Certaines Combinaisons Linéaires

de Deux Formes de Pfister

et le Problème d’Isotropie

Ahmed Laghribi

Received: May 30, 2001 Revised: September 28, 2001

Communicated by Ulf Rehmann

Abstract. In this paper we treat the isotropy problem of certain linear combinations of two Pfister forms over the function field of a projective quadric. More precisely, we discuss the connection between this problem and some conjectures on a field that appears in the generic splitting tower of a quadratic form associated to a given linear combination. The case of some linear combinations of low dimension will be detailed.

2000 Mathematics Subject Classification: 11E04, 11E81. Keywords and Phrases: Forme quadratique, Forme de Pfister, Quadrique projective, Déploiement générique d’une forme quadratique, Cohomologie galoisienne.

1. Introduction

Soit F un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Dans ce papier on s’intéresse au problème suivant:

Problème 1.1. Pour φ une F -forme quadratique anisotrope de dimension ≥ 2, quelles sont les F -formes quadratiques ψ pour lesquelles φ devient isotrope sur F (ψ) le corps des fonctions de la quadrique projective d’équation ψ = 0?

Une n-forme de Pfister est une forme de type ⟨1, −a_{1}⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ⟨1, −a_{n}⟩ avec a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ F^{∗}, qu’on note ⟨⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩⟩. Une 0-forme de Pfister est une forme de dimension 1. Fixons quelques notations:

Notations 1.2. Pour n, m ≥ 0 deux entiers, on note:

1. P_{n}(F) l’ensemble des n-formes de Pfister et GP_{n}(F) = F^{∗}P_{n}(F).

2. (P_{n}(F))′ = {π′ | ⟨1⟩ ⊥ π′ ∈ P_{n}(F)} et (GP_{n}(F))′ = F^{∗}(P_{n}(F))′.

3. L_{n,m}(F) = {π ⊥ τ | π ∈ GP_{n}(F), τ ∈ GP_{m}(F)}.

4. (L_{n,m}(F))′ = {π ⊥ τ | π ∈ (GP_{n}(F))′, τ ∈ (GP_{m}(F))′}.

Une forme quadratique ψ est dite une sous-forme de φ et on note ψ ⊂ φ s’il existe une forme quadratique ξ telle que φ ≅ ψ ⊥ ξ où ≅ et ⊥ désignent respectivement l’isométrie et la somme orthogonale des formes quadratiques.

Le but de ce papier est d’étudier le problème précédent lorsque φ ∈ L_{n,m}(F) ou (L_{n,m}(F))′. En général, il est très difficile de faire cela de façon complète. En ce qui concerne les formes de L_{n,m}(F), notre stratégie consiste à associer à une forme φ ∈ L_{n,m}(F) un corps F_{ϵ} qui apparaît dans la tour de déploiement générique d’une forme liée à φ. Le corps F_{ϵ} est indépendant de l’écriture de φ et que la forme φ_{F_{ϵ}} devient une sous-forme d’une forme de GP_{n+1}(F_{ϵ}) (propositions 2.2, 2.7). On conjecture que φ_{F_{ϵ}} est anisotrope et on fait le lien avec d’autres conjectures (propositions 2.12, 2.16). On va discuter de manière générale ces conjectures et ce en répondant au problème 1.1 dès que ces conjectures sont vérifiées (théorème 2.19). Entre autre, on étudie de manière réelle l’isotropie d’une forme de L_{n,1}(F) et d’une forme de L_{n,m}(F) qui est divisible par une (m − 1)-forme de Pfister, et cette étude est plus détaillée lorsque n = 3 et m = 2. Pour ce qui est de l’isotropie d’une forme de (L_{n,m}(F))′, l’étude se ramène souvent à celle d’une forme de L_{n,m}(F) qui la contient (proposition 3.2). Mais, en général, l’isotropie des formes de (L_{n,m}(F))′ reste plus compliquée que celle des formes de L_{n,m}(F). On se limite à étudier l’isotropie de certaines formes de (L_{n,m}(F))′ avec n ≥ 3 et m = 1, 2.

Rappelons que dans la proposition 2.16 et les théorèmes 2.19, 4.1 on suppose dans certains cas que F est de caractéristique 0. Cela est dû au fait qu’on se base sur des résultats d’Orlov-Vishik-Voevodsky [31] qui sont établis en cette caractéristique. Plus précisément, par [38] et [31, Theorem 2.1] on déduit qu’on a le résultat suivant:

(R1) Pour m ≥ n ≥ 1 et π ∈ GP_{n}F, on a Ker(H^{m}F ⟶ H^{m}F (π)) = e^{n}(π) · H^{m−n}F

où e^{n} est le n-ième invariant d’Arason et H^{n}F est le n-ième groupe de cohomologie galoisienne à coefficients dans ℤ/2 (voir la section 4 pour plus de détails sur l’invariant e^{n}). Aussi par [38] et [31, Theorem 2.10] on a un autre résultat:

(R2) Pour h ∈ H^{n}F non nul, il existe K/F une extension telle que h_{K} soit un symbole non nul

où un symbole désigne un élément de H^{n}F de type (a_{1}) · . . . · (a_{n}) avec (a_{i}) est la classe de a_{i} ∈ F^{∗} dans H^{1}F et · est le cup-produit. Comme conséquence du résultat (R2) on obtient:

(R3) Pour φ de dimension > 2^{n}, on a Ker(H^{n}F ⟶ H^{n}F (φ)) = {0}.

Aussi on mentionne un autre résultat important [18, fin de la page 166], [30]:

(R4) Pour n ≥ 0, e^{n} induit un isomorphisme entre I^{n}F/I^{n+1}F et H^{n}F.

Lorsque la caractéristique n’est pas nécessairement 0, les résultats (R1), (R3) et (R4) sont vrais comme suit:

Certaines Combinaisons de Deux Formes de Pfister ⋯ 221

1. Le résultat (R1) est vrai pour m ≤ 4: Arason [1] pour m = 2, 3; Kahn-Rost-Sujatha [17, Corollary 2] pour m = 4 et n = 3; Kahn-Sujatha [19, Theorem 2] pour m = 4 et n = 2.

2. Le résultat (R3) est vrai pour n ≤ 4: Arason [1] pour n ≤ 3; Kahn-Rost-Sujatha [17, Corollary 2] pour n = 4.

3. Le résultat (R4) est vrai pour n ≤ 4: Evident pour n = 0; Par la théorie de Kummer pour n = 1; Merkur’ev [28] pour n = 2; Merkur’ev-Suslin/Rost [29], [33] pour n = 3; Rost (non publié) et Szyjewski [37] pour n = 4.

On dit qu’une forme φ est voisine s’il existe une n-forme de Pfister π telle que dim φ > 2^{n−1} et aπ ≅ φ ⊥ ξ pour certains a ∈ F^{∗} et ξ une forme quadratique. Dans ce cas, les formes π et ξ sont uniques, et pour toute extension de corps K/F on a que φ_{K} est isotrope si et seulement si π_{K} l’est aussi. La forme ξ est appelée la forme complémentaire de φ.

Si φ est voisine de π ∈ P_{n}F, en particulier si φ ∈ L_{n,0}(F), alors par le théorème de la sous-forme (théorème 1.4) on répond au problème 1.1 de façon complète:

φ_{F (ψ)} est isotrope ⇔ π_{F (ψ)} est isotrope
⇔ aψ ⊂ π pour un certain a ∈ F^{∗}

(1)

Ainsi pour la suite de ce papier et dans le cas des formes de L_{n,m}(F), on va considérer uniquement celles de L_{n,m}(F) avec m ≥ 1.

L’isotropie d’une forme de L_{1,1}(F) a été étudiée par Leep [27] et Shapiro [35]; l’isotropie d’une forme de L_{2,1}(F) a été étudiée par Hoffmann [7] et Izhboldin-Karpenko [13]; l’isotropie d’une forme de L_{2,2}(F) a été étudiée par l’auteur [22], [23].

Plus généralement, le problème précédent a été aussi étudié par Hoffmann pour une forme de dimension 5 [6]; par Leep [27] et Merkur’ev [26] pour une forme d’Albert (c’est-à-dire une forme de dimension 6 et de discriminant à signe −1); par l’auteur [24] et Izhboldin-Karpenko [12] pour des formes de dimension 6 qui ne sont pas nécessairement dans L_{2,1}(F); par l’auteur pour une forme de dimension 8 et de discriminant à signe 1 mais qui n’est pas nécessairement dans L_{2,2}(F), et pour certaines formes de dimension 7.

Si K/F est une extension de corps, alors on notera W (K/F) le noyau de l’homomorphisme W (F) ⟶ W (K) induit par l’inclusion F ⊂ K. Pour deux formes φ_{1} et φ_{2}, on note φ_{1} ∼ φ_{2} si φ_{1} ⊥ −φ_{2} est hyperbolique. On dit que φ_{1} et φ_{2} sont semblables si φ_{1} ≅ aφ_{2} pour un certain scalaire a ∈ F^{∗}. La partie anisotrope φ_{an} d’une forme quadratique φ est l’unique forme quadratique anisotrope telle que φ ∼ φ_{an}. On dit que φ est divisible par ψ si on a φ ≅ ψ ⊗ρ pour une certaine forme quadratique ρ.

On désigne par C(φ) (resp. C_{0}(φ)) l’algèbre de Clifford de φ (resp. l’algèbre de Clifford paire de φ). L’invariant de Clifford de φ est désigné par c(φ). On note D_{F} (φ) = {a ∈ F^{∗}|∃ x ∈ V, φ(x) = a} où V est l’espace vectoriel sous-jacent à φ, et G_{F} (φ) = {a ∈ F^{∗}|aφ ≅ φ}. On rappelle que D_{F} (π) = G_{F} (π) pour toute forme de Pfister π et on dit que dans ce cas que π est multiplicative.

