Capacité Associeé a un Courant Positif Fermé

Dabbek Khalifa et Elkhadhra Fredj

Received: December 12, 2005 Revised: July 24, 2006

Communicated by Thomas Peternell

Abstract. Let Ω be an open set of ℂ^{n} and T be a positive closed current of dimension p ≥ 1 on Ω, we define a capacity associated to T by :

C_{T} (K, Ω) = C_{T} (K) = sup {∫_{K} T ∧ (dd^{c}v)^{p}, v ∈ psh(Ω), 0 < v < 1}

where K is a compact set of Ω. We prove, in the same way as Bedford-Taylor, that a locally bounded plurisubharmonic function is quasi-continuous with respect to C_{T}. In the second part we define the convergence relatively to C_{T} and we prove that if (u_{j}) is a family of locally uniformly bounded plurisubharmonic functions and u is a locally bounded plurisubharmonic function such that u_{j} → u relatively to C_{T} then T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} → T ∧ (dd^{c}u)^{p} in the current sense.

2000 Mathematics Subject Classification: 32C30 ; 31C10 ; 31A15 ; 32W20. Keywords and Phrases: courant positif, plurisousharmonique , capacité, operateur de Monge Ampère.

1 Introduction

Soient Ω un ouvert de ℂ^{n}, K un compact de Ω et T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 sur Ω. On note psh(Ω) l’ensemble de fonctions plurisouharmonique sur Ω et L_{loc}^{∞}(Ω) l’ensemble de fonctions localement bornées. On définit la capacité de K (dans Ω) relativement à T par :

C_{T} (K, Ω) = C_{T} (K) = sup {∫_{K} T ∧ (dd^{c}v)^{p}, v ∈ psh(Ω), 0 < v < 1}

Dans la prémière partie on montre qu’une fonction plurisousharmonique localement bornée est continue en dehors d’un ouvert de capacité arbitrairement petite :

Théorème 1.1 Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, u ∈ psh(Ω) ∩ L_{loc}^{∞}(Ω) et T un courant positif fermé sur Ω de dimension p ≥ 1. Alors pour tout ε > 0, il existe un ouvert O de Ω tel que C_{T} (O, Ω) < ε et u soit continue sur Ω \ O.

Ce résultat est prouvé dans [Be-Ta] pour T = 1. L’intérêt de ce théorème est dû en partie au résultat suivant, qui constitue une généralisation d’un théorème de [Be-Ta].

Théorème 1.2 (théorème de Comparaison) Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 sur Ω, u et v ∈ psh(Ω) ∩ L^{∞}(Ω). Supposons que :

lim inf_{ξ→∂Ω}(u(ξ) − v(ξ)) ≥ 0

Alors on a :

∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

Dans la deuxième partie on définit la notion de convergence par rapport à C_{T}. On dit que u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur E si pour tout δ > 0, on a :

lim_{j→+∞} C_{T} ({z ∈ E; |u_{j}(z) − u(z)| > δ}, Ω) = 0

On montre q’une suite de fonctions psh localement bornée décroissante vers une fonction psh est convergente par rapport à C_{T} :

Théorème 1.3 Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, T un courant positif fermé sur Ω de dimension p ≥ 1, u_{j} et u des fonctions psh, localement bornées sur Ω telles que u_{j} = u sur un voisinage de ∂Ω, (u_{j}) décroissante vers u, alors (u_{j}) converge vers u par rapport à C_{T}.

Comme application nous généralisons des résultats de [Be-Ta] et de [Xi] sur l’opérateur de Monge-Ampère. Le théorème principale de cette partie est le suivant :

Théorème 1.4 Soient (u_{j})_{j} une suite de fonctions psh localement uniformément bornées et u ∈ psh(Ω) ∩ L_{loc}^{∞}(Ω), on a :

a) Si u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur chaque E ⊂⊂ Ω, alors le courant T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} converge au sens des courants vers T ∧ (dd^{c}u)^{p}.

b) Supposons qu’il existe E ⊂⊂ Ω tel que ∀j, u_{j} = u sur Ω \ E et que les suites uT ∧(dd^{c}u_{j})^{p}, u_{j}T ∧(dd^{c}u)^{p} et u_{j}T ∧(dd^{c}u_{j})^{p} convergent au sens des courants vers uT ∧ (dd^{c}u)^{p} alors u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur E.

2 Capacité associeé a un courant positif fermé

Définition 2.1 Soient Ω un ouvert de ℂ^{n}, K un compact de Ω et T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 sur Ω, on définit la capacité de K (dans Ω) relativement à T par :

C_{T} (K, Ω) = C_{T} (K) = sup {∫_{K} T ∧ (dd^{c}v)^{p}, v ∈ psh(Ω), 0 < v < 1}

Pour tout E ⊂ Ω, on pose :

C_{T} (E, Ω) = sup{C_{T} (K), K compact, K ⊂ E}

Proposition 2.2

1) Si E est un borélien, on a :

C_{T} (E, Ω) = C_{T} (E) = sup {∫_{E} T ∧ (dd^{c}v)^{p}, v ∈ psh(Ω), 0 < v < 1}

2) Si E_{1} ⊂ E_{2}, alors C_{T} (E_{1}, Ω) ≤ C_{T} (E_{2}, Ω).

3) Si E ⊂ Ω_{1} ⊂ Ω_{2}, alors C_{T} (E, Ω_{1}) ≥ C_{T} (E, Ω_{2}).

4) Si E_{1}, E_{2} … sont des ensembles boréliens dans Ω, on a :

C_{T} ( ⋃_{j≥1} E_{j}, Ω) ≤ ∑_{j=1}^{+∞} C_{T} (E_{j}, Ω).

5) Si E_{1} ⊂ E_{2} ⊂ ⋯ sont des ensembles boréliens dans Ω, alors :

C_{T} ( ⋃_{j≥1} E_{j}, Ω) = lim_{j→+∞} C_{T} (E_{j}, Ω).

6) Si f : Ω_{1} ↦ Ω_{2} est une fonction holomorphe, propre sur SuppT et O un ouvert de Ω_{2}, alors :

C_{f_{∗}T} (O, Ω_{2}) ≤ C_{T} (f^{−1}(O), Ω_{1})

et l’égalité a lieu si f est un biholomorphisme.

