COHOMOLOGIE DE L’ALGÈBRE TRIANGULAIRE ET APPLICATIONS

B. Bendiffalah — D. Guin

Laboratoire GTA, UMR 5030 Département de Mathématiques, case 051 Université Montpellier II place Eugène Bataillon 34 095 MONTPELLIER CEDEX 5, FRANCE.

Abstract

We study the Hochschild cohomology (and homology) H^{∗}(T, Λ) of the triangular

algebra T = ( \begin{matrix}A & M \\ 0 & B \end{matrix} ), with A and B unital algebras, M a A ⊗ B^{o}-module and Λ a

T -bimodule. We describe H^{∗}(T, Λ) as the cohomology of the cone complex of a morphism, simple to construct. In this way we not only recover immediatly the classical exact sequences of the field, but also, under the hypothesis that M is projective over A (or B^{o}), more precise exact sequences giving better insights for HH^{∗}(T) = H^{∗}(T, T) ; in particular when B^{o} = End_{A}(M) we get that HH^{∗}(T) ≅ HH^{∗}(A) as graded algebras. For instance, we get an isomorphism HH^{∗}(T) ≅ HH^{∗}(ϕ!), where ϕ : T ⟶ B is the canonical morphism and ϕ! is the algebra introduced by Gerstenhaber and Shack to study its deformations [GS].

Résumé

Soient K un anneau commutatif, deux K-algèbres associatives et unitaires A et B ainsi qu’un A ⊗ B^{o}-module M ; A, B et M sont, dans cet article, K-projectifs. L’algèbre “trian-

gulaire” associée à ces données est le K-module T = ( \begin{matrix}A & M \\ 0 & B \end{matrix} ) muni de la loi multiplicative

( \begin{matrix}a_{1} & m_{1} \\ 0 & b_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{2} & m_{2} \\ 0 & b_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & a_{1}m_{2} + m_{1}b_{2} \\ 0 & b_{1}b_{2} \end{matrix} ) . On note H^{∗}(T, Λ) la cohomologie de

Hochschild de T à coefficients dans un T -bimodule Λ. En exprimant H^{∗}(T, Λ) comme cohomologie du complexe cône d’un morphisme dont la construction est simple, nous obtenons, non seulement de manière immédiate les suites exactes connues sur le sujet, mais de plus, sous l’hypothèse que M est projectif sur A (ou sur B^{o}), des suites exactes plus précises permettant de mieux comprendre HH^{∗}(T) = H^{∗}(T, T) ; en particulier lorsque B^{o} = End_{A}(M), nous avons un isomorphisme d’algèbres graduées HH^{∗}(T) ≅ HH^{∗}(A).

Nous remercions le rapporteur de nous avoir signaler une erreur dans [BG, 4.2.9].

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Keywords : Hochschild Cohomology, Deformation Theory, Morphism Algebra, Relative Cohomology, Triangular Algebras, One-Point Extension. Classification :16E40 – 16S99 – 18A30.

§1. Le théorème général

Si l’homologie de Hochschild de l’algèbre T à coefficients dans un T -bimodule Λ est bien comprise, il n’en est pas de même pour la cohomologie de Hochschild H^{∗}(T, Λ). Le premier exemple “calculé” est celui où T est une extension ponctuelle (one-point extension) (i.e., B = K est un corps), on note alors T = A[M], auquel cas on a une suite exacte longue (∗ ≥ 1, cf. [H]) :

(1.1) ⋯ ⟶ HH^{∗}(A[M]) ⟶ HH^{∗}(A) ⟶ Ext_{A}^{∗}(M, M) ⟶ HH^{∗+1}(A[M]) ⟶ ⋯

Rappelons que la donnée d’un T -bimodule Λ est équivalente à celle de bimodules X_{1}, X_{2}, Y_{1} et Y_{2} (des modules sur B ⊗ A^{o}, B ⊗ B^{o}, A ⊗ A^{o} et A ⊗ B^{o}, respectivement) et de morphismes de bimodules f_{1} : M ⊗_{B} X_{1} ⟶ Y_{1}, f_{2} : M ⊗_{B} X_{2} ⟶ Y_{2}, φ_{X} : X_{1}⊗_{A}M ⟶ X_{2} et φ_{Y} : Y_{1} ⊗_{A} M ⟶ Y_{2}, tels que le diagramme de A ⊗ B^{o}-modules suivant commute

