Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 38 (1997), No. 2, 315-323.

Schwache Kongruenzebenen

Erhard Quaisser

Universität Potsdam, Institut für Mathematik Postfach 60 15 53, D-14415 Potsdam

Abstract. In this paper congruence planes with weak conditions on the congruence relation are investigated. Well-known and “trivial” properties (congruence axioms) from a lot of relevant papers receive a new rank and signification. Remarkable is the “conjugate” congruence relation.

1. Ausgangspositionen

1.1. Basisstruktur

Eine Struktur (P, L,⊥) heißt prä-euklidische Ebene, wenn (P, L) eine affine Ebene mit P als Punkt- und L als Geradenmenge ist und wenn ⊥ eine binäre Relation (Orthogonalität) in L ist, die auf der Ferngeraden eine fixpunktfreie Transformation (Ω) induziert. Damit ist eine Verträglichkeit der Orthogonalität mit der Parallelität sowie die Existenz und Eindeutigkeit von Loten gegeben. Die Symmetrie der Orthogonalitätsrelation wird hier bewußt nicht vorausgesetzt. Ist a⊥b, dann wird b ein Rechtslot von a und a ein Linkslot von b genannt. Die Bezeichnung “euklidisch” bezieht sich auf die Nichtexistenz selbstorthogonaler Geraden.

Jede affine Ebene (P, L) läßt sich zu einer prä-euklidischen Ebene metrisieren.

Für das Minimalmodell einer affinen Ebene, für die affine Ebene über GF(2) ist das trivial. Hier kann wegen der geforderten Fixpunktfreiheit der induzierten Transformation auf der Ferngeraden keine der eingeführten Orthogonalitätsrelationen symmetrisch sein.

In allen anderen affinen Ebenen gibt es voneinander verschiedene Punkte A und B sowie eine Gerade c mit A, B ∉ c, die die Verbindungsgerade AB schneidet. Eine Orthogonalitätsrelation ⊥ kann nun konstruktiv und im theoretischen Sinne elementar so eingeführt werden, daß AB⊥c, c⊥AB und SA⊥SB für alle S ∈ c\AB ist. (Sie ist dadurch eindeutig bestimmt.) Diese Relation ⊥ ist im allgemeinen nicht symmetrisch. Sie ist in

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1997 Heldermann Verlag einer Translationsebene von Charakteristik ≠ 2 symmetrisch, falls der Schnittpunkt von AB und c der Mittelpunkt von A, B ist.

Für ein weiteres Beispiel setzen wir eine nicht fanosche Desarguessche Ebene, also eine affine Ebene über einem nicht notwendig kommutativen Körper K von Charakteristik ≠ 2 voraus. Die Gültigkeit eines speziellen Höhenschließungssatzes führt zu einer Relation ⊥, die sich analytisch wie folgt beschreiben läßt ([8]):

(a_{1}, a_{2})⊥(b_{1}, b_{2}) ⟺ λa_{2}^{−1}a_{1} + b_{1}^{−1}b_{2} = 0 für a_{2}, b_{1} ≠ 0
und (a_{1}, 0)⊥(0, b_{2}) für a_{1}, b_{2} ≠ 0

wobei λ eine von 0 und −1 verschiedene Konstante aus K ist.

Diese Relation ist euklidisch im obigen Sinne genau dann, wenn −λ ∉ K^{2} ist, und sie ist symmetrisch genau dann, wenn −λ im Zentrum von K liegt.

Dieses Beispiel macht deutlich, daß der Verzicht auf eine Symmetrieforderung für die Orthogonalitätsrelation keineswegs abwegig ist.

Wegen der Metrisierbarkeit jeder affinen Ebene zu einer prä-euklidischen ist mit der ebenen prä-euklidischen Geometrie eine Basis für die weiteren Untersuchungen gegeben, die bewußt sehr schwach angelegt ist.

1.2. Spiegelungsgeometrisch darstellbare prä-euklidische Ebenen (SGD-Ebenen)

Wir gehen von einem schwachen Begriff von Orthogonalspiegelungen an Geraden aus. Eine Transformation σ : ℙ → ℙ heißt Rechtsspiegelung an der Geraden a genau dann, wenn folgende Eigenschaften bestehen (Fig. 1):

(a) P ∈ a ⟺ P = P′,

(b) P ∉ a ⟹ a⊥P P′ und für alle A ∈ a\P P′ und Q ∈ P P′\a gilt P ar(P AP′) = P ar(QAQ′) ∈ a,

(c) P Q ∥ a ⟹ P′Q′ ∥ a für alle P, Q(≠ P) ∉ a.