Démonstration. Pour 1) → 5), on procède comme [Be-Ta] ; pour 6) on suppose que 0 ≤ v ≤ 1 est psh, de classe C^{∞} sur Ω_{2}, on a :

∫_{O} f_{∗}T ∧ (dd^{c}v)^{p} = ∫_{Ω_{2}} f_{∗}T ∧ (1l_{O}(dd^{c}v)^{p})
= ∫_{Ω_{1}} T ∧ (1l_{O} ∘ f)(dd^{c}(v ∘ f))^{p}
= ∫_{f^{−1}(O)} T ∧ (dd^{c}(v ∘ f))^{p} ≤ C_{T} (f^{−1}(O), Ω_{1}).

Pour obtenir ces égalités il suffit de remplacer 1l_{O} par une suite de fonctions de classe C^{∞} φ_{k} ↑ 1l_{O}. Dans le cas général, on prend v_{ε} ↑ v une régularisation

de v et en utilisant le fait que : ∫_{O} f_{∗}T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ lim_{ε→0} ∫_{O} f_{∗}T ∧ (dd^{c}v_{ε})^{p}. Si

f est un biholomorphisme, on a de même

C_{T} (f^{−1}(O), Ω_{1}) = C_{f_{∗}^{−1}(f_{∗}T)}(f^{−1}(O), Ω_{1}) ≤ C_{f_{∗}T} (O, Ω_{2}).

Dans 6), l’inégalité peut être stricte, en effet si f est l’éclatement de centre 0, T = [E] le courant d’intégration sur l’ensemble exceptionnel E = f^{−1}(0). □

Problemes ouverts :

1) Si ⋯ ⊂ K_{2} ⊂ K_{1} est une suite décroissante de compacts de Ω, alors d’après la proposition 2.2, C_{T} (K_{j}) est décroissante. A-t-on C_{T} (∩K_{j}) = lim_{j→+∞} C_{T} (K_{j})?

2) A-t-on l’égalité : C̃_{T} ≡ C_{T}?, où on a posé

C̃_{T} (K) = sup {∫_{K} T ∧ (dd^{c}v)^{p}, v ∈ psh(Ω, [0, 1]), v_{|K∩suppT} ≡ 0}

3) Soit K un compact de Ω, existe-t-il u dans psh(Ω, [0, 1]), telle que l’on ait

C_{T} (K) = ∫_{K} T ∧ (dd^{c}u)^{p} ?

4) Définition : Un ensemble A ⊂ Ω est dit T −pluripolaire dans Ω si C_{T} (A, Ω) = 0. A est dit localement T −pluripolaire si, pour tout a dans A, il existe un voisinage ouvert V de a dans Ω tel que A ∩ V est T −pluripolaire dans V. Un ensemble localement T −pluripolaire est-il T −pluripolaire dans Ω ? Caractériser les ensembles T −pluripolaires dans Ω ?

Remarques.

(i) Si T = [X] est le courant d’intégration sur un sous-ensemble analytique X de dimension pure p, O un ouvert de Ω et RegX l’ensemble des points

réguliers de X. En utilisant l’égalité ∫_{O}[X] ∧ (dd^{c}v)^{p} = ∫_{O∩RegX}(dd^{c}(i^{∗}v))^{p} où

v ∈ psh(Ω, [0, 1]), et i : X ↪ Ω, est l’injection canonique, on a :

\begin{matrix}O est localement [X] − pluripolaire ⟺ \\ RegX ∩ O est localement pluripolaire dans RegX \end{matrix}

On remarque que si T est un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 et ν_{T} (x) > 0 ∀x ∈ X, alors un ouvert localement T −pluripolaire coupe RegX en un ouvert localement pluripolaire dans RegX.

(ii) Si w est une fonction psh, bornée et A un borélien T −pluripolaire, alors A est T ∧ (dd^{c}w)^{k}−pluripolaire pour tout 0 ≤ k ≤ dimT. En effet, il est facile de voir qu’il existe α > 0 telle que

C_{T ∧(dd^{c}w)^{k}}(A, Ω) ≤ αC_{T} (A, Ω).

En particulier si T = 1, on retrouve le fait que le courant (dd^{c}w)^{k} ne charge pas les ensembles pluripolaires.

(iii) Soit φ ∈ psh(Ω) et localement bornée sur Ω \ K où K = {φ = −∞}. Alors

C_{T ∧(dd^{c}φ)^{k}}(K) ≥ C_{T} (K)(C_{dd^{c}φ}(K))^{k} .

En effet, on peut supposer que k = 1 et soit v ∈ psh(Ω, [0, 1]). Posons γ = C_{dd^{c}φ}(K) et soit φ_{j} = max(φ, γv − j). Alors φ_{j} ↓ φ et φ_{j} = γv − j sur K_{j} = {φ ≤ −j}. De plus K_{j} ↓ K. Soit j_{0} fixé, alors

∫_{K_{j_{0}}} T ∧ dd^{c}φ ∧ (dd^{c}v)^{p−1} ≥ lim sup_{j→+∞} ∫_{K_{j_{0}}} T ∧ dd^{c}φ_{j} ∧ (dd^{c}v)^{p−1}
≥ lim sup_{j→+∞} ( ∫_{K_{j}} T ∧ dd^{c}φ_{j} ∧ (dd^{c}v)^{p−1})
= γ lim sup_{j→+∞} ∫_{K_{j}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ,

on fait tendre j_{0} vers +∞ puis on passe au sup sur tout les fonctions v psh telle que 0 ≤ v ≤ 1.

(iv) Soient π : Δ^{n} ↦ Δ^{k} (k < p) la projection canonique ; v ∈ psh(Δ^{k}, [0, 1]) et w ∈ (psh ∩ C^{∞})(Δ^{n}, [0, 1]). D’après [Bm-El], si O ⊂⊂ Δ^{n}, on a :

\begin{aligned}∫_{a∈π(O)} \{ ∫_{O}⟨T, π, a⟩ ∧ (dd^{c}w)^{p−k}\}(dd^{c}v)^{k} & = & ∫_{O} T ∧ (dd^{c}w)^{p−k} ∧ (dd^{c}ṽ)^{k} \\ & ≤ & \frac{2^{p}}{C_{p}^{k}} C_{T} (O, Δ^{n}) \end{aligned}

où ṽ = v ∘ π. Par régularisation, l’inégalité reste vraie pour w ∈ psh(Δ^{n}, [0, 1]). Comme π(O) ⊂⊂ Δ^{k}, on a :

∫_{a∈π(O)} C_{⟨T,π,a⟩}(O)(dd^{c}v)^{k} ≤ \frac{2^{p}}{C_{p}^{k}} C_{T} (O, Δ^{n}) ,

O est T − pluripolaire ⟹ ∀v, O est ⟨T, π, a⟩ − pluripolaire
(dd^{c}v)^{k} − p.p
⟹ ∃N pluripolaire de π(O) tel que ∀a ∉ N,
O est ⟨T, π, a⟩ − pluripolaire .