Pour A une F -algèbre simple centrale de dimension finie, on désigne par ind A l’indice de Schur de A.

Les deux théorèmes suivants seront utilisés de manière fréquente. On y fera référence respectivement par les noms “Hauptsatz” et “le théorème de la sousforme”.

Théorème 1.3. (Arason-Pfister) Si φ ∈ I^{n}F anisotrope, alors dim φ ≥ 2^{n}.

Théorème 1.4. (Cassels-Pfister) Soient φ et ψ deux formes quadratiques anisotropes telles que 1 ∈ D_{F} (ψ) et que φ_{F (ψ)} soit hyperbolique. Alors, pour tout α ∈ D_{F} (φ) on a αψ ⊂ φ. En particulier, dim φ ≥ dim ψ.

2. Les formes quadratiques de L_{n,m}(F)

Le long de cette section on va fixer les notations suivantes:

(∗)  \{ \begin{matrix}π ∈ P_{n}(F), τ ∈ P_{m}(F) & avec n ≥ m ≥ 1 \\ φ = aπ ⊥ bτ ∈ L_{n,m}(F) & avec a, b ∈ F^{∗} \\ η = π ⊥ −τ \\ π_{0} = π ⊥ abπ ∈ P_{n+1}(F). \end{matrix}

Faisons remarquer qu’avec la multiplicativité d’une forme de Pfister, on déduit que si φ est anisotrope alors π_{0} est aussi anisotrope.

2.1. Quelques résultats préliminaires. Par la théorie générique de Knebusch [20], [21], on associe à une forme quadratique φ non nulle une suite de formes quadratiques et d’extensions de F, appelée la tour de déploiement générique de φ, de la manière suivante:

F_{0} = F, φ_{0} = φ_{an}

et pour n ≥ 1, on définit par récurrence

F_{n} = F_{n−1}(φ_{n−1}) et φ_{n} = ((φ_{n−1})_{F_{n}})_{an}.

La hauteur de φ, notée h(φ), est le plus petit entier h tel que dim φ_{h} ≤ 1. Pour j ∈ {0, ⋯, h}, on note i_{j}(φ) l’indice de Witt de φ_{F_{j}}. On a 0 ≤ i_{0}(φ) < ⋯ < i_{h}(φ). On appelle (i_{0}(φ), ⋯, i_{h}(φ)) la suite des indices de déploiement de φ (splitting patterns [10]), et (φ_{0}, ⋯, φ_{h}) (resp. (F_{0}, ⋯, F_{h})) la suite des noyaux (resp. la suite des extensions) de la tour de déploiement générique de φ. Si dim φ est paire, alors φ_{h−1} est semblable à une forme de Pfister ρ ∈ P_{d}F_{h−1} qu’on appelle la forme dominante de φ (Knebusch [20, Theorem 5.8] et Wadsworth [39]). L’entier d s’appelle le degré de φ, qu’on note deg(φ). Lorsque dim φ est impaire, on dit que φ est de degré 0. Le corps F_{h} s’appelle le corps de déploiement générique de φ.

On commence par rappeler un résultat.

Proposition 2.1. (Elman-Lam [3, 4.5]; Kahn [15, Remarque, Page 61]) Soient π ∈ P_{n}F, τ ∈ P_{m}F anisotropes et a, b ∈ F^{∗}. Soit i le plus grand entier tel que π et τ soient divisibles par une i-forme de Pfister. Alors, i_{W} (aπ ⊥ bτ) = 0 ou 2^{i}. De plus, si i_{W} (aπ ⊥ bτ) = 2^{i} alors il existe ρ ∈ P_{i}F, μ ∈ P_{n−i}F et ν ∈ P_{m−i}F telles que π ≅ ρ ⊗ μ et τ ≅ ρ ⊗ ν.

La proposition suivante est liée au déploiement générique de η.

Proposition 2.2. On garde les mêmes notations que dans (∗). Soient (F_{i})_{0≤i≤h(η)} (resp. (i_{j}(η))_{0≤j≤h(η)}) la suite des extensions de la tour de déploiement générique de η (resp. la suite des indices de déploiement de η). Alors:

(1) Il existe ϵ ∈ {0, ⋯, h(η)} tel que i_{ϵ}(η) = 2^{m}.

(2) Pour ϵ ∈ {0, ⋯, h(η)} comme dans l’assertion (1), on a:

(i) aφ_{F_{ϵ}} ⊂ (π_{0})_{F_{ϵ}}, (ii) Si i_{W} (η) = 2^{m−1}, alors ϵ = 1 c’est-à-dire F_{ϵ} = F (η_{an}), (iii) Si i_{W} (η) = 2^{m}, alors ϵ = 0 c’est-à-dire F_{ϵ} = F. (iv) Si n > m, alors l’extension F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure.

Démonstration. (1) Voir [11, Theorem 2.8].

(2)(i) Puisque i_{ϵ}(η) = 2^{m}, on déduit que τ_{F_{ϵ}} ⊂ π_{F_{ϵ}}. Ainsi, aφ_{F_{ϵ}} ⊂ (π_{0})_{F_{ϵ}}. (ii) Il existe ρ ∈ P_{m−1}F, μ = μ′ ⊥ ⟨1⟩ ∈ P_{n−m+1}F et d ∈ F^{∗} tels que π ≅ ρ⊗μ et τ ≅ ρ ⊗ ⟨1, −d⟩. On a η_{an} = ρ ⊗ (μ′ ⊥ ⟨d⟩). Comme i_{W} (η_{F (η_{an})}) est une puissance de 2 (proposition 2.1) strictement supérieure à 2^{m−1}, on a i_{1}(η) = 2^{m}. Ainsi, ϵ = 1 c’est-à-dire F_{ϵ} = F (η_{an}). (iii) Evident. (iv) On a η_{F (π)} ∼ (−τ)_{F (π)}. Par le théorème de la sous-forme, τ_{F (π)} est anisotrope, et donc (η_{F (π)})_{an} ≅ (−τ)_{F (π)}. Ainsi, i_{W} (η_{F (π)}) = 2^{n−1} ≥ 2^{m} = i_{ϵ}(η). D’après [20, Remark 5.5] on a que F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure.

Remarque 2.3. Avec les notations de la proposition 2.2 et lorsque n = m, le corps F_{ϵ} n’est autre que le corps de déploiement générique de η c’est-à-dire ϵ = h(η).

Définition 2.4. ([21, Definition 7.7]) Toute forme de dimension ≤ 1 est dite excellente. Une forme φ de dimension ≥ 2 est dite excellente si elle est voisine et sa forme complémentaire est excellente.

La condition i_{W} (η) = 2^{m} peut être vue autrement:

Proposition 2.5. On garde les mêmes notations que dans (∗) et on suppose que φ est anisotrope. On a équivalence entre:

(1) φ est une voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister,

(2) φ est divisible par une m-forme de Pfister,

(3) φ est excellente.

(4) τ ⊂ π.

Démonstration. Les implications (3) ⟹ (1) et (4) ⟹ (2) sont évidentes.

(1) ⟹ (4) Puisque aπ ⊥ ⟨b⟩ est une voisine de π_{0} contenue dans φ, on déduit que φ est une voisine de π_{0}. Par multiplicativité aφ ⊂ π_{0}. Ainsi, τ ⊂ π.

(2) ⟹ (3) Soit ρ ∈ P_{m}(F) divisant φ. Alors, aπ_{F (ρ)} ∼ −bτ_{F (ρ)} puisque φ_{F (ρ)} ∼ 0. Si n > m on obtient π_{F (ρ)} ∼ τ_{F (ρ)} ∼ 0. Ainsi, ρ ≅ τ et π_{F (τ)} ∼ 0. Soit λ ∈ P_{n−m}(F) tel que π ≅ τ ⊗ λ. On a φ ≅ τ ⊗ (aλ ⊥ ⟨b⟩) qui est bien une forme excellente. Si n = m on obtient que φ ∈ GP_{n+1}(F) qui est aussi excellente.

Définition 2.6. (1) Deux corps K et L contenant F sont dits F -équivalents (au sens de Knebusch) s’il existe une F -place de l’un vers l’autre et inversement.

(2) Deux suites croissantes de corps (F_{0} = F, …, F_{r}) et (G_{0} = F, …, G_{s}) sont dites F -équivalentes si:

(i) r = s, (ii) Pour tout i ∈ {0, …, r} les corps F_{i} et G_{i} sont F -équivalents.

La proposition suivante sera démontrée au début de la section 5.

Proposition 2.7. On garde les mêmes notations que dans (∗). Soient ζ ∈ P_{n}F, σ ∈ P_{m}F et c, d ∈ F^{∗} de sorte que

φ ≅ cζ ⊥ dσ

soit une autre écriture de φ. Soient δ = ζ ⊥ −σ et (F_{i}, η_{i})_{0≤i≤h(η)} (resp. (G_{i}, δ_{i})_{0≤i≤h(δ)}) la tour de déploiement générique de η (resp. la tour de déploiement générique de δ). Soit ϵ ∈ {0, ⋯, h(η)} (resp. ν ∈ {0, ⋯, h(δ)}) tel que i_{W} (η_{F_{ϵ}}) = 2^{m} (resp. i_{W} (δ_{G_{ν}}) = 2^{m}).

(1) Si n > m, alors les suites (F_{0}, …, F_{ϵ}) et (G_{0}, …, G_{ν}) sont F -équivalentes. En particulier, ϵ = ν et les corps F_{ϵ} et G_{ν} sont F -équivalents.