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} P′ Q′  Q P A a^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}

Fig. 1

Eine Linksspiegelung sei entsprechend erklärt. Dabei bezeichnet P ar(ABC) denjenigen Punkt D, der drei nicht kollinare Punkte A, B und C zum Parallelogramm ABCD ergänzt.

Die Existenz und Eindeutigkeit derartiger Spiegelungen ist in prä-euklidischen Ebenen offen. Man erkennt leicht, daß sie involutorisch sind und daß auf Grund der Forderung (c) das Bild σ(g) einer Geraden g bei einer Spiegelung σ an einer Gerade a wieder eine Gerade und überdies zu a parallel ist, wenn g ∥ a ist.

Indem man Rechts- und Linksspiegelungen als Erzeugende zugrunde legt, kann man in Analogie zu bekannten Vorgehensweisen ([1], S. 34) die Gruppenebene (Π, Λ, ⊥) einer prä-euklidischen Ebene (P, L, ⊥) erklären ([10]).

Eine prä-euklidische Ebene (P, L, ⊥) wird spiegelungsgeometrisch darstellbar genannt, wenn ihre Gruppenebene (Π, Λ, ⊥) in gewisser kanonischer Weise isomorph zu (P, L, ⊥) ist. (Vgl. [10] und Darstellbarkeitsforderung (c^{∗}) in [9].) In [10] wird folgender Charakterisierungsatz gezeigt:

Satz 1.1. Eine prä-euklidische Ebene (P, L,⊥) ist spiegelungsgeometrisch darstellbar genau dann, wenn die affine Inzidenzstruktur (P, L) eine Translationsebene von Charakteristik ≠ 2 ist.

Prä-euklidische Ebenen, die spiegelungsgeometrisch darstellbar sind, werden im folgenden kurz SGD-Ebenen genannt. Sie sind nach dem Satz 1.1 inzidenzgeometrisch Translationsebenen von Charakteristik ≠ 2, sie besitzen an jeder Geraden g genau eine Rechtsspiegelung σ_{gR} und genau eine Linksspiegelung σ_{gL} und man erkennt: Wenn a⊥b und C der Schnittpunkt von a, b ist, dann ist σ_{bL} ∘ σ_{aR} = σ_{aR} ∘ σ_{bL} und gleich der Punktspiegelung an C.

2. Kongruenzen in SGD-Ebenen

2.1. Kongruenzbegriff

In SGD-Ebenen gibt es zu je zwei voneinander verschiedenen Punkten A und B den Mittelpunkt (kurz Mp(A, B)) und durch diesen sowohl das Rechtslot als auch das Linkslot zu AB. Diese Lote heißen das Rechts- bzw. Linksmittellot von (A, B) und werden mit m_{R}(A, B) bzw. m_{L}(A, B) bezeichnet. Überdies steht die bekannte Parallelgleichheit # als zweistellige Relation in der Menge der geordneten Punktepaare zur Verfügung.

Es ist nun naheliegend, in einer SGD-Ebene Kongruenzen ≡_{R} und ≡_{L} als zweistellige Relationen in der Menge der Punktepaare wie folgt einzuführen:

Definition. AB ≡_{R} CD genau dann, wenn für den Punkt B′, der durch AB′#CD bestimmt ist, entweder B = B′ oder A ∈ m_{R}(B, B′) gilt (Fig. 2).

Nach dieser Definition gilt für je zwei verschiedene Punkte A und B:

C ∈ m_{R}(A, B) ⟺ CA ≡_{R} CB.

Die Relation ≡_{L} sei völlig entsprechend mit dem Linksmittellot erklärt.

._{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} A  B′B m_{R}(B, B′) C  D^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}

Fig. 2

2.2. Eigenschaften

Im folgenden steht ≡ sowohl für die Relation ≡_{R} als auch für ≡_{L}. Zunächst werden Eigenschaften untersucht, die in einer Vielzahl von einschlägigen Publikationen über Kongruenzebenen als triviale Forderungen an die zugrunde gelegte Kongruenzrelation gestellt werden; so etwa die, daß sie eine Äquivalenzrelation ist.

