G-Structures Entières et Modules de Wach

Lionel Dorat

Received: December 18, 2006

Communicated by Ulf Rehmann

Abstract. In this paper, we study the tannakian properties of the Fontaine-Laffaille functor V_{cris} thanks to the theory of Wach’s modules. We construct a point of the torsor linking cristalline representations and weakly admissible filtered modules, preserving the lattices in the sens of the Fontaine-Laffaille correspondance.

2000 Mathematics Subject Classification: 11F80, 11F85, 11S20, 11S23 Keywords and Phrases: Représentations galoisiennes, représentations cristallines, représentations entières, modules filtrés, (ϕ, Γ)-modules

Introduction

Dans tout ce travail, p est un nombre premier impair, K un corps de caractéristique 0, complet pour une valuation discrète, absolument non ramifié et de corps résiduel k parfait de caractéristique p. Nous noterons W l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k, c’est donc l’anneau des entiers de K. Tous trois sont munis d’une action de Frobenius, notée σ. Fixons \overline{K} une cloture algébrique de K, et posons Γ_{K} = Gal(\overline{K}, K). Nous noterons ℂ le complété de \overline{K} et X : Γ_{K} → ℤ_{p}^{∗} désignera le caractère cyclotomique de Γ_{K} (c’est-à-dire que g(z) = z^{X (g)} pour tout g ∈ Γ_{K} et pour toute racine de l’unité z ∈ \overline{K} d’ordre une puissance de p). Nous allons étudier les représentations continues de Γ_{K} dans des ℚ_{p}-espaces vectoriels de dimension finie. Nous nous restreindrons aux représentations cristallines, condition vérifiée dans bien des cas issus de la géométrie (par exemple, pour le module de Tate ou la cohomologie étale à coefficients dans ℚ_{p} d’une variété abélienne ayant bonne réduction). L’avantage de ces représentations est que J.-M. Fontaine et P. Colmez ont montré dans [Fon94b] et [CF00] qu’elles forment une catégorie tannakienne, qui est ⊗-équivalente à la catégorie tannakienne des φ-modules filtrés sur K faiblement admissibles (c’est à dire ceux qui ont des réseaux fortement divisibles).

Le foncteur qui induit cette équivalence de catégories se décrit de la manière suivante : si V est une représentation p-adique cristalline, le φ-module filtré associé est D_{cris,p}(V) = (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{cris})^{Γ_{K}} (le quasi-inverse est donné par : pour D un φ-module filtré faiblement admissible, V_{cris,p}(D) = Fil^{0}(D ⊗_{K} B_{cris})^{φ}). De plus, l’application

V_{cris,p}(D) ⊗_{ℚ_{p}} B_{cris} → D ⊗_{K} B_{cris}

issue de la multiplication de B_{cris} est un isomorphisme (préservant l’action de Γ_{K}, la filtration, et le morphisme φ). Cela peut se traduire de la façon suivante : en notant w_{V} le foncteur oubli qui à la ℚ_{p}-représentation cristalline V associe le ℚ_{p}-espace vectoriel sous-jacent à V, et w_{D} celui qui associe le K-espace vectoriel sous-jacent à D_{cris,p}(V), alors les ⊗-isomorphismes du foncteur fibre w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K sur le foncteur fibre w_{D}, Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D}), forment un torseur sous Aut^{⊗}(w_{V})_{|K} et sous Aut^{⊗}(w_{D}), qui est non vide sur B_{cris}. Du côté des φ-modules filtrés sur K, nous disposons de la notion de réseaux fortement divisibles (dont l’existence est une condition nécessaire et suffisante pour que le module soit faiblement admissible), qui sont des φ-modules filtrés sur W (cf. paragraphe 1.3). J.-M. Fontaine et G. Laffaille ont montré dans [FL82] que, si la longueur de la filtration est strictement plus petite que p − 1, il existe une équivalence de catégories abéliennes entre réseaux fortement divisibles d’un module filtré faiblement admissible, et les réseaux stables de la représentation cristalline associée. Plus précisément, à M un φ-module filtré sur W vérifiant Fil^{1}(M) = {0} et Fil^{2−p}(M) = M, ils associent le réseau V_{cris}(M) = Fil^{0}(M ⊗_{W} A_{cris})^{φ^{0}}, et cette construction induit un foncteur exact, pleinement fidèle (dont nous noterons D_{cris} un quasi-inverse). Deux problèmes apparaissent : la condition sur la filtration n’est pas stable par produit tensoriel, et l’application naturelle

V_{cris}(M) ⊗_{ℤ_{p}} A_{cris} → M ⊗_{W} A_{cris}

n’est pas un isomorphisme (le déterminant est une puissance de t, non inversible dans A_{cris}). De plus, une question naturelle se pose : est-ce qu’il existe un point f de Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D}) qui envoie un réseau galoisien sur celui qui lui correpond d’après la correspondance de Fontaine-Laffaille ? Répondre à ces questions revient à étudier les propriétés tannakiennes de V_{cris}. L’idée va être d’introduire la théorie des modules de Wach de L. Berger (voir [Ber04]), qui à un réseau d’une ℚ_{p}-représentation cristalline associe un (φ, Γ)- module dont un quotient redonne le φ-module filtré sur W correspondant à la théorie de Fontaine-Laffaille. L’intérêt des modules de Wach est leur compatibilité avec le produit tensoriel (le module de Wach d’un produit tensoriel est le produit tensoriel des modules de Wach). Le problème se ramène alors à : pouvons-nous à partir d’un φ-module filtré sur W reconstruire le module de Wach correspondant ? Pouvons-nous le faire de manière à ce que cette construction soit fonctorielle ?

Le résultat technique principal de cet article est la construction à partir des idées de N. Wach d’un foncteur de la catégorie des modules de Fontaine-Laffaille vers la catégorie des modules de Wach. Plus précisément, notons MF_{W}^{−h} la catégorie des φ-modules filtrés N libres sur W tels que Fil^{−h}(N) = N, Fil^{1}(N) = {0} (cf. paragraphe 1.3 pour plus de détails) et MF_{W} < −h > la catégorie engendrée par MF_{W}^{−h} pour les opérations de sous-objets, objets quotients, produit tensoriel et somme directe, V_{cris} le foncteur de Fontaine-Laffaille, ΓΦM_{S}^{−h} la catégories des duaux des modules de Wach de hauteur h (ce qui correspond à des modules de Wach d’après la définition de [Ber04]), et ΓΦM_{S}^{−} la réunion sur h ≥ 0 des ΓΦM_{S}^{−h}, N le foncteur ”module de Wach”, V_{O_{E}} le foncteur de Fontaine pour les (φ, Γ)-module sur O_{E}, V_{cris,p} le foncteur de Fontaine pour les φ-modules filtrés sur K admissibles, et j : S → O_{E} qui induit le foncteur extension des scalaires j^{∗} de la catégorie des modules de Wach vers la catégorie des (φ, Γ)-modules sur O_{E}.