(2) Si n = m, alors les corps F_{ϵ} et G_{ν} sont aussi F -équivalents. Ainsi, à F -équivalence près, le corps F_{ϵ} ne dépend pas de l’écriture de φ.

Définition 2.8. Avec les mêmes notations et hypothèses que dans la proposition 2.2, on appelle F_{ϵ} le corps de voisinage de φ.

2.2. Isotropie des formes quadratiques de L_{n,m}(F). Soient φ comme dans (∗) et F_{ϵ} son corps de voisinage. Comme on va le voir l’isotropie de φ est liée à la question de savoir si φ_{F_{ϵ}} reste anisotrope lorsque φ est anisotrope. Sur cette question on pose la conjecture suivante:

Conjecture 2.9. On garde les mêmes notations que dans (∗) et on suppose que φ est anisotrope. Soit F_{ϵ} le corps de voisinage de φ. Alors, (π_{0})_{F_{ϵ}} est anisotrope. En particulier, π_{0} ∉ W (F_{ϵ}/F).

De manière équivalente, la conjecture dit que φ_{F_{ϵ}} est anisotrope du fait que aφ_{F_{ϵ}} ⊂ (π_{0})_{F_{ϵ}} et 2 dim φ > dim π_{0}.

Plus généralement sur l’ensemble P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F) on pose la conjecture suivante:

Conjecture 2.10. Avec les mêmes hypothèses que dans la conjecture 2.9 et pour ρ ∈ P_{n+1}(F), on a:

ρ ∈ W (F_{ϵ}/F) ⇔ \begin{cases}ρ ≅ π ⊥ rπ avec r ∈ D_{F} (−τ) & si n > m \\ ρ ⊥ −(η ⊥ αη) ∈ I^{n+2}F pour α ∈ F^{∗} & si n = m. \end{cases}

Dans la proposition qui suit on mentionne quelques inclusions qui sont toujours vraies dans la conjecture 2.10.

Proposition 2.11. Avec les mêmes notations que dans (∗), on a:

(1) {π ⊥ rπ | r ∈ D_{F} (−τ)} ⊂ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F).

(2) Si n > m, alors P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F) ⊂ {π ⊥ rπ | r ∈ F^{∗}}.

(3) Si n = m, alors {ρ ∈ P_{n+1}F | ρ ⊥ −(η ⊥ αη) ∈ I^{n+2}F, α ∈ F^{∗}} ⊂ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F).

Démonstration. (1) Si r ∈ D_{F} (−τ), alors on a:

η ⊥ rη ∼ π ⊥ −τ ⊥ −rτ ⊥ rπ
∼ π ⊥ −τ ⊥ τ ⊥ rπ
∼ π ⊥ rπ ∈ I^{n+1}F.

Puisque dim(η_{F_{ϵ}})_{an} = 2^{n} − 2^{m}, on a dim((η ⊥ rη)_{F_{ϵ}})_{an} ≤ 2^{n+1} − 2^{m+1}. Par le Hauptsatz , on déduit que π ⊥ rπ ∈ W (F_{ϵ}/F).

(2) Si ρ ∈ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F), alors ρ_{F_{ϵ}(π)} ∼ 0. Par la proposition 2.2(iv) on a que F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure, et donc ρ_{F (π)} ∼ 0. D’où le résultat.

(3) C’est une conséquence du Hauptsatz et du fait que η_{F_{ϵ}} ∼ 0 (remarque 2.3).

Proposition 2.12. La conjecture 2.10 implique la conjecture 2.9.

Voici quelques cas où la conjecture 2.10 est vérifiée:

Proposition 2.13. La conjecture 2.10 est vraie si i_{W} (η) ∈ {2^{m}, 2^{m−1}}.

Comme un corollaire immédiat on a:

Corollaire 2.14. La conjecture 2.10 est vraie pour φ ∈ L_{n,1}(F).

En caractéristique 0 lorsque n ≥ 4 et avec le résultat (R4) la conjecture 2.9 dit de manière équivalente que e^{n+1}(π_{0}) ∉ H^{n+1}(F_{ϵ}/F). Plus généralement, on pose une conjecture sur le noyau H^{n+1}(F_{ϵ}/F):

Conjecture 2.15. Avec les mêmes hypothèses que dans la conjecture 2.9, on a:

H^{n+1}(F_{ϵ}/F) = \begin{cases}\{e^{n}(π) · (r) | r ∈ D_{F} (τ)\} & si n > m \\ e^{n}(η) · H^{1}F & si n = m. \end{cases}

Entre les conjectures 2.10 et 2.15 on a les liens suivants:

Proposition 2.16. On suppose que F est de caractéristique 0 lorsque n ≥ 4. On a:

(1) Si n > m, alors les conjectures 2.10 et 2.15 sont équivalentes.

(2) Si n = m, alors la conjecture 2.15 implique la conjecture 2.10.

Théorème 2.17. La conjecture 2.15 est vraie dans les cas suivants:

(1) n = m ≤ 2.

(2) i_{W} (η) ∈ {2^{m−1}, 2^{m}} en supposant que F est de caractéristique 0 lorsque (n > m et n ≥ 4) ou (n = m ≥ 4 et i_{W} (η) = 2^{m−1}).

Démonstration. (1) La conjecture a été prouvée dans [1] lorsque (n = m = 1) et (n = m = 2 avec i_{W} (η) = 2); et dans [32] lorsque n = m = 2 avec i_{W} (η) = 1 (en fait dans ce dernier cas la conjecture se déduit de [32] comme cela est fait dans [22, Corollaire 6]).

(2) (i) Si n > m et i_{W} (η) ∈ {2^{m}, 2^{m−1}}, alors la conjecture est une conséquence de la proposition 2.16(1) et la proposition 2.13. (ii) Si n = m et i_{W} (η) = 2^{m}, alors la conjecture est évidente car η ∼ 0 et donc F_{ϵ} = F. (iii) Si n = m et i_{W} (η) = 2^{m−1}, alors η_{an} ∈ GP_{n}F et par la proposition 2.2 F_{ϵ} = F (η_{an}). La conjecture est une conséquence du résultat (R1).

On combine les propositions 2.13, 2.16 et le théorème 2.17 pour obtenir:

Corollaire 2.18. La conjecture 2.10 est vraie dans les cas suivants:

(1) n = m ≤ 2;

(2) i_{W} (η) ∈ {2^{m−1}, 2^{m}} en supposant que F est de caractéristique 0 lorsque (n > m et n ≥ 4) ou (n = m ≥ 4 et i_{W} (η) = 2^{m−1}).

Maintenant on énonce nos principaux résultats sur l’isotropie d’une forme quadratique de L_{n,m}(F). Dans le théorème suivant et lorsque n = m ≥ 4 on suppose que F est de caractéristique 0.

Théorème 2.19. Soit φ comme dans (∗) et qu’on suppose anisotrope et soit ψ une forme quadratique de dimension ≥ 2^{n+1}. On suppose que la conjecture 2.10 est vraie pour φ lorsque n > m, et que la conjecture 2.15 est vraie pour φ lorsque n = m. On a:

(1) Si dim ψ > 2^{n+1}, alors φ_{F (ψ)} est anisotrope.

(2) Si n > m et dim ψ = 2^{n+1}, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

(3) Si n = m, dim ψ = 2^{n+1} avec F de caractéristique 0 lorsque n ≥ 4, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister dont φ contient une voisine, ou φ ⊥ αψ ∈ I^{n+2}F pour un certain α ∈ F^{∗}.

Le corollaire suivant se déduit du théorème 2.19 et du corollaire 2.14.

Corollaire 2.20. Soient n ≥ 2 un entier et φ ∈ L_{n,1}(F) anisotrope. Soit ψ une forme quadratique de dimension 2^{n+1}. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ_{F (ψ)} est isotrope;

(2) ψ est voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

Comme dans le corollaire 2.20 et lorsque n = 3, on obtient:

Corollaire 2.21. Soit φ ∈ L_{3,1}(F) anisotrope et ψ une forme quadratique telle que 11 ≤ dim ψ ≤ 16. On suppose que φ n’est pas voisine et ind C_{0}(ψ) ≤ 2 lorsque dim ψ = 11. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ_{F (ψ)} est isotrope;

(2) ψ est voisine d’une 4-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

On introduit les notations suivantes:

Notations 2.22. Soient n ≥ m ≥ 1 deux entiers. A un entier l tel que m ≥ l ≥ 0, on associe les ensembles suivants:

1. L_{n,m,l}(F) est l’ensembles des formes απ ⊥ βτ anisotropes avec α, β ∈ F^{∗}, π ∈ P_{n}F, τ ∈ P_{m}F et i_{W} (π ⊥ −τ) = 2^{l}.

2. (L_{n,m,l}(F))′ est l’ensemble des formes απ′ ⊥ βτ′ anisotropes avec α, β ∈ F^{∗}, π = ⟨1⟩ ⊥ π′ ∈ P_{n}F, τ = ⟨1⟩ ⊥ τ′ ∈ P_{m}F et i_{W} (π ⊥ −τ) = 2^{l}.

Pour le cas des formes de L_{n,m,m−1}(F), on combine la proposition 2.13 et les théorèmes 2.17, 2.19 pour obtenir:

Corollaire 2.23. Soit φ ∈ L_{n,m,m−1}(F) anisotrope et soit ψ une forme quadratique de dimension 2^{n+1}. Alors on a:

(1) Si n > m, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

(2) Si n = m et F est de caractéristique 0 lorsque n ≥ 4, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une (n + 1)-forme de Pfister dont φ contient une voisine, ou φ ⊥ αψ ∈ I^{n+2}F pour un certain α ∈ F^{∗}.

