u = 0 & au sens des distributions, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) & pour tout point z ∈ ∂U L-régulier. \end{matrix}

b) Soit P un polynôme de degré impair vérifiant :

P (0) = 0  et  lim_{|x|→+∞} \frac{P (x)}{x} = +∞.

Alors pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈ 𝒞 (∂U) le système

\{ \begin{matrix}Lu − P u = 0 & au sens des distributions, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) & pour tout point z ∈ ∂U L-régulier \end{matrix}

posséde une unique solution u ∈ 𝒞_{b}(U). En effet, posons

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}p(y)/y & si y ≠ 0, \\ 0 & si y = 0. \end{matrix}

On a lim_{|y|→+∞} φ(x, y) = +∞ donc il existe M ∈ R∗_{+} vérifiant φ^{−} ≤ M. D’après la proposition IV.1 il existe une unique u ∈ 𝒞_{b}(U) solution du système

\{ \begin{matrix}Lu − P u = 0 & au sens des distributions, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) & pour tout point z ∈ ∂U L-régulier. \end{matrix}

Soit X = R^{n+1} et soit U ∈ 𝒰 (ℋ ), on notera par T_{0} et T_{1} les réels suivants :

T_{0} = inf{t ∈ R : il existe x ∈ R^{n} vérifiant (x, t) ∈ U},
T_{1} = sup{t ∈ R : il existe x ∈ R^{n} vérifiant (x, t) ∈ U}.

IV.3. Définition. On appelle diamétre calorifique de U le nombre réel positif T_{1} − T_{0} . Dans toute la suite on suppose que φ vérifie l’hypothèse supplémentaire suivante : Pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe M_{c} ∈ R∗_{+} vérifiant φ^{−}(x, y) ≤ M_{c} pour tout x ∈ R^{n+1} et pour tout y ∈ [−c, c].

IV.4. Théorème. Soient U ∈ 𝒰 (ℋ ), c ∈ R∗_{+} et f ∈ 𝒞 (∂U) vérifiant ∥f∥_{∞} ≤ ce^{−M_{c}(T_{1}−T_{0})} . Alors, il existe une unique solution u de l’équation Lu = φ( · , u)u au sens des distributions telle que lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier.

Démonstration. D’après le théorème III.1 il suffit de prouver l’existence des solutions de l’équation Lu = φ( · , u)u au sens des distributions avec lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier. Soit c ∈ R∗_{+} , posons φ̃ l’application de R^{n} × R × R dans \overline{R} définie par φ̃(x, t, s) = φ(x, t, e^{M_{c}t}s) + M_{c} et

E = {u ∈ 𝒞_{b}(U) : sup_{(x,t)∈U} |e^{M_{c}t}u(x, t)| ≤ c}.

Pour tout u ∈ E, φ̃(x, t, u(x, t)) = φ(x, t, e^{M_{c}t}u(x, t)) + M_{c} ≥ 0 car φ^{−}(x, t, e^{M_{c}t}u(x, t)) ≤ M_{c}.

Soit f ∈ 𝒞 (∂U) telle que ∥f∥_{∞} ≤ ce^{−M_{c}(T_{1}−T_{0})} . On pose g(x, t) = e^{M_{c}t}f(x, t) pour tout (x, t) ∈ ∂U. Soit u ∈ E et soit v_{u} la solution du système

\{ \begin{matrix}Lv_{u} − φ̃( · , u)v_{u} = 0, \\ lim_{(x,t)→z} v_{u}(x, t) = g(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier. \end{matrix}

On a : |v_{u}| = |(I + φ̃( · , u)^{−1}H_{U}g| ≤ |H_{U}g| ≤ ∥g∥_{∞}. D’où

sup_{(x,t)∈U} |e^{M_{c}t}v_{u}(x, t)| ≤ e^{M_{c}T_{1}}∥v_{u}∥_{∞} ≤ e^{M_{c}T_{1}}∥g∥_{∞} ≤ e^{M_{c}T_{1}}e^{−M_{c}T_{0}}∥f∥_{∞} ≤ c

donc v_{u} ∈ E. Soit T: E → E definie par, T (u) = v_{u} de manière analogue à [3], on montre que T est complètement continu donc possède au moins un point fixe. C’est à dire, il existe u ∈ E tel que Lu = φ̃( · , u)u avec lim_{(x,t)→z} u(x, t) = g(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier. La fonction v: U → R, (x, t) → e^{M_{c}t}u(x, t) vérifie alors Lv = φ( · , v)v au sens des distributions. De plus, pour z = (x_{0}, t_{0}) ∈ ∂U L-régulier, on a

lim_{(x,t)→z} v(x, t) = e^{Mt_{0}}g(x_{0}, t_{0}) = e^{Mt_{0}}e^{−Mt_{0}}f(x_{0}, t_{0}) = f(z).