Théorème 1. Soit h un entier compris entre 0 et p − 2, alors il existe un foncteur F^{−} exact, préservant le produit tensoriel, fidèle et pleinement fidèle de MF_{W} < −h > vers ΓΦM_{S}^{−}. Restreint à MF_{W}^{−h}, ce foncteur est essentiellement surjectif sur ΓΦM_{S}^{−h}. De plus, pour tout objet M de MF_{W}^{−h}, F^{−}(M) est fonctoriellement isomorphe à N(V_{cris}(M)). Dans le cas général, F^{−}(M) s’interprète encore comme le module de Wach du réseau galoisien correspondant au (φ, Γ)-module sur O_{E} engendré par F^{−}(M). En outre, V_{O_{E}} ∘j^{∗} ∘F^{−} est isomorphe (comme foncteur) à V_{cris,p} une fois p rendu inversible, et à V_{cris} une fois restreint à la catégorie MF_{W}^{−h}.

Remarque 1. Ce théorème est optimal, dans le sens où nous ne pouvons espérer que F^{−} soit essentiellement surjectif sans la restriction sur h.

Pour illuster, le théorème nous dit essentiellement que le diagramme suivant est commutatif (où bien sûr il faut resteindre la catégorie des réseaux des représentations cristallines à ceux à poids de Hodge-Tate dans [[0, h]]) :

\xymatrix{Rep_{ℤ_{p}}^{cris,h}(Γ_{K}) \ar[r]^{D_{cris}} \ar[d]^{D_{O_{E}}} \ar@{-->}[dr]_{N} & MF_{W}^{−h} \ar@{.>}[d]_{F^{−}} \ar[l]^{V_{cris}} \\ ΓΦM_{O_{E}}^{et} \ar[u]^{V_{O_{E}}} & ΓΦM_{S}^{−h} \ar[l]^{j^{∗}} \ar[u]_{mod π}}

et, une fois p rendu inversible,

\xymatrix{Rep_{ℚ_{p}}^{cris}(Γ_{K}) \ar[d]^{D_{E}} \ar[dr]_{N} & MF_{W} < −h > ⊗K \ar@{.>}[d]_{F^{−}} \ar[l]^{V_{cris,p}} \\ ΓΦM_{E}^{et} \ar[u]^{V_{E}} & ΓΦM_{S[ \frac{1}{p} ]}^{−} \ar[l]^{j^{∗}} \ar[u]_{mod π}}

Documenta Mathematica 12 (2007) 399–440

où F^{−} est fidèle, pleinement fidèle, préserve le produit tensoriel, et suivant les cas, peut être essentiellement surjectif (et MF_{W} < −h > ⊗K représente juste la catégorie formée des objets de MF_{W} < −h > où nous avons rendu p inversible, c’est à dire la catégorie engendrée pour les opérations de produit tensoriel, somme directe, sous-objet et objet quotient, par les modules filtrés sur K admissibles à pente compris entre 0 et −h).

Remarque 2. Dans l’article nous étudierons aussi le cas plus général des φmodules filtrés de type fini sur W (donc ayant éventuellement de la p-torsion).

De ce théorème, nous en déduisons le corollaire voulu :

Théorème 2. Il existe un point du torseur Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D}) à coefficient dans le corps Ê_{nr} qui préserve les réseaux de Fontaine-Laffaille, c’est à dire qui identifie les réseaux stables par Galois des représentations cristallines à poids de Hodge-Tate dans [[0, \frac{p−2}{2}]] au W -module filtré correspondant par la théorie de Fontaine-Laffaille.

Pour obtenir un résultat sur K plutôt que sur Ê_{nr}, il faut modifier le problème. Considérons G un groupe algébrique lisse sur ℤ_{p} et une représentation ρ : Γ_{K} → G(ℤ_{p}). Supposons donnée une immersion fermée α de G dans GL_{U}, pour U un ℤ_{p}-module libre de rang fini, telle que la représentation α ∘ ρ de Γ_{K} (dans GL(U⊗_{ℤ_{p}}ℚ_{p})) soit cristalline à poids de Hodge-Tate dans [[0, h]] avec h un entier compris entre 0 et \frac{p−2}{2}. Notons V = U ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}. Par un théorème de Chevalley, il existe un ℚ_{p}-espace vectoriel V_{G} dans ⨁_{i} End(V)^{⊗i} (en faisant agir GL_{V} naturellement sur V^{∗} et trivialement sur V, dans End(V) = V ⊗V^{∗}) tel que G×_{ℤ_{p}}ℚ_{p} soit le groupe algébrique formé de l’ensemble des éléments de GL_{V} qui laissent stable V_{G}. Alors, par le foncteur de Fontaine-Laffaille, nous pouvons définir naturellement un groupe G_{D} sur D = D_{cris,p}(V) comme l’ensemble des éléments de GL_{D} laissant stable D_{cris,p}(V_{G}). Un corollaire de la proposition 6.3.3 de [Fon79] nous donne l’existence d’un élément de Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D})(K), donc en particulier d’un isomorphisme de K-modules

f : V ⊗_{ℚ_{p}} K → D

qui identifie G ×_{ℤ_{p}} K à G_{D}. Le comportement de f vis-à-vis des réseaux est à priori inconnu. Pour l’étudier, nous introduisons un G-torseur Isom défini sur W, qui est heuristiquement le G-torseur obtenu à partir de Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D}) (c’est à dire une forme sur W du G ×_{W} K torseur obtenu à partir de Isom(w_{V} ⊗_{ℚ_{p}} K, w_{D})). Le résultat suivant se montre alors en montrant que Isom est un G-torseur trivial sur W :

Théorème 3. Sous les hypothèses précédentes, si M = D_{cris}(U), il existe un sous-groupe algébrique G_{M} de GL_{M} sur W, avec G_{M} ×_{W} K = G_{D}, et il existe f un isomorphisme de W -modules de U ⊗_{ℤ_{p}} W sur M, qui identifie G à G_{M}.

f : U ⊗_{ℤ_{p}} W → M

De plus, si U′ est un réseau de U ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} laissé stable par l’action de G, alors f[\frac{1}{p}] envoie U′ ⊗_{ℤ_{p}} W sur D_{cris}(U′).

Remarque 3. Ce théorème nous donne en particulier que les réseaux U et M ont la même position vis à vis du groupe G.

Avec des hypothèses plus fortes sur α, nous pouvons affaiblir l’hypothèse sur h. Une application directe de ce résultat concerne la semi-simplifiée d’une représentation cristalline à poids de Hodge-Tate petits : le groupe algébrique H engendré par l’image de Galois sur ℚ_{p} est alors connexe et réductif, donc en appliquant les résultats cités dans [Tit79] (paragraphe 3.2 et 3.4.1), il existe un groupe algébrique lisse G défini sur ℤ_{p}, tel que G(ℤ_{p}) contienne l’image de Galois, et dont la fibre générique est H. Le Théorème 3 s’applique alors.