Pour le cas des formes de L_{3,2,1}(F) on obtient:

Théorème 2.24. On garde les mêmes notations que dans (∗). On suppose que φ ∈ L_{3,2,1}(F) est anisotrope mais non voisine. Soit ψ une forme quadratique telle que 11 ≤ dim ψ ≤ 16.

(1) Si dim ψ ≥ 13, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une 4-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

(2) Si dim ψ = 12, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) ψ est voisine d’une 4-forme de Pfister dont φ contient une voisine ou il existe c ∈ F^{∗}, r ∈ D_{F} (τ) tels que abπ ⊥ −ψ ⊥ cη ⊥ rπ ∈ I^{5}F.

(3) Si dim ψ = 11 et ind C_{0}(ψ) ≤ 2, alors on a équivalence entre:

(i) φ_{F (ψ)} est isotrope, (ii) φ_{F (ψ′)} est isotrope où ψ′ = ψ ⊥ ⟨−d_{±}ψ⟩.

3. Les formes quadratiques de (L_{n,m}(F))′

Voici certains cas où l’isotropie d’une forme φ ∈ (L_{n,m}(F))′ a été étudiée:

1. Si m = 1, alors φ_{F (\sqrt{u})} ∈ GP_{n}F (\sqrt{u}) pour un certain u ∈ F^{∗}. Dans ce cas, l’isotropie de φ a été étudiée par Hoffmann [9].

2. Si n = m = 2, alors l’isotropie de φ a été étudiée par Hoffmann [7], l’auteur [24] et Izhboldin-Karpenko [12], [13].

Lemme 3.1. ([8, Lemma 3]) Soient φ et ψ des formes quadratiques telles que ψ ⊂ φ et dim ψ ≥ dim φ − i_{W} (φ) + 1. Alors, ψ est isotrope.

La proposition suivante précise que dans certains cas l’isotropie d’une forme de (L_{n,m}(F))′ se ramène à celle d’une forme de L_{n,m}(F) qui la contient.

Proposition 3.2. Soient φ′ ∈ (L_{n,m,l}(F))′ et φ ∈ L_{n,m,l}(F) qui contient φ′ comme une sous-forme. Si l ≥ 2, alors pour toute extension de corps K/F on a φ_{K} isotrope si et seulement si φ′_{K} isotrope.

Démonstration. Puisque φ ∈ L_{n,m,l}(F), alors φ est divisible par une l-forme de Pfister. Ainsi, i_{W} (φ_{F (φ)}) ≥ 2^{l}. Puisque dim φ = 2^{n} +2^{m}, dim φ′ = 2^{n} +2^{m} −2 et l ≥ 2, on vérifie bien que dim φ′ ≥ dim φ − i_{W} (φ_{F (φ)}) + 1. Par le lemme 3.1 on a φ′_{F (φ)} isotrope. Puisque φ_{F (φ′)} est isotrope, le résultat se déduit de [20, Theorem 3.3].

Pour la suite de cette section, on va se limiter à étudier l’isotropie des formes de (L_{n,2,1}(F))′ avec n ≥ 3.

Soient π = π′ ⊥ ⟨1⟩ ∈ P_{n}F (avec n ≥ 3), τ = τ′ ⊥ ⟨1⟩ ∈ P_{2}F et b ∈ F^{∗}. On suppose i_{W} (π ⊥ −τ) = 2. Par la proposition 2.1, il existe d, d′ ∈ F^{∗} et π_{1} = ⟨1⟩ ⊥ π′_{1} ∈ P_{n−1}F tels que π ≅ ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ π_{1} et τ ≅ ⟨⟨d, d′⟩⟩.

On fixe les notations suivantes:

(∗∗)  \{ \begin{matrix}φ = π′ ⊥ bτ′ \\ η = −bd′ ⟨1, −d⟩ ⊗ π′_{1} ⊥ ⟨1, bd⟩ \\ π_{0} = π ⊥ −bd′π. \end{matrix}

On suppose que φ est anisotrope.

Lemme 3.3. Avec les mêmes notations et hypothèses que dans (∗∗), on a:

(1) η_{F (π)} est isotrope.

(2) La forme π_{0} est anisotrope.

(3) Si φ n’est pas voisine, alors η est anisotrope.

Démonstration. Soit ξ = −bd′ ⟨1, −d⟩ ⊗ π′_{1}.

(1) On a ξ ⊂ η et −bd′ξ ⊂ π. Puisque n ≥ 3, on a dim ξ > 2^{n−1} et donc ξ_{F (π)} est isotrope. Ainsi, η_{F (π)} est aussi isotrope.

(2) La forme φ est anisotrope et π′ ⊥ −bd′ ⟨1, −d⟩ est une sous-forme de π_{0} et φ, de dimension > 2^{n}. Ainsi, π_{0} est anisotrope.

(3) Supposons que φ ne soit pas une voisine et que η soit isotrope. Clairement, on a

\{ \begin{matrix}π_{0} = π′ ⊥ −bd′ ⟨1, −d⟩ ⊥ ξ ⊥ ⟨1⟩ \\ φ = π′ ⊥ −bd′ ⟨1, −d⟩ ⊥ ⟨−bd⟩ \end{matrix}  (2)

La forme ξ ⊥ ⟨1⟩ est anisotrope car c’est une sous-forme de π_{0}. Puisque η est isotrope, on obtient ⟨−bd⟩ ⊂ ξ ⊥ ⟨1⟩, et par (2) on voit bien que φ ⊂ π_{0}. Comme dim φ > 2^{n} on déduit que φ est une voisine de π_{0}, une contradiction.

Définition 3.4. On garde les mêmes notations et hypoths̀es que dans (∗∗). On définit S(φ) comme étant l’ensemble des scalaires α ∈ F^{∗} pour lesquels les deux formes τ ⊥ απ et d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an} sont isotropes.

Proposition 3.5. Avec les mêmes notations et hypoths̀es que dans (∗∗), on a:

(1) L’ensemble S(φ) est non vide.

(2) Si α ∈ S(φ), alors dim(d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an})_{an} ≤ 2^{n}.

(3) On a P_{n+1}F ∩ W (F (η)/F) = {π ⊥ απ | α ∈ S(φ)}.

Concernant l’isotropie de φ (φ comme dans (∗∗)), on a le théorème suivant:

Théorème 3.6. On garde les mêmes notations et hypothèses que dans (∗∗). Soit ψ une forme quadratique de dimension 2^{n+1}. Alors, on a équivalence entre:

(1) φ_{F (ψ)} est isotrope;

(2) Il existe s ∈ S(φ) telle que ψ soit semblable à π ⊥ sbd′π.

Lorsque n = 3, on obtient:

Théorème 3.7. On garde les mêmes notations et hypothèses que dans (∗∗). On suppose que n = 3. Soit ψ une forme quadratique telle que 11 ≤ dim ψ ≤ 16 et ind C_{0}(ψ) = 2 lorsque dim ψ = 11. On a équivalence entre:

(1) φ_{F (ψ)} est isotrope;

(2) ψ est voisine d’une 4-forme de Pfister ρ telle que φ_{F (ρ)} soit isotrope.

4. Quelques résultats cohomologiques

D’après Arason [1] il existe une application ẽ^{n} de P_{n}F vers H^{n}F, définie par ẽ^{n}(⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩) = (a_{1}) · . . . · (a_{n}). L’application ẽ^{n} se prolonge en un homomorphisme e^{n} de I^{n}F/I^{n+1}F vers H^{n}F pour n = 0, 1, 2. On a e^{0}(φ) = dim φ ∈ H^{0}F ≃ ℤ/2, e^{1}(φ) = d_{±}φ ∈ H^{1}F ≃ F^{∗}/F^{∗2}, e^{2}(φ) = c(φ) ∈ H^{2}F ≃ Br_{2}(F) où Br_{2}(F) est la 2-torsion du groupe de Brauer Br(F) de F. e^{0}, e^{1} sont des isomorphismes. Lorsque n = 3, 4 l’application ẽ^{n} se prolonge en un homomorphisme de I^{n}F/I^{n+1}F vers H^{n}F (Arason [1] pour n = 3 et Jacob-Rost [14] pour n = 4).

Dans le théorème suivant, on calcule le noyau H^{i}(F_{ϵ}/F) lorsque i ≤ n:

Théorème 4.1. On garde les mêmes notations que dans (∗). On suppose que φ est anisotrope et que F est de caractéristique 0 lorsque n ≥ 5. Soit F_{ϵ} le corps de voisinage de φ. Alors | H^{i}(F_{ϵ}/F) |≤ 2 pour i ≤ n. Plus précisément:

H^{i}(F_{ϵ}/F) = \begin{cases}\{0\} & si n > i \\ \{0, e^{n}(η)\} & si n = i = m. \end{cases}

Si n = i > m, alors H^{i}(F_{ϵ}/F) ⊂ {0, e^{n}(π)} et ce noyau est nul si la conjecture 2.9 est vraie.

Pour la preuve de ce théorème on commence par un lemme préliminaire.

Lemme 4.2. Soit η comme dans (∗) qu’on suppose non nulle, et soit (F_{i}, η_{i})_{0≤i≤h(η)} sa tour de déploiement générique. On supposons que n = m et que F est de caractéristique 0 lorsque n ≥ 5. Alors:

(1) deg(η) = n.