IV.5. Proposition. Soit φ: R^{n} × R → R definie par φ(x, y) = −y^{p} avec p ∈ N \ {0}. Pour tout K > 0 et pour tout ouvert U de 𝒰 (ℋ ) vérifiant T_{1} −T_{0} < e^{−1}/pK^{p} on a : Pour toute fonction f ∈ 𝒞 (∂U) telle que ∥f∥_{∞} ≤ K, il existe une unique solution u de l’équation Lu = φ( · , u)u au sens des distributions avec lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier.

Démonstration. On a : φ^{−}(x, y) ≤ |φ(x, y)| ≤ c^{p} pour tout x ∈ R^{n} et pour tout y ∈ [−c, c]. Si

T_{1} − T_{0} ≤ \frac{1}{pK^{p}} e^{−1},  alors  K ≤ \frac{e^{−1/p}}{(p(T_{1} − T_{0}))^{1/p}} .

Posons c = (p(T_{1} − T_{0}))^{−1/p} on a : K ≤ ce^{−c^{p}(T_{1}−T_{0})} . Pour toute fonction f ∈ 𝒞 (∂U) vérifiant ∥f∥_{∞} ≤ K on a ∥f∥_{∞} ≤ ce^{−c^{p}(T_{1}−T_{0})} . D’après le théorème précédent l’équation Lu = −u^{p+1} posséde une solution unique vérifiant lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z ∈ ∂U L-régulier.

IV.6. Remarque. Nous obtenons un résultat analogue à celui de D. Feyel et A. de La Pradelle [11] où on remplace le diamètre géométrique par le diamètre calorifique.

La proposition suivante montre qu’on n’a pas toujours la résolubilité du problème de Dirichlet et qu’on est parfois amené à étudier un problème de bifurcation.

IV.7. Proposition. Soient A un opérateur élliptique sur R^{n}, ℋ le faisceau harmonique associé à A et U ∈ 𝒰 (ℋ ). Alors le système

(∗)  \{ \begin{matrix}Au + u^{2} = 0, \\ lim_{x→z} u(x) = f(z) pour tout point z ∈ ∂U A-régulier \end{matrix}

n’a pas de solutions pour toute donnée f à la frontière.

Démonstration. Supposons que pour tout f ∈ 𝒞 (∂U) on a une solution du système (∗). Soit V le noyau associé à l’opérateur A, alors pour tout n ∈ N\{0}, il existe u_{n} ∈ 𝒞 (U) vérifiant u_{n} − V u_{n}^{2} = nH_{U}f. Soit f ∈ 𝒞 (∂U) telle que H_{U}f > 1. On a alors u_{n} ≥ n et u_{n} = V u_{n}^{2} + nH_{U}f. Ainsi

u_{n} ≥ nH_{U}f + nV (u_{n}) ≥ nH_{U}f + nV [nH_{U}f + nV (u_{n})]

≥ nH_{U}f + n^{2}V (H_{U}f) + n^{2}V^{2}(nH_{U}f + nV (u_{n}))

≥ ∑_{k=1}^{p+1} n^{k}V^{k−1}(H_{U}f) + n^{p+1}V^{p+1}(u_{n})

= n + n^{2} ∑_{k=1}^{p} n^{k−1}V^{k}(H_{U}f) + n^{p+1}V^{p+1}(u_{n}).

Donc ∑_{k=1}^{+∞} n^{k−1}V^{k}(H_{U}f) < +∞, ainsi V est un noyau fortement parabolique et par suite ℋ est parabolique sur U (voir [4]). D’où la contradiction à l’hypothèse élliptique.

V. Propriete de faisceau

Dans ce paragraphe, nous étudions les propriétés de la paire (X, ℋ̃) où ℋ̃(U) = {u ∈ 𝒞_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V) pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) vérifiant V ⊂ \overline{V} ⊂ U\} avec (X, ℋ ) un espace harmonique, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ), U un ouvert de X et φ: X × R → \overline{R} borélienne.