Table des matières

1 Rappels 404 1.1 Rappels sur les (φ, Γ)-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 1.2 Représentations cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 1.3 Rappels sur les φ-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 1.4 Le théorème de Fontaine-Laffaille . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

2 Construction du foncteur 408 2.1 Rappels sur Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 2.2 Foncteur entre MF_{W}^{h} et Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} . . . . . . . . . . . . . . . . 409

3 Lien entre le foncteur et les modules de Wach 416 3.1 Fonctorialité de g_{N} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 3.2 Lien entre Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} et ΓΦM_{S}^{h} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 3.3 Modules de Wach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

4 Fin de la démonstration du théorème 15 425

5 Le point du torseur 428 5.1 Conséquence des théorèmes précédents . . . . . . . . . . . . . . 428 5.2 f et le dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

6 Position des réseaux 432 6.1 Description des groupes plats sur ℤ_{p} . . . . . . . . . . . . . . . 432 6.2 Demonstration du théorème 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 6.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 6.4 Données initiales pour un φ-module filtré . . . . . . . . . . . . 438 1 Rappels

1.1 Rappels sur les (φ, Γ)-modules

1.1.1 Définition de O_{E}

Soit R l’ensemble des suites x = (x^{(n)})_{n∈ℕ} formées d’éléments de OK̄/pOK̄ vérifiant (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)} pour tout n (cf. [Fon82], p. 535). C’est un anneau parfait de caractéristique p, muni d’une valuation ; son corps résiduel s’identifie à k. Son corps des fractions Fr R est un corps algébriquement clos de caractéristique p, et R est intégralement clos dans Fr R. Si A est une k-algèbre, W (A) désigne l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A. Notons ℤ_{p^{s}} = W (𝔽_{p^{s}}), ℤ_{p}^{nr} = W (\overline{𝔽_{p}}), W = W (k), W_{K}(A) = K ⊗_{W} W (A) = W (A)[\frac{1}{p}] et si a ∈ A, [a] = (a, 0, ⋯, 0, ⋯) le représentant de Teichmüller de a dans W (A). Le Frobenius x ∈ A ↦ x^{p} ∈ A s’étend à W (A) en φ (encore appelé l’endomorphisme de Frobenius) par fonctorialité, ainsi qu’à W_{K}(A) ; nous noterons σ le Frobenius sur W et sur K (si λ ∈ W, σ(λ) := φ(λ)). En particulier ceci s’applique à W (R), W (Fr R) et W_{K}(Fr R). D’autre part, le groupe Γ_{K} opère par fonctorialité sur R, Fr R et W (Fr(R)), et les anneaux W (R), W (Fr R) et W_{K}(R) s’identifient à des sous-anneaux de W_{K}(Fr R) stables par φ et Γ_{K}. Notons ℤ_{p}(1) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} μ_{p^{n}}(K̄) le module de Tate du groupe multiplicatif et pour

tout i ∈ ℕ, ℤ_{p}(i) = ℤ_{p}(1)^{⊗i} et ℤ_{p}(−i) son dual. Pour tout ℤ_{p}-module T, et pour tout i ∈ ℤ, posons T (i) = T ⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(i). Le module de Tate ℤ_{p}(1) = T_{p}(𝔾_{m}) s’identifie au sous ℤ_{p}-module du groupe multiplicatif des unités de R congrues à 1 modulo l’idéal maximal, formé des x tels que x^{(0)} = 1. Choisisons un générateur de ce module, c’est-à-dire un élément ε = (ε^{(n)})_{n∈ℕ} ∈ R tel que ε^{(0)} = 1 et ε^{(1)} ≠ 1, et considérons l’élément π = [ε] − 1 dans W (R). Alors l’adhérence S de la sous W -algèbre de W (R) engendrée par π s’identifie à l’algèbre W [[π]] des séries formelles en π à coefficients dans W ; de plus S est stable par φ et Γ_{K}, et nous avons les relations suivantes :

φ(π) = (1 + π)^{p} − 1
g(π) = (1 + π)^{X (g)} − 1

pour g ∈ Γ_{K}. Soit K_{n} le sous corps de K̄ engendré sur K par les racines p^{n}-ièmes de l’unité, et K_{∞} = ∪_{n∈ℕ} K_{n}. Notons Γ = Gal(K_{∞}/K) et H_{K} le noyau de la projection de

Γ_{K} sur Γ. Le groupe H_{K} agit trivialement sur S. Si Γ_{f} est le sous-groupe de torsion de Γ, posons S_{0} = S^{Γ_{f}} ainsi que Γ_{0} = Γ/Γ_{f} ; J.-M. Fontaine a montré (cf. [Fon90], p. 268-273) que S_{0} = W [[π_{0}]], où π_{0} = −p + ∑_{a∈𝔽_{p}}[ε]^{[a]}. Notons

q = p + π_{0}. S_{0} est munie d’une action naturelle de Γ_{0}.

Notons O_{E} le complété pour la topologie p-adique de S[\frac{1}{π}]. C’est l’anneau des entiers d’un corps complet pour une valuation discrète, absolument non ramifié, noté E. Comme π est inversible dans W (Fr R), l’inclusion de S dans W (R) se prolonge en un plongement de S[\frac{1}{π}] dans W (Fr R), et O_{E} s’identifie à l’adhérence de S[\frac{1}{π}] dans W (Fr R) pour la topologie p-adique, tandis que E = O_{E}[\frac{1}{p}] s’identfie à un sous-corps de W_{K}(Fr R). Alors si E = O_{E}/p, O_{E} = S/pS = k[[π̃]], où π̃ est la réduction modulo p de π. De plus, si Ê_{nr} désigne l’adhérence dans W_{K}(Fr R) de l’extension maximale non ramifiée E_{nr} de E contenue dans W_{K}(Fr R) et OÊ_{nr} son anneau des entiers, OÊ_{nr}/p est une clôture séparable E^{sep} de E, avec une identification des groupes de Galois

H_{K} = Gal(E^{sep}/E) = Gal(E_{nr}/E).

1.1.2 (φ, Γ)-modules et représentations galoisiennes

Nous ne considérerons des (φ, Γ)-modules que sur S ou O_{E} (nous considérerons aussi des (φ, Γ_{0})-modules définis sur S_{0}). Soit A l’un des anneaux précédent. Un (φ, Γ)-module sur A est un A-module muni d’un endomorphisme φ, semilinéaire par rapport à σ muni en plus d’une action continue de Γ, semi-linéaire par rapport à l’action de Γ sur A, cette action commutant avec l’endomorphisme φ. Nous les supposerons toujours étale, c’est à dire de type fini sur A et tels que l’application linéaire φ : M^{σ} → M, déduite de φ en posant φ(λ ⊗ x) = λφ(x) pour λ ∈ A et x ∈ M est bijective. Les (φ, Γ)-modules étales (avec comme morphismes les morphismes A-linéaires commutants à φ et à Γ) définissent une ⊗-catégorie abélienne notée ΓΦM_{A}^{ét} (cf. [Fon90] p.273). Appelons représentation ℤ_{p}-adique de Γ_{K} la donnée d’un ℤ_{p}-module de type fini muni d’une action linéaire et continue de Γ_{K}. Un morphisme sera une application ℤ_{p}-linéaire commutant à l’action de Γ_{K}. Notons Rep_{ℤ_{p}}(Γ_{K}) la catégorie des représentations ℤ_{p}-adique de Γ_{K}. La catégorie Rep_{ℚ_{p}}(Γ_{K}) est défini de même. J.-M. Fontaine a montré dans [Fon90] (p. 274) qu’il existait une équivalence de catégories entre ΓΦM_{O_{E}}^{ét} et Rep_{ℤ_{p}}(Γ_{K}) induite par le foncteur D_{O_{E}} (T) = (OÊ_{nr} ⊗_{ℤ_{p}} T)^{H_{K}} pour T une ℤ_{p}-représentation de Γ_{K}, et son quasi inverse V_{O_{E}} (N) = (OÊ_{nr} ⊗_{O_{E}} N)^{φ=1}. La multiplication dans OÊ_{nr} induit alors une application naturelle et fonctorielle :