(2) Si h(η) ≥ 2, alors:

(i) Pour tout i ∈ {0, ⋯, h(η) − 2} la forme (η_{i})_{F_{i}(τ)} est isotrope. (ii) Pour tout (i, j) ∈ {0, ⋯, h(η) − 1} × {0, ⋯, n}, on a

Ker(H^{j}F ⟶ H^{j}F_{i}) = {0}.

Démonstration. Puisque η ≁ 0, on a h := h(η) ≥ 1.

(1) On a η ∈ I^{n}F et dim η_{an} < 2^{n+1} ce qui implique deg(η) = n.

(2) (i) Puisque deg(η) = n, on obtient dim η_{i} > 2^{n} pour tout i ∈ {0, ⋯, h − 2}. De la relation η_{F (τ)} ∼ π_{F (τ)} on déduit (η_{i})_{F_{i}(τ)} ∼ π_{F_{i}(τ)}. Par raison de dimension la forme (η_{i})_{F_{i}(τ)} est isotrope pour i ∈ {0, ⋯, h − 2}. (ii) Soient (i, j) ∈ {0, ⋯, h − 1} × {0, ⋯, n} et x ∈ Ker(H^{j}F ⟶ H^{j}F_{i}). Le résultat est évident pour i = 0. Supposons i ≥ 1. Par (i) l’extension F_{i}(τ)/F (τ) est transcendante pure. Ainsi, x ∈ Ker(H^{j}F ⟶ H^{j}F (τ)). Si j < n on déduit par (R3) que x = 0. Si j = n on déduit par (R1) que x ∈ {0, e^{n}(τ)}. Si x = e^{n}(τ), alors par (R4) et le Hauptsatz τ_{F_{i}} ∼ 0. Par récurrence il suffit de considérer le cas τ_{F_{1}} hyperbolique. Ceci implique par le théorème de la sous-forme que τ ∼ 0 puisque h(η) ≥ 2 et donc dim η > 2^{n}, une contradiction. Ainsi, x = 0. Démonstration du théorème 4.1. Si η ∼ 0, alors F_{ϵ} = F et le théorème est évident. Pour la suite, on suppose que η ≁ 0 et donc h(η) ≥ 1. Soit (η_{0} = η_{an}, …, η_{h(η)}) la suite des noyaux de la tour de déploiement générique de η. Lorsque n = m, on a deg(η) = n par le lemme 4.2(1) et ϵ = h(η) par la remarque 2.3. Soit x ∈ H^{i}(F_{ϵ}/F).

(1) Supposons n > i.

(i) Si n > m, alors F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure. Ainsi, x ∈ H^{i}(F (π)/F). Puisque dim π = 2^{n} > 2^{i}, on déduit par (R3) que x = 0. (ii) Si n = m. On a η_{ϵ−1} ∈ GP_{n}(F_{ϵ−1}). Puisque F_{ϵ} = F_{ϵ−1}(η_{ϵ−1}) et x_{F_{ϵ−1}} ∈ H^{i}(F_{ϵ}/F_{ϵ−1}), on obtient par (R3) que x ∈ H^{i}(F_{ϵ−1}/F). Si ϵ = 1, alors x = 0, sinon on déduit par le lemme 4.2(2) que x = 0.

(2) Supposons n = i = m. Puisque x_{F_{ϵ−1}} ∈ H^{n}(F_{ϵ}/F_{ϵ−1}) et η_{ϵ−1} ∈ GP_{n}F_{ϵ−1}, on déduit par (R1) que x_{F_{ϵ−1}} ∈ {0, e^{n}(η)_{F_{ϵ−1}}} (car e^{n}(η)_{F_{ϵ−1}} = e^{n}(η_{ϵ−1})). Soit y ∈ H^{n}F une classe définie comme suit:

y = \{ \begin{matrix}x & si x_{F_{ϵ−1}} = 0 \\ x + e^{n}(η) & si x_{F_{ϵ−1}} = e^{n}(η)_{F_{ϵ−1}}. \end{matrix}

On a y ∈ H^{n}(F_{ϵ−1}/F). Si ϵ = 1, alors y = 0, sinon le lemme 4.2(2) implique que y = 0.

(3) Supposons n = i > m. Comme dans le cas (1)(i) x ∈ H^{n}(F (π)/F) = {0, e^{n}(π)}. Si de plus la conjecture 2.9 est vraie alors π_{F_{ϵ}} est anisotrope et donc par le Hauptsatz π_{F_{ϵ}} ∉ I^{n+1}F. Par (R4) on a e^{n}(π)_{F_{ϵ}} ≠ 0 et donc x = 0.

Proposition 4.3. On garde les mêmes notations que dans (∗). On suppose que n = m et que F est de caractéristique 0 lorsque n ≥ 5. Soit ψ une forme quadratique telle que ψ_{F_{ϵ}} ∈ I^{n+1}F_{ϵ}. Alors, ψ ∈ I^{n}F.

Démonstration. Par hypothèse e^{i}(ψ_{F_{ϵ}}) = 0 pour i ≤ n. On affirme que si φ ∈ I^{j}F pour un certain j ∈ {1, ⋯, n − 1}, alors ψ ∈ I^{j+1}F. En effet, puisque e^{j}(ψ)_{F_{ϵ}} = 0 on obtient par le théorème 4.1 que e^{j}(ψ) = 0 et par (R4) ψ ∈ I^{j+1}F. Comme ψ ∈ IF, on déduit par itération que ψ ∈ I^{n}F.

5. Démonstrations

5.1. Démonstration de la proposition 2.7.

Lemme 5.1. On garde les mêmes notations et hypothèses que dans la proposition 2.7. Pour K/F une extension, on a:

(1) Si n > m: φ_{K} ∼ 0 ⟺ π_{K} ∼ τ_{K} ∼ 0 (⟺ ζ_{K} ∼ σ_{K} ∼ 0).

(2) Si n = m: φ_{K} est voisine ⟺ π_{K} ≅ τ_{K} (⟺ ζ_{K} ≅ σ_{K}).

Démonstration. (1) C’est une simple conséquence de l’hypothèse n > m et du fait qu’une forme de Pfister isotrope est hyperbolique.

(2) Dans ce cas dim φ = 2^{n+1}. Il est clair que π_{K} ≅ τ_{K} implique que φ_{K} ∈ GP_{n+1}K. Réciproquement, si φ_{K} ∈ GP_{n+1}K alors φ_{K(π)} ∼ 0 et donc τ_{K(π)} ∼ 0. On conclut par le théorème de la sous-forme et la multiplicativité d’une forme de Pfister. Démonstration de la proposition. (1) Supposons n > m. Pour i ∈ {0, ⋯, ϵ} (resp. j ∈ {0, ⋯, ν}) soit r_{i} (resp. s_{j}) tel que 2^{r_{i}} = i_{W} (η_{F_{i}}) (resp. 2^{s_{j}} = i_{W} (δ_{G_{j}})). Puisque 2^{r_{i}} = i_{W} (η_{F_{i}}), on obtient par la proposition 2.1 que les formes π_{F_{i}} et τ_{F_{i}} sont divisibles par une forme de P_{r_{i}}F_{i}. Par le lemme 5.1, on déduit que pour i ∈ {0, ⋯, ϵ} on a i_{W} (η_{F_{i}}) = i_{W} (δ_{F_{i}}), et donc 2^{r_{i}} appartient à la suite des indices de déploiement de δ. De même pour j ∈ {0, ⋯, ν} l’entier 2^{s_{j}} appartient à la suite des indices de déploiement de η. Remarquons aussi que 2^{r_{i}}, 2^{s_{j}} ≤ 2^{m} pour tout (i, j) ∈ {0, ⋯, ϵ} × {0, ⋯, ν}. Ainsi, on déduit qu’on a nécessairement ν = ϵ et par [21, Remark 5.5] on a que F_{i} est F -équivalent à G_{i} pour tout i ∈ {0, ⋯, ϵ}.

(2) Supposons n = m. Par le lemme 5.1 on a ζ_{F_{ϵ}} ≅ σ_{F_{ϵ}} et π_{G_{ν}} ≅ τ_{G_{ν}}. Ainsi, i_{W} (η_{G_{ν}}) = i_{W} (δ_{F_{ϵ}}) = 2^{m}. Par [21, Remark 5.5] on a que F_{ϵ} est F -équivalent à G_{ν}.

5.2. Démonstration de la proposition 2.12. Supposons que φ_{F_{ϵ}} soit isotrope. Par la proposition 2.2(i) (π_{0})_{F_{ϵ}} ∼ 0.

(i) Supposons n > m. Par la conjecture 2.10, on a π_{0} ≅ π ⊥ rπ pour un certain r ∈ D_{F} (−τ). Par simplification, on a aπ ≅ brπ. Ainsi, φ ≅ brπ ⊥ bτ ≅ brπ ⊥ −brτ. Une contradiction car φ est anisotrope.

(ii) Supposons n = m. Par la conjecture 2.10 il existe α ∈ F^{∗} tel que π_{0} ⊥ −(η ⊥ αη) ∈ I^{n+2}F. Ainsi, abπ ⊥ τ ⊥ −αη ∈ I^{n+2}F. Par le Hauptsatz abπ ⊥ τ = bφ est isotrope, une contradiction.

5.3. Démonstration de la proposition 2.13. (1) Si i_{W} (π ⊥ −τ) = 2^{m}, alors par la proposition 2.2(iii) F_{ϵ} = F et la proposition est évidente.

(2) Si i_{W} (π ⊥ −τ) = 2^{m−1}. Soient ρ ∈ P_{m−1}F, μ = ⟨1⟩ ⊥ μ′ ∈ P_{n−m+1}F et d ∈ F^{∗} tels que π ≅ ρ ⊗ μ et τ ≅ ρ ⊗ ⟨⟨d⟩⟩. On a η_{an} = ρ ⊗ (μ′ ⊥ ⟨d⟩) et F_{ϵ} = F (η_{an}). Soit δ ∈ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F).