V.1. Définition. Soit X un espace topologique et ℋ̃ une application définie sur l’ensemble des ouverts de X. Nous dirons que ℋ̃ est un faisceau non-linéaire de fonctions sur X si ℋ̃ vérifie les propriétés suivantes :

a) Pour tout ouvert U de X, ℋ̃(U) est un sous ensemble de fonctions numériques continues sur U.

b) Pour tout couple d’ouverts (U, V) de X vérifiant U ⊂ V on a : ℋ̃(V)_{|U} ⊂ ℋ̃(U).

c) Pour toute famille d’ouverts (U_{i})_{i∈I} de X et pour toute fonction numérique h définie sur U = ⋃_{i∈I} U_{i} on a : h ∈ ℋ̃(U) si h|_{U_{i}} ∈ ℋ̃(U_{i}) pour tout i ∈ I. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X×R →

\overline{R} localement Kato-bornée relativement à M. On considère l’application ℋ̃ définie sur l’ensemble des ouverts de X par

ℋ̃(U) = {u ∈ 𝒞_{b}(U) :u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V)
pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) vérifiant \overline{V} ⊂ U\}.

V.2. Proposition. L’application ℋ̃ est un faisceau non-linéaire de fonctions sur X.

Démonstration. a) Il est clair que pour tout ouvert U de X et pour tout ouvert V vérifiant V ⊂ \overline{V} ⊂ U on a ℋ̃(U)_{|V} ⊂ ℋ̃(V).

b) Soit (U_{i})_{i∈I} une famille d’ouverts de X et soit h ∈ ℋ̃(U_{i}) pour tout i ∈ I, alors h est continue sur U = ⋃_{i∈I} U_{i}. Soit V ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que V ⊂ \overline{V} ⊂ U. On a pour tout x ∈ V , il existe i ∈ I tel que x ∈ U_{i}. On choisit V_{i} ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que x ∈ V_{i} et \overline{V}_{i} ⊂ V ∩ U_{i}, alors h + (hφ( · , h))^{•}M_{V_{i}} ∈ ℋ (V_{i}). Comme φ est localement Kato-bornée relativement à M, alors pour c = ∥h∥_{∞}, il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , h)|^{•}M_{w} ≺ p_{w}^{c} pour tout w ∈ 𝒰 (ℋ ). Donc (φ( · , h)^{•}M_{w})_{w∈𝒰 (ℋ )} est une section de potentiel continus et réels. Ainsi

h + (hφ( · , h))^{•}M_{V} = (h + (hφ( · , h))^{•}M_{V_{i}}) + H_{V_{i}}(hφ( · , h))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V_{i}).

Donc h + (hφ( · , h))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V) pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que V ⊂ \overline{V} ⊂ U. Par suite h ∈ ℋ̃(U).

V.3. Définition. Soit U un ouvert de 𝒰 (ℋ ) et soit f ∈ ℬ_{b}(∂U). Nous dirons que f est ℋ̃-résolutive sur U s’il existe une unique fonction h ∈ ℋ̃(U) vérifiant h + (hφ( · , h))^{•}M_{U} = H_{U}f. Désormais, on notera par ℋ̃_{U}f une telle fonction.

V.4. Définition. Soit U un ouvert de 𝒰 (ℋ ). Nous dirons que U est ℋ̃-résolutif si toute fonction f ∈ 𝒞 (∂U) est ℋ̃-résolutive sur U.

Dans toute la suite, nous supposons que le faisceau non-linéaire ℋ̃ vérifie la propriété (𝒫) suivante : Pour tout K ∈ R∗_{+} , il existe une base d’ouverts 𝒱 ^{k} ⊂ 𝒰 (ℋ ) telle que : Pour tout V ∈ 𝒱 ^{k} et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) vérifiant ∥f∥_{∞} ≤ K, f est ℋ̃-résolutive sur V .

V.5. Exemples. Nous donnerons des exemples d’applications φ pour lesquelles le faisceau non linéaire ℋ̃ vérifie la propriété (𝒫).

V.5.1. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) L’application Ψ: X × R → R definie par Ψ(x, y) = yφ(x, y) est Kato–Lipschitzienne relativement à M.

b) L’application φ est M -continue. Soit 𝒱 = {V ouvert de 𝒰 (ℋ ) : ∥Kp̃ ; V ∥ < 1} avec p̃_{U} = |φ( · , 0)|^{•}M_{U} + p_{U}

pour U ∈ 𝒰 (ℋ ).

D’après [3] on a pour tout V ∈ 𝒱 et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) existence d’une solution unique de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f. Exemple :

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}sin y/y & si y ≠ 0, \\ 1 & si y = 0. \end{matrix}

V.5.2. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que : a) φ est localement Kato-bornée relativement à M.

b) L’application y → φ( · , y)y est croissante sur R.

c) L’application φ est M -continue.

d) 1 ∈ 𝒮^{+}(X).