Anhand der Definition sind offensichtlich:

Lemma 2.1.

a. Die Parallelgleichheit # ist eine Teilrelation von ≡.
b. ≡ ist reflexiv und symmetrisch.
c. Aus AB ≡ CD und CD#EF folgt AB ≡ EF.
d. Es gilt AB ≡ BA für alle Punkte A, B.
e. Aus AB ≡ AA folgt B = A.
f. Aus AB ≡ CD, CD ≡ EF und AB ∥ CD ∥ EF folgt AB ≡ EF.

Mit der letzten Aussage f. liegt eine schwache Transitivitätseigenschaft von ≡ vor. Überdies ist leicht einsichtig

Lemma 2.2. Aus AB ≡ CD folgt BA ≡ DC.

Die vielfach benutzte Eigenschaft

AB ≡ CD ⟹ AB ≡ DC.

gilt hier im allgemeinen nicht. Wir zeigen

Satz 2.3. AB ≡_{R} CD ⟺ AB ≡_{L} DC.

Beweis. Es sei AB ≡_{R} CD, und überdies seien A, B und der durch AB′#CD bestimmte Punkt B′ nicht kollinear, sonst ist die Behauptung trivial. Ferner sei noch B′′ derjenige Punkt, für den AB′′#DC gilt. Nach der Voraussetzung ist A ∈ m_{R}(B, B′). Wegen A = Mp(B′, B′′) gilt m_{R}(B, B′) ∥ BB′′ und damit A ∈ m_{L}(B, B′′). Somit ist nach Definition AB ≡_{L} DC. Der umgekehrte Schluß ist auf die gleiche Weise klar.

Die volle Transitivität von ≡ hat erhebliche Bedingungen an die SGD-Ebene zur Folge, wie folgender Satz zeigt.

Satz 2.4. Die Transitivität von ≡_{R} ist sowohl mit dem Höhenschließungssatz als auch mit dem Satz von Pappos äquivalent (gilt entsprechend für ≡_{L}).

Beweis. Wir setzen die Transitivität von ≡_{R} voraus. Dann fallen die Relationen ≡_{R} und ≡_{L} sowie die Rechts- und Linkslote jeweils zusammen. (Siehe Lemma 2.1.d und Satz 2.3)

Ist nun ABD irgendein Dreieck, dann schneiden sich wegen AB ∦ BC die Mittellote m(A, B) und m(B, C) in einem Punkt M. Mit MA ≡ MB und MB ≡ MC ist auf Grund der Transitivität MA ≡ MC und damit M ∈ m(C, A), d.h., in jedem Dreieck schneiden sich die Mittellote in einem gemeinsamen Punkt. Daraus folgt die Gültigkeit des Höhenschließungssatzes für jedes Dreieck. (Vgl. z.B. [2].)

In der zugrundeliegenden Geometrie ist dieser Satz mit der Gültigkeit des Satzes von Pappos äquivalent. (Siehe u.a. [6].) Schließlich ist nun einsichtig, daß die Gültigkeit des Höhenschließungssatzes für Rechtslote die Transitivität von ≡_{R} zur Folge hat.

In SGD-Ebenen können notwendige und hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit von weiteren Kongruenzeigenschaften untersucht werden, die in der Literatur vor allem zur Charakterisierung von speziellen Kongruenzebenen benutzt werden. Eine solche ist zum Beispiel

W2. Ist ABC ein Dreieck mit AB ≡ AC und D ∈ AB, E ∈ AC sowie DE ∥ BC, dann gilt AD ≡ AE. (Siehe u.a. [3].)

Satz 2.5. Die Kongruenzaussage W2 (für ≡_{R} oder ≡_{L}) ist äquivalent mit folgendem speziellen Parallelogramm-Desargues: Sind ABF C und ADGE Parallelogramme mit D ∈ AB, E ∈ AC und BC ∥ DE, und sind überdies die Diagonalen AF und BC orthogonal zueinander, dann gilt G ∈ AF (Fig. 3).