(i) Si n > m, alors par la proposition 2.2(iv) δ_{F (π)} ∼ 0. Ainsi, δ ≅ π ⊥ απ pour un certain α ∈ F^{∗}. Par le théorème de la sous-forme, on a π ⊥ απ ≅ sρ ⊗ (μ′ ⊥ ⟨d⟩) ⊥ ξ pour s ∈ F^{∗} et ξ une forme de dimension 2^{n}. Soit e ∈ D_{F} (ρ ⊗ μ′) ⊂ D_{F} (π). Puisque e, es ∈ D_{F} (π ⊥ απ), on peut supposer, par multiplicativité, que s = 1. Par simplification on a τ ⊥ απ ∼ ξ. Par comparaison des dimensions, on a τ ⊥ απ isotrope. Ainsi, il existe r ∈ D_{F} (−τ)∩D_{F} (απ). On a alors δ ≅ π ⊥ rπ avec r ∈ D_{F} (−τ). (ii) Si n = m, alors η_{an} ∈ GP_{m}F. Ainsi, il existe x, y ∈ F^{∗} tels que δ ≅ ⟨x, y⟩ ⊗ η_{an}. On a bien δ ⊥ −(η ⊥ xyη) ∈ I^{n+2}F.

5.4. Démonstration de la proposition 2.16. (1) Supposons n > m:

(i) Supposons que la conjecture 2.10 soit vraie. Soit x ∈ H^{n+1}(F_{ϵ}/F). Puisque F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure, on déduit que x ∈ H^{n+1}(F (π)/F). Par (R1) il existe α ∈ F^{∗} tel que x = e^{n+1}(π ⊥ απ). Puisque x_{F_{ϵ}} = 0, on a e^{n+1}((π ⊥ απ)_{F_{ϵ}}) = 0. Par (R4) on a (π ⊥ απ)_{F_{ϵ}} ∈ I^{n+2}F_{ϵ}. Par le Hauptsatz, on a π ⊥ απ ∈ W (F_{ϵ}/F). D’après la conjecture 2.10, on déduit que π ⊥ απ ≅ π ⊥ −rπ avec r ∈ D_{F} (τ). Ainsi, x = e^{n}(π)(r) avec r ∈ D_{F} (τ). (ii) Supposons que la conjecture 2.15 soit vraie. Soit ρ ∈ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F). Alors, e^{n+1}(ρ) ∈ H^{n+1}(F_{ϵ}/F). Par la conjecture 2.15 on a e^{n+1}(ρ) = e^{n}(π)(r) avec r ∈ D_{F} (τ). Par (R4) on a ρ ⊥ −(π ⊥ −rπ) ∈ I^{n+2}F. Puisque dim(ρ ⊥ −(π ⊥ −rπ))_{an} < 2^{n+2}, le résultat se déduit par le Hauptsatz.

(2) Supposons n = m: Supposons que la conjecture 2.15 soit vraie. Soit δ ∈ P_{n+1}F ∩ W (F_{ϵ}/F). Alors, e^{n+1}(δ) ∈ H^{n+1}(F_{ϵ}/F). Par la conjecture 2.15 il existe s ∈ F^{∗} tel que e^{n+1}(δ) = e^{n}(η)(−s). Par (R4) on obtient δ ⊥ −(η ⊥ sη) ∈ I^{n+2}F.

5.5. Démonstration du théorème 2.19. (1) C’est une conséquence de [8, Theorem 1].

Puisque la conjecture 2.10 implique la conjecture 2.9, on déduit qu’on a par hypothèse (π_{0})_{F_{ϵ}} anisotrope. (ii) ⟹ (i) Si ψ ∈ P_{n+1}F et φ contient une voisine de ψ, alors on sait que φ_{F (ψ)} est isotrope. Si φ ⊥ αψ ∈ I^{n+2}F, alors par le Hauptsatz on a (φ ⊥ αψ)_{F (ψ)} ∼ 0 et donc φ_{F (ψ)} est isotrope.

(i) ⟹ (ii) Soit ψ de dimension 2^{n+1} tel que φ_{F (ψ)} soit isotrope. En particulier, (π_{0})_{F_{ϵ}(ψ)} est isotrope et donc hyperbolique. On peut supposer que 1 ∈ D_{F} (ψ).

Ainsi,

ψ_{F_{ϵ}} ≅ (π_{0})_{F_{ϵ}}  (3)

• Si n > m: Par la proposition 2.2(iv) et l’équation (3) ψ ∈ W (F (π)/F). Ainsi, ψ ≅ π ⊥ απ pour un certain α ∈ F^{∗}. Par l’équation (3), on a απ ⊥ −abπ ∈ W (F_{ϵ}/F). Par la conjecture 2.10, π ⊥ −abαπ ≅ π ⊥ rπ pour un certain r ∈ D_{F} (−τ). Par la simplification de Witt, on a abαπ ≅ −rπ. Ainsi, φ ≅ −br(απ ⊥ τ). Puisque ψ ≅ π ⊥ απ, on voit que −br(απ ⊥ ⟨1⟩) est une voisine de ψ contenue dans φ. Donc l’assertion (2) est prouvée.

• Si n = m: Puisque ψ_{F_{ϵ}} ∈ I^{n+1}F_{ϵ} on déduit par la proposition 4.3 que ψ ∈ I^{n}F. Ainsi, e^{n}(ψ) ∈ H^{n}(F_{ϵ}/F). Par le théorème 4.1, on a e^{n}(ψ) ∈ {0, e^{n}(η)}.

(i) Si e^{n}(ψ) = e^{n}(η), alors ψ ⊥ −η ∈ I^{n+1}F par (R4). On a e^{n+1}(ψ ⊥ −η)_{F_{ϵ}} = e^{n+1}(ψ_{F_{ϵ}}) (car η_{F_{ϵ}} ∼ 0). Par l’équation (3) on a e^{n+1}(ψ ⊥ −η)_{F_{ϵ}} = e^{n+1}(π_{0})_{F_{ϵ}}. Par la conjecture 2.15 on a e^{n+1}(ψ ⊥ −η) + e^{n+1}(π_{0}) = e^{n+1}(η ⊥ rη) pour un certain r ∈ F^{∗}. Par (R4) on a ψ ⊥ −η ⊥ π_{0} ⊥ η ⊥ rη ∈ I^{n+2}F. Après simplification et puisque π_{0} ⊥ rπ_{0} ∈ I^{n+2}F, on obtient ψ ⊥ −rbφ ∈ I^{n+2}F. (ii) Si e^{n}(ψ) = 0, alors ψ ∈ I^{n+1}F et donc ψ ∈ P_{n+1}F. Par l’équation (3) e^{n+1}(ψ ⊥ −π_{0}) ∈ H^{n+1}(F_{ϵ}/F). Par la conjecture 2.15 il existe s ∈ F^{∗} tel que e^{n+1}(ψ ⊥ −π_{0}) = e^{n+1}(η ⊥ sη). Par (R4) on a ψ ⊥ −π_{0} ⊥ η ⊥ sη ∈ I^{n+2}F. Après simplification, on a ψ ⊥ −bφ ⊥ sη ∈ I^{n+2}F. Puisque η est isotrope, on a dim(−bφ ⊥ sη)_{an} < 2^{n+2}. Par le Hauptsatz on a (−bφ ⊥ sη)_{F (ψ)} ∼ 0. Par conséquent, −bφ ⊥ sη ∼ uψ pour un certain u ∈ F^{∗}. On a dim η_{an} < 2^{n+1}. Ainsi, i_{W} (−bφ ⊥ −uψ) > 2^{n}, et donc les formes −bφ et uψ contiennent en commun une sous-forme μ de dimension > 2^{n} c’est-à-dire φ contient une voisine de ψ. Donc l’assertion (3) est prouvée.

5.6. Démonstration du corollaire 2.21. Dans ce cas, φ_{F_{ϵ}} est une voisine anisotrope de (π_{0})_{F_{ϵ}}.

(2) ⟹ (1) Evident.

(1) ⟹ (2) Puisque φ n’est pas voisine, on a i_{W} (η) = 1 et donc η_{an} est de dimension 8. Par la proposition 2.2(ii) on a F_{ϵ} = F (η_{an}). Supposons que φ_{F (ψ)} soit isotrope et 1 ∈ D_{F} (ψ). Alors, ψ_{F_{ϵ}} est une sous-forme de (π_{0})_{F_{ϵ}}. On écrit (π_{0})_{F_{ϵ}} ≅ ψ_{F_{ϵ}} ⊥ ξ′ avec ξ′ est une F_{ϵ}-forme quadratique.

(i) Si dim ψ ≥ 13, alors dim ξ′ ≤ 3. D’après [16, Theorem 2] il existe δ_{1} une F -forme telle que ξ′ ≅ (δ_{1})_{F_{ϵ}}. On pose ψ_{1} = ψ ⊥ δ_{1}. On a (π_{0})_{F_{ϵ}} ≅ (ψ_{1})_{F_{ϵ}}. D’après les propositions 2.13 et 2.12, on obtient φ_{F (ψ_{1})} isotrope. (ii) Si dim ψ = 12, alors dim ξ′ = 4. On a η_{an} ∉ I^{2}F. D’après [16, Theorem 6] il existe δ_{2} une F -forme telle que ξ′ ≅ (δ_{2})_{F_{ϵ}}. On pose ψ_{2} = ψ ⊥ δ_{2}. Comme dans le cas (i) φ_{F (ψ_{2})} est isotrope. (iii) Si dim ψ = 11 et ind C_{0}(ψ) ≤ 2. Comme c(ψ)_{F_{ϵ}} = c(ξ′) et dim ξ′ = 5, on déduit que ξ′ ≅ ⟨d′⟩ ⊥ τ pour τ ∈ GP_{2}F_{ϵ} et d′ = d_{±}ξ′ = −d_{±}ψ [21, Page 10]. D’après [16, Theorem 6] il existe δ_{3} ∈ GP_{2}F telle que τ ≅ (δ_{3})_{F_{ϵ}}. On pose ψ_{3} = ψ ⊥ ⟨d′⟩ ⊥ δ_{3}. Comme dans le cas (i) φ_{F (ψ_{3})} est isotrope.