D’après l’hypothèse a) pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , u)|^{•}M_{U} ≺ p_{U}^{c} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u ∈ ℬ_{b}(X). Soit K ∈ R∗_{+} et soit 𝒱 ^{K} = ⋃_{c>K}{V ouvert de 𝒰 (ℋ ) : ∥K_{V}^{p^{c}}∥_{∞} ≤ 1 − K/c}. D’après [3] on a pour tout V ∈ 𝒱 ^{K} et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) telle que ∥f∥_{∞} ≤ K une unique solution de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f.

V.5.3. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer tel que le faisceau ℋ est parabolique sur tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ), φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

b) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

c) φ^{−} est Kato-bornée relativement à M. D’après la proposition III.7 on a pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout f ∈

ℬ_{b}(∂U) l’existence et l’unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} = H_{U}f. Dans ce qui suit, nous supposons qu’en plus de la propriété (𝒫) l’application φ vérifie les conditions suivantes

i) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . ii) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

V.6. Remarque. L’application ℋ̃est un faisceau non-linéaire de fonctions sur X. En effet : D’après i) et ii) φ est localement Kato-bornée relativement à M.

V.7. Notations et remarque. a) D’après l’hypothèse ii) pour tout c ∈ R∗_{+} , il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant : |φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} ≺ |u − v|^{•}p_{U}^{c} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u, v dans ℬ_{b}(X) tels que ∥u∥_{∞} ≤ c et ∥v∥_{∞} ≤ c. Par suite :

|φ( · , u)u − φ( · , v)v|^{•}M_{U} ≺ |u| |φ( · , u) − φ( · , v)|^{•}M_{U} + |φ( · , v)|.|u − v|^{•}M_{U}
≺ c|u − v|^{•}p_{U}^{c} + ((|φ( · , v) − φ( · , 0)| + |φ( · , 0)|)|u − v|)^{•}M_{U}
≺ |u − v|^{•}(2cp_{U}^{c} + |φ( · , 0)|^{•}M_{U}).

On note p̃_{U}^{c} = 2cp_{U}^{c} + |φ( · , 0)|^{•}M_{U}, p̃^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ).

b) Puisque l’application ℋ̃vérifie la propriété (𝒫), alors pour tout k ∈ R∗_{+} , il existe une base d’ouverts 𝒱 ^{k} ⊂ 𝒰 (ℋ ) telle que : Pour tout V ∈ 𝒱 ^{k} et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) vérifiant ∥f∥_{∞} ≤ K, f est ℋ̃-résolutive sur V .

Dans toute la suite de ce chapitre nous supposons que 1 ∈ 𝒮^{+}(X). Soit U un ouvert de 𝒰 (ℋ ). On note :

𝒰^{k}(U) = ⋃_{c>k}\{V ∈ 𝒱 ^{k} : \overline{V} ⊂ U et ∥K_{V}^{p̃^{c}}∥_{∞} < 1 − k/c\} ;
ℋ̃ ^{∗} (U) = {u ∈ ℬ_{b}(U) semi-continue inférieurement :
H̃_{V} u ≤ u pour tout V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U)} ;
ℋ̃_{∗}(U) = {u ∈ ℬ_{b}(U) semi-continue supérieurement :
H̃_{V} u ≥ u pour tout V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U)}.

Toute application f ∈ ℋ̃ ^{∗} (U) (ou f ∈ ℋ̃_{∗}(U)) est dite ℋ̃-hyperharmonique (ou ℋ̃-hypoharmonique) sur U.

Soit p ∈ ℋ̃ ^{∗} (U), nous dirons que p est un ℋ̃-potentiel sur U si pour tout g ∈ ℋ̃(U) vérifiant 0 ≤ g ≤ p on a g = 0. On notera par 𝒫̃(U) l’ensemble des ℋ̃-potentiels sur U.

V.8. Théorème. Soient M ∈ ℳ^{+}(ℋ ), U ∈ 𝒰 (ℋ ) et φ: X × R → \overline{R} borélienne. On suppose que :

i) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . ii) φ localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. iii) ℋ̃ vérifie la propriété (𝒫). Alors,

ℋ̃ ^{∗} (U) = \{u ∈ ℬ_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ ^{∗}(V) pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ U\}.