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} A  B  D C E  F  G

Fig. 3

Beweis. a) Aus den Prämissen von W2 (für ≡_{R}) folgt zunächst A ∈ m_{R}(B, C) und DE⊥AF. Mit dem speziellen Parallelogramm-Desargues ergibt sich daraus G ∈ AF und damit A ∈ m_{R}(D, E), also AD ≡_{R} AE.

b) Umgekehrt setzen wir jetzt die Gültigkeit von W2 für ≡_{R} voraus. Aus den Prämissen des speziellen Parallelogramm-Desargues folgt dann AB ≡_{R} AC, falls AF ein Rechtslot von BC ist. Nach W2 gilt dann AD ≡_{R} AE und damit G ∈ AF.

Im Falle AF ⊥BC kann folgende Eigenschaft genutzt werden. In Translationsebenen folgt aus der Gültigkeit des Parallelogramm-Desargues für den Fall, daß die parallelen Diagonalen BC und DE in einer festen Richtung ρ_{1} und die Diagonale AF in einer festen Richtung ρ_{2} liegen, auch die Gültigkeit dieser Aussage unter der Voraussetzung, daß BC, DE in der Richtung ρ_{2} und AF in der Richtung ρ_{1} enthalten sind. Dies bedeutet, daß mit der Gültigkeit von W2 für ≡_{R} auch W2 für ≡_{L} gilt.

Anmerkung. Die Geradentreue der Geradenspiegelungen steht hier nicht generell zur Verfügung.

3. Charakterisierung der SGD-Ebenen als affine Ebenen mit Kongruenz

In einer Fülle von Arbeiten sind vielfältige ebene metrische Strukturen mit Eigenschaften über Kongruenzen (Kongruenzaxiome) begründet und charakterisiert worden, so u.a. von Baer, Hilbert, Karzel, Kist, Kroll, Kustaanheimo, Quaisser, Schnabel, E. M. Schröder, Sörensen, Stanik, Wähling, Windelberg. Im folgenden geht es vor allem um eine mögliche Charakterisierung der SGD-Ebenen als affine Ebenen mit speziellen Kongruenzeigenschaften. Die Forderungen an die Kongruenz ≡ (Kongruenzaxiome) sind durch die unter 2.2 ausgewiesenen Eigenschaften gerechtfertigt, die sich bewußt an bekannten Kongruenzaxiomen orientieren.

3.1. Erste Aufbaustufe

Es sei (P, L, ≡) eine Struktur mit folgenden Eigenschaften:

a) (P, L) ist affine Ebene,

b) ≡ ist eine binäre Relation in P × P, für die gilt:

K1. AA ≡ BB für alle A, B ∈ P.
K2. AB ≡ CD ⟹ BA ≡ DC.
K3. AB ≡ CD ⟹ CD ≡ AB (Symmetrie).
K4. Ist AB ≡ CD und CDF E ein Parallelogramm, dann gilt AB ≡ EF.
K5. Ist ABCD Viereck und AB ∥ CD, dann gilt:

AB ≡ CD ⟺ A = P ar(BCD) ∨ A = P ar(BDC).

Aus K4 und K5 folgen:

V. AB ≡ BA für alle A, B ∈ P.
R. AB ≡ AB für alle A, B ∈ P (Reflexivität).
T’. Aus AB ≡ CD und CD ≡ EF und AB ∥ CD ∥ EF folgt AB ≡ EF

(schwache Transitivität).

Von struktureller Bedeutung ist

Satz 3.1. (P, L, ≡) ist Translationsebene und entweder von Charakteristik ≠ 2 oder fanosch.

Dabei heißt eine affine Ebene (P, L) fanosch, wenn P ar(P QR) = P ar(QRP) für alle Dreiecke P QR gilt.

Beweis. Ein entsprechender Satz wird in [5] unter der Voraussetzung bewiesen, daß die Kongruenz ≡ eine Äquivalenzrelation ist und daß K5 gilt. Bei den Beweisen selbst kommt man aber tatsächlich mit der schwachen Form T’ der Transitivität aus.

Die folgende Überlegung zeigt, daß die bisherigen Kongruenzaxiome noch nicht zu einer Charakterisierung der SGD-Ebenen ausreichen.