(1.2)  [figure: M ⊗_{B} X_{1} ⊗_{A} M; M ⊗_{B} φ_{X}; f_{1} ⊗_{A} M; M ⊗_{B} X_{2}; f_{2}; Y_{1} ⊗_{A} M; φ_{Y}; Y_{2}]

Il est plus commode d’employer la notation matricielle Λ = ( \begin{matrix}Y_{1} & Y_{2} \\ X_{1} & X_{2} \end{matrix} ) : l’on retrouve

alors la commutation de 1.1 dans l’associativité des actions “matricielles” (bilatères) de T sur Λ. De plus, l’écriture matricielle de T est cohérente avec sa structure de T -bimodule. La suite exacte (1.2) se généralise à toute algèbre triangulaire T en une suite exacte longue ([C1],[MP]) :

(1.3) ⋯⟶H^{∗}(T, Λ)⟶H^{∗}(A,Y_{1})⊕H^{∗}(B, X_{2})⟶Ext_{A⊗B^{o}}^{∗}(M,Y_{2})⟶H^{∗+1}(T, Λ)⟶⋯

Pour le cas général, nous pensons que l’obstruction à l’explicitation de H^{∗}(T, Λ) est concentrée dans le bicomplexe ci-dessous :

\xymatrix{⋯ \ar[d]_{∂^{A}} & ⋯ \ar[d]_{−∂^{A}⊗B^{o}} & ⋯ \ar[d]_{∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗2}} & ⋯ \ar[d]_{−∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗3}} \\ A^{⊗2} ⊗ M \ar[d]_{∂^{A}} & A^{⊗2} ⊗ M ⊗ B^{o} \ar[l]_{A^{⊗2}⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{−∂^{A}⊗B^{o}} & A^{⊗2} ⊗ M ⊗ (B^{o})^{⊗2} \ar[l]_{A^{⊗2}⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗2}} & A^{⊗2} ⊗ M ⊗ (B^{o})^{⊗3} ⋯ \ar[l]_{A^{⊗2}⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{−∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗3}} \\ A ⊗ M \ar[d]_{∂^{A}} & A ⊗ M ⊗ B^{o} \ar[l]_{A⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{−∂^{A}⊗B^{o}} & A ⊗ M ⊗ (B^{o})^{⊗2} \ar[l]_{A⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗2}} & A ⊗ M ⊗ (B^{o})^{⊗3} ⋯ \ar[l]_{A⊗∂^{B^{o}}} \ar[d]_{−∂^{A}⊗(B^{o})^{⊗3}} \\ 0 & M ⊗ B^{o} \ar[l]_{∂^{B^{o}}} & M ⊗ (B^{o})^{⊗2} \ar[l]_{∂^{B^{o}}} & M ⊗ (B^{o})^{⊗3} ⋯ \ar[l]_{∂^{B^{o}}}}

où ∂^{A} et ∂^{B^{o}} dénotent les différentielles des bar-résolutions de M (vu comme module sur A ou sur B^{o}). En effet, si l’on note C_{∗}^{A,B^{o}}(M) son complexe total et C_{tri}^{∗}(M, Y_{2}) =

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Hom_{A⊗B^{o}}(C_{∗}^{A,B^{o}}(M), Y_{2}), le théorème général que nous obtenons est une équivalence d’homotopie entre le complexe de Hochschild C^{∗}(T, Λ) et le cône d’un certain morphisme surjectif de complexes, naturellement attaché à Λ,

C^{∗}(A, Y_{1}) ⊕ C_{tri}^{∗}(M, Y_{2}) ⊕ C^{∗}(B, X_{2}) \underrightarrow{λ^{∗}} C^{∗}(A, Hom_{B^{o}}(M, Y_{2})) ⊕ C^{∗}(B, Hom_{A}(M, Y_{2})) .

Nous renvoyons à [BG] pour plus de détails sur ce résultat et la définition de λ^{∗}. Remarquons que cette approche mène immédiatement à la suite exacte 1.3. et que nous avons également une version homologique de ces résultats.