La réciproque est fausse, il suffit de prendre le courant T = (dd^{c}|z′|^{2})^{p}.

Le résultat suivant est une conséquencce directe de l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui sera utile dans la suite.

Proposition 2.3 Soient u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2}, w_{1}, …, w_{p−1} dans psh(Ω) ∩ L_{loc}^{∞}(Ω) et T un courant positif fermé sur Ω de dimension p ≥ 1. Supposons que {u_{1} ≠ u_{2}} ⊂⊂ Ω et soit 0 ≤ ψ ∈ D(Ω), ψ = 1 sur {u_{1} ≠ u_{2}}. Alors on a :

\begin{matrix}( ∫_{Ω} d(u_{1} − u_{2}) ∧ d^{c}(v_{1} − v_{2}) ∧ χ)^{2} & ≤ & ( ∫_{Ω} d(u_{1} − u_{2}) ∧ d^{c}(u_{1} − u_{2}) ∧ χ). \\ ( ∫_{Ω} ψd(v_{1} − v_{2}) ∧ d^{c}(v_{1} − v_{2}) ∧ χ) \end{matrix}

où χ = T ∧ dd^{c}w_{1} ∧ … ∧ dd^{c}w_{p−1}

Démonstration. On remarque que l’application (u, v)↦∫_{Ω}ψdu ∧ d^{c}v ∧ χ est une forme bilinéaire symétrique et positive sur C^{∞}(Ω)×C^{∞}(Ω). La proposition 2.3 se justifie alors par application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz au couple (u_{1} − u_{2}, v_{1} − v_{2}) où u_{i}, v_{i} ∈ psh(Ω) ∩ C^{∞}(Ω). Dans le cas général, on procède par régularisation. □

Théorème 2.4 Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, T un courant positif fermé sur Ω de dimension p ≥ 1, u_{j} et u des fonctions psh, localement bornées sur Ω telles que u_{j} = u sur un voisinage de ∂Ω, (u_{j}) décroissante vers u, alors ∀ δ > 0 on a :

lim_{j→+∞} C_{T} ({z ∈ Ω, u_{j}(z) > u(z) + δ}) = 0 .

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que δ = 1. Posons Ω_{j} = {z ∈ Ω, u_{j}(z) > u(z) + 1} et choisissons un ouvert W de sorte que {u_{j} ≠ u} ⊂ W ⊂⊂ Ω. Soit v ∈ psh(Ω, [0, 1]), on a :

∫_{Ω_{j}} T ∧(dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{W}(u_{j} −u)T ∧(dd^{c}v)^{p} = − ∫_{W} d(u_{j} −u)∧d^{c}v∧T ∧(dd^{c}v)^{p−1}.

D’après la proposition 2.3, l’intégrale à droite est majorée par

C( ∫_{W} d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ T ∧ (dd^{c}v)^{p−1})^{\frac{1}{2}} ,

où C = (∫_{W} T ∧ dv ∧ d^{c}v ∧ (dd^{c}v)^{p−1})^{\frac{1}{2}} ≤ M < ∞ et M est une constante indépendante de v d’après l’inégalité de Chern.Levine.Nirenberg (cf.[C.L.N]). Appliquons encore une fois la formule de Stokes, on obtient

∫_{W} d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ T ∧ (dd^{c}v)^{p−1}
= − ∫_{W}(u_{j} − u)T ∧ dd^{c}(u_{j} − u) ∧ (dd^{c}v)^{p−1}
= ∫_{W}(u − u_{j})T ∧ (dd^{c}u_{j} − dd^{c}u) ∧ (dd^{c}v)^{p−1}
≤ ∫_{W}(u_{j} − u)T ∧ dd^{c}u ∧ (dd^{c}v)^{p−1}

Il s’ensuit alors :

∫_{Ω_{j}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ C(∫_{W}(u_{j} − u)T ∧ dd^{c}u ∧ (dd^{c}v)^{p−1})^{\frac{1}{2}}

La puissance de dd^{c}v diminue de 1, on répéte ensuite le procédé (p−1)-fois, dans chaque étape en majorant (u−u_{j})dd^{c}(u_{j} −u) par (u_{j} −u)dd^{c}u et en appliquant la proposition 2.3, on obtient finalement une majoration de ∫_{Ω_{j}} T ∧(dd^{c}v)^{p} par :

B( ∫_{Ω}(u_{j} − u)T ∧ (dd^{c}u)^{p})^{\frac{1}{2^{p}}} ,

où B est une constante indépendante de j et de v. Donc lim_{j→+∞} C_{T} (Ω_{j}) = 0. □

Comme conséquence du théorème 2.4, on montre qu’une fonction psh, localement bornée sur un ouvert borné Ω est continue si on retire de Ω un ouvert O de capacité C_{T} −arbitrairement petite. Plus précisement, on a

Théorème 2.5 Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, u ∈ psh(Ω) ∩ L_{loc}^{∞}(Ω) et T un courant positif fermé sur Ω de dimension p ≥ 1. Alors pour tout ε > 0, il existe un ouvert O de Ω tel que C_{T} (O, Ω) < ε et u soit continue sur Ω \ O.

Démonstration. D’après 3) et 4) de la proposition 2.2, on peut supposer que Ω = \{ρ < 0\} est strictement pseudoconvexe et u bornée au voisinage de \overline{Ω}. Soit (u_{j}) une suite de fonctions psh, de classe C^{∞} qui décroit vers u dans un voisinage de \overline{Ω}. Par rétrécissement de Ω et en remplaçant u_{j} par max(u_{j}, Aρ + B) et u par max(u, Aρ + B), on peut supposer que u_{j} = u = Aρ + B au voisinage de ∂Ω pour A et B > 0 convenablement choisis (pour plus de détails voir [Be-Ta]). D’après le théorème 2.4, pour tout l ∈ ℕ^{∗}, il existe j_{l} tel que :

O′_{l} = {u_{j_{l}} > u + 1/l} ⊂ Ω ; C_{T} (O′_{l}) < 2^{−l} .

Fixons un entier k tel que 2^{−k} < ε et posons : G_{k} = ∪_{l≥k}O′_{l} . La suite (u_{j_{l}}) est décroissante vers u uniformément sur Ω \ G_{k}, donc u est continue sur Ω \ G_{k} et d’après 3) de la proposition 2.2, on obtient C_{T} (G_{k}, Ω) ≤ ∑_{l≥k} C_{T} (O′_{l}, Ω) < 2^{−k} < ε □

Remarques.

