Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 40 (1999), No. 2, 417-436.

Produit tensoriel tressé et Algèbre de Lie dans une catégorie tressée

A. Haddi S. Hadj Nassar

Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Tétouan B.P 2121 e-mail: haddi-aziz@hotmail.com

Laboratoire SD-TAS, Faculté des Sciences et techniques, Tanger B.P 416 e-mail: hadjnassar@fstt.ac.ma

Résumé. Dans une catégorie tensorielle tressée ζ = (ζ, ⊗, I) nous introduisons la notion de produit tensoriel tressé. Dans le cas où ζ est une Ab-catégorie nous proposons une définition d’algèbre de Lie dans ζ comme conséquence d’une surprenante relation entre l’anticommutativité et l’identité de Jacobi. Enfin, comme exemple d’application du produit tensoriel tressé nous montrons que A ⊗_{ζ} g est une algèbre de Lie de ζ chaque fois que A est une algèbre commutative de ζ et g une algèbre de Lie de ζ. Lorsque ζ est abélienne, nous définissons Prim(A) l’objet primitif d’une bigèbre A de ζ et nous montrons que Prim(A) est une algèbre de Lie de ζ. Finalement, nous formulons la notion de dérivation d’une algèbre A de ζ, comme dans le cas classique, nous obtenons que Der(A) est une algèbre de Lie de ζ.

Introduction

Les résultats de cet article se basent sur le concept de catégorie tressée introduit par Joyal et Street en 1991 (cf. [3]). Au paragraphe 1, nous introduisons la notion de produit tensoriel tressé généralisant le produit tensoriel tressé de deux algèbres évoqué par Baez [1] et mettons en évidence quelques unes de ses propriétés.

En procédant comme Manin (cf. [7], p.81), nous proposons au paragraphe 2, une définition d’ algébre de Lie dans une Ab-catégorie tensorielle tressée ζ, de telle sorte que si (A, m) est une algèbre associative de ζ, A munie du crochet [·, ·] = m − m ∘ c_{A} est une algèbre de Lie

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 1999 Heldermann Verlag

de ζ où c_{A} est le tressage de l’objet A. Au paragraphe 3 nous donnons quelques propriétés des algèbres de Lie de ζ. Plus précisément, nous montrons que l’objet primitif d’une bigèbre A d’une catégorie tensorielle tressée abélienne ζ possède une structure d’algèbre de Lie de ζ. Enfin, en nous plaçant dans une catégorie de k-modules, nous construisons un automorphisme c̃: Der(A)⊗_{k} Der(A) → Der(A)⊗_{k} Der(A) vérifiant l’équation de Yang-Baxter. Il existe alors une catégorie tensorielle tressée ζ_{0}, telle que Der(A), muni du crochet [ ] = m_{0} − m_{0} ∘ c̃ soit une algèbre de Lie de ζ_{0}, m_{0} étant la composition des flèches.

1. Le produit tensoriel tressé

1.1. Catégories tensorielles tressées

Nous donnons ici quelques rappels. Pour plus de détails on pourra consulter [5].

Définition 1. Une catégorie tensorielle tressée (stricte) ζ = (ζ, ⊗, I, c) est la donnée d’une catégorie tressée ζ, d’un objet I de ζ, d’un foncteur ⊗ : ζ × ζ → ζ et d’une famille d’isomorphismes naturels c_{U,V} de ζ indexés par tous les couples (U, V) d’objets de ζ, vérifiant:

(a) ζ est associatif pour les objets et les morphismes de ζ.

(b) Pour tout objet V de ζ,

I ⊗ V = V ⊗ I = V.  (1)

(c) Pour tout morphisme f de ζ,

f ⊗ id_{I} = id_{I} ⊗ f = f.  (2)

(d) Pour tous objets U, V et W de ζ

c_{U,V ⊗W} = (id_{V} ⊗ c_{U,W})(c_{U,V} ⊗ id_{W}),  (3)
c_{U⊗V,W} = (c_{U,W} ⊗ id_{V})(id_{U} ⊗ c_{V,W}).  (4)

Le triplet (ζ, ⊗, I) est appelé catégorie tensorielle (stricte) et pour tout objet V de ζ, c_{V,V} est noté c_{V}.

Remarque 1. (i) La fonctorialité de ⊗ se traduit, chaque fois que la composition a un sens, par les relations:

(h ⊗ k) ∘ (f ⊗ g) = (h ∘ f) ⊗ (k ∘ g),  (5)
id_{U} ⊗ id_{V} = id_{U⊗V} ,  (6)

f, g, h et k étant des flèches et U, V des objets de ζ.

(ii) La naturalité des tressages signifie que pour tout f ∈Hom_{ζ}(V, V′) et tout g ∈Hom_{ζ}(W, W′)

c_{W′,V′}(g ⊗ f) = (f ⊗ g)c_{W,V} .  (7)

Rappelons la définition suivante de Turaev [8]:

Définition 2. Une Ab-catégorie tensorielle ζ = (ζ, ⊗, I) est une catégorie tensorielle ζ telle que:

(i) ζ soit une Ab-catégorie (ii) l’application (f, g) → f ⊗ g, où f et g sont des flèches de ζ, est biadditive.

Exemple 1. (i) La catégorie des k-modules Mod_{k} munie de la volte τ définie par τ_{U,V} (u⊗v) = v ⊗ u. En vertu du théorème de cohérence de MacLane (cf. [6] ou [5], p.291) Mod_{k} est équivalente à une catégorie tensorielle tressée stricte qui est de surcroît une Ab-catégorie tensorielle.

(ii) Soit g un k-module muni d’ un automorphisme c : g ⊗ g → g ⊗ g vérifiant l’équation de Yang-Baxter: c_{2}c_{1}c_{2} = c_{1}c_{2}c_{1} où c_{1} = c ⊗ id_{g} et c_{2} = id_{g} ⊗ c. On peut associer à g une Ab-catégorie tensorielle tressée dont les objets sont les puissances tensorielles de g, les flèches les applications linéaires f qui vérifient (7) pour g = id_{W} et les tressages sont définis par récurrence à partir de c_{g} par les relations (3) et (4).

Par la suite, nous utiliserons constament le résultat suivant [8]:

Proposition 1. Soient ζ = (ζ, ⊗, I) une Ab-catégorie tensorielle et K = Hom_{ζ}(I, I) on a alors:

(a) K est un anneau commutatif unitaire (appelé l’anneau de base de la catégorie ζ).

(b) Pour tous objets U, V de ζ, Hom_{ζ}(U, V) est muni d’une structure de K-module définie par la relation k · f = k ⊗ f; pour tous k ∈ K et f ∈ Hom_{ζ}(U, V).

(c) L’application (f, g) → f ∘ g est K-bilinéaire.

(d) L’application (f, g) → f ⊗ g est K-linéaire à gauche, de plus elle est K-bilinéaire si la catégorie est tressée.

(e) Pour tout objet U de ζ,

c_{A,I} = c_{I,A} = id_{A}.  (8)

Convention et notations. Si V est un objet d’une catégorie tensorielle stricte ζ, on notera V^{n} le produit tensorielle V ⊗ V ⊗ V … ⊗ V (n fois), avec la convention V^{0} = I. Pour tout morphisme f : V^{2} → V^{2−k} (k ∈ {0, 1}) on pose: f_{i} = id_{V^{i−1}} ⊗ f ⊗ id_{V^{n−i−1}} : V^{n} → V^{n−k} où n ≥ 2 et i ∈ [1, n − 1]. En particulier, si [ , ] : g^{2} → g est une flèche de ζ et n = 3, on écrira [ , ]_{1} = [ , ] ⊗ id_{g} et [ , ]_{2} = id_{g} ⊗ [ , ]. Enfin K désignera l’anneau Hom_{ζ}(I, I). Pour tous objets U, V de ζ et tout n ∈ N, nous définissons, par récurrence, un opérateur de séparation S_{(U⊗V)^{n}} : (U ⊗ V)^{n} → U^{n} ⊗ V^{n} par les relations

S_{1} = id_{I} , S_{U⊗V} = id_{U⊗V} ,
S_{(U⊗V)}^{(n+m)} = (id_{U}^{n} ⊗ C_{V^{n},U^{m}} ⊗ id_{V}^{m})(S_{(U⊗V)}^{n} ⊗ S_{(U⊗V)^{m}}).  (9)

S’il n’y a pas d’ambiguité S_{(U⊗V)^{n}} sera noté S_{n}.