\xymatrix{V_{O_{E}} (N) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} \ar[r]^{ψ_{N}} & N ⊗_{O_{E}} OÊ_{nr}}

pour N un objet de la catégorie ΓΦM_{O_{E}}^{ét} .

1.2 Représentations cristallines

1.2.1 Représentations cristallines

Pour la définition de A_{cris} et de t := log([ε]), nous renvoyons à [Fon94a] par exemple. Nous noterons B_{cris} = A_{cris}[\frac{1}{t}]. Soit V un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, et ρ : Γ_{K} → GL(V) une représentation continue de Γ_{K}. Définissons D_{cris,p} par

D_{cris,p}(V) = (V ⊗_{ℚ_{p}} B_{cris})^{Γ_{K}}

Alors D_{cris,p}(V) est un K-espace vectoriel, et dim_{K} D_{cris,p}(V) ≤ dim_{ℚ_{p}} V.

Définition 4. La représentation (ρ, V) est cristalline si dim_{K} D_{cris,p}(V) = dim_{ℚ_{p}} V.

Notons Rep_{ℚ_{p},cris}(Γ_{K}) la sous-catégorie pleine de Rep_{ℚ_{p}}(Γ_{K}) formée par les représentations cristallines. Définissons MF_{K} la catégorie des φ-modules filtrés sur K : un objet D de MF_{K} est un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration (Fil^{i}(D))_{i∈ℤ} formée de sous-espaces vectoriels, fitration qui est décroissante, exhaustive séparée, et muni d’une application σ-semi-linéaire bijective φ : D → D. D_{cris,p}(V) est alors naturellement un φ-module filtré. Un élément de l”image essentiel du foncteur D_{cris,p}(V) restreint à Rep_{ℚ_{p},cris}(Γ_{K}) est appelé admissible. Notons MF_{K}^{ad} la sous-catégorie pleine de MF_{K} formée des modules admissibles. Rep_{ℚ_{p},cris}(Γ_{K}) et MF_{K}^{ad} sont deux catégories tannakiennes, le foncteur D_{cris,p} induit une équivalence de ⊗-catégories entre ces deux catégories, et un quasiinverse est donné par le foncteur V_{cris,p}(D) = ( Fil^{0}(D ⊗_{K} B_{cris}))^{φ=1} . L’application naturelle (provenant de la multiplication dans B_{cris})

V_{cris,p}(D) ⊗_{ℚ_{p}} B_{cris} → D ⊗_{K} B_{cris}  (5)

est alors une bijection.

1.2.2 Poids de Hodge-Tate

Rappelons que pour ρ : Γ_{K} → GL_{ℚ_{p}}(V) une représentation continue sur un ℚ_{p}-espace vectoriel de dimension finie, l’action de Γ_{K} peut s’étendre à V_{ℂ} = V ⊗_{ℚ_{p}} ℂ via g(v ⊗ x) = ρ(g)(v) ⊗ g(x). Notons alors pour i ∈ ℤ, V_{ℂ}{i} = {v ∈ V_{ℂ}|∀g ∈ Γ_{K}, g(v) = X (g)^{i}v}. V_{ℂ}{i} est un K-sous espace vectoriel de V_{ℂ} tel que l’injection V_{ℂ}{i} → V_{ℂ} s’étend en une injection ℂ-linéaire

⨁_{i∈ℤ} V_{ℂ}{i} ⊗_{K} ℂ → V_{ℂ}

Alors V est dit de Hodge-Tate si cette injection est une bijection. Les poids de Hodge-Tate sont alors les i ∈ ℤ tels que dim_{K} V_{ℂ}{i} ≠ 0. Si V est cristalline, alors elle est de Hodge-Tate, et ses poids de Hodge-Tate sont les opposées des sauts de la filtration de D_{cris,p}(V).

1.3 Rappels sur les φ-modules

La catégorie qui va nous interesser est la catégorie MF_{W,tf} dite des φ-modules filtrés sur W, dont les objets sont les W -modules N de type fini, muni – d’une filtration décroissante exhaustive et séparée formée de sous-modules

(Fil^{i}(N))_{i∈ℤ};

– pour tout i ∈ ℤ, d’une application σ-semi-linéaire φ^{i} : Fil^{i}(N) → N telle que φ^{i}|_{Fil^{i+1}(N)} = pφ^{i+1} ;

– il existe i ∈ ℤ avec Fil^{i}(N) = {0};

– les Fil^{i}(N) sont des facteurs directs dans N ;

– ∑_{i∈ℤ} φ^{i}(Fil^{i}(N)) = N.

Les morphismes de cette catégorie sont donnés par les applications W -linéaires compatibles aux filtrations et commutants aux φ^{i}. C’est une ⊗-catégorie qui est abélienne, ℤ_{p}-linéaire, qui possède des Hom internes (cf. [Win84]). Soit X (respectivement X_{s} pour s ∈ ℕ^{∗}) le groupe additif des applications périodiques (respectivement ayant s pour période) de ℤ dans ℤ. Le Frobenius σ agit sur X par ∀ξ ∈ X, ∀i ∈ ℤ, σ(ξ)(i) = ξ(i + 1), et laisse donc stable les X_{s}. Pour tout objet N de MF_{W,tf} , si (N_{i})_{i∈ℤ} est un scindage de (Fil^{i}(N))_{i∈ℤ}, posons pour x ∈ N tel que x = ∑_{i} x_{i} avec x_{i} ∈ N_{i}, f_{N}(x) = ∑_{i} φ_{N}^{i}(x_{i}). Soit

pour tout ξ ∈ X, le W -module N{ξ} := {x ∈ N|f_{N}^{j}(x) ∈ N_{ξ(j)} pour tout j ∈ ℤ}. Le φ-module filtré N est dit élémentaire si N = ⊕_{ξ∈X}N{ξ}.

Lemme 6. Si N est un module élémentaire, dont le module sous-jacent est libre sur W ou sur k, alors il existe une base (e_{ξ}^{i})_{ξ∈X, 1≤i≤rg(N{ξ})} de N telle que pour tout ξ, (e_{ξ}^{i})_{1≤i≤rg(N{ξ})} soit une base de N{ξ} et de plus φ^{ξ(0)}(e_{ξ}^{i}) = e_{σ(ξ)}^{i}.