1) Si X est un sous-ensemble analytique, alors le théorème classique de [Be-Ta] ne donne aucune information sur la régularité de la fonction u sur X (i.e u peut être discontinue sur X tout entier). En appliquant 2.5 au courant T = [X], nous obtenons un résultat plus précis : u est continue sur X privé de l’ensemble O ∩ X qui est de volume arbitrairement petit dans X.

2) Le théorème 2.5 est faux si on enlève l’hypothèse u ∈ L_{loc}^{∞}(Ω), et ce au vu du contre-exemple suivant :

Ω = Δ^{2} ⊂ ℂ^{2}; T = [z_{1} = 0]; u(z_{1}, z_{2}) = log |z_{1}| .

3) Si l’on suppose de plus que T est assez régulier, c’est-à-dire pour tout u psh

lim_{j→+∞} C_{T} ({u < −j}, Ω) = 0 ,

comme c’est le cas des courants à coéfficients localement bornés, alors on peut généraliser 2.5 pour u seulement psh sur Ω.

L’intérêt du théorème 2.5 est dû en partie au résultat suivant, qui constitue une généralisation d’un théorème de [Be-Ta].

Théorème 2.6 (théorème de Comparaison) Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 sur Ω, u et v ∈ psh(Ω) ∩ L^{∞}(Ω). Supposons que :

lim inf_{ξ→∂Ω}(u(ξ) − v(ξ)) ≥ 0

Alors on a :

∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

Démonstration. On commence d’abord par l’étude du cas où u et v sont continues. Quitte à travailler sur l’ouvert {u < v}, on peut supposer que Ω = {u < v} et u = v sur ∂Ω. Soit v_{ε} = max(v − ε, u), v_{ε} = u dans un voisinage de ∂Ω. D’après Stokes, on a :

∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}v_{ε})^{p} = ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

quand ε ↘ 0, v_{ε} converge uniformement vers v, donc T ∧ (dd^{c}v_{ε})^{p} converge faiblement vers T ∧ (dd^{c}v)^{p}. Soit (φ_{n})_{n∈ℕ} une suite dans D(Ω) qui croit vert la fonction caracteristique de Ω, on trouve :

∫_{Ω} φ_{n}T ∧ (dd^{c}v_{ε})^{p} ≤ ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}v_{ε})^{p} = ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

On finit la preuve en faisant ε → 0 et n → +∞ dans cet ordre. Nous étudions maintenant le cas général. Quitte à remplacer u par u + 2δ et faire tendre δ vers 0, on peut supposer que :

lim inf_{ξ→∂Ω}(u(ξ) − v(ξ)) ≥ 2δ > 0

Dans ce cas, il existe un ouvert O ⊂⊂ Ω tel que : u(z) ≥ v(z) + δ pour tout z ∈ Ω \ O. Choisissons deux suites de fonctions u_{k} et v_{j} Psh, de classe C^{∞} qui décroissent respectivement vers u et v dans un voisinage de \overline{O} et de sorte que pour tout j ≥ k, on a u_{k} ≥ v_{j} sur ∂O. D’après ce qui précède, on a :

∫_{{u_{k}<v_{j}}} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p} ≤ ∫_{{u_{k}<v_{j}}} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p} (2.6.1)

Soit ε > 0 et G un ouvert de Ω, tel que C_{T} (G, Ω) < ε et u, v sont continues sur Ω \ G (cf 2.5). On peut écrire v = φ + ψ où φ est continue sur Ω et ψ = 0 sur Ω \ G. Soit l’ouvert U = {u_{k} < φ}, on a :

∫_{U} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ lim_{j→+∞} ∫_{U} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p} (2.6.2)

Comme U ∪ G = {u_{k} < v} ∪ G, on a :

∫_{{u_{k}<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{U} T ∧ (dd^{c}v)^{p} + ∫_{G} T ∧ (dd^{c}v)^{p}
≤ lim_{j→+∞} ∫_{U} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p} + ∫_{G} T ∧ (dd^{c}v)^{p}
≤ lim_{j→+∞} ( ∫_{{u_{k}<v_{j}}} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p} + ∫_{G} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p})
+ ∫_{G} T ∧ (dd^{c}v)^{p}
≤ lim_{j→+∞} ∫_{{u_{k}<v_{j}}} T ∧ (dd^{c}v_{j})^{p} + 2M^{p}ε
≤ lim_{j→+∞} ∫_{{u_{k}<v_{j}}} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p} + 2M^{p}ε.

La 2^{ème} inégalité résulte de (2.6.2). Comme U ⊂ {u_{k} < v_{j}} ∪ G, on obtient la 3^{ème} inégalité. La 4^{ème} résulte du fait que C_{T} (G, Ω) < ε, tandis que la dernière inégalité se justifie par (2.6.1). Comme {u_{k} < v_{j}} ↓ {u_{k} ≤ v},{u_{k} < v} ↑ {u < v}, on obtient :

∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ lim_{k→+∞} ∫_{{u_{k}≤v}} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p} + 2M^{p}ε (2.6.3)

Les fonctions u et v sont continues sur Ω \ G, donc {u ≤ v} \ G est un fermé

de Ω. Il s’ensuit alors : ∫_{{u≤v}\G} T ∧ (dd^{c}u)^{p} ≥ lim_{k→+∞} ∫_{{u≤v}\G} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p}.

On a alors :

∫_{{u≤v}} T ∧ (dd^{c}u)^{p} ≥ ∫_{{u≤v}\G} T ∧ (dd^{c}u)^{p}
≥ lim_{k→+∞} ∫_{{u≤v}\G} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p}
≥ lim_{k→+∞} ( ∫_{{u_{k}<v}} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p} − ∫_{G} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p})
≥ lim_{k→+∞} ∫_{{u_{k}<v}} T ∧ (dd^{c}u_{k})^{p} − M^{p}ε

La 3^{ème} inégalité se justifie par l’inclusion {u_{k} < v} \ G ⊂ {u < v} \ G. D’après (2.6.3), on obtient :

∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{{u≤v}} T ∧ (dd^{c}u)^{p} + 3M^{p}ε Comme ε est arbitraire, on en déduit l’inégalité

∫_{{u<v}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{{u≤v}} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

Pour achever la preuve, il suffit de remplaçer u par u + η et d’utiliser le fait que {u + η < v} ↑ {u < v} si η ↓ 0 et que {u + η ≤ v} ↑ {u < v} si η ↓ 0. □ Remarque. Ce théorème reste vrai si on suppose que u et v sont dans psh(Ω) ∩ L^{∞}(Ω \ K) avec K = {v = −∞} ⊂ {u = −∞} ⊂⊂ Ω. En effet : On suppose d’abord que u et v sont continues sur Ω \ {v = −∞}. Soient u_{s} = max(u, −s); v_{s} = max(v, −s), alors pour s ≫, u_{s} = u, v_{s} = v au voisinage de ∂Ω. D’après 2.6, on a