Définition 3. Soient f ∈ Hom_{ζ}(U^{P} , V^{q}) et g ∈ Hom_{ζ}(V^{p}, V^{q}), on appelle produit tensoriel tressé de f par g la flèche de ζ définie par

f ⊗_{ζ} g = S_{q}^{−1}(f ⊗ g)S_{p}  (10)

1.2. Propriétés du produit tensoriel tressé

Proposition 2. Si ζ est une Ab-catégorie tensorielle tressée, le produit tensoriel tressé est K-bilinéaire.

Preuve. Il résulte de la Proposition 1 que le produit tensoriel ainsi que la composition des flèches sont K-bilinéaires. Il s’en suit alors que le produit tensoriel tressé est K-bilinéaire.□

Le résultat suivant met en évidence les relations de “fonctorialité” vérifiées par le produit tensoriel tressé.

Proposition 3. Soient U, V deux objets d’une catégorie tensorielle tressée ζ. Pour tous f ∈ Hom_{ζ}(U^{p}, U^{q}), g ∈ Hom(V^{p}, V^{q}), f′ ∈ Hom_{ζ}(U^{q}, U^{r}) et g′ ∈ Hom(V^{q}, V^{r}):

(i)  (f′ ⊗_{ζ} g′)(f ⊗_{ζ} g) = (f′ ∘ f) ⊗_{ζ} (g′ ∘ g),  (11)
(ii)  id_{U^{n}} ⊗_{ζ} id_{V^{n}} = id_{(U⊗V)^{n}}.  (12)

Preuve. (i) Par définition

(f′ ⊗_{ζ} g′)(f ⊗_{ζ} g) = S_{r}^{−1}(f′ ⊗ g′)(f ⊗ g)S_{p}.

De (5) on obtient:

(f′ ⊗_{ζ} g′)(f ⊗_{ζ} g) = S_{r}^{−1}[(f′ ∘ f′) ⊗ (g′ ∘ g)]S_{p} = (f′ ∘ f) ⊗_{ζ} (g′ ∘ g).

(ii) résulte immédiatement de (6). □

On obtient une deuxième relation de fonctorialité en remplaçant la composition par le produit tensoriel.

Proposition 4. Soient (ζ, ⊗, I) une catégorie tensorielle, f ∈ Hom_{ζ}(U^{n}, V^{m}), g ∈ Hom_{ζ}(V^{n}, V^{m}), f′ ∈ Hom(U^{p}, U^{q}) et g ∈ Hom_{ζ}(V^{p}, V^{q}). Alors

(f ⊗ f′) ⊗_{ζ} (g ⊗ g′) = (f ⊗_{ζ} g) ⊗ (f′ ⊗_{ζ} g′).  (13)

Preuve. Par définition on a:

(f ⊗ f′) ⊗_{ζ} (g ⊗ g′) = S_{m+q}^{−1}[(f ⊗_{ζ} f′) ⊗ (g ⊗ g′)]S_{n+p} ,

S_{n+p} = (id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n},U^{p}} ⊗ id_{V^{p}})(S_{n} ⊗ S_{p}) et S_{m+q}^{−1} = (S_{m}^{−1} ⊗ S_{q}^{−1})(id_{U^{m}} ⊗ c_{V^{m},U^{q}} ⊗ id_{V^{q}})^{−1}.

L’associativité du produit tensoriel et la naturalité du tressage entraînent:

(id_{U^{m}} ⊗ c_{V^{m},U^{q}} ⊗ id_{V^{q}})^{−1}[(f ⊗ f′) ⊗ (g ⊗ g′)](id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n},U^{p}} ⊗ id_{V^{p}}) = ((f ⊗ g) ⊗ (f′ ⊗ g′))

d’où

(f ⊗ f′) ⊗_{ζ} (g ⊗ g′) = (S_{m}^{−1} ⊗ S_{q}^{−1})[(f ⊗ g) ⊗ (f′ ⊗ g′)](S_{n} ⊗ S_{p})
= [S_{m}^{−1}(f ⊗ g)S_{n}] ⊗ [S_{q}^{−1}(f′ ⊗ g′)S_{p}] = (f ⊗_{ζ} g) ⊗ (f′ ⊗_{ζ} g′). □

Corollaire 1. Avec les notations précédentes on a pour tout i ∈ {1, …, n}

f_{i} ⊗_{ζ} g_{i} = (f ⊗_{ζ} g)_{i} .  (14)

Preuve. f_{i} ⊗_{ζ} g_{i} = (id_{U^{i−1}} ⊗ f ⊗ id_{U^{n−i−1}}) ⊗_{ζ} (id_{V^{i−1}} ⊗ g ⊗ id_{V^{n−i−1}}). De l’associativité du produit tensoriel et de la Proposition 4, on déduit la relation:

f_{i} ⊗_{ζ} g_{i} = (id_{U^{i−1}} ⊗_{ζ} id_{V^{i−1}}) ⊗ (f ⊗_{ζ} g)(id_{U^{n−i−1}} ⊗_{ζ} id_{V^{n−i−1}}) = (f ⊗_{ζ} g)_{i} .  □

Lemme 1. Soient U, V et W des objets d’une catégorie tensorielle tressé ζ, pour tout entier naturel n on a:

[S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{W^{n}}]S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}} = [id_{U^{n}} ⊗ S_{(V ⊗W)^{n}}]S_{[U⊗(V ⊗W)]^{n}} .

Preuve. Pour n = 0, les deux membres sont égaux à id_{I}. Posons

X = [S_{(U⊗V)^{n+1}} ⊗ id_{W^{n+1}}]S_{((U⊗V)⊗W)^{n+1}}.

De la définition de l’opérateur de séparation, de l’associativité et de la fonctorialité du produit tensoriel on a:

X = [id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n},U} ⊗ id_{V} ⊗ id_{W^{n+1}}][S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{U⊗V} ⊗ id_{W^{n+1}}]
[id_{(U⊗V)^{n}} ⊗ c_{W^{n},U⊗V} ⊗ id_{W}][S_{((U⊗V)⊗W)^{n}} ⊗ id_{U⊗V ⊗W}].

De la naturalité des tressages, le composé du 2^{ème} et 3^{ème} terme devient:

(id_{U^{n}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},U⊗V} ⊗ id_{W})(S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{W^{n}} ⊗ id_{(U⊗V)⊗W}).

Posons

Y = [id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n},U} ⊗ id_{V} ⊗ id_{W^{n+1}}](id_{U^{n}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},U⊗V} ⊗ id_{W}).

Des relations (3), (7) et (4) on obtient:

Y = (id_{U^{n+1}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},V} ⊗ id_{W})(id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n},U} ⊗ id_{W^{n}} ⊗ id_{V ⊗W})
(id_{U^{n}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},U} ⊗ id_{V ⊗W})
= ((id_{U^{n+1}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},V} ⊗ id_{W})(id_{U^{n}} ⊗ c_{V^{n}⊗W^{n},U} ⊗ id_{V ⊗W}).