Es sei (P, L) eine Translationsebene und AB ≡_{T} CD :⟺ AB#CD ∨ AB#DC. Man erkennt leicht, daß (P, L, ≡_{T}) eine Kongruenzebene im obigen Sinne ist, d.h., daß die Kongruenzforderungen K1, K2, K3, K4 und K5 erfüllt sind.

Im Anschluß an den Satz 3.1. sind noch unmittelbar einsichtig

Lemma 3.2. a. Die Relation # und damit ≡_{T} sind in ≡ enthalten. b. Die Relation ≡ ist gegenüber Translationen invariant.

3.2. Konjugierte Kongruenz

Es sei (P, L, ≡) eine Kongruenzebene mit K1, K2, K3, K4 und K5. Wir setzen

Definition. AB ≡^{∗} CD :⟺ AB ≡ DC; ≡^{∗} heißt die zu ≡ konjugierte Kongruenz.

Auf Grund der Eigenschaften V und T’ gilt

Lemma 3.3. Wenn AB ∥ CD, dann AB ≡^{∗} CD :⟺ AB ≡ CD.

Folglich gilt für ≡^{∗} auch Lemma 3.2. Weiterhin zeigt man leicht

Satz 3.4. Die Relation ≡^{∗} besitzt die Eigenschaften K1, K2, K3, K4 und K5.

Lemma 3.5. Es ist (≡^{∗})^{∗} = ≡ .

Lemma 3.6. Die Relationen ≡^{∗} und ≡ sind genau dann gleich, wenn für ≡ die Eigenschaft AB ≡ CD ⟹ AB ≡ DC gilt.

3.3. Weiterer Aufbau

Im folgenden bezeichnen m(A, B) und m^{∗}(A, B) die Punktmengen {X : XA ≡ XB} bzw. {X : XA ≡^{∗} XB}, wobei A, B voneinander verschiedene Punkte sind. Die folgende zusätzliche Forderung an die Kongruenz ≡ wird in gleicher Weise an ihre Konjugierte ≡^{∗} gestellt.

K6. Sind A, B zwei voneinander verschiedene Punkte, dann sind die Punktmengen
m(A, B) und m^{∗}(A, B) Geraden, und diese schneiden AB.

Wie die im Anschluß an den Satz 3.1. vorgelegte Kongruenzebene (P, L, ≡_{T}) zeigt, folgt dieses Axiom K6 nicht aus dem bisherigen System {K1,…, K5}.

Lemma 3.7. (P, L, ≡) ist eine Translationsebene von Charakteristik ≠ 2.

Beweis. Nach dem Satz 3.1. ist nur noch zu zeigen, daß es ein Parallelogramm mit sich schneidenden Diagonalen gibt.

Aus K6 folgt die Existenz eines Dreiecks ABC mit CA ≡ CB. Für den Punkt D := P ar(ACB) ergibt sich nach K4, K3 und K2 die Kongruenz DA ≡ DB. Die Diagonale CD ist also gleich m(A, B), und nach K6 schneidet diese Diagonale AB.

Damit sind einsichtig

Lemma 3.8. m(A, B) und m^{∗}(A, B) schneiden AB im Mittelpunkt Mp(A, B). Lemma 3.9. Aus AB ≡ AA folgt B = A.

Vor Einführung einer Orthogonalität stellen wir noch zwei Hilfssätze bereit.

Lemma 3.10. Sind A, B, C, D vier Punkte mit Mp(A, B) = Mp(C, D), dann gilt: CD = m(A, B) ⟺ AB = m^{∗}(C, D).

Beweis. Gilt CD = m(A, B), dann ist auf Grund der Prämissen ACBD ein Parallelogramm und es gilt CA ≡ CB sowie DA ≡ DB. Daraus folgt (nach K4 und K3) BD ≡^{∗} BC und AD ≡^{∗} AC und damit AB = m^{∗}(C, D).

Lemma 3.11. Es gilt AB ∥ CD ⟺ m(A, B) ∥ m(C, D).

Beweis. Es seien E, F zwei verschiedene Punkte auf m(A, B) mit Mp(E, F) = Mp(A, B). Bei der Translation, die Mp(A, B) in Mp(C, D) überführt, gehen A, B, E und F in Punkte A′, B′, E′ und F′ derart über, daß E′F′ = m(A′, B′) und Mp(E′, F′) = Mp(A′, B′) (= Mp(C, D)) ist. Nach dem Lemma 3.10. gilt A′B′ = m^{∗}(E′, F′).