∫_{{u_{s}<v_{s}}} T ∧ (dd^{c}v_{s})^{p} ≤ ∫_{{u_{s}<v_{s}}} T ∧ (dd^{c}u_{s})^{p}

Comme {u_{s} < v_{s}} = {u < v} \ {v ≤ −s} ↑ {u < v} \ K, on a

∫_{{u<v}\K} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ lim_{s→+∞} ∫_{{u_{s}<v_{s}}} T ∧ (dd^{c}v_{s})^{p}

D’autre part, l’ensemble {u_{s} < v_{s}} ⊂ F_{s} = {u ≤ v} \ {v < −s} est un fermé de Ω et vu que F_{s} ↑ {u ≤ v} \ K, on obtient

lim_{s→+∞} ∫_{{u_{s}<v_{s}}} T ∧ (dd^{c}u_{s})^{p} ≤ lim_{s→+∞} ∫_{F_{s}} T ∧ (dd^{c}u_{s})^{p} ≤ ∫_{{u≤v}\K} T ∧ (dd^{c}u)^{p}

Le résultat se déduit aisément, en remplaçant u par u + η et en faisant tendre η vers 0. Le cas général se traite par régularisation des fonctions u et v. □

Corollaire 2.7 (principe de domination) Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, u et v ∈ psh(Ω) ∩ L^{∞}(Ω). Supposons que :

i) lim_{ξ→∂Ω} inf(u(ξ) − v(ξ)) ≥ 0 ;

ii) T ∧ (dd^{c}u)^{p} ≤ T ∧ (dd^{c}v)^{p}; Alors u ≥ v en dehors d’un ensemble ∥T ∥−négligeable.

Démonstration. Sans perte de génératité, on peut supposer que Ω = {ρ < 0} où ρ est une fonction C^{∞}, strictement psh qui définie Ω. Supposons que ∥T ∥({u < v}) > 0, alors il existe ε > 0 tel que ∥T ∥({u < v + ερ}) > 0. D’après 2.6, on a :

∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}v + ερ)^{p} ≤ ∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}u)^{p} ≤ ∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}v)^{p}

D’où :

ε^{p} ∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}ρ)^{p} + ∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} ≤ ∫_{{u<v+ερ}} T ∧ (dd^{c}v)^{p} cela se contredit avec le fait que ∥T ∥({u < v + ερ}) > 0. □

Application. Dans plusieurs problèmes on est amené a contrôler la masse

d’un produit de Monge-Ampere mixte (∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{j} ∧ (dd^{c}v)^{p−j}) par celles

des produits homogènes (∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{p} et ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}v)^{p}), en appliquant le

théorème de comparaison on a réussit à faire ça dans certains cas (Proposition 2.9). Soit φ une fonction continue, psh sur Ω et semi-exhaustive sur SuppT i.e il existe un nombre réel R tel que B(R) ∩ SuppT ⊂⊂ Ω, où B(R) = {φ < R}. Pour r ∈ ] − ∞, R[, on note :

B(r) = {z ∈ Ω; φ(z) < r}, S(r) = {z ∈ Ω; φ(z) = r}, φ_{r} = max(φ, r)

L’application r ↦ T ∧(dd^{c}φ_{r})^{p}, à valeurs dans l’espace des mesures sur Ω muni de la topologie faible, est continue sur ]−∞, R[. Comme la mesure T ∧(dd^{c}φ_{r})^{p} est nulle sur B(r) et coïncide avec T ∧ (dd^{c}φ)^{p} sur Ω \ \overline{B}(r), on peut associer à T et φ une collection de mesure positives μ_{T,φ,r} portées par les ensembles S(r) de la façon suivante :

μ_{T,φ,r} = T ∧ (dd^{c}φ_{r})^{p} − 1l_{Ω\B(r)}T ∧ (dd^{c}φ)^{p}

Si φ est de classe C^{∞} et r une valeure régulière de φ, μ_{T,φ,r} = T ∧ (dd^{c}φ)^{p−1} ∧

d^{c}φ_{|S(r)}. Pour s > r, on a : ∫_{B(s)} (T ∧ (dd^{c}φ_{r})^{p} − T ∧ (dd^{c}φ)^{p}) = 0. Donc la

masse totale μ_{T,φ,r}(S(r)) = μ_{T,φ,r}(B(s)) coïncide avec la différence entre les masses de T ∧ (dd^{c}φ)^{p} et 1l_{Ω\B(r)}T ∧ (dd^{c}φ)^{p} sur B(s) i.e :

μ_{T,φ,r}(S(r)) = μ_{T,φ,r}(B(s)) = ∫_{B(r)} T ∧ (dd^{c}φ)^{p}

On remarque que si r → r_{0}^{−} (r_{0} < R), alors 1l_{Ω\B(r)} converge simplement vers 1l_{Ω\B(r_{0})}. Ceci veut dire que l’application r ↦ μ_{T,φ,r} est continue faiblement à gauche.

Pour montrer la Proposition 2.9 on a besoin du lemme suivant

Lemme 2.8 Soit ψ une fonction psh, négative et continue sur Ω, alors pour tout s ≥ 1, (−ψ)^{s} est μ_{T,φ,r}−intégrable et on a :

\begin{matrix}μ_{T,φ,r}((−ψ)^{s}) & = & ∫_{B(r)}(−ψ)^{s}T ∧ (dd^{c}φ)^{p} \\ & + & ∫_{B(r)}(r − φ)T ∧ dd^{c}(−ψ)^{s} ∧ (dd^{c}φ)^{p−1} \end{matrix} (2.8.1)

Preuve. On procède comme Demailly (cf.[De]). On suppose d’abord que φ et ψ sont de classe C^{∞}, alors comme les deux membres de (2.8.1) sont continus à gauche, il suffit d’appliquer la formule de Stokes en utilisant l’égalité μ_{T,φ,r} = T ∧ (dd^{c}φ)^{p−1} ∧ d^{c}φ_{|S(r)} pour r une valeure régulière de φ. Si φ est continue et ψ de classe C^{∞}, on prend φ_{k} ↓ φ psh, de classe C^{∞}. Pour φ_{k}, on a :