Démonstration. Soit u ∈ ℋ̃ ^{∗} (U) et soit V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U). Alors il existe c > ∥u∥_{∞} vérifiant ∥K_{V}^{p̃^{c}}∥_{∞} ≤ 1 − ∥u∥_{∞}/c. D’après [3] H̃_{V} u = (I + K_{V}^{M^{H̃_{V} u}})^{−1}H_{V} u et ∥H̃_{V} u∥_{∞} ≤ c. Posons K′_{V} u = (I − K_{V}^{p̃^{c}})^{−1}(^{φ}K_{V} u + K_{V}^{p̃^{c}}u). Soit W un ouvert de X tel que \overline{W} ⊂ V on a :

H̃_{W} u + K′_{W} H̃_{W} u = H̃_{W} u + (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}(^{φ}K_{W} H̃_{W} u + K_{W}^{p̃^{c}} H̃_{W} u)

= (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}[(I − K_{W}^{p̃^{c}})H̃_{W} u +^{φ}K_{W} H̃_{W} u + K_{W}^{p̃^{c}} H̃_{W} u]

= (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}(H̃_{W} u +^{φ}K_{W} H̃_{W} u) = (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}H_{W} u.

Posons ^{−p̃^{c}}H_{W} u = (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}H_{W} u. On aura K′_{V} = ^{−p̃^{c}}H_{W} K′_{V} + K′_{W} et ainsi

−p̃^{c}H_{W} (u + K′_{V} u) = ^{−p̃^{c}}H_{W} u +^{−p̃^{c}}H_{W} K′_{V} u = H̃_{W} u + K′_{W} H̃_{W} u +^{−p̃^{c}}H_{W} K′_{V} u
= (H̃_{W} u − u) + K′_{W} H̃_{W} u + u − K′_{W} u + K′_{V} u
= (H̃_{W} u − u) + (u + K′_{V} u) + (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}[(H̃_{W} u(φ( · , H̃_{W} u))^{•}M_{W}
+ H̃_{W} u^{•}p̃_{W}^{c} ) − (u(φ( · , u))^{•}M_{W} − u^{•}p̃_{W}^{c} ]

= (H̃_{W} u − u) + (u + K′_{V} u) + (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}(H̃_{W} u − u)[(ϕ^{H̃_{W} u,u}^{•}M_{W} + p̃_{W}^{c})].

Comme le noyau ϕ^{H̃_{W} u,u}^{•}M_{W} + p̃_{W}^{c} est positif et puisque H̃_{W} u ≤ u alors,

H̃_{W} u − u + (I − K_{W}^{p̃^{c}})^{−1}(H̃_{W} u − u)(ϕ^{H̃_{W} u,u}^{•}M_{W} + p̃_{W}^{c}) ≤ 0

et par suite :

u + K′_{V} u ∈ ^{−p̃^{c}}𝒮 (V) = {v ∈ ℬ_{b}(V) : (I − K_{V}^{p̃^{c}})v ∈ 𝒮_{b}(V)}

(voir [8]), donc (I − K_{V}^{p̃^{c}})(u + K′_{V} u) ∈ 𝒮 (V). Or :

\begin{aligned}(I − K_{V}^{p̃^{c}})(u + K′_{V} u) & = (I − K_{V}^{p̃^{c}})u + (I − K_{V}^{p̃^{c}})(I − K_{V}^{p̃^{c}})^{−1}(^{φ}K_{V} u + K_{V}^{p̃^{c}}u) \\ & = (I − K_{V}^{p̃^{c}})u +^{φ}K_{V} u + K_{V}^{p̃^{c}}u = u +^{φ}K_{V} u ∈ 𝒮 (V). \end{aligned}

Soit A ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que Ā ⊂ U. On a :

u +^{φ}K_{A}u = (u +^{φ}K_{V} u) + H_{V} K_{A}u ∈ 𝒮 (V)

pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ A tel que V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U).

Réciproquement soit u ∈ ℬ_{b}(U) vérifiant u + ^{φ}K_{V} u ∈ ℋ ^{∗}(V) pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ U. On a u ∈ ℬ_{b}(U), de plus pour tout V ∈ 𝒰^{∥u∥_{∞}}(U) on a H̃_{V} u ≤ u.

En effet : u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} − H_{V} (u + (uφ( · , u))^{•}M_{U}) ∈ 𝒮b^{+}(U) et

u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} − H_{V} (u + (uφ( · , u))^{•}M_{U})

= u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} − H_{V} u − H_{V} ((uφ( · , u))^{•}M_{U})

= (u − H̃_{V} u) + (uφ( · , u))^{•}M_{U} − (H̃_{V} uφ( · , H̃_{V} u))^{•}M_{V}

− H_{V} ((uφ( · , u))^{•}M_{U})

= (u − H̃_{V} u) + (uφ( · , u))^{•}M_{V} − (H̃_{V} uφ( · , H̃_{V} u))^{•}M_{V}

= (u − H̃_{V} u) + ((u − H̃_{V} u)ϕ^{_{H_{V}} u,u})^{•}M_{V}

= (I + ϕ^{_{H_{V}} u,u}^{•}M_{V})(u − H̃_{V} u).