Dans chacun des trois cas précédents, on obtient par le théorème 2.19 que ψ_{i} ∈ GP_{n+1}F et φ contient une voisine de ψ_{i} pour i = 1, 2, 3. Par conséquent, ψ est voisine d’une 4-forme de Pfister dont φ contient une voisine.

5.7. Démonstration du théorème 2.24. On suppose 1 ∈ D_{F} (ψ). Puisque i_{W} (η) = 2, on a dim η_{an} = 8, et par la proposition 2.2(ii) F_{ϵ} = F (η_{an}). Dans ce cas la conjecture 2.10 est vraie (proposition 2.13). Ainsi, φ_{F_{ϵ}} est une voisine anisotrope de (π_{0})_{F_{ϵ}}. Posons d = d_{±}ψ. Supposons que φ_{F (ψ)} soit isotrope. Alors, (π_{0})_{F_{ϵ}(ψ)} ∼ 0, et par conséquent

(π_{0})_{F_{ϵ}} ≅ ψ_{F_{ϵ}} ⊥ ξ  (4)

pour ξ une F_{ϵ}-forme quadratique.

(1) On suppose que dim ψ ≥ 13. Dans ce cas on reprend la même méthode que celle utilisée dans la démonstration du corollaire 2.21 pour montrer qu’il existe ψ′ ∈ GP_{4}F tel que ψ ⊂ ψ′ et φ contient une voisine de ψ′.

(2) On suppose que dim ψ = 12. On a c(dψ)_{F_{ϵ}} = c(ξ) et c(η_{an}) = c(τ).

(i) Si d ≠ 1, alors d’aprés [16, Théorème 2], il existe ξ′ une F -forme de dimension 4 telle que ξ = (ξ′)_{F_{ϵ}}. Puisque (π_{0})_{F_{ϵ}} ≅ (ψ ⊥ ξ′)_{F_{ϵ}}, on déduit par la proposition 2.13 que π_{0} est isotrope sur F (ψ ⊥ ξ′). Par le théorème 2.19 on a ψ ⊥ ξ′ ∈ GP_{4}F et φ contient une voisine de ψ ⊥ ξ′. (ii) Si d = 1 et c(ψ) ≠ c(τ). Alors, c(ψ)_{F_{ϵ}} ≠ c(τ)_{F_{ϵ}} car H^{2}(F_{ϵ}/F) = {0} (théorème 4.1). Ainsi, c(ξ) ≠ c(τ)_{F_{ϵ}}. De nouveau par [16, Théorème 2] il existe ξ′′ une F -forme de dimension 4 telle que ξ ≅ ξ′′_{F_{ϵ}}. Comme dans le cas (i) on a ψ ⊥ ξ′′ ∈ GP_{4}F et φ contient une voisine de ψ ⊥ ξ′′. (iii) Si d = 1 et c(ψ) = c(τ), alors ξ est semblable à τ. Ainsi, (π_{0})_{F_{ϵ}(τ)} ∼ 0 et donc ψ_{F_{ϵ}(τ)} ∼ 0. Comme F_{ϵ}(π)/F (π) est transcendante pure, on obtient ψ_{F (π)(τ)} ∼ 0.

• Si ψ_{F (τ)} ∼ 0, alors ψ est divisible par τ et donc voisine d’une 4-forme de Pfister ρ. Par conséquent, φ_{F (ρ)} est isotrope et par le théorème 2.19 φ contient une voisine de ρ.

• Si ψ_{F (τ)} ≁ 0. Alors ψ_{F (τ)} ∼ λπ pour un certain λ ∈ F (τ)^{∗}. Par l’excellence de F (τ)/F ([2], [34]) il existe π_{1} une F -forme quadratique de dimension 8 telle que ψ_{F (τ)} ∼ (π_{1})_{F (τ)}. Puisque c(π_{1})_{F (τ)} = 0, on peut supposer que π_{1} ∈ GP_{3}F [4, 2.10]. Puisque ψ ⊥ −π_{1} ⊥ τ ∈ I^{3}F, on obtient que e^{3}(ψ ⊥ −π_{1} ⊥ τ) ∈ H^{3}(F (τ)/F) = c(τ) · H^{1}F [1]. Ainsi, il existe c ∈ F^{∗} tel que e^{3}(ψ ⊥ −π_{1} ⊥ τ) = c(τ) · (c) = e^{3}(τ ⊥ −cτ). Par conséquent,

ψ ⊥ −π_{1} ⊥ cτ ∈ I^{4}F  (5)

Soit α ∈ D_{F} (π_{1}). Puisque λπ ≅ (π_{1})_{F (τ)}, on a π_{F (τ)} ≅ (απ_{1})_{F (τ)}. Ainsi, (π ⊥ −απ_{1})_{F (τ)} ∼ 0. Comme dim(π ⊥ −απ_{1})_{an} ≤ 14 et c(π ⊥ −απ_{1}) = 0, on obtient

π ⊥ −απ_{1} ∼ ρ′ ⊗ τ  (6)

pour ρ′ une forme quadratique de dimension paire ≤ 2. Des équations (5) et (6) et modulo I^{4}F, on obtient

ψ ⊥ −π ⊥ (ρ′ ⊥ ⟨c⟩) ⊗ τ ∈ I^{4}F  (7)

Soit e ∈ F^{∗} tel que (ρ′ ⊥ ⟨c⟩) ⊗ τ ⊥ eτ ∈ I^{4}F. De l’équation (7) on a ψ ⊥ −π ⊥ −eτ ∈ I^{4}F. Avec l’équation (4) on a

(abπ)_{F_{ϵ}} ⊥ −ξ ⊥ (−eτ)_{F_{ϵ}} ∈ I^{4}F_{ϵ}  (8)

En particulier, (abπ)_{F_{ϵ}} ⊥ −ξ ⊥ (−eτ)_{F_{ϵ}} ∈ GP_{4}F_{ϵ}. Ainsi, π_{F_{ϵ}} ≅ τ_{F_{ϵ}} ⊥ eξ. Par conséquent, (eη)_{F_{ϵ}} ∼ ξ et par l’équation (4) (π_{0})_{F_{ϵ}} ∼ (ψ ⊥ eη)_{F_{ϵ}}. Comme μ := π_{0} ⊥ −ψ ⊥ −eη ∈ I^{3}F (car d’invariant de Clifford trivial), on a e^{3}(μ)_{F_{ϵ}} = 0. Puisque η_{an} n’est pas voisine, on a H^{3}(F_{ϵ}/F) = {0} [1]. Par conséquent μ ∈ I^{4}F et donc e^{4}(μ) ∈ H^{4}(F_{ϵ}/F). D’après les propositions 2.13 et 2.16, il existe r ∈ D_{F} (τ) tel que e^{4}(μ) = e^{3}(π) · (r). Par (R4) abπ ⊥ −ψ ⊥ −eη ⊥ rπ ∈ I^{5}F. D’où le résultat. Réciproquement, supposons qu’il existe x ∈ F^{∗}, y ∈ D_{F} (τ) tels que abπ ⊥ −ψ ⊥ xη ⊥ yπ ∈ I^{5}F. Alors, π_{0} ⊥ −ψ ⊥ xη ⊥ −(π ⊥ −yπ) ∈ I^{5}F. Par la proposition 2.11(1) on a π ⊥ −yπ ∈ W (F_{ϵ}/F). Ainsi, (π_{0} ⊥ −ψ ⊥ xη)_{F_{ϵ}} ∈ I^{5}F_{ϵ}. Puisque dim(η_{F_{ϵ}})_{an} = 4, on obtient ν := (π_{0} ⊥ −ψ)_{F_{ϵ}} ⊥ ((xη)_{F_{ϵ}})_{an} ∈ GP_{5}F_{ϵ}. Par le Hauptsatz, ν_{F_{ϵ}(ψ)} ∼ 0 c’est-à-dire (π_{0})_{F_{ϵ}(ψ)} ∼ ψ_{F_{ϵ}(ψ)} ⊥ −((xη)_{F_{ϵ}(ψ)})_{an}. Ainsi, (π_{0})_{F_{ϵ}(ψ)} est isotrope. On applique successivement les propositions 2.13 et 2.12 pour déduire que φ_{F (ψ)} est isotrope.

(3) On suppose que dim ψ = 11: Puisque ind C_{0}(ψ) ≤ 2, on a aussi ind C_{0}(ξ) ≤ 2 et donc ξ = ⟨d⟩ ⊥ ξ′ pour une certaine ξ′ ∈ GP_{2}F_{ϵ} [21, Page 10] (c’est-à-dire ξ est voisine). Par conséquent, (π_{0})_{F_{ϵ}(δ)} ∼ 0 où δ = ψ ⊥ ⟨d⟩. On applique successivement les propositions 2.13 et 2.12 pour déduire que φ_{F (δ)} est isotrope.