L’intéret de cette démarche est, d’une part, la facilité de sa mise en oeuvre (par rapport a l’étude des suites spectrales associées au bicomplexe) et, d’autre part, de fournir, dans le cas où M est “partiellement projectif”, une seconde suite exacte longue, beaucoup plus précise que 1.3.

§2. La seconde suite exacte longue.

Pour tout T -bimodule Λ (notations de §1), introduisons le morphisme de A-bimodules f̃: X_{2} ⟶ Hom_{A}(M, Y_{2}), adjoint de f_{2}. Il induit un morphisme de complexes de Hochschild C^{∗}(B, f̃), dont nous notons cône^{∗}(f̃) le cône (cf. [B]).

Théorème. Si M est A-projectif, nous avons une suite exacte longue

⋯ ⟶ H^{∗}(T, Λ) ⟶ H^{∗}(A, Y_{1}) ⟶ H^{∗+1}[cône^{∗}(f̃)] ⟶ H^{∗+1}(T, Λ) ⟶ ⋯

où le morphisme H^{∗}(T, Λ) ⟶ H^{∗}(A, Y_{1}) est la restriction d’un des morphismes de 1.1.

On considère maintenant le cas Λ = T. La structure bimodulaire de M définit un morphisme d’algèbres β : B ⟶ (End_{A}M)^{o} qui joue le rôle de f̃. Le théorème ci-dessus se traduit alors de la manière suivante.

Corollaire 1. Si M est A-projectif, on a une longue suite exacte

⋯ ⟶ H^{∗}(cône^{∗}(β)) ⟶ HH^{∗}(T) ⟶ HH^{∗}(A) ⟶ H^{∗+1}(cône^{∗}(β)) ⟶ ⋯

En particulier : si B = (End_{A}M)^{o}, β est un isomorphisme (l’identité), donc H^{∗}(cône^{∗}(β)) = 0. D’où le corollaire suivant :

Corollaire 2. Si M est A-projectif de type fini et si B = (End_{A}M)^{o}, nous avons un isomorphisme d’algèbres graduées : HH^{∗}(T) ≃ HH^{∗}(A).

Remarques. 1) L’hypothèse que M est de type fini sur A n’est là que pour assurer que End_{A}(M) est un K-module projectif. En particulier, elle n’est pas nécessaire si K est un anneau semi-simple. 2) En dualisant la preuve du théorème, ou en utilisant l’isomorphisme

d’anneaux T^{o} ≅ ( \begin{matrix}B^{o} & M \\ 0 & A^{o} \end{matrix} ), on obtiendrait des résultats similaires si M était B^{o}-projectif.

3) Par exemple : si M est B^{o}-projectif de type fini et A=End_{B^{o}}(M),

HH^{∗}(T)≃HH^{∗}(B) .
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Un calcul : les matrices triangulaires “par blocs” (l’exemple de Wodzicki [W]). Soit une suite d’entiers strictement positifs ν = (n_{1}, …, n_{d}) et n = n_{1} + ⋯ + n_{d}. L’algèbre T_{ν}(A) est representée par la matrice n × n triangulaire par blocs

T_{ν}(A) = ( \begin{matrix}M_{n_{1}n_{1}}(A) & M_{n_{1}n_{2}}(A) & ⋯ & M_{n_{1}n_{d}}(A) \\ 0 & M_{n_{2}n_{2}}(A) & ⋯ & M_{n_{2}n_{d}}(A) \\ 0 & 0 & & ⋮ \\ ⋮ & & & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & M_{n_{d}n_{d}}(A) \end{matrix} ) .

Montrons que HH^{∗}(T_{ν}(A)) ≃ HH^{∗}(A).