D’après l’hypothèse de récurrence

Z = (S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{W^{n}} ⊗ id_{(U⊗V)⊗W})[S_{((U⊗V)⊗W)^{n}} ⊗ id_{U⊗V ⊗W}]
= [id_{U^{n}} ⊗ S_{(V ⊗W)^{n}} ⊗ id_{U⊗V ⊗W}][S_{(U⊗(V ⊗W))^{n}} ⊗ id_{U⊗V ⊗W}].

On a alors

X = Y ∘ Z.

La naturalité des tressages entraîne:

X = [id_{U^{n+1}} ⊗ id_{V^{n}} ⊗ c_{W^{n},V} ⊗ id_{W}][id_{U^{n+1}} ⊗ S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{V ⊗W}]
[id_{U^{n}} ⊗ c_{(V ⊗W)^{n},U} ⊗ id_{V ⊗W}](S_{(U⊗(V ⊗W))^{n}} ⊗ id_{U⊗(V ⊗W))}]
= (id_{U^{n+1}} ⊗ S_{(V ⊗W)^{n+1}})(S_{U⊗(V ⊗W)^{n+1}}).  □

Proposition 5. Dans une catégorie tensorielle tressée ζ, le produit tensoriel tressé (chaque fois qu’il a un sens ) est associatif.

Preuve. Soient U, V, W des objets de ζ et n, m ∈ N. Et soient f ∈ Hom_{ζ}(U^{n}, U^{m}), g ∈ Hom_{ζ}(V^{n}, V^{m}) et h ∈ Hom_{ζ}(W^{n}, W^{m}). Alors

(f ⊗_{ζ} g) ⊗_{ζ} h = S_{[(U⊗V)⊗W]^{m}}^{−1}[(f ⊗_{ζ} g) ⊗ h]S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}}
= S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}}^{−1}[(S_{(U⊗V)^{m}}^{−1}(f ⊗ g)S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ (id_{W^{m}} ∘ h ∘ id_{W^{n}})]S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}}
= [S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}}^{−1}][S_{(U⊗V)^{m}}^{−1} ⊗ id_{W^{m}}]((f ⊗ g) ⊗ h)[S_{(U⊗V)^{n}} ⊗ id_{W^{n}}][S_{[(U⊗V)⊗W]^{n}}].

En appliquant le lemme précédent on obtient :

(f ⊗_{ζ} g) ⊗_{ζ} h = [S_{(U⊗(V ⊗W))^{m}}^{−1}][id_{U^{m}} ⊗ S_{(V ⊗W)^{m}}^{−1}](f ⊗ (g ⊗ h))
[id_{U^{n}} ⊗ S_{(V ⊗W)^{n}}] ⊗ [S_{(U⊗(V ⊗W)^{n}}]
= S_{((U⊗(V ⊗W))^{m}}^{−1}(f ⊗ (g ⊗_{ζ} h))S_{(U⊗(V ⊗W))^{n}} = f ⊗_{ζ} (g ⊗_{ζ} h).  □

2. Notion d’algèbre de Lie dans une catégorie tressée

Dans ce paragraphe, nous établissons certaines relations dans une Ab-catégorie tensorielle tressée ζ. Elles nous permettent de proposer une notion d’algèbre de Lie dans une telle catégorie.

2.1. Calcul tressé

Dans ce qui suit, g désignera un objet d’une Ab-catégorie tensorielle tressée ζ = (ζ, ⊗, I, c), K = Hom_{ζ}(I, I), q un élément inversible de K, [ ]: g^{2} → g une flèche arbitraire de ζ et c = c_{g} le tressage de g. Enfin Y = c_{1}c_{2}c_{1} représentera l’opérateur de Yang-Baxter. Rappelons (cf. [4]) que c_{1}c_{2}c_{1} = c_{2}c_{1}c_{2} et que :

[ , ]_{1} = [ , ] ⊗ id_{g}, [ , ]_{2} = id_{g} ⊗ [ , ].

Lemme 2. Avec les notations précédentes on a:

(i) (c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{1}c_{2}^{−1} = c[ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}})c_{1}^{−1} + [ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})c_{2}^{−1}, (ii) (c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{2}c_{1}^{−1} = c[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})c_{2}^{−1} + [ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}})c_{1}^{−1}.

Preuve. (i) En utilisant deux fois la naturalité des tressages on a

(c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{1} = c^{2}[ ]_{1} − [ ]_{1} = [ ]_{1}c_{2}c_{1}^{2}c_{2} − [ ]_{1}

d’où

(c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{1} = [ ]_{1}c_{2}c_{1}^{2}c_{2} − [ ]_{1}c_{2}^{2} + [ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})
= [ ]_{1}c_{2}(c_{2} − id_{g^{3}}) + [ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})
= c[ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}})c_{1}^{−1}c_{2} + [ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}}).

En composant par c_{2}^{−1} on obtient (i); la relation (ii) se démontre de manière analogue. □

Lemme 3. Si [ ] ∘ c = −q[ ], alors:

(i) qc[ ]_{2} = −[ ]_{1} ∘ Y, qc[ ]_{1} = −[ ]_{2} ∘ Y; (ii) q^{2}c^{2}[ ]_{2} = [ ]_{2} ∘ Y^{2}, q^{2}c^{2}[ ]_{1} = [ ]_{1} ∘ Y^{2}; (iii) qc[ ]_{1} ∘ (c_{2}^{2} − id_{g^{3}}) = −[ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}}) ∘ Y, qc[ ]_{2} ∘ (c_{1}^{2} − id_{g^{3}}) = −[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}}) ∘ Y.

Preuve.

(i) qc[ ]_{2} = q[ ]_{1}c_{g^{2},g} = q[ ]_{1}c_{2}c_{1} = −[ ]_{1}c_{1}c_{2}c_{1} = −[ ]_{1} ∘ Y. (ii) La bilinéarité de la composition des flèches et la relation (i) entraînent: q^{2}c^{2}[ ]_{2} =

(qc)(qc)[ ]_{2} = −(qc)[ ]_{1} ∘ Y = [ ]_{1} ∘ Y^{2}. (iii) qc[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}}) = −[ ]_{2} ∘ Y (c_{1}^{2} − id_{g^{3}}) = −[ ]_{2} ∘ (c_{1}^{2} − id_{g^{3}}) ∘ Y,

(car Y ∘ c_{2}^{2} = c_{1}^{2} ∘ Y). Les relations obtenues en permutant les indices 1 et 2, se démontrent de manière analogue.□

Comme conséquence immédiate du Lemme 3 on a:

Lemme 4. Soit d_{i,j} = [ ]_{i} − q[ ]_{j} − [ ]_{i}c_{j}, pour tous i, j ∈ {1, 2}, on a alors

qcd_{1,2} = −d_{2,1} ∘ Y.

Remarque 2. Si ζ est une catégorie tensorielle tressée de k-modules on notera par Λ_{c}^{2}(g) le quotient de g ⊗ g par le sous-K-module engendré par Im(c + id_{g^{2}}). Le Lemme 2 montre que dans Λ_{c}^{2}(g) on a:

[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})c_{2}^{−1} = [ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}})c_{1}^{−1}

du fait que c_{2}^{−1} ∘ Y = Y ∘ c_{1}^{−1}, la relation suivante est une conséquence du Lemme 3

[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})c_{2}^{−1}(q · id_{g^{3}} − Y) = 0.

En homologie, l’expression [ ]_{1}(c_{2}^{2} −id_{g^{3}})c_{2}^{−1} joue un rôle fondamental (cf. [3]). Enfin, notons qu’en général le terme [ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}})c_{2}^{−1} n’est pas nul (cf. [7], p.71).