J.-P. Wintenberger a montré dans [Win84] :

Théorème 7. Pour tout objet N de MF_{W,tf} , il existe un et un seul scindage de la filtration de N tel que

– il existe un (unique) u_{N} ∈ Aut_{W} (N) tel que le φ-module filtré (N, (N_{i}), u_{N}^{−1} ∘ f_{N}) soit élémentaire ;

– N/pN ait une suite de composition dont les quotients successifs sont des modules élémentaires.

Ce scindage vérifie les propriétés de fonctorialité attendues.

Posons enfin MF_{W,tf}^{[a,b]} (resp. MF_{W}^{[a,b]}) la sous-catégorie pleine de MF_{W,tf} formée des W -modules M (resp. modules libres) tels que Fil^{a}(M) = M et Fil^{b+1}(M) = {0}. Notons MF_{W,tf}^{−h} = MF_{W,tf}^{[−h,0]}, MF_{W,tf}^{h} = MF_{W,tf}^{[0,h]} et

MF_{W,tf}^{±h} = MF_{W,tf}^{[−h,h]} (de même sans le symbole tf). Pour terminer, nous désignerons par MF_{W,tf} < h > la catégorie engendrée par MF_{W}^{h} dans la catégorie MF_{W,tf} pour les opérations de sous-objet, objet quotient, somme directe et produit tensoriel. Soit D un φ-module filtré sur K admissible. Alors il possède des sous-réseaux fortement divisible, M, c’est-à-dire un réseau M vérifiant ∑_{i∈ℤ} p^{−i}φ(Fil^{i}(D) ∩

M) = M. En posant Fil^{i}(M) = Fil^{i}(D) ∩ M, φ^{i} = p^{−i}φ|_{Fil^{i}(M)}, M devient un φ-module filtré sur W. Réciproquement, si M est un objet de MF_{W,tf} libre sur W, en posant D := K ⊗_{W} M, Fil^{i}(D) := K ⊗_{W} Fil^{i}(M), et pour x_{i} ∈ Fil^{i}(M), φ(x_{i}) := p^{i}φ^{i}(x_{i}), l’objet D ainsi construit est un φ-module filtré sur K faiblement admissible (et donc en fait admissible) dont M est un réseau fortement divisible. Par contre, différents M peuvent donner le même D. Nous noterons D_{M} ce φ-module filtré sur K faiblement admissible construit à partir de M.

1.4 Le théorème de Fontaine-Laffaille

Définition 8. Pour tout objet M de MF_{W,tf} tel que Fil^{1}(M) = {0}, soit V_{cris}(M) la représentation galoisienne définie par :

V_{cris}(M) = ( Fil^{0}(M ⊗_{W} A_{cris}))^{φ^{0}}

Si M est libre comme W -module, V_{cris}(M) est un ℤ_{p}-module libre (c’est un sous-réseau de V_{cris,p}(D_{M})).

Théorème 9 (Théorème de Fontaine-Laffaille). Si nous nous restreignons à la sous-catégorie pleine des M vérifiant Fil^{2−p}(M) = M et Fil^{1}(M) = {0}, alors le foncteur V_{cris} ainsi défini est exact et pleinement fidèle. De plus si M est libre sur W, V_{cris}(M) est un réseau de la représentation galoisienne associée à D_{M} (c’est-à-dire que rg_{ℤ_{p}}(V_{cris}(M)) = rg_{W} (M)).

Nous noterons D_{cris} un quasi-inverse à V_{cris} (Il est donc défini sur la catégorie formée par les réseaux des représentations cristallines sur ℚ_{p} de Γ_{K} à poids de Hodge-Tate dans [[0, p − 2]], et leurs quotients, à valeurs dans MF_{W,tf}^{2−p} ).

2 Construction du foncteur

2.1 Rappels sur Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}

Notons Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} (ΓΦM_{S}^{h} se définit de la même façon) la sous-catégorie pleine de la catégorie des (φ, Γ_{0})-modules sur S_{0} (cf. paragraphe 1.1) formée des objets N vérifiant :

– le S_{0}-module sous-jacent est de type fini et sans p′-torsion (i.e. pour tout élément irréductible λ de S_{0} non associé à p, N est sans λ-torsion),

– le S_{0}-module N /φ(N ⊗_{σ} S_{0}) est annulé par q^{h} (où q = π_{0} + p),

– le groupe Γ_{0} agit trivialement sur N /π_{0}N. Elle est abélienne si 0 ≤ h ≤ p − 2, et l’inclusion j : S_{0} → O_{E} induit un foncteur j^{∗} : Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} → ΓΦM_{O_{E}}^{ét} pleinement fidèle qui est une équivalence de catégorie pour 0 ≤ h ≤ p − 2 sur son image essentielle (cf. [Fon90], p.301). Si N est un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, alors j^{∗}(N) a pour espace sous-jacent N ⊗_{S_{0}} O_{E}. Nous ferons souvent l’abus de notation de n’écrire que l’espace sous-jacent pour désigner j^{∗}(N).

Si 0 ≤ h ≤ p − 2 et N un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, N. Wach a montré qu’il est possible de munir N = N /π_{0}N d’une structure de φ-module filtré sur W en posant

Fil^{r} N = {x ∈ N tels qu’il existe un relèvement x̂ ∈ N de x avec φ(x̂) ∈ q^{r}N }

et pour tout x ∈ Fil^{r} N, φ^{r}(x) égal à l’image de \frac{φ(x̂)}{q^{r}} dans N. Elle a alors démontré le théorème suivant (cf. [Wac97], p.231) :

Théorème 10. Soit 0 ≤ h ≤ p − 2. Pour tout objet N de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, le φmodule filtré i^{∗}(N) = N /π_{0}N est un objet de MF_{W,tf}^{h} ; le foncteur i^{∗} ainsi défini est exact et fidèle.

2.2 Foncteur entre MF_{W}^{h} et Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}

N. Wach a donné les idées pour construire un quasi-inverse à i^{∗} : à partir d’un objet N de MF_{W}^{h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2 et d’une base adaptée à la filtration, elle a construit un objet N tel que i^{∗}(N) = N. Nous allons montrer qu’en se fixant un scindage fonctoriel de la filtration, nous rendons cette construction fonctorielle.

Proposition 11. Soit MF_{W,tf}^{+} la sous-catégorie pleine formée de la réunion des MF_{W,tf}^{h} (définition analogue pour Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{+}). A tout scindage fonctoriel de la filtration des objets de MF_{W,tf}^{+} nous pouvons associer un foncteur de MF_{W,tf}^{+} vers ΦM_{S_{0}}^{ét} (la catégorie des φ-modules sur S_{0} dont l’extension à O_{E} donne un φ-module étale), qui soit fidèle, additif, exact, et qui préserve le produit tensoriel.