μ_{T,φ_{k},r}((−ψ)^{s})−∫_{φ_{k}<r}(−ψ)^{s}T ∧(dd^{c}φ_{k})^{p} = ∫_{φ_{k}<r}(r−φ_{k})T ∧dd^{c}(−ψ)^{s} ∧(dd^{c}φ_{k})^{p−1}

On vérifie aisément que la suite T ∧dd^{c}(−ψ)^{s}∧(dd^{c}φ_{k})^{p−1} converge faiblement vers T ∧ dd^{c}(−ψ)^{s} ∧ (dd^{c}φ)^{p−1}, et que 1l_{B(r)}(r − φ) est une fonction continue

à support compact. Il en résulte que l’intégrale ∫_{φ_{k}<r}(r − φ_{k})T ∧ dd^{c}(−ψ)^{s} ∧

(dd^{c}φ_{k})^{p−1} converge vers ∫_{B(r)}(r−φ)T ∧dd^{c}(−ψ)^{s}∧(dd^{c}φ)^{p−1}. De plus, d’après

la définition de μ_{T,φ_{k},r}, on a :

μ_{T,φ_{k},r}((−ψ)^{s})−∫_{φ_{k}<r}(−ψ)^{s}T ∧(dd^{c}φ_{k})^{p} =∫_{Ω}(−ψ)^{s}(T ∧(dd^{c}φ_{k,r})^{p} −T ∧(dd^{c}φ_{k})^{p})

où φ_{k,r} = max(φ_{k}, r). Comme (T ∧ (dd^{c}φ_{k,r})^{p} − T ∧ (dd^{c}φ_{k})^{p}) est à support dans le compact \overline{B}(r), il s’ensuit que l’intégrale

∫_{Ω}(−ψ)^{s}(T ∧ (dd^{c}φ_{k,r})^{p} − T ∧ (dd^{c}φ_{k})^{p})

converge vers

∫_{Ω}(−ψ)^{s}(T ∧(dd^{c}φ_{r})^{p}−T ∧(dd^{c}φ)^{p}) = μ_{T,φ,r}((−ψ)^{s})−∫_{B(r)}(−ψ)^{s}T ∧(dd^{c}φ)^{p}.

Supposons maintenant que φ et ψ sont continues et choisissons ψ_{k} ↓ ψ psh, de classe C^{∞}, d’après ce qui précède, on a :

μ_{T,φ,r}((−ψ_{k})^{s}) − ∫_{B(r)}(−ψ_{k})^{s}T ∧ (dd^{c}φ)^{p} = ∫_{B(r)}(r − φ)T ∧ dd^{c}(−ψ_{k})^{s} ∧ (dd^{c}φ)^{p−1}

Le terme à gauche coïncide avec ∫_{Ω}(−ψ_{k})^{s}(T ∧ (dd^{c}φ_{r})^{p} − T ∧ (dd^{c}φ)^{p}) ; cette

intégrale converge vers ∫_{Ω}(−ψ)^{s}(T ∧ (dd^{c}φ_{r})^{p} − T ∧ (dd^{c}φ)^{p}) par application

du théorème de la convergence monotone. D’autre part, puisque la fonction 1l_{B(r)}(r−φ) est continue à support compact et la suite T ∧dd^{c}(−ψ_{k})^{s}∧(dd^{c}φ)^{p−1} converge faiblement vers T ∧dd^{c}(−ψ)^{s} ∧(dd^{c}φ)^{p−1}, on en déduit que l’intégrale

∫_{B(r)}(r − φ)T ∧ dd^{c}(−ψ_{k})^{s} ∧ (dd^{c}φ)^{p−1} converge vers l’intégrale

∫_{B(r)}(r − φ)T ∧ dd^{c}(−ψ)^{s} ∧ (dd^{c}φ)^{p−1}. □

Proposition 2.9 Soient Ω un ouvert borné de ℂ^{n}, T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1, u et v ∈ psh(Ω), continues sur Ω. On suppose que :

lim_{z→∂Ω} u(z) = lim_{z→∂Ω} v(z) = 0 et que ∫_{Ω} T ∧ ((dd^{c}u)^{p} + (dd^{c}v)^{p}) < ∞;

Alors pour tout s ≥ 1, 0 ≤ j ≤ p on a :

\begin{aligned}∫_{Ω}(−u)^{s}T ∧ (dd^{c}u)^{j} ∧ (dd^{c}v)^{p−j} & ≤ D_{j,s}( ∫_{Ω}(−u)^{s}T ∧ (dd^{c}u)^{p})^{\frac{s+j}{s+p}} \\ & ( ∫_{Ω}(−v)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{p})^{\frac{p−j}{s+p}} \end{aligned}

Avec D_{j,s} = s^{\frac{(s+j)(p−j)}{s−1}} si s > 1 et D_{j,1} = exp\{(1 + j)(p − j)\}.

Démonstration. On reprend la démonstration de [Ce-Pe], on montre d’abord

que : ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p} < ∞. En effet : soient μ = T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p}, avec

1 < α < 2 tels que μ{u = αv} = 0. D’après le théorème 2.6, on a :

μ(Ω) = ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p}
= ∫_{\{ \frac{1+α}{α} u<u+v\}} T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p} + ∫_{\{(1+α)v<u+v\}} T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p}
≤ (\frac{1+α}{α})^{p} ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{p} + (1 + α)^{p} ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}v)^{p}
≤ 3^{p} ∫_{Ω} T ∧ ((dd^{c}u)^{p} + (dd^{c}v)^{p}) < +∞

En appliquant le lemme précédent au courant R = T ∧ (dd^{c}v)^{j}, on a :

\begin{aligned}μ_{R,u,−ε}((−v)^{p}) & = & ∫_{B(−ε)}(−v)^{s}R ∧ (dd^{c}u)^{p−j} \\ & + & ∫_{B(−ε)}(−ε − u)R ∧ (dd^{c}(−v)^{s}) ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1} \end{aligned}

De plus, on a :

0 ≤ μ_{R,u,−ε}((−v)^{s}) ≤ sup_{{u=−ε}} {(−v(z))^{s}} ∫_{Ω} R ∧ (dd^{c}u)^{p−j}
= sup_{{u=−ε}} {(−v(z))^{s}} ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}u)^{p−j} ∧ (dd^{c}v)^{j}
≤ sup_{{u=−ε}} {(−v(z))^{s}} ∫_{Ω} T ∧ (dd^{c}(u + v))^{p}

D’après l’hypothèse sur u et v et le lemme, on en déduit alors,

\begin{matrix}0 = lim_{ε→0} μ_{R,u,−ε}((−v)^{p}) & = & ∫_{Ω}(−v)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{j} ∧ (dd^{c}u)^{p−j} \\ + ∫_{Ω}(−u)T ∧ (dd^{c}(−v)^{s}) ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1} ∧ (dd^{c}v)^{j} \end{matrix}