424 A. Haddi, S. Hadj Nassar: Produit tensoriel tressé et Algèbre de Lie …

2.2. Algèbre de Lie dans une Ab-catégorie tensorielle tressée Rappelons tout d’abord la notion d’algèbre dans une catégorie tensorielle. Définition 4. Une algèbre d’une catégorie tensorielle ζ, est un triplet A = (A, m, u) où A est un objet de ζ, m : A ⊗ A → A et u : I → A sont deux flèches de ζ vérifiant

m ∘ m_{1} = m ∘ m_{2},  (15)
m ∘ (id_{A} ⊗ u) = m ∘ (u ⊗ id_{A}) = id_{A}.  (16)

Si de plus ζ est tressée, l’algèbre A est dite commutative (resp. tressée) si

m ∘ c_{A} = m,  (17)
(resp. m ∘ c_{A}^{2} = m),  (18)

où c_{A} désigne le tressage de l’objet A. De la définition précédente et des relations (7) et (8) se déduisent les égalités suivantes:

(u ⊗ id_{A}) ∘ m = u ⊗ m,  (19)
(id_{A} ⊗ u) ∘ m = m ⊗ u,  (20)
m ∘ (u ⊗ u) = u.  (21)

Définition 5. Un morphisme d’algèbre f: (A, m, u) → (A′, m′, u′) est une flèche f ∈ Hom_{ζ}(A, A′) telle que:

m′ ∘ (f ⊗ f) = f ∘ m et f ∘ u = u′.  (22)

Posons c = c_{A} un petit miracle a fait que: Proposition 6. Soient (A, m, u) une algèbre dans une Ab-catégorie tensorielle tressée ζ et q un élément de K = Hom_{ζ}(I, I). Alors il existe une application K-linéaire

F : Hom_{ζ}(A^{2}, A) → Hom_{ζ}(A^{3}, A)

telle que

[ ][ ]_{1}(id_{A^{3}} − c_{2}) − q[ ][ ]_{2} = F ([ ](c + q · id_{A^{2}}))  (23)

où [ ] = m − m ∘ c_{A}. Preuve. En utilisant la naturalité des tressages, (15), l’équation de Yang-Baxter c_{1}c_{2}c_{1} = c_{2}c_{1}c_{2} et le fait que mm_{1} = mm_{2} on a:

[ ][ ]_{1}(id_{A^{3}} − c_{2}) − q([ ][ ]_{2} = mm_{2}[(1 − q) · (id_{A^{3}} − c_{2}) − c_{1} + q · c_{2}c_{1}
+(1 − q) · c_{1}c_{2}c_{1} − c_{2}c_{1}c_{2}^{2} + c_{1}c_{2}^{2}]

or  mm_{2}c_{1}c_{2}^{2} = m(m_{2}c_{1}c_{2})c_{2} = mcm_{1}c_{2} = mc(m_{1}c_{2}c_{1})c_{1}^{−1} = mc^{2}m_{2}c_{1}^{−1}.

Posons

H = c^{2} + (q − 1) · c − q · id_{A^{2}}.

On a alors:

mm_{2}c_{1}c_{2}^{2} = mHm_{2}c_{1}^{−1} + (1 − q) · mcm_{2}c_{1}^{−1} + q · mm_{2}c_{1}^{−1}.

Mais

qmm_{2}c_{1}^{−1} = qmm_{1}c_{1}^{−1} = mm_{1}c_{1} + (q − 1)mm_{1} − mm_{1}H_{1}c_{1}^{−1}.
D’où  mm_{2}c_{1}c_{2}^{2} = mHm_{2}c_{1}^{−1} − mm_{1}H_{1}c_{1}^{−1} + mm_{2}c_{1} + (q − 1) · mm_{2}(id_{A^{3}} − c_{2}).

D’autre part

mm_{2}c_{2}c_{1}c_{2}^{2} = mm_{2}c_{2}c_{1}H_{2} + mm_{2}(1 − q) · c_{2}c_{1}c_{2} + qmm_{2}c_{2}c_{1}
= m(m_{1}c_{2}c_{1})H_{2} + (1 − q) · mm_{2}c_{1}c_{2}c_{1} + qmm_{2}c_{2}c_{1}
= mcm_{2}H + (1 − q)mm_{2}c_{1}c_{2}c_{1} + qmm_{2}c_{2}c_{1}.

On obtient alors

[ ][ ]_{1}(id_{A^{3}} − c_{2}) − q[ ][ ]_{2} = mHm_{2}c_{1}^{−1} + mm_{1}H_{1}c_{1}^{−1} − mcm_{2}H_{2}.

Pour conclure, il suffit de remarquer que [ ](c + q · id_{A^{2}}) = −mH et que la composition des flèches est K-bilinéaire. □

Les considérations précédentes nous conduisent à formuler une “version tressée” de la notion d’algèbre de Lie:

Définition 6. Soient ζ = (ζ, ⊗, I, c) une catégorie tensorielle tressée, g un objet de ζ et [ ]: g ⊗ q → g un morphisme de ζ. On dira que (g, [ ], q) est une algèbre de Lie de ζ si:

(i)  [ ] ∘ c = (−q) · [ ],  (24)
(ii)  q[ ][ ]_{2} = [ ][ ]_{1}(id_{g^{3}} − c_{2}),  (25)

où q est un élément inversible de K et c = c_{g} est le tressage de g.

La relation (ii) est appelée identité de Jacobi tressée, cette terminologie est justifiée par les relations suivantes:

Proposition 7. Soit (g, [ ], q) une algèbre de Lie de ζ, les assertions suivantes sont équivalentes:

(i)  q[ ][ ]_{2} = [ ][ ]_{1}(id_{g^{3}} − c_{2}),  (26)
(ii)  q[ ][ ]_{1} = [ ][ ]_{2}(id_{g^{3}} − c_{1}),  (27)
(iii)  [ ][ ]_{1}(1 − c_{2} + c_{2}c_{1}) = 0,  (28)
(iv)  [ ][ ]_{2}(1 − c_{1} + c_{1}c_{2}) = 0.  (29)

Preuve. Avec les notations du Lemme 4, les conditions (i) et (ii) sont respectivement équivalentes à:

[ ]d_{12} = 0 et [ ]d_{21} = 0

en composant par [ ] l’égalité du Lemme 4, on obtient l’équivalence de (i) et (ii). D’autre part

q · [ ][ ]_{2} = −[ ]c[ ]_{2} = −[ ][ ]_{1}c_{2}c_{1}

ce qui montre l’équivalence de (i) et (iii). De manière analogue on obtient celle de (ii) et (iv). □

Remarque 3. Dans une Ab-catégorie tensorielle tressée ζ une algèbre (A, m, u) munie du crochet [ ] = m−mc_{A} est une algèbre de Lie de ζ si et seulement si m(c−id_{A^{2}})(c+q·id_{A^{2}}) = 0.

Lorsque q = 1, on retrouve la notion d’algèbre tressée et cette condition a permis à Baez (cf. [1]) de construire le complexe de Hochschild de l’algèbre A. Notons enfin, que dans la définition d’une algèbre de Lie de ζ, q=1 est un choix naturel. En effet:

Proposition 8. (g, [ ], q) est une algèbre de Lie de (ζ, ⊗, I, c) si et seulement si (g, [ ], id_{I}) est une algèbre de Lie de (ζ, ⊗, I, q^{−1} · c).

Preuve. Soit (g, [ ], q) une algèbre de Lie de (ζ, ⊗, I, q^{−1} · c), la relation

[ ] ∘ c = (−q) · [ ]

est équivalente à

[ ] ∘ q^{−1} · c = [ ].