5.8. Démonstration de la proposition 3.5.

Lemme 5.2. On garde les mêmes notations que dans (∗∗). Soit η_{1} = ⟨1, −d⟩ ⊗ π′_{1} ⊥ ⟨−dd′⟩ et η′ = η_{1} ⊥ ⟨d′⟩. Alors, on a:

(1) W (F (η)/F) ⊂ W (F (η_{1})/F).

(2) c(η′) = c(τ), η′ ∈ I^{2}F et les corps F (η_{1}) et F (η′) sont F -équivalents. En particulier, W (F (η)/F) ⊂ W (F (η′)/F).

(3) La forme η_{1} n’est pas une voisine.

Démonstration. (1) Puisque η_{1} ⊂ −bd′η, on a que η_{F (η_{1})} est isotrope et donc il existe une F -place de F (η) vers F (η_{1}) [20, Theorem 3.3]. Par conséquent, W (F (η)/F) ⊂ W (F (η_{1})/F).

(2) On vérifie facilement que c(η′) = c(τ). Il est clair que η′ = ⟨1, −d⟩ ⊗ (π′_{1} ⊥ ⟨d′⟩). Ainsi, η′ ∈ I^{2}F et i_{W} (η′_{F (η′)}) ≥ 2. Par le lemme 3.1 η_{1} est isotrope sur F (η′). Puisque η′ est isotrope sur F (η_{1}), les corps F (η′) et F (η_{1}) sont F - équivalents et donc W (F (η_{1})/F) = W (F (η′)/F). Par l’assertion (1) on obtient W (F (η)/F) ⊂ W (F (η′)/F).

(3) Si η_{1} était voisine, on aurait η′ ∈ GP_{n}F (car dim η′ = 2^{n}) et donc c(η′) = c(τ) = 0, une contradiction. Le théorème suivant jouera un rôle important dans la démonstration.

Théorème 5.3. (Fitzgerald [5, Proposition 1.4]) Soient φ une forme quadratique voisine d’une n-forme de Pfister ρ et φ′ = φ ⊥ ⟨y⟩ pour y ∈ F^{∗}. Supposons que φ′ ne soit pas voisine de ρ. Soit φ′′ ∈ W (F (φ′)/F). Alors, φ′′ ≅ π_{1} ⊥ ⋯ ⊥ π_{s} pour un certain entier s ≥ 1 et π_{i} ∈ GP_{n+1}F ∩ W (F (φ′)/F) pour tout i ∈ {1, ⋯, s}.

Démonstration de la proposition. (1) On a −1 ∈ S(φ). En effet, il est clair que τ ⊥ −π est isotrope. Puisque i_{W} (τ ⊥ −π) = 2, on déduit que (τ ⊥ −π)_{an} = ⟨⟨d⟩⟩ ⊗ (−π′_{1} ⊥ ⟨−d′⟩) et donc −d′ ∈ D_{F} ((τ ⊥ −π)_{an}). Ainsi, d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ −π)_{an} est isotrope.

(2) Puisque τ ⊥ απ est isotrope, alors (τ ⊥ απ)_{an} est semblable à (τ ⊥ −π)_{an} qui est de dimension 2^{n}. Puisque d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an} est isotrope, le résultat s’en déduit.

(3) Soit ρ ∈ P_{n+1}F ∩ W (F (η)/F) anisotrope. Puisque η est isotrope sur F (π) (lemme 3.3), on déduit que ρ_{F (π)} ∼ 0. Alors,

ρ ≅ π ⊥ απ

pour α ∈ F^{∗}. Par le théorème de la sous-forme on a

ρ ≅ −bd′η ⊥ ξ

pour ξ une forme de dimension 2^{n}. La simplification de Witt dans la relation ρ ≅ π ⊥ απ ≅ −bd′η ⊥ ξ implique

⟨1, −d⟩ ⊥ απ ≅ ⟨−bd′, −dd′⟩ ⊥ ξ  (9)

Par le lemme 5.2(2) on a ρ_{F (η′)} ∼ 0, et par le théorème de la sous-forme on a ρ ≅ η′ ⊥ ξ′ pour ξ′ une forme quadratique de dimension 2^{n} (η′ comme dans le lemme 5.2). La simplification de Witt dans la relation ρ ≅ −bd′η ⊥ ξ ≅ η′ ⊥ ξ′ implique

ξ ∼ d′ ⟨1, b⟩ ⊥ ξ′  (10)

Des équations (9) et (10) on obtient

τ ⊥ απ ∼ ξ′.

On substitue dans l’équation (10) pour obtenir ξ ∼ d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an}. Par comparaison des dimensions on a d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an} isotrope. D’où le résultat. Réciproquement, soit α ∈ S(φ) et ρ = π ⊥ απ ∈ P_{n+1}F. On vérifie facilement les relations

−bd′η ∼ ⟨1, −d⟩ ⊗ π′_{1} ⊥ ⟨−bd′, −dd′⟩  (11)

π ⊥ −τ ∼ ⟨1, −d⟩ ⊗ π′_{1} ⊥ d′ ⟨1, −d⟩  (12)

Des relations (11) et (12) on a

−bd′η ∼ (π ⊥ −τ)_{an} ⊥ −d′ ⟨1, b⟩  (13)

Puisque ρ ∼ (π ⊥ −τ)_{an} ⊥ (τ ⊥ απ)_{an}, on a par l’équation (13) que

ρ ∼ −bd′η ⊥ (d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an})_{an}.

Puisque dim η = 2^{n} et dim(d′ ⟨1, b⟩ ⊥ (τ ⊥ απ)_{an})_{an} ≤ 2^{n}, on déduit que ρ_{F (η)} est isotrope.

5.9. Démonstration du théorème 3.6.

Proposition 5.4. La forme φ_{F (η)} est une voisine anisotrope de (π_{0})_{F (η)}.

Démonstration. Comme dans la démonstration de l’assertion (3) du lemme 3.3 on a φ_{F (η)} ⊂ (π_{0})_{F (η)}. Si (π_{0})_{F (η)} est isotrope, alors on obtient par le théorème de la sous-forme

π ⊥ −bd′π ≅ xη ⊥ ξ

pour ξ une forme quadratique de dimension 2^{n} et x ∈ F^{∗}. Soit β ∈ D_{F} (π′_{1}). Alors, −bd′β ∈ D_{F} (η)∩D_{F} (π ⊥ −bd′π). Comme −xbd′β ∈ D_{F} (xη) ⊂ D_{F} (π ⊥ −bd′π), on peut supposer, par multiplicativité, que x = 1. Par simplification, on obtient que φ ∼ ξ. Une contradiction, car φ est anisotrope. Démonstration du théorème. On suppose que 1 ∈ D_{F} (ψ).

(1) ⟹ (2) Puisque φ_{F (ψ)} est isotrope, on déduit que φ_{F (η)(ψ)} est isotrope et donc (π_{0})_{F (η)(ψ)} ∼ 0. Comme (π_{0})_{F (η)} est anisotrope (proposition 5.4), on a par le théorème de la sous-forme (π_{0})_{F (η)} ≅ ψ_{F (η)}. Ainsi, π_{0} ⊥ −ψ ∈ W (F (η)/F). On a dim(π_{0} ⊥ −ψ)_{an} ≤ 2^{n+2} − 2 < 2^{n+2}. Soit η_{1} comme dans le lemme 5.2. Puisque W (F (η)/F) ⊂ W (F (η_{1})/F) et η_{1} n’est pas voisine (lemme 5.2), il existe par le théorème 5.3 une forme ρ ∈ GP_{n+1}F ∩ W (F (η_{1})/F telle que

(π_{0} ⊥ −ψ)_{an} ∼ ρ  (14)

Comme π_{0}, ρ ∈ P_{n+1}F, on a ψ ∈ I^{n+1}F et donc ψ ∈ P_{n+1}F. On a aussi ρ_{F (η)} ∼ 0 (car (π_{0} ⊥ −ψ)_{F (η)} ∼ 0). Par la proposition 3.5, il existe s ∈ S(φ), u ∈ F^{∗} tels que ρ ≅ u(π ⊥ sπ). De l’équation (14) on a π_{0} ⊥ −ρ isotrope. Soit v ∈ D_{F} (π_{0}) ∩ D_{F} (ρ). Alors, π_{0} ⊥ −ρ ∼ v(π_{0} ⊥ −(π ⊥ sπ)) ∼ ψ. Ainsi, ψ ≅ −vs(π ⊥ sbd′π).

(2) ⟹ (1) Soit s ∈ S(φ) tel que ψ soit semblable à ρ := π ⊥ sbd′π. On a π_{0} ⊥ −ρ ∼ −bd′(π ⊥ sπ). D’après la proposition 3.5, on déduit que (π_{0} ⊥ −ρ)_{F (η)} ∼ 0. Ainsi, (π_{0})_{F (η)} ≅ ρ_{F (η)}. Par la proposition 5.4, on déduit que φ_{F (ρ)} est isotrope et donc φ_{F (ψ)} l’est aussi.

5.10. Démonstration du théorème 3.7. Par la proposition 5.4, on a que φ_{F (ψ)} est isotrope si et seulement si ψ_{F (η)} est semblable à une sous-forme de (π_{0})_{F (η)}. La forme η ∉ I^{2}F car sinon par un simple calcul on aurait φ isotrope. Puisque η est de dimension 8 on peut utiliser les mêmes techniques de descente que dans la démonstration du corollaire 2.21, et on finit la preuve en utilisant le théorème 3.6.

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Ahmed Laghribi Faculté Jean Perrin Rue Jean Souvraz - SP18 62307 Lens Cedex France laghribi@agel.ucl.ac.be