Démonstration. Si N est un objet de MF_{W,tf}^{+} , et N = ⊕N_{i} le scindage de la filtration, il suffit de construire sur N ⊗_{W} S_{0} une structure de φ-module par : l’application φ^{i} étant défini sur Fil^{i}(N), elle se restreint à N_{i}, permettant de poser φ_{N} égal à q^{i}φ^{i} sur N_{i}, c’est-à-dire

∀x ∈ N_{i}, φ_{N}(x) = q^{i}φ^{i}(x)

Nous prolongeons cette définition à N ⊗_{W} S_{0} tout entier en utilisant la semilinéarité de φ_{N}. Les propriétés de fonctorialité découlent alors de celles du scindage de la filtration. Au niveau des flèches, ce foncteur est construit de la manière suivante : si f : N → N′ est un morphisme de φ-modules filtrés, le foncteur lui associe f ⊗ Id.

Remarque 12. Le fait qu’il existe un scindage de la filtration fonctoriel (notamment préservant le produit tensoriel) nous est donné par le théorème 7.

Remarque 13. Nous pouvons étendre ce foncteur de la même façon en un foncteur de la catégorie des φ-modules filtrés libres sur W vers ΦM_{O_{E}}^{ét} , qui préserve sous-objet, objet quotient, somme directe, produit tensoriel et dual.

N. Wach a montré la proposition suivante (cf. le lemme 3.1.6 p.233 de [Wac97]) :

Proposition 14. Supposons 0 ≤ h ≤ p−2. Alors pour tout objet N de MF_{W}^{h}, il existe une unique action de Γ_{0} sur N ⊗_{W} S_{0} triviale modulo π_{0} et commutant au φ_{N} construit comme dans la proposition 11. Le module N ⊗_{W} S_{0} est alors muni d’une structure de (φ, Γ_{0})-module sur S_{0} et devient un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}..

C’est le point de départ pour montrer le théorème suivant :

Théorème 15. Supposons 0 ≤ h ≤ p − 2. Il existe un ⊗-foncteur F additif, exact, fidèle et pleinement fidèle de MF_{W,tf} < h > dans Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{+}, qui composé avec le foncteur oubli donne juste le foncteur extension des scalaires de W à S_{0}. De plus, il induit une équivalence de catégories entre MF_{W,tf}^{h} et Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, dont un quasi-inverse est i^{∗}.

Démonstration. La première étape consiste à construire F sur MF_{W}^{h}. Soit N un objet de MF_{W}^{h} (donc libre comme W -module). Considérons N ⊗_{W} S_{0} : comme 0 ≤ h ≤ p − 2, il existe une unique action de Γ_{0} sur N ⊗_{W} S_{0} qui commute à φ et est triviale modulo π_{0} (c’est le lemme 3.1.6 p.233 de [Wac97]). Le (φ, Γ_{0}) module ainsi défini, noté F(N), est bien un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}. Il faut voir que nous définissons bien ainsi un foncteur. Comme la structure de φmodule provient d’un scindage de la filtration qui préserve le produit tensoriel, l’unicité de l’action de Γ_{0} nous donnera bien que F préserve le produit tensoriel (tant que celui-ci reste dans MF_{W}^{h}). L’exactitude provient de la même raison. N. Wach a montré (lemme 3.1.1.2 de [Wac97]) qu’il existe un unique générateur topologique g_{0} de Γ_{0} tel que \frac{g_{0}(q)−q}{qπ_{0}} = 1 modulo qS_{0}. Il suffit donc d’étudier l’action de g_{0}. Choisissons une base adaptée à la graduation (e_{i})_{1≤ i≤ d} (c’està-dire : si r_{i} est le plus grand entier tel que e_{i} ∈ Fil^{r_{i}}(N), alors pour tout r, (e_{i})_{r_{i}=r} est une base de N_{r}), et si (a_{i,j}) est la matrice des applications φ^{r} dans cette base, l’action de φ est donné par :

φ(e_{j}) = q^{r_{j}} ∑_{1≤ i≤ d} a_{i,j}e_{i}

Avant de montrer que F préserve les sous objets, nous allons étudier plus en détail l’action de g_{0}. N. Wach construit l’action de g_{0} sur N ⊗_{W} S_{0} par récurrence modulo π_{0}^{n}. Nous avons besoin de voir cette action d’une autre façon : soit G = (g_{i,j}) la matrice

dans GL_{rg(N)}(S_{0}) définie par g_{0}(e_{j}) = ∑_{i} g_{i,j}e_{i}, et A = (a_{i,j}) ∈ GL_{rg(N)}(W)

donnant l’action de φ^{j} sur e_{j}. Alors, en écrivant φ ∘ g_{0}(e_{j}) = ∑_{i,k} φ(g_{i,j})a_{k,i}q^{r_{i}}e_{k}

et g_{0}∘φ(e_{j}) = ∑_{i,k} g(a_{i,j})g_{k,i}g(q)^{r_{j}}e_{k}, la commutativité φ∘g_{0} = g_{0}∘φ nous donne

pour G l’équation AQφ(G) = Gg_{0}(A)g_{0}(Q) avec Q la matrice correspondant à Q(e_{j}) = q^{r_{j}}e_{j} (et g_{0}(A) = A puisque A est à coefficients dans W). Donc G est un point fixe de l’application f : H ↦ AQφ(H)g_{0}(Q^{−1})g_{0}(A^{−1}) (et le lemme 3.1.6 p.233 de [Wac97] affirme juste l’unicité d’un tel point fixe à coefficients dans S_{0}, qui soit congru à Id modulo π_{0}). Notons I la matrice identité dans GL_{rg(N)} et G_{n} = f^{(n)}(I) (c’est-à-dire la composée n fois de f appliquée à I). Alors, en utilisant que G − I ∈ π_{0}M_{rg(N)}(S_{0}), nous allons montrer :

Lemme 16. La matrice G est la limite de la suite G_{n}.

Démonstration. Notons φ^{(n)} la composée n fois de φ et introduisons alors B_{n} = AQφ(A)φ(Q) ⋯ φ^{(n−1)}(A)φ^{(n−1)}(Q) qui est une matrice à coefficients dans S_{0}. Nous avons G_{n} = B_{n}φ^{(n)}(I)g_{0}(B_{n}^{−1}), et comme G est un point fixe de f, G = B_{n}φ^{(n)}(G)g_{0}(B_{n}^{−1}), d’où l’égalité G_{n} − G = B_{n}φ^{(n)}(I − G)g_{0}(B_{n}^{−1}). Notons G = I − π_{0}H avec H ∈ M_{rg(N)}(S_{0}), alors nous avons G_{n} − G = φ^{(n)}(π_{0})B_{n}φ^{(n)}(H)g_{0}(B_{n}^{−1}). Or, comme A est inversible (dans GL_{rg(N)}(W)), les seuls dénominateurs possibles sont les puissances de g_{0}(q)^{r_{i}}, et comme 0 ≤ r_{i} ≤ p − 2, nous pouvons écrire G_{n} − G = \frac{φ^{(n)}(π_{0})}{g_{0}(qφ(q)···φ^{n−1}(q))^{p−2}} G′_{n}

avec G′_{n} = B_{n}φ^{(n)}(H)g_{0}(φ^{(n−1)}(q^{p−2}Q^{−1})φ^{(n−1)}(A^{−1}) ⋯ q^{p−2}Q^{−1}A^{−1}) qui est une matrice à coefficients dans S_{0}. Donc tout revient à montrer que \frac{φ^{(n)}(π_{0})}{g_{0}(qφ(q)···φ^{n−1}(q))^{p−2}} tend vers 0. Nous avons

g_{0}(q) = v_{g}q avec v_{g} inversible dans S_{0}, par conséquent le fait que φ et g_{0} commutent nous donne l’égalité