Par application de l’inégalité de Hölder, on obtient

∫Ω (−v)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{j} ∧ (dd^{c}u)^{p−j}
= ∫_{Ω} udd^{c}(−v)^{s} ∧ T ∧ (dd^{c}v)^{j} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1}
= s(s − 1) ∫_{Ω} u(−v)^{s−2}T ∧ (dd^{c}v)^{j} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1} ∧ dv ∧ d^{c}v
+ s ∫_{Ω}(−u)(−v)^{s−1}T ∧ (dd^{c}v)^{j+1} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1}
≤ s ∫_{Ω}(−u)(−v)^{s−1}T ∧ (dd^{c}v)^{j+1} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1}
≤ (s ∫_{Ω}(−u)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{j+1} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1})^{\frac{1}{s}}
(s ∫_{Ω}(−v)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{j+1} ∧ (dd^{c}u)^{p−j−1})^{\frac{s−1}{s}}

En prenant le logarithme, on obtient : x_{j} ≤ \frac{s−1}{s}x_{j+1} + \frac{1}{s}y_{p−j−1} + log s ; y_{j} ≤ \frac{s−1}{s}y_{j+1} + \frac{1}{s}x_{p−j−1} + log s. où :

x_{j} = log ∫_{Ω}(−u)^{s}T ∧ (dd^{c}u)^{j} ∧ (dd^{c}v)^{p−j}
y_{j} = log ∫_{Ω}(−v)^{s}T ∧ (dd^{c}v)^{j} ∧ (dd^{c}u)^{p−j}

Le reste de la démonstration est réduit à un problème de résolution d’un système linéaire (cf.[Ce-Pe]). □

3 Convergence par rapport à C_{T} et operateur de monge-ampère

Dans cette partie nous introduisons la notion de la convergence par rapport à la capacité C_{T}. Comme application nous généralisons des résultats de [Be-Ta] et de [Xi] sur l’opérateur de Monge-Ampère.

Définition 3.1 Soient T un courant positif fermé de dimension p ≥ 1 sur un ouvert Ω de ℂ^{n} et E ⊂ Ω. On dit que u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur E si pour tout δ > 0, on a :

lim_{j→+∞} C_{T} ({z ∈ E; |u_{j}(z) − u(z)| > δ}, Ω) = 0

Théorème 3.2 Soient (u_{j})_{j} une suite de fonctions psh localement uniformément bornées et u ∈ psh(Ω) ∩ L_{loc}^{∞}(Ω), on a :

a) Si u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur chaque E ⊂⊂ Ω, alors le courant T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} converge au sens des courants vers T ∧ (dd^{c}u)^{p}.

b) Supposons qu’il existe E ⊂⊂ Ω tel que ∀j, u_{j} = u sur Ω \ E et que les suites uT ∧(dd^{c}u_{j})^{p}, u_{j}T ∧(dd^{c}u)^{p} et u_{j}T ∧(dd^{c}u_{j})^{p} convergent au sens des courants vers uT ∧ (dd^{c}u)^{p} alors u_{j} converge vers u par rapport à C_{T} sur E.

Remarques.

1) Si T = 1 ou T = dd^{c}|z|^{2}, on retrouve un résultat de Xing (cf.[Xi]).

2) a) constitue encore une généralisation d’un résultat de [Be-Ta], dans le cas où la suite (u_{j})_{j} est décroissante vers u. En effet on montre dans ce cas (cf théorème2.4) que u_{j} converge vers u par rapport à la capacité C_{T}.

3) Dans b), si on suppose de plus que u ≥ u_{j} ∀j (en particulier si u_{j} ↑ u), on peut conclure sans utiliser la convergence faible des suites uT ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} et u_{j}T ∧(dd^{c}u_{j})^{p}. Dans la démonstration de b), on peut en effet utiliser l’inégalité dd^{c}(u − u_{j}) ≤ dd^{c}u à la place de dd^{c}(u_{j} − u) ≤ dd^{c}(u + u_{j}).

Démonstration. On procède comme dans [Xi]. a). On raisonne par récurrence sur l’entier p. Le cas p = 1 se déduit si on montre que u_{j}T converge faiblement vers uT. Soit φ ∈ D_{p,p}(Ω), suppφ ⊂ Ω_{1} ⊂⊂ Ω, alors :

| ∫_{Ω}(u_{j}T − uT) ∧ φ| ≤ C ∫_{Ω_{1}} |u_{j} − u|T ∧ β^{p}
= C ∫_{{|u_{j}−u|≤δ}∩Ω_{1}} |u_{j} − u|T ∧ β^{p}
+ C ∫_{{|u_{j}−u|>δ}∩Ω_{1}} |u_{j} − u|T ∧ β^{p}
≤ Cδ∥T ∥_{Ω_{1}} + C∥u_{j} − u∥_{∞} ∫_{{|u_{j}−u|>δ}∩Ω_{1}} T ∧ β^{p}
≤ Cδ∥T ∥_{Ω_{1}} + MC_{T} {z ∈ Ω_{1}; |u_{j}(z) − u(z)| > δ}

Comme δ est arbitraire, M est indépendante de j et u_{j} converge vers u par rapport à la capacité C_{T} sur Ω_{1}, on a donc le résultat pour p = 1. On suppose que T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} converge faiblement vers T ∧ (dd^{c}u)^{s}(s < p), et montrons que u_{j}T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} converge faiblement vers uT ∧ (dd^{c}u)^{s}. Pour tout ε > 0, il existe d’après le théorème2.5 un ouvert O tel que C_{T} (O, Ω) < ε, u = ϕ + ψ où ϕ est continue sur Ω et ψ = 0 sur Ω \ O.

u_{j}T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} − uT ∧ (dd^{c}u)^{s} = (u_{j} − u)T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s}
+ ψ(T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} − T ∧ (dd^{c}u)^{s})
+ ϕ(T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} − T ∧ (dd^{c}u)^{s})
= (1) + (2) + (3)

(3) tend faiblement vers 0 par l’hypothèse de récurrence et le fait que ϕ est continue.