Donc u − H̃_{V} u ≥ 0. Par suite u ∈ ℋ̃ ^{∗} (U).

V.9. Remarque. De manière analogue on montre que sous les mêmes hypothèses on a : ℋ̃_{∗}(U) = {u ∈ ℬ_{b}(U) : u + uφ( · , u)^{•}M_{V} ∈ ℋ_{∗}(V) pour tout V ⊂ \overline{V} ⊂ U\}.

VI. Espace harmonique non-linéaire

Dans ce paragraphe, nous introduisons la notion d’espace harmonique nonlinéaire où on omet les hypothèses de linéarité des fonctions harmoniques et hyperharmoniques et nous étudions les propriétés d’un tel espace.

Soient (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X×R → \overline{R} Kato-bornée relativement à M.

VI.1. Définition. Soit ℋ̃ un faisceau non-linéaire de fonctions sur X. Nous dirons que la paire (X, ℋ̃) est un espace harmonique de Bauer non-linéaire si ℋ̃ vérifie les propriétés suivantes :

a) Il existe une base 𝒱 d’ouverts ℋ̃-résolutifs telle que pour tout U, V dans 𝒱 , U ∩ V ∈ 𝒱 .

b) Propriété de convergence de Bauer : soit U un ouvert de X et soit (h_{n})_{n} une suite de fonctions dans ℋ̃(U) uniformément bornée qui converge vers h, alors h ∈ ℋ̃(U).

c) ℋ̃ est non-dégénéré : pour tout x ∈ X, il existe un ouvert U de X contenant x, une fonction h ∈ ℋ̃(U) telle que h(x) > 0.

VI.2. Définition. Soit U un ouvert de 𝒰 (ℋ ). Nous dirons que ℋ̃vérifie le principe de minimum sur U si pour tout u ∈ ℋ̃ ^{∗} (U) et pour tout v ∈ ℋ̃_{∗}(U) tels que û ≥ v̌ sur ∂U on a u ≥ v sur U.

Dans toute la suite nous considérons le faisceau non-linéaire ℋ̃ définie sur l’ensemble des ouverts de X par

ℋ̃(U) = {u ∈ 𝒞_{b}(U) : u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V)

pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) vérifiant V ⊂ \overline{V} ⊂ U\}.

VI.3. Théorème. Soit U un ouvert de X et soit φ: X × R → \overline{R} M - continue et localement Kato-bornée relativement à M. Si (h_{n})_{n} est une suite de fonctions uniformément bornées de ℋ̃(U) qui converge vers h alors h ∈ ℋ̃(U).

Démonstration. Puisque (h_{n})_{n} ⊂ ℋ̃(U), alors pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que \overline{V} ⊂ U on a :

h_{n} + (h_{n}φ( · , h_{n}))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V).

Posons g_{n} = h_{n} + (h_{n}φ( · , h_{n}))^{•}M_{V} et soit c ∈ R∗_{+} vérifiant ∥h_{n}∥_{∞} ≤ c

pour tout n ∈ N. φ est localement Kato bornée relativement à M, donc, il existe p^{c} ∈ ℳ^{+}(ℋ ) tel que pour tout u ∈ ℬ_{b}(X) vérifiant ∥u∥_{∞} ≤ c on a |φ( · , u)^{•}M_{V} | ≺ P_{V}^{c} . Ainsi : Pour tout n ∈ N,

|g_{n}| ≤ |h_{n}| + |h_{n}| |φ( · , h_{n})|^{•}M_{V} ≤ c + cp_{V}^{c} < +∞.

La famille {g_{n} : n ∈ N} est alors bornée dans ℋ (V) et donc {g_{n} : n ∈ N} est relativement compact pour la topologie de convergence uniforme (voir [9, théorème 11.1.1]). Donc, il existe une sous suite(g_{n_{k}})_{n} de (g_{n})_{n} qui converge uniformément vers g ∈ ℋ (V). De plus (h_{n}φ( · , h_{n}))^{•}M_{V} converge vers (hφ( · , h))^{•}M_{V} .

En effet :

|h_{n}φ( · , h_{n}) − hφ( · , h)| ≤ |h_{n}| |φ( · , h_{n}) − φ( · , h)| + |φ( · , h)| |h_{n} − h|.

Donc

|h_{n}φ( · , h_{n}) − hφ( · , h)|^{•}M_{V} ≺ c|φ( · , h_{n}) − φ( · , h)|^{•}M_{V} + |h_{n} − h|^{•}p_{V}^{c} .