D’autre part remarquons que

q · [ ][ ]_{1} = [ ][ ]_{1}

en effet d’après (26) et (27) on a:

q^{2} · [ ][ ]_{1} = q · [ ][ ]_{2}(1 − c_{1}) = [ ][ ]_{1}(1 − c_{2})(1 − c_{1}) = [ ]_{1}(1 − c_{2} + c_{1}c_{2}) − [ ][ ]_{1}c_{1}.

Or d’après (28)

[ ]_{1}(1 − c_{2} + c_{1}c_{2}) = 0

et d’autre part (24) implique

[ ]_{1}c_{1} = q[ ]_{1},

q étant inversible on a

q · [ ][ ]_{1} = [ ][ ]_{1}.

Il en résulte que la relation (25) est équivalente à

[ ][ ]_{2} = [ ][ ]_{1}(id_{g^{3}} − q^{−1}c_{2})  □

M. Wambst a introduit (cf. [9], p.35) une définition d’algèbre de Lie quantique basée sur la notion de symétrie de Hecke:

Définition 7. Soit g un k-module de rang fini N. Un automorphisme c de g ⊗ g est une symétrie de Hecke de marque q

A. Haddi, S. Hadj Nassar: Produit tensoriel tressé et Algèbre de Lie … 427

(1) si c vérifie l’équation de Yang-Baxter c_{1}c_{2}c_{1} = c_{2}c_{1}c_{2}

(2) et s’il existe un élément inversible q de k tel que (c + q id_{g⊗g})(c − id_{g⊗g}) = 0. Définition 8. Une algèbre de Lie quantique est la donnée (g, c, [ ]) d’un k-module g muni d’une symétrie de Hecke de marque q et d’une application linéaire [ ] : g ⊗ g → g vérifiant:

(i) [ ] ∘ c = −q[ ], (ii) [ ][ ]_{2} = [ ][ ]_{1}(id_{g^{2}} − c_{2}), (iii.a) c[ ]_{1} = [ ]_{2}c_{1}c_{2}, (iii.b) c[ ]_{2} = [ ]_{1}c_{2}c_{1}, (iii.c) c[ ]_{1}c_{2} = [ ]_{2}c_{1}. Lorsque q = 1, l’algèbre g est dite involutive. Dans le cas particulier où ζ est une catégorie de k-modules; une algèbre de Lie quantique est tout simplement une algèbre de Lie de ζ involutive c’est à dire de tressage c_{g} involutif. Proposition 9. Si (g, c, [ ]) une algèbre de Lie quantique sur un corps K, alors g est involutive ou abélienne. Preuve. Par définition, il existe q élément inversible de K tel que:

(c − id_{g^{2}})(c + q id_{g^{2}}) = c^{2} + (q − 1)c − q id_{g^{2}}.  (a)

Les conditions (iii.a) et (iii.c) impliquent

[ ]_{1}(c_{2}^{2} − id_{g^{3}}) = 0.  (b)

q étant inversible, le Lemme 3 entraîne

[ ]_{2}(c_{1}^{2} − id_{g^{3}}) = 0.  (c)

D’une part, on obtient alors du Lemme 2

(c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{1} = (c^{2} − id_{g^{2}})[ ]_{2} = 0.  (d)

D’autre part, la condition (ii) de la Définition 8 entraîne:

[ ][ ]_{2} = 0.  (e)

En composant l’égalité (a) par [ ]_{1} et [ ]_{2}, on obtient:

(1 − q)(id_{g^{2}} − c)[ ]_{1} = (1 − q)(id_{g^{2}} − c)[ ]_{2} = 0.

En rappelant que la condition q = 1 signifie que g est involutive, on peut supposer que q ≠ 1. Comme 1 − q est inversible, alors:

c[ ]_{1} = [ ]_{1}  (f)  et  c[ ]_{2} = [ ]_{2} .  (g)

D’autre part (a) implique :

[ ]_{1}(c_{2}^{2} − (q − 1)c_{2} − q id_{g^{3}}) = 0 et [ ]_{2}(c_{1}^{2} − (q − 1)c_{2} − q id_{g^{3}}) = 0,

(b) et (c) entraînent alors :

[ ]_{1}c_{2} = [ ]_{1}  (h)  et  [ ]_{2}c_{1} = [ ]_{2}. (i)

Or d’après (e) et (g) d’une part et (iii.c) et (h) d’autre part

c[ ]_{2}c_{2} = [ ]_{2}c_{1} = [ ]_{1} et c[ ]_{1}c_{2} = [ ]_{1}c_{2} = [ ]_{2}.

D’où

[ ]_{1} = [ ]_{2}.  (j)

Supposons que g′ = [g, g] ≠ 0, et soit e′ un élément d’une base de g′; pour tous x, y dans g d’après (i) et (d) on a

[x, y] ⊗ e′ = x ⊗ [y, e′] = x ⊗ 0 = 0.

Par conséquent [x, y] = 0 et donc g est abélienne. □

2.3. Exemple d’algèbre de Lie de ζ

Rappelons que si A est une K-algèbre commutative au sens classique et g est une K-algèbre de Lie, alors A ⊗_{K} g, munie du crochet [a ⊗_{K} x, b ⊗_{K} y] = ab ⊗_{K} [x, y], est une K-algèbre de Lie.

Nous donnons une version tressée de cet exemple d’algèbre de Lie, obtenue par une application élégante du produit tensoriel tressé.

Proposition 10. Soient (A, m, u) une algèbre commutative et (g, [ ], q) une algèbre de Lie, de ζ. Si c_{A,g} = c_{g,A}^{−1}, alors (A ⊗_{ζ} g, m ⊗_{ζ} [ ], q) est une algèbre de Lie de ζ ayant pour tressage c_{A⊗g} = c_{A} ⊗_{ζ} c_{g}.

Preuve. En appliquant (3) et (4) on a:

c_{A⊗g} = (id_{A} ⊗ c_{A,g} ⊗ id_{g})(c_{A} ⊗ c_{g})(id_{A} ⊗ c_{g,A} ⊗ id_{g})
= (id_{A} ⊗ c_{g,A} ⊗ id_{g})^{−1}(c_{A} ⊗ c_{g})(id_{A} ⊗ c_{g,A} ⊗ id_{g})
= S_{(A⊗g)^{2}}^{−1}(c_{A} ⊗ c_{g})S_{(A⊗g)^{2}} = c_{A} ⊗_{ζ} c_{g}.

D’après (10) on a

(m ⊗_{ζ} [ ])c_{A⊗g} = (m ⊗_{ζ} [ ])(c_{A} ⊗_{ζ} c_{g}) = (m ∘ c_{A}) ⊗_{ζ} [ ]c_{g}

or m ∘ c_{A} = m, [ ]c_{g} = −q[ ] et le produit tensoriel tressé est K-bilinéaire on obtient donc:

(m ⊗_{ζ} [ ])c_{A⊗g} = −q(m ⊗_{ζ} [ ]).

D’autre part, de (13) et (15) il résulte que

q(m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{2} = q(m ⊗_{ζ} [ ])(m_{2} ⊗_{ζ} [ ]_{2}) = (mm_{2} ⊗_{ζ} q[ ][ ]_{2})
= (mm_{1} ⊗_{ζ} [ ][ ]_{1})(id_{g^{3}} − c_{2}) = mm_{1} ⊗_{ζ} [ ][ ]_{1} − (mm_{1} ⊗_{ζ} [ ][ ]_{1}c_{2}).

d’après la bilinéarité de ⊗_{ζ} et de (11) et (13) on a alors:

q(m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{2} = (m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{1} − mm_{1}c_{A,2} ⊗_{ζ} [ ][ ]_{1}c_{g,2}
= (m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{1} − (m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{1}(c_{A,2} ⊗_{ζ} c_{g,2}).

(13) implique

(c_{A,2} ⊗_{ζ} c_{g,2}) = (c_{A,} ⊗_{ζ} c_{g,})_{2} = c_{A⊗g,2}.