Ist nun AB ∥ CD, so ist A′B′ = CD und damit CD = m^{∗}(E′, F′). Daraus folgt nach dem Lemma 3.10. dann E′F′ = m(C, D) und wegen E′F′ ∥ EF schließlich die Behauptung. Die Umkehrung ist in entsprechender Weise einsichtig.

Diese Beweise zeigen, daß die konjugierte Kongruenz ≡^{∗} hilfreich sein kann. Wir führen nun eine Orthogonalität wie folgt ein:

Definition. Es sei a⊥b genau dann, wenn es Punkte C, D ∈ a mit b ∥ m(C, D) gibt.

Nach den Sätzen 3.11., 3.10. und 3.9. ist einsichtig, daß a⊥b äquivalent mit der Existenz von Punkten E, F ∈ b mit m^{∗}(E, F) ∥ a ist und daß schließlich gilt

Satz 3.12. Die Relation ⊥ induziert auf der Ferngeraden eine fixpunktfreie Transformation.

Die durch K1 – K6 bestimmten Kongruenzebenen (P, L, ≡) sind nach Satz 1.1. also SGD-Ebenen.

Die Darlegungen ergeben:

- Die Theorie der SGD-Ebenen und die der Kongruenzebenen (mit K1–K6) sind wechselseitig ineinander interpretierbar. Im einzelnen besteht folgender Zusammenhang:

Es sei (P, L) eine Translationsebene von Charakteristik ≠ 2. Ist ⊥ eine binäre Relation in L, die auf der Ferngeraden eine fixpunktfreie Transformation induziert, dann bezeichne K(⊥) die durch die Definition (unter 2.1) bestimmte (Kongruenz-)Relation in P × P. Und ist umgekehrt ≡ eine binäre Relation in P × P mit den Eigenschaften K1–K6, dann bezeichne Ω(≡) die durch die obige Definition bestimmte Orthogonalitätsrelation in L. Dann ist bemerkenswert, daß Ω(K(⊥)) = ⊥ und K(Ω(≡)) = ≡ .

- Jede Translationsebene von Charakteristik ≠ 2 läßt sich zu einer Kongruenzebene metrisieren, in der die Bedingungen K1,…,K6 gelten.

Letzteres macht deutlich, daß sich hier ein breiter Spielraum für einen Stufenaufbau von (euklidischen) Kongruenzebenen eröffnet. Nach der ersten Aufbaustufe (siehe 3.1) können noch pseudoeuklidische und parabolische sowie fanosche (Charakteristik=2) Typen einbezogen werden. (Dementsprechende Darlegungen sind geplant.)

Literatur

[1] Bachmann, F.: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Springer Berlin-Göttingen-Heidelberg 1959.

[2] Baer, R.: The Fundamental Theorems of Elementary Geometry. An Axiomatic Analysis. Trans. Amer. Math. Soc. 56 (1944), 94–129.

[3] Karzel, H.: Fanosche metrische affine Ebenen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 43 (1975), 166–178.

[4] Karzel, H.; Sörensen, K.; Windelberg, D.: Einführung in die Geometrie. UTB (Nr. 184), Vandenhoeck & Ruprecht Göttingen 1973.

[5] Karzel, H.; Stanik, R.: Metrische affine Ebenen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 49 (1979), 237–243.

[6] Lenz, H.: Grundlagen der Elementarmathematik. Dt. Verlag d. Wiss. Berlin 1975.

[7] Quaisser, E.: Metrische Relationen in affinen Ebenen. Math. Nachr. 48 (1970), 1–31.

[8] Quaisser, E.: Zu einer Orthogonalitätsrelation in Desarguesschen Ebenen (der Charakteristik ≠ 2). Beiträge zur Algebra und Geometrie 4 (1975), 71–84.

[9] Quaisser, E.: Darstellbarkeitsfragen im Rahmen der ebenen pseudoeuklidischen Geometrie. Univ. Potsdam, FB Mathematik, Preprint 92/15 (1992).

[10] Quaisser, E.: Lower levels of Euclidean Planes. Preprint (in preparation).

Received November 12, 1996