Par suite :

lim_{n→+∞} g_{n_{k}} = lim_{n→+∞}(h_{n_{k}} + (h_{n_{k}}φ( · , h_{g_{k}}))^{•}M_{V} ) = h + (hφ( · , h))^{•}M_{V} .

Ainsi g = h + (hφ( · , h))^{•}M_{V} ∈ ℋ (V) pour tout V ∈ 𝒰 (ℋ ) tel que \overline{V} ⊂ U. Par suite h ∈ ℋ̃(U).

VI.4. Proposition. Soient (X, ℋ ) un espace harmonique, M ∈ ℳ^{+}(ℋ ) et φ: X × R → \overline{R} borélienne. On suppose que :

a) φ localement Kato-bornée relativement à M.

b) L’application φ est M - continue. Alors, le faisceau non-linéaire ℋ̃ est non-dégénéré.

Démonstration. Soit x ∈ X : il existe h harmonique bornée sur un voisinage U de x telle que h(x) > 0. Posons K = sup_{y∈U} |h(y)|. D’après [3], il existe une base d’ouverts 𝒱 telle que pour tout V ∈ 𝒱 et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) vérifiant ∥H_{V} f∥_{∞} ≤ K on a une solution de l’équation u+(uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f et u = (I + K_{V}^{M^{u}})^{−1}H_{V} f. Or il existe V ∈ 𝒱 tel que x ∈ V , \overline{V} ⊂ U et ∥H_{V} h∥_{∞} = ∥h|_{V} ∥_{∞} ≤ K. Donc il existe u_{h} ∈ ℋ̃(V) vérifiant

u_{h} = (I + K^{M^{u_{h}}})^{−1}H_{V} h = (I + K^{M^{u_{h}}})^{−1}h.

D’après [8], h(x) > 0, alors u_{h}(x) > 0.

VI.5. Proposition. Soient φ: X ×R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) φ est Kato bornée relativement à M.

b) L’application φ est M -continue.

c) L’application y ↦ yφ( · , y), y ∈ R, est croissante. Alors la paire (X, ℋ̃) est un espace harmonique non-linéaire au sens de la définition VI.1.

Démonstration. D’après le théorème VI.3 on a la propriété de convergence de Bauer. De plus, il existe q ∈ ℳ^{+}(ℋ ) vérifiant |φ( · , u)|^{•}M_{U} ≺ q_{U} pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout u ∈ ℬ_{b}(X). Posons 𝒱 = {V ∈ 𝒰 (ℋ ) : ∥K_{V}^{q} ∥_{∞} < 1}. 𝒱 est une base d’ouverts ℋ̃ résolutifs. En effet, d’après [3], on a pour tout V ∈ 𝒱 et pour tout f ∈ ℬ_{b}(∂V) l’existence et l’unicité des solutions de l’équation u + (uφ( · , u))^{•}M_{V} = H_{V} f. Il est clair que si U, V sont dans 𝒱 , U ∩V ∈ 𝒱 . De plus d’après a) et b) ℋ̃est non-dégénéré. Donc (X, ℋ̃) est un espace harmonique de Bauer non-linéaire.

VI.6. Proposition. Soit (X, ℋ ) un espace harmonique de Bauer tel que le faisceau ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ). Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

b) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

c) φ^{−} est Kato-bornée relativement à M. Alors (X, ℋ̃) est un espace harmonique non-linéaire au sens de la définition VI.1.

Démonstration. L’application φ est localement Kato-bornée relativement à M donc ℋ̃est un faisceau non-linéaire de fonctions sur X. D’après l’hypothése b) l’application φ est M -continue, donc la propriété de convergence de Bauer est satisfaite et ℋ̃est non-dégénéré. De plus, tout ouvert U ∈ 𝒰 (ℋ ) est ℋ̃-résolutif (voir la proposition III.7) et U ∩ V ∈ 𝒰 (ℋ ) pour tout U, V dans 𝒰 (ℋ ). Ainsi (X, ℋ̃) est un espace harmonique non-linéaire.

VI.7. Proposition. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

i) ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ). ii) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M. iii) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} . iv) φ^{−} est Kato-bornée relativement à M. Alors le faisceau non-linéaire ℋ̃ vérifie le principe du minimum sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ).