On a

(m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{2} = (m ⊗_{ζ} [ ])(m ⊗_{ζ} [ ])_{1}(id_{(A⊗g)3} − c_{A⊗g,2})

c’est à dire (A ⊗_{ζ} g, m ⊗_{ζ} [ ], q) est une algèbre de Lie de ζ. □

Dans tout ce qui suit on prendra q = 1, ζ = (ζ, ⊗, I) désignera une catégorie tensorielle stricte et l’algèbre de Lie (g, [ ], id_{I}) sera notée (g, [ ]).

3. Propriétés des algèbres de Lie de ζ

3.1. Notion d’objet primitif

Dans une catégorie abélienne ζ nous définissons le concept d’objet primitif d’une bigébre et nous montrons qu’il est possible de le munir d’une structure d’algèbre de Lie de ζ.

Donnons tout d’abord les définitions de cogèbre et bigébre d’une catégorie tensorielle tressée ζ. Par dualisation de la notion d’algèbre, on obtient la définition d’une cogèbre.

Définition 9. Une cogèbre d’une catégorie tensorielle ζ est un triplet C = (C, Δ, ε) où C est objet de ζ, Δ : C → C ⊗ C et ε : C → I sont deux flèches de ζ vérifiant:

Δ_{1} ∘ Δ = Δ_{2} ∘ Δ,  (30)
(id_{C} ⊗ ε)Δ = (ε ⊗ id_{C})Δ.  (31)

Proposition 11. Le produit tensoriel tressé de deux algébres (resp. cogèbres) de ζ est une algébre (resp. cogèbre) de ζ.

Preuve. Soient (A′, m′, u′) et (A′′, m′′, u′′) deux algébres de ζ. On a (A′, m′, u′)⊗_{ζ} (A′′, m′′, u′′) = (A′⊗_{ζ} A′′, m′⊗_{ζ} m′′, u′⊗_{ζ} u′′). Remarquons que A′⊗_{ζ} A′′ = A′⊗A′′ et que u′⊗_{ζ} u′′ = u′⊗u′′. Soient A = A′ ⊗ A′′, m = m′ ⊗_{ζ} m′′ et u = u′ ⊗ u′′. On a alors:

mm_{1} = (m′ ⊗_{ζ} m′′)(m′ ⊗_{ζ} m′′)_{1} = (m′ ⊗_{ζ} m′′)(m′_{1} ⊗_{ζ} m′′_{1}) = m′m_{1}′ ⊗_{ζ} m′′m′′_{1}.

De (15) on obtient

mm_{1} = m′m′_{2} ⊗_{ζ} m′′m′′_{2} = (m′ ⊗_{ζ} m′′)(m′_{2} ⊗_{ζ} m′′_{2})
= (m′ ⊗_{ζ} m′′)(m′ ⊗_{ζ} m′′)_{2} = mm_{2},
mu_{1} = (m′ ⊗_{ζ} m′′)(u′ ⊗_{ζ} ⊗_{ζ}u′′)_{1} = (m′ ⊗_{ζ} m′′)(u′_{1} ⊗_{ζ} u′′_{1})
= m′u′_{1} ⊗_{ζ} m′′u′′_{1} = m′u′_{2} ⊗_{ζ} m′′u′′_{2}
= (m′ ⊗_{ζ} m′′)(u′ ⊗_{ζ} u′′)_{2} = mu_{2}.

Enfin de (16) et (11), on obtient

mu_{1} = mu_{2} = id_{A′} ⊗_{ζ} id_{A′′} = id_{A′⊗A′′} = id_{A}.

Ce qui montre que (A, m, u) est une algébre de ζ. Pour les cogèbres la preuve est analogue. □

Comme dans le cas des K-modules on a:

Définition 10. Une bigèbre d’une catégorie tensorielle tressée ζ est un quintuplet (A, m, u, Δ, ε) où (A, m, u) est une algébre de ζ, (A, Δ, ε) est une cogèbre de ζ et Δ : A → A ⊗_{ζ} A et ε : A → I sont deux morphismes d’algèbres.

Δ et ε vérifient les relations:

(m ⊗_{ζ} m)(Δ ⊗ Δ) = Δ ∘ m,  Δ ∘ u = u ⊗ u,  (32)
(ε ⊗ ε) = ε ∘ m,  ε ∘ u = id_{I}.  (33)

Nous sommes à présent en mesure d’introduire la notion d’objet primitif d’une bigèbre de ζ.

Définition 11. Soient ζ = (ζ, ⊗, I, c) une catégorie abélienne tensorielle tressée et A = (A, m, u, Δ, ε) une bigèbre de ζ, on appelle objet primitif de A l’objet P = Ker(Δ − Δ_{0}) où Δ_{0} = u ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ u.

Proposition 12. Soient A = (A, m, u, Δ, ε) une bigèbre d’une catégorie abélienne tensorielle tressée ζ telle que mc^{2} = m et soit P l’objet primitif de A. L’objet P est muni d’une structure d’algèbre de Lie, induite par celle de A si et seulement si c_{p} est involutif.

Preuve. D’après la Remarque 3, mc^{2} = m, si et seulement si, (A, [ ] = m − m ∘ c_{A}) est une algèbre de Lie de ζ. Soit λ : P → A le monomorphisme définissant P. Calculons (Δ − Δ_{0})[ ](λ ⊗ λ). De (32) et de la naturalité des tressages on a:

Δ[ ] = Δm − Δmc_{A} = (m ⊗_{ζ} m)(Δ ⊗ Δ) − (m ⊗_{ζ} m)(Δ ⊗ Δ)c_{A}
= (m ⊗_{ζ} m)(1 − c_{A^{2},A^{2}})(Δ ⊗ Δ).

D’autre part à l’aide de (17), (18), (19) et (7) un calcul direct montre que

Δ_{0}m = (m ⊗_{ζ} m)(Δ_{0} ⊗ Δ_{0}) − id_{A^{2}} − c_{A}

d’où

Δ[ ] = Δm − Δmc_{A} = (m ⊗_{ζ} m)(Δ ⊗ Δ) + c_{A}^{2} − id_{A^{2}}.

On a alors

(Δ − Δ_{0})[ ](λ ⊗ λ) = (m ⊗_{ζ} m)(1 − c_{A^{2},A^{2}})(Δ^{2} − Δ_{0}^{2})(λ ⊗ λ) + (c_{A}^{2} − id_{A^{2}})(λ ⊗ λ).

Or par definition de λ

Δλ = Δ_{0}λ,

d’où  (Δ^{2} − Δ_{0}^{2})(λ ⊗ λ) = 0.

Si c_{P} est involutif, par naturalité des tressages on a

(c_{A}^{2} − id_{A^{2}})(λ ⊗ λ) = (λ ⊗ λ)(c_{P}^{2} − id_{P^{2}}) = 0,

d’où  (Δ − Δ_{0})[ ](λ ⊗ λ) = 0.

D’après la définition du noyau il existe alors une flèche unique [ ]_{P} ∈ Hom_{ζ}(P^{2}, P) telle que

λ[ ]_{P} = [ ](λ ⊗ λ).  (a)

De cette dernière égalité, et du fait que λ est un monomorphisme, on vérifie facilement que P est une algèbre de Lie de ζ.

Réciproquement supposons que (P, [ ]_{P}) soit une algèbre de Lie de ζ dont la structure est induite par celle de A, la relation (a) est alors vérifiée, on a donc

0 = (Δ − Δ_{0})λ[ ]_{P} = (Δ − Δ_{0})[ ](λ ⊗ λ) = (c_{A}^{2} − id_{A^{2}})(λ ⊗ λ) = (λ ⊗ λ)(c_{P}^{2} − id_{P^{2}}).