Pour (1), soit φ ∈ D_{p−s,p−s}(Ω), suppφ ⊂ Ω_{1} ⊂⊂ Ω, alors :

| ∫_{Ω}(u_{j} − u)T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} ∧ φ| ≤ C ∫_{Ω_{1}} |u_{j} − u|T ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} ∧ (dd^{c}|z|^{2})^{p−s}
≤ C ∫_{Ω_{1}} |u_{j} − u|T ∧ (dd^{c}(u_{j} + |z|^{2}))^{p}
= C ∫_{{|u_{j}−u|>δ}∩Ω_{1}} u_{j} − u|T ∧ (dd^{c}(u_{j} + |z|^{2}))^{p}
+ C ∫_{{|u_{j}−u|≤δ}∩Ω_{1}} u_{j} − u|T ∧ (dd^{c}(u_{j} + |z|^{2}))^{p}
≤ A ∫_{{|u_{j}−u|>δ}∩Ω_{1}} T ∧ (dd^{c}(u_{j} + |z|^{2}))^{p} + δM∥T ∥_{Ω_{1}}
≤ A_{1}C_{T} {z ∈ Ω_{1}; |u_{j}(z) − u(z)| > δ} + δM∥T ∥_{Ω_{1}}

Comme u_{j} est une suite localement uniformément bornée, A_{1} et M ne dépendent pas de j, on a (1) converge faiblement vers 0. On raisonne de même pour (2), on a :

\begin{aligned}∫_{Ω_{1}∩O} ψT ∧ (dd^{c}u_{j})^{s} ∧ β^{p−s} & ≤ & B ∫_{Ω_{1}∩O} T ∧ (dd^{c}(u_{j} + |z|^{2}))^{p} \\ & ≤ & B_{1}C_{T} (O, Ω) ≤ εB_{1} \end{aligned}

De même : ∫_{Ω_{1}∩O} ψT ∧ (dd^{c}u)^{s} ∧ β^{p−s} ≤ B_{2}ε.

b) Soient Ω′ un ouvert tel que E ⊂⊂ Ω′ ⊂⊂ Ω, w ∈ psh(Ω, [0, 1]) et δ > 0. D’après Stokes et l’inégalité de Cauchy-Shawrz, on obtient :

∫_{{|u_{j}−u|>δ}} T ∧ (dd^{c}w)^{p}
≤ \frac{1}{δ^{2}} ∫_{Ω′}(u_{j} − u)^{2}T ∧ (dd^{c}w)^{p}
= \frac{−1}{δ^{2}} ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u)^{2} ∧ d^{c}w ∧ (dd^{c}w)^{p−1}
≤ A_{1}( ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u)^{2} ∧ d^{c}(u_{j} − u)^{2} ∧ (dd^{c}w)^{p−1})^{\frac{1}{2}}
≤ 2A_{1}A_{2}( ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ (dd^{c}w)^{p−1})^{\frac{1}{2}}

où l’on a posé A_{1} = \frac{1}{δ^{2}} ∫_{Ω′} T ∧ dw ∧ d^{c}w ∧ (dd^{c}w)^{p−1} < ∞ (cf.[C.L.N]) et A_{2} = ∥u_{j} − u∥_{∞} < ∞. En appliquant encore (p − 1)−fois la formule de Stokes, l’inégalité de Cauchy-Schwarz et en utilisant l’inégalité dd^{c}(u_{j} − u) ≤ dd^{c}(u_{j} + u), on trouve :

\begin{matrix}_{∫Ω′} & T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ (dd^{c}w)^{p−1} \\ = & ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}w ∧ dd^{c}(u_{j} − u) ∧ (dd^{c}w)^{p−2} \\ ≤ & B( ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ dd^{c}(u_{j} + u) ∧ (dd^{c}w)^{p−2})^{\frac{1}{2}} \\ ≤ & B_{1}( ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ (dd^{c}(u_{j} + u))^{p−1})^{\frac{1}{2^{p}}} \\ ≤ & B_{2}( ∫_{Ω′} T ∧ d(u_{j} − u) ∧ d^{c}(u_{j} − u) ∧ ∑_{k=0}^{p−1}(dd^{c}u_{j})^{p−k−1} ∧ (dd^{c}u)^{k})^{\frac{1}{2^{p}}} \\ = & B_{2}( ∫_{Ω′}(u_{j} − u)T ∧ (dd^{c}u_{j} − dd^{c}u) ∧ ∑_{k=0}^{p−1}(dd^{c}u_{j})^{p−k−1} ∧ (dd^{c}u)^{k})^{\frac{1}{2^{p}}} \\ = & B_{2}( ∫_{Ω′}(u_{j} − u)(T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} − T ∧ (dd^{c}u)^{p}))^{\frac{1}{2^{p}}} \end{matrix}

où la constante B_{2} est indépendante de j et de w. Comme u = u_{j} sur Ω′ \ E et uT ∧ (dd^{c}u_{j})^{p}, u_{j}T ∧ (dd^{c}u)^{p}, u_{j}T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} converge vers la même limite

uT ∧ (dd^{c}u)^{p}, on obtient : lim_{j→+∞} ∫_{Ω′}(u_{j} − u)(T ∧ (dd^{c}u_{j})^{p} − T ∧ (dd^{c}u)^{p}) = 0

Il en résulte que : C_{T} (|u_{j} − u| > δ, Ω) = 0 □

Références

[Be-Ta] Bedford E. et Taylor B. A., A new capacity for Plurisubharmonic

functions, Acta Math, 149 (1982), 1-40.

[Bm-El] H. Ben Messaoud et H. El Mir, Tranchage et prolongement des cou-

rants positifs fermés, Math. Ann. 307 (1997), 473-487.

[Ce] Cegrell. U, Capacities in Complex Analysis, Braunschwerg Wiesbaden Friedr. Vieweg et Sohn, 1988.

[Cee-Pe] Cegrell. U et Leif Person, An energy estimate for complex Monge-Ampère Operateur, Annales Polimici Mathematici, LXVII1 (1997) 95-102.

[C.L.N] Chern S.S., Levine H.I. et Nirenberg L. Intrinsic norms on a complex manifold ; Global Analysis, Papers in Honor of K.Kodaira, pp. 119-139, Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1969.

[De] Demailly J.P., Monge-Ampère operator, Lelong numbers and intersection theory, in complex Analysis and Geometry, (V. Ancona and A Silva, eds.), pp.15-193. Univ. Ser. Math., Plenum Press, New York, 1993.

[Xi] Xing Y., Continuity of the complex Monge-Ampère, Proc. Amer.Math. Soc. 124, 457-467 , (1996).

Dabbek Khalifa Département de Math Faculé de sciences de Gabès 6071 Gabès Tunisie khalifa.dabbek@fsg.rnu.tn Elkhadhra Fredj Département de Math Faculé de sciences Monastir 5000 Monastir Tunisie fredj.elkhadhra@fsm.rnu.tn