Démonstration. Soient U ∈ 𝒰 (ℋ ), u ∈ ℋ̃ ^{∗} (U) et v ∈ ℋ̃_{∗}(U) tels que : û ≥ v̌ sur ∂U. D’après le théorème V.8 on a : u + (uφ( · , u))^{•}M_{U} ∈ ℋ_{b}^{∗}(U) et v + (vφ( · , v))^{•}M_{U} ∈ ℋ_{∗b}(U). Posons s = u−v+(uφ( · , u))^{•}M_{U}−(vφ( · , v))^{•}M_{U}. On a s ∈ 𝒮_{b}(U) et s = u − v + ϕ^{u,v}(u − v)^{•}M_{U} donc, il existe p ∈ 𝒫(U) tel que s+p ≥ 0 sur U. Ainsi s ≥ 0 sur U (voir [9]). Or (u−v) = (I +ϕ^{u,v}^{•}M_{U})^{−1}s ≥ 0 sur U. Donc u ≥ v sur U.

VI.8. Corollaire. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et soit M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ).

b) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

c) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

d) φ est positive sur X × R. Alors le faisceau non-linéaire ℋ̃ vérifie le principe du minimum sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ).

VI.9. Théorème. Soit φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

b) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

c) ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ). d) φ^{−} est Kato-bornée relativement à M. Alors, pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout p ∈ ℬ_{b}(U), on a :

p + (pφ( · , p))^{•}M_{U} ∈ 𝒫(U)

si et seulement si p ∈ 𝒫̃(U).

Démonstration. Soit U ∈ 𝒰 (ℋ ) et p ∈ ℬ_{b}(U) vérifiant p+(pφ( · , p))^{•}M_{U} ∈ 𝒫(U). Alors p ∈ ℋ̃ ^{∗} (U). Soit g ∈ ℋ̃(U) vérifiant 0 ≤ g ≤ p. On a : g+(gφ( · , g))^{•}M_{U} ∈ ℋ (U). Posons s = p+(pφ( · , p))^{•}M_{U} −g−(gφ( · , g))^{•}M_{U}. s ∈ 𝒮 (U) et s ≥ (pφ( · , p))^{•}M_{U} − (gφ( · , g))^{•}M_{U} donc s ≥ 0 sur U (voir [8]). Ainsi p+(pφ( · , p))^{•}M_{U} ≥ g+(gφ( · , g))^{•}M_{U} et par suite g+(gφ( · , g))^{•}M_{U} ≤ 0 sur U. Posons h = −(g + (gφ( · , g))^{•}M_{U}). On a h ≥ 0 sur U et

h = (−g) + ((−g)φ( · , g))^{•}M_{U} = (I + φ( · , g)^{•}M_{U})(−g)

donc −g = (I + φ( · , g)^{•}M_{U})^{−1}h ≥ 0. Par suite g = 0 ainsi p ∈ 𝒫̃(U).

Réciproquement soit p ∈ ℬ_{b}(U) tel que p ∈ 𝒫̃(U) et soit h ∈ ℋ (U) vérifiant 0 ≤ h ≤ p + (pφ( · , p))^{•}M_{U}. On a p + (pφ( · , p))^{•}M_{U} ∈ 𝒮_{b}(U). D’après la proposition III.6 il existe un unique g ∈ 𝒞_{b}(U) vérifiant g + (gφ( · , g))^{•}M_{U} = h donc g = (I + φ( · , g)^{•}M_{U})^{−1}h ≥ 0. Posons

s = p + (pφ( · , p))^{•}M_{U} − g − (gφ( · , g))^{•}M_{U}.

On a s ∈ 𝒮_{b}^{∗}(U) et

s = p − g + ϕ^{p,g}(p − g)^{•}M_{U} = (I + ϕ^{p,g}^{•}M_{U})(p − g).

Donc p − g ≥ 0 et par suite p ≥ g. Or p ∈ 𝒫̃(U), donc g ≡ 0, ainsi h ≡ 0 et par suite p + (pφ( · , p))^{•}M_{U} ∈ 𝒫(U).

VI.10. Corollaire. Soient φ: X × R → \overline{R} borélienne et M ∈ ℳ^{+}(ℋ ). On suppose que :

a) ℋ est parabolique sur tout ouvert de 𝒰 (ℋ ).

b) φ( · , 0) ∈ K_{M}^{Loc} .

c) φ est localement Kato–Lipschitzienne relativement à M.

d) φ est positive sur X × R. Alors, pour tout U ∈ 𝒰 (ℋ ) et pour tout p ∈ ℬ_{b}(U). On a : p ∈ 𝒫̃(U) si et seulement si p + (pφ( · , p))^{•}M_{U} ∈ 𝒫(U).

Nous remercions le Professeur W. Hansen pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail, le referee pour les remarques utiles et T. Mäkeläinen pour la réalisation en TEX de ce travail.

58 N. Bel Hadj Rhouma, A. Boukricha et M. Mosbah

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Reçu le 19 janvier 1996