Il s’en suit que  c_{P}^{2} − id_{P^{2}} = 0.  □

3.2. Dérivations d’une algèbre de Lie de ζ

Dans cette section, nous étendons la notion de dérivation aux catégories tensorielles et nous donnons quelques propriétés.

Définition 12. Soient B un objet d’une catégorie tensorielle ζ = (ζ, ⊗, I, c) et f : B⊗B → B une flèche de ζ. Une dérivation de (B, f) est une flèche d : B → B de ζ telle que:

d ∘ f = f(d ⊗ id_{B} + id_{B} ⊗ d).  (34)

Proposition 13. Soient (A, m, u) une algèbre d’une Ab-catégorie tensorielle ζ et [ ] = m − mc_{A}. Toute dérivation de (A, m) est une dérivation de (A, [ ]).

Preuve. Soit d une dérivation de (A, m), par définition on a

d ∘ [ ] = d ∘ m(id_{A^{2}} − c_{A}) = m(d ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ m)(id_{A^{2}} − c_{A})
= m(d ⊗ id_{A}) + m(id_{A} ⊗ m) − m(d ⊗ id_{A})c_{A} − m ⊗ (id_{A} ⊗ d)c_{A},

la naturalité des tressages implique

d ∘ [ ] = (m − mc_{A})(d ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ m) = [ ](d ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ d).  □

Voici un exemple de dérivation appelée dérivation intérieure:

Proposition 14. Avec les notations précédentes, pour tout a ∈ Hom_{ζ}(I, A), on a d_{a} = [ ](a ⊗ id_{A}) est une dérivation de (A, m).

Preuve.

m(d_{a} ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ d_{a}) = mm_{1}(a ⊗ id_{A^{2}}) − mm_{1}c_{A,1}(a ⊗ id_{A^{2}})
+ mm_{2}(id_{A} ⊗ a ⊗ id_{A}) − m_{2}c_{2}(id_{A} ⊗ a ⊗ id_{A}).

De la naturalité des tressages et des relations (8) et (15) on a

mm_{1}c_{A,1}(a ⊗ id_{A^{2}}) = mm_{2}(id_{A} ⊗ a ⊗ id_{A}) et mm_{2}c_{A,2}(id_{A} ⊗ a ⊗ id_{A})
= mm_{1}(id_{A^{2}} ⊗ a)
= m(id_{A} ⊗ a)m = mc_{A}(a ⊗ id_{A}).

De plus,

mm_{1}(a ⊗ id_{A^{2}}) = mm_{2}(a ⊗ id_{A^{2}}) = m(a ⊗ id_{A})m.

D’où:

m(d_{a} ⊗ id_{A} + id_{A} ⊗ d_{a}) = (m − mc_{A})(a ⊗ id_{A})m = d_{a} ∘ m.

C’est à dire d_{a} est une dérivation de (A, m). □

Soit A = (A, m, u) une algèbre tressée dans une catégorie tensorielle tressée ζ de k-modules. On notera par Der(A) (resp. IDer(A)) le k-module des dérivations (resp. des dérivations intérieures) de (A, m, u). Nous nous proposons de munir Der(A) d’une structure d’algèbre de Lie qui généralise le cas classique.

Soit c = c_{A} le tressage de A. On considère d : A → Der(A) l’opérateur de dérivation intérieure

a → d_{a}

et l’opérateur linéaire c̃: Der(A) ⊗_{k} Der → Der(A) ⊗_{k} Der(A) définie par:

c̃(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) = (d ⊗_{k} d_{b})c(a ⊗_{k} b)
c̃(d_{1} ⊗_{k} d_{2}) = (d_{2} ⊗_{k} d_{1}) si d_{I} ∉ IDer(A) ou d_{2} ∉ IDer(A)

Lemme 5. L’application c̃ est un automorphisme vérifiant l’équation de Yang-Baxter

c̃_{1}c̃_{2}c̃_{1} = c̃_{2}c̃_{1}c̃_{2}.

Preuve. Remarquons que c̃c̃^{−1} = c̃^{−1}c̃ = id_{(Der(A))^{2}}; c̃ est donc un automorphisme. Soit y ∈ (Der(A))^{3}, la linéarité de c̃ permet de supposer que y = d_{1} ⊗ d_{2} ⊗ d_{3}. Considérons tout d’abord le cas où

d_{1} = d_{a} , d_{2} = d_{b} et d_{3} = d_{c}.

Pour tout i, i = 1, 2, on a

c̃_{i}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = (d ⊗_{k} d ⊗_{k} d)c_{i}(a ⊗_{k} b ⊗_{k} c).  (a)

A. Haddi, S. Hadj Nassar: Produit tensoriel tressé et Algèbre de Lie … 433

En effet supposons, par exemple, que i = 1.

c̃_{i}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = c̃(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) ⊗ id_{Der(A)}(d_{c})
= (d ⊗_{k} d)c(a ⊗_{k} b) ⊗_{k} d(id_{A}(c))
= (d ⊗_{k} d ⊗_{k} d)c_{1}(a ⊗_{k} b ⊗_{k} c)

De la relation (a) on déduit l’égalité:

c̃_{1}c̃_{2}c̃_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = (d ⊗_{k} d ⊗_{k} d)c_{1}c_{2}c_{1}(a ⊗_{k} b ⊗_{k} c).

Or c vérifie (cf. [4]) l’équation de Yang–Baxter: c_{1}c_{2}c_{1} = c_{2}c_{1}c_{2}. On a donc:

c̃_{1}c̃_{2}c̃_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = c̃_{2}c̃_{1}c̃_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}).

Ce qui établit l’égalité pour ce premier cas. Les autres cas sont triviaux. □ Le k-module Der(A) est donc un k-module munie d’un automorphisme c̃ vérifiant l’équation de Yang-Baxter, d’aprés l’exemple 1, on sait lui associer une catégorie tensorielle tressée ζ_{C} = ζ_{C}(Der(A)) pour laquelle Der(A) est un objet et c̃ le tressage de Der(A). Soit

m_{0} : End_{k}(A) ⊗_{k} End_{k}(A) → End_{k}(A) la composition dans ζ,
f ⊗_{k} g → f ∘ g.

Pour tous d_{1}, d_{2} dans Der(A) et pour tous a_{1}, a_{2} dans A, posons

[d_{1}, d_{2}] = [ ](d_{1} ⊗_{k} d_{2}) = (m_{0} − m_{0}c̃)(d_{1} ⊗_{k} d_{2})

et

[a_{1}, a_{2}] = [ ](a_{1} ⊗_{k} a_{2}) = (m − mc)(a_{1} ⊗_{k} a_{2}).

Lemme 6. Pour tous D ∈ Der(A) et b ∈ A

[D, d_{b}] = d_{D(b)}.

En particulier [d_{a}, d_{b}] = d_{[a,b]}. Preuve. Supposons que D = d_{a} avec a ∈ A.

[D, d_{b}] = [d_{a}, d_{b}] = m_{0}(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) − m_{0}c̃(d_{a} ⊗_{k} d_{b})
= m_{0}(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) − m_{0}(d_{a} ⊗_{k} d_{b})c(a ⊗_{k} b).

Par linéarité on peut supposer que

c(a ⊗_{k} b) = b′ ⊗_{k} a′.

Pour tout z dans A on a donc

[d_{a}, d_{b}](z) = d_{a} ∘ d_{b} − d_{b′} ∘ d_{a′}

or pour tout z dans A on a

d_{x}(z) = [x, z] = [ ](x ⊗_{k} z)

d’où:

[d_{a}, d_{b}](z) = [ ][ ]_{2}(a ⊗_{k} b ⊗_{k} z) − [ ][ ]_{2}(b′ ⊗_{k} a′ ⊗_{k} z)
= [ ][ ]_{2}(id_{A^{3}} − c_{1})(a ⊗_{k} b ⊗_{k} z).