Nous procédons par récurrence : si d = 1, T_{ν}(A) = M_{nn}(A) et est Morita-équivalente à l’algèbre A, d’où HH^{∗}(T_{ν}(A)) ≃ HH^{∗}(A). Supposons d > 1 : nous avons un isomor-

phisme T_{ν}(A) = ( \begin{matrix}T_{ν′}(A) & M \\ 0 & M_{n_{d}n_{d}}(A) \end{matrix} ), où ν′ = (n_{1}, …, n_{d−1}) et M = M^{′n_{d}}, où M′ est

une copie de la dernière colonne de T_{ν′}(A). Donc, comme M′, M est un T_{ν′}(A)-module projectif de type fini. L’écriture matricielle de l’algèbre T_{ν′}(A) est une décomposition de Peirce relativement à n_{1} + ⋯ + n_{d−1} idempotents orthogonaux ; donc, pour chaque module projectif P défini par une colonne, l’on trouve (End_{T_{ν′} (A)}P)^{o} à l’intersection avec la diagonale : l’on obtient ainsi l’isomorphisme (End_{T_{ν′} (A)}M′)^{o} ≅ A et, pour M = M^{′n_{d}}. Nous en déduisons l’isomorphisme (End_{T_{ν′} (A)}M)^{o} ≅ M_{n_{d}n_{d}}(A). Avec la remarque 3, nous obtenons HH^{∗}(T_{ν}(A)) ≅ HH^{∗}(T_{ν′}(A)) et, de là, la conclusion.

§3. Applications.

Nous donnons deux exemples d’algèbres triangulaires T, où l’hypothèse de projectivité partielle est naturelle.

Extensions séparables. Nous nous intéressons à l’hypothèse HH^{∗}(B) = 0 pour ∗ ≥ 1. Elle est vérifiée, en particulier, si B = K ou si B est une K-algèbre séparable ; mais aussi : si B est l’algèbre d’incidence d’un ensemble partiellement ordonné dont le carquois est un arbre (cf. [C2]) ou ayant un seul élément maximal (ou minimal, cf. [GR]). Si, de plus, nous supposons que M est B^{o}-projectif, la remarque 3 donne des isomorphismes :

HH^{i}(T) ≃ H^{i}(cône^{∗}(α)) , i ≥ 2 ,

où α : A ⟶ End_{B^{o}}(M) est le morphisme canonique d’algèbres. La longue suite exacte du cône associée à C^{∗}(A, α) donne alors la proposition suivante.

Proposition 1. Nous avons une suite exacte longue (∗ ≥ 2) :

⋯⟶ H^{∗−1}(A, End_{B^{o}}M) ⟶ HH^{∗}(T) ⟶ HH^{∗}(A) ⟶ H^{∗}(A, End_{B^{o}}M) ⟶⋯

La suite exacte ci-dessus est une généralisation de 1.2 ([H]) puisque, si K est un corps, H^{∗}(A, End_{B^{o}}M) ≃ Ext_{A}^{∗}(M, M) ([CE], Prop. 4.3, p.170).

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Déformations de morphismes. Dans l’étude des déformations de diagrammes d’algèbres, Gerstenhaber et Shack ([GS]) ont montré que, si ϕ : B ⟶ A est un morphisme d’algèbres, ses déformations sont contrôlées par la cohomologie de Hochschild de l’algèbre

ϕ! = ( \begin{matrix}A & A_{ϕ} \\ 0 & B \end{matrix} )

où A_{ϕ} = A est muni de la structure de A ⊗ B^{o}-module donnée par la structure naturelle de A-module à gauche et celle de B-module à droite induite par ϕ.

Proposition 2. Soient un morphisme surjectif d’algèbres ϕ : C ⟶ D et un idempotent e ∈ C, tels que Ker ϕ = eC, alors HH^{∗}(ϕ!) ≅ HH^{∗}(C).

Cette proposition renverse le point de vue de Gerstenhaber et Shack : la cohomologie

de Hochschild de toute algèbre triangulaire T = ( \begin{matrix}A & M \\ 0 & B \end{matrix} ) est celle de l’algèbre du mor-

phisme canonique T ⟶ B. En particulier : toute extension ponctuelle A[M] possède une

coünité canonique ϕ : A[M] ⟶ K, ϕ ( \begin{matrix}a & m \\ 0 & k \end{matrix} ) = k, et nous obtenons un isomorphisme :

HH^{∗}(A[M]) ≅ HH^{∗}(ϕ!) .

Références bibliographiques

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[AMA - Algebra Montpellier Announcements - 01-2003] [September 2003]

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