\frac{φ^{(n)}(π_{0})}{g_{0}(qφ(q) ⋯ φ^{n−1}(q))^{p−2}} = \frac{(v_{g}φ(v_{g}) ⋯ φ^{(n−1)}(v_{g}))^{2−p}}{(qφ(q) ⋯ φ^{n−1}(q))^{p−2}} φ^{(n)}(π_{0})

En utilisant que φ(π_{0}) = uπ_{0}q^{p−1} pour u un certain inversible dans S_{0}, nous obtenons que φ^{(n)}(π_{0}) = (qφ(q) ⋯ φ^{n−1}(q))^{p−1}π_{0}uφ(u) ⋯ φ^{(n−1)}(u). Donc,

\frac{φ^{(n)}(π_{0})}{g_{0}(qφ(q) ⋯ φ^{n−1}(q))^{p−2}} = π_{0} \frac{uφ(u) ⋯ φ^{(n−1)}(u)}{(v_{g}φ(v_{g}) ⋯ φ^{(n−1)}(v_{g}))^{p−2}} qφ(q) ⋯ φ^{(n−1)}(q)

et, puisque qφ(q) ⋯ φ^{(n−1)}(q) tend vers 0 dans S_{0} (q est dans l’idéal maximal de S_{0}, idéal qui est stable par φ), nous pouvons conclure que \frac{φ^{(n)}(π_{0})}{g_{0}(qφ(q)···φ^{n−1}(q))^{p−2}}

tend vers 0 dans S_{0}, c’est à dire que G_{n} tend vers G.

Montrons alors la proposition suivante (qui est le point technique clé de cet article) :

Proposition 17. Soit N_{i,j} des objets de MF_{W}^{h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, L un sous-objet (dans MF_{W}^{+}) de M := ⨁_{i} ⊗_{j}N_{i,j}, alors l’action de Γ_{0} sur

⨁_{i} ⊗_{j} F(N_{i,j}) = M ⊗_{W} S_{0} laisse stable L ⊗_{W} S_{0}.

Démonstration. Il suffit de le montrer pour l’action du générateur g_{0} de Γ_{0}. Fixons pour chaque N_{i,j} une base (e_{k}^{(i,j)}) adaptée à la graduation. Notons G^{(i,j)} la matrice de l’action de g_{0} sur cette base et C^{(i,j)} la matrice donnant l’action de φ sur N_{i,j} ⊗_{W} S_{0} (avec les notations précédentes, C = AQ). Alors, par le lemme

précédent nous avons lim_{n→+∞} G_{n}^{(i,j)} = G^{(i,j)} avec C^{(i,j)}φ(G_{n}^{(i,j)})g_{0}(C^{(i,j)})^{−1} =

G_{n+1}^{(i,j)} et G_{0}^{(i,j)} = I^{(i,j)}. Prenons (u[l])_{l} une base de L, et notons (u[l]_{k}^{(i,j)}) les coordonnées de u[l] dans la base (e_{k}^{(i,j)}). Nous voulons montrer (par récurrence) que ⨁_{i} ⊗_{j}G_{n+1}^{(i,j)}g_{0}(u_{k}^{(i,j)}) est une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (u[l]_{k}^{(i,j)}), pour u élément quelconque de L ⊗_{W} S (et (u_{k}^{(i,j)}) ses coordonnées). Remarquons que par linéarité, il suffit de le montrer pour u égal aux u[l]. Comme L est un sous-objet de M, nous avons L ⊗_{W} S_{0} qui est stable par φ. Or φ induit une bijection de L ⊗_{W} S_{0}[\frac{1}{q}]. Cela se traduit alors en disant

⨁_{i} ⊗_{j}C^{(i,j)}φ(u[l′]_{k}^{(i,j)}) est une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (u[l]_{k}^{(i,j)}), et qu’il existe N ∈ ℕ tel que q^{N}( ⊗_{j} C^{(i,j)})^{−1}(u[l′]_{k}^{(i,j)}) est une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des φ(u[l]_{k}^{(i,j)}). Par conséquent, g_{0}(q)^{N}g_{0}( ⊗_{j} C^{(i,j)})^{−1}(g_{0}(u[l′]_{k}^{(i,j)})) s’écrit comme une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (g_{0}(φ(u[l]_{k}^{(i,j)}))), ceci pour tout l′. Puis, ⨁_{i} ⊗_{j}φ(G_{n}^{(i,j)})g_{0}(φ(u[l′]_{k}^{(i,j)})) = φ( ⨁_{i} ⊗_{j}G_{n}^{(i,j)}g_{0}(u[l′]_{k}^{(i,j)})) est pour tout l′ une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (φ(u[l]_{k}^{(i,j)})), cela provient de notre hypothèse de récurrence. En reprenant que ⨁_{i} ⊗_{j}C^{(i,j)}φ(u[l′]_{k}^{(i,j)}) est une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (u[l]_{k}^{(i,j)}) pour tout l′, et en mettant bout à bout ces affirmations, nous obtenons que

g_{0}(q)^{N} ⨁_{i} ⊗_{j}G_{n+1}^{(i,j)}g_{0}(u[l′]_{k}^{(i,j)}) =

g_{0}(q)^{N} ⨁_{i} ⊗C^{(i,j)} ⊗ φ(G_{n}^{(i,j)})g_{0}( ⊗ C^{(i,j)})^{−1}(g_{0}(u[l′]_{k}^{(i,j)}))

est pour tout l′ une combinaison linéaire (à coefficients dans S_{0}) des (u[l]_{k}^{(i,j)}). Par conséquent, si g^{[n]} désigne l’application g_{0}-linéaire construite à partir de la matrice ⨁_{i} ⊗_{j}G_{n}^{(i,j)} (l’hypothèse de récurrence se traduisant par : L ⊗_{W} S_{0} est stable par g^{[n]}), alors g^{[n+1]}(L ⊗_{W} S_{0}) ⊂ \frac{1}{g_{0}(q)^{N}} L ⊗_{W} S_{0} = \frac{1}{q^{N}} L ⊗_{W} S_{0}. Considérons alors (f_{r})_{1≤r≤rg_{W} (M)} une base de M telle qu’il existe n_{r} ∈ ℕ ∪ \{+∞\} avec (p^{n_{r}}f_{r}) base de L. Alors g^{[n+1]}(p^{n_{r}}f_{r}) = ∑_{s} \frac{α_{s}}{q^{N}} p^{n_{s}}f_{s} avec α_{s} ∈ S_{0} (qui dépend de r). Mais, par construction, g^{[n+1]}(M ⊗_{W} S_{0}) ⊂ M ⊗_{W} S_{0}, alors g^{[n+1]}(p^{n_{r}}f_{r}) = ∑_{s} p^{n_{r}}β_{s}f_{s} avec β_{s} ∈ S_{0} (qui dépend aussi de r). D’où p^{n_{r}}β_{s} = \frac{α_{s}}{q^{N}} p^{n_{s}}, ce qui implique que q^{N} divise α_{s} dans S_{0}, donc que g^{[n+1]}(L⊗_{W} S_{0}) ⊂ L ⊗_{W} S_{0}, ce qui montre bien la récurrence.