D’après le Lemme 8 on a

[d_{a}, d_{b}](z) = [ ][ ]_{1}(a ⊗_{k} b ⊗_{k} z) = [ ](d_{a}(b) ⊗_{k} z) = d_{d_{a}(b)}(z)

d’où

[d_{a}, d_{b}] = d_{d_{a}(b)} = d_{[a,b]}.

Supposons que D ∉ IDer(A),

[D, d_{b}] = m_{0}(D ⊗_{k} d_{b}) − m_{0}(d_{b} ⊗_{k} D) = D ∘ d_{b} − d_{b} ∘ D.

D’après la Proposition 13 et la relation (34), on a pour tout z dans A

[D, d_{b}](z) = D ∘ [ ](b ⊗_{k} z) − [ ](b ⊗_{k} D(z))
= D ∘ [ ](b ⊗_{k} z) − [ ](id_{A} ⊗_{k} D)(b ⊗_{k} z)
= (D ∘ [ ] − [ ](id_{A} ⊗_{k} D))(b ⊗_{k} z)
= [ ](D ⊗_{k} id_{A})(b ⊗_{k} z)
= [ ](D(b) ⊗_{k} z) = d_{D(b)}(z).

Par conséquent

[D, d_{b}] = d_{D}(b).  □

Proposition 15. Soient (ζ, ⊗, I, c) une catégorie tensorielle de k-modules et (A, m, u) une algèbre de A. (Der(A), [ ] = m_{0} − m_{0}c̃) est une algèbre de Lie de ζ_{C}.

Preuve. Rappelons que A étant tressée, A muni du crochet [ ] = m − m ∘ c est une algèbre de Lie de ζ. Soient d_{1}, d_{2} dans Der(A), montrons que

[ ]c̃(d_{1} ⊗_{k} d_{2}) = −[ ](d_{1} ⊗_{k} d_{2}).

Pour cela il suffit de montrer la relation pour d_{1} = d_{a} et d_{2} = d_{b}, les autres cas étant triviaux.

Posons:

c(a ⊗_{k} b) = (b′ ⊗_{k} a′) et c(b ⊗_{k} c) = (c′′ ⊗_{k} b′′).

D’aprés le Lemme 6 on a

[ ]c̃(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) = [ ](d_{b′} ⊗_{k} d_{a′}) = d_{[ ](b′⊗_{k}a′)} = d_{[ ]c(a⊗_{k}b)} = −d_{[ ](a⊗_{k}b)} =
= −[ ](d_{a} ⊗_{k} d_{b}).

Soit d_{3} ∈ Der(A), montrons l’identié de Jacobi tressée. Supposons tout d’abord que d_{3} = d_{c}. Comme conséquence immédiate du Lemme 6, pour tout i, i = 1, 2, on a:

[ ][ ]_{i}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = d_{[ ][ ]_{i}(a⊗_{k}b⊗_{k}c)}.

Par suite:

[ ][ ]_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = d_{[ ][ ]_{2}(a⊗_{k}b⊗_{k}c)}
= d_{[ ][ ]_{1}(a⊗_{k}b⊗_{k}c)} − d_{[ ][ ]_{1}c_{2}(a⊗_{k}b⊗_{k}c)}
= [ ][ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) − d_{[ ][ ]_{1}(a⊗_{k}c(b⊗_{k}c))}
= [ ][ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) − [ ][ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b′′} ⊗_{k} d_{c′′}).

Or

c̃_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = (d_{a} ⊗_{k} d_{c′′} ⊗_{k} d_{b′′})

d’où:

[ ][ ]_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}) = [ ][ ]_{1}(id_{(Der(A))^{3}} − c̃_{2})(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} d_{c}).

Supposons que d_{3} = D ∉ IDer(A) en utilisant le Lemme 6 et l’antisymétrie du crochet de Der(A) on a:

[ ][ ]_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} D) = [ ](d_{a} ⊗_{k} [ ](d_{b} ⊗_{k} D)) = −[ ](d_{a} ⊗_{k} [ ]c̃_{2}(d_{b} ⊗_{k} D))
= −[ ](d_{a} ⊗_{k} [ ](D ⊗_{k} d_{b})) = −[ ](d_{a} ⊗_{k} d_{D(b)})
= −d_{[ ](a⊗_{k}D(b))} = d_{−[ ](id_{A}⊗_{k}D)(a⊗_{k}b)}.

D étant une dérivation de (A, [ ]), on a

−[ ](id_{A} ⊗_{k} D)(a ⊗_{k} b) = −D ∘ [ ](a ⊗_{k} b) + [ ](D ⊗_{k} id_{A})(a ⊗_{k} b).

Mais d’une part:

d_{−D([ ](a⊗_{k}b))} = −[ ](D ⊗_{k} d_{[ ](a⊗_{k}b)}) = [ ]c̃(D ⊗_{k} d_{[ ](a⊗_{k}b)})
= [ ](d_{[ ](a⊗_{k}b)} ⊗ D) = [ ]([ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b}) ⊗_{k} D)
= [ ][ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} D).

D’autre part:

d_{[ ](D⊗_{k}id_{A})(a⊗_{k}b)} = d_{[ ](D(a)⊗_{k}b)} = [ ](d_{D(a)} ⊗_{k} d_{b}) = [ ]([ ]_{1}(D ⊗_{k} d_{a}) ⊗_{k} d_{b})
= −[ ]([ ]_{1}c̃(D ⊗_{k} d_{a}) ⊗_{k} d_{b}) = −[ ]([ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} D) ⊗_{k} d_{b})
= −[ ][ ]_{1}(d_{a} ⊗_{k} D ⊗_{k} d_{b}) = −[ ][ ]_{1}(c̃_{2}(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} D)).

D’où l’égalité voulue

[ ][ ]_{2}(d_{a} ⊗ d_{b} ⊗_{k} D) = [ ][ ]_{1}(id_{(Der(A))^{3}} − c̃_{2})(d_{a} ⊗_{k} d_{b} ⊗_{k} D).

Les autres cas se démontrent demanière analogue. Il s’en suit que (Der(A),[ ]) est une algèbre de Lie de ζ. □

Dans [2] on trouvera d’autres applications des algèbres de Lie tressées. Nous remercions Marc Wambst pour avoir été à l’origine des résultats de cet article.

Références

[1] Baez, J. C.: Hochschild Homology in a Braided Tensor Category. Wellesley College (Massachusetts) 1992.

[2] Haddi, A.; Hadj Nassar, S.: Homologie et produit tensoriel tréssé. Workshop on derived categories and applications, Almeria 1997.

[3] Joyal, A.; Street, R.: Braided tensor categories. Adv. Math. 102 (1993), 20–78.

[4] Kassel, C.: Invariants des noeuds, catégories tensorielles et groupes quantiques. Gazette des Mathématiciens 56 (1993), 63–80.

[5] Kassel, C.: Quantum Groups. Grad. Texts in Math. 155, Springer Verlag 1995.

[6] MacLane, S.: Natural associativity and commutativity. Rice Univ. Studies 49 (1963), 28–46.

[7] Manin, Yu. L.: Quantum groups and Non-Commutative Geometry. Université de Montréal, Centre de Recherche Mathématiques, Montréal 1988.

[8] Turaev, V. G.: Modular Categories and 3-manifold invariants. Int. J. Modern Phys. B 6 (1992)(11–12), 1807–1824.

[9] M. Wambst, M.: Homologie des algèbres quantiques. Thèse de Doctorat, Université Louis Pasteur, Strasbourg 1993.

Received March 27, 1998