Pour initialiser la récurrence (n = 0) nous avons G_{0}^{(i,j)} = I^{(i,j)} (où I est la matrice identité), donc ⨁_{i} ⊗_{j}G_{0}^{(i,j)}g_{0}(u_{k}^{(i,j)}) = u_{k}^{(i,j)} pour tout u dans L. D’où par récurrence la propriété est vraie pour tout n. En passant à la limite, la propriété est vrai pour ⨁_{i} ⊗_{j}G^{(i,j)}. Donc l’action de g_{0} sur M ⊗_{W} S_{0} laisse stable L ⊗_{W} S_{0}.

Cette proposition est le coeur du théorème. Elle nous donne en particulier que si N′ est un sous-objet de N dans MF_{W}^{h}, alors l’action de g_{0} sur N ⊗_{W} S_{0} laisse stable N′ ⊗_{W} S_{0}. Elle est triviale modulo π_{0} : si (e_{i}) est une base de N, telle qu’il existe (α_{i}) ∈ ℕ ∪ {+∞} avec (p^{α_{i}}e_{i}) base de N′, alors il existe des coefficients x_{i,j} et y_{i,j} dans S_{0} tels que g_{0}(e_{i}) = e_{i} + π ∑_{j≠i} x_{i,j}e_{j} et g_{0}(p^{α_{i}}e_{i}) = ∑_{j} y_{i,j}p^{α_{j}}e_{j}. En identifiant les coordonnées, nous avons y_{i,i} = 1 et y_{i,j}p^{α_{j}} = p^{α_{i}}x_{i,j}π si j ≠ i, donc π divise bien y_{i,j} dans S_{0} pour j ≠ i. Donc l’action de g_{0} sur F(N) se restreint en une action triviale modulo π_{0} sur N′ ⊗_{W} S_{0} qui commute à φ, donc par unicité cette action est celle de F(N′). La deuxième étape consiste alors à définir F sur tout MF_{W,tf} < h >. Le point important est que pour tout objet M de MF_{W,tf} < h >, il existe des objets N_{i,j} dans MF_{W}^{h} et L un sous-objet de ⨁_{i} ⊗_{j}N_{i,j} tels que M est isomorphe à un quotient M′ de L. Considérons alors N un sous-objet de M, et supposons que sur M ⊗_{W} S_{0} nous ayons une structure de (φ, Γ_{0})-module qui le rende isomorphe à M′ ⊗_{W} S_{0} muni de la structure de (φ, Γ_{0})-module obtenu à partir de celle de L ⊗_{W} S_{0} donnée par la proposition 17. Il faut voir que N′ ⊗_{W} S_{0} (où N′ est l’image de N dans M′) est stable par Γ_{0}. En notant π : L → M′ la projection naturelle, π^{−1}(N′) est un sous-objet de L (car c’est le noyau du morphisme L → M′/N′, donc par la remarque 1.4.2 et la proposition 1.4.1 de [Win84], c’est bien un sous-objet de L), donc la proposition 17 nous donne bien que π^{−1}(N′)⊗_{W} S_{0} est stable par l’action de Γ_{0}. Par conséquent, N ⊗_{W} S_{0} sera bien laissé stable par l’action de Γ_{0} de M ⊗_{W} S_{0}, donc sera un sous-(φ, Γ_{0})- module de M ⊗_{W} S_{0}. Puis, F se construit par itération : notons MF_{n} la sous-catégorie pleine de MF_{W,tf} , construite en disant qu’un objet de MF_{n+1} est soit le sous-objet ou le quotient d’un objet de MF_{n}, soit la somme directe de deux objets de MF_{n}, soit le produit tensoriel de deux objets de MF_{n}, soit un objet de MF_{n}, et posons (pour initialiser la récurrence) MF_{0} = MF_{W}^{h}. Alors, MF_{W,tf} < h > = ⋃ MF_{n}, et si F est construit sur MF_{n}, alors il s’étend naturellement à la somme directe ou le produit tensoriel de deux objets de MF_{n}, et l’étude précédente montre qu’il s’étend au cas d’un sous-objet, et donc d’un objet quotient, d’un objet de MF_{n}. Nous pouvons donc donner naturellement une structure de (φ, Γ_{0})-module à tout M ⊗_{W} S_{0}, pour M un objet de MF_{W,tf} < h >. La troisième étape s’occupe des morphismes. Pour M et M′ deux objets de MF_{W,tf} < h >, et f : M → M′ un morphisme, nous posons F(f) = f ⊗ Id (En particulier, le foncteur sera exact (car S_{0} est plat sur W) et fidèle). C’est un morphisme de (φ, Γ_{0}) module : par construction, c’est un morphisme de φ-modules. Puis, f ⊕ Id : M ⊕ M′ → M′ ⊕ M′ est un morphisme de φ-modules filtrés, donc par la proposition 1.4.1 de [Win84], Ker(f⊕Id) = {x−y|x ∈ M, y ∈ M′, y = f(x)} est naturellement un φ-module filtré, sous-objet de M⊕M′, donc par la proposition 17, Ker(f ⊕ Id) ⊗_{W} S_{0} est laissé stable par l’action naturelle de Γ_{0} sur (M ⊕M′)⊗_{W} S_{0} (obtenue à partir de celle sur M ⊗_{W} S_{0} et M′⊗_{W} S_{0}), donc f commute à l’action de Γ_{0}, car si x − y ∈ Ker(f ⊕ Id) ⊗_{W} S_{0}, dire que g(x) − g(y) ∈ Ker(f ⊕ Id) ⊗_{W} S_{0}, c’est dire que f(g(y)) = g(x) = g(f(y)). Montrons la pleine fidélité. Remarquons que si nous munissons M ⊗_{W} S_{0} de la structure de φ-module filtré donnée par Fil^{i}(M ⊗_{W} S_{0}) = {x ∈ M ⊗_{W} S_{0}|φ(x) ∈ q^{i}M ⊗_{W} S_{0}\}, et φ^{i} = \frac{1}{q^{i}} φ, alors la restriction modulo π_{0} est un morphisme de φmodule filtré. Par conséquent, si f : M ⊗_{W} S_{0} → M′⊗_{W} S_{0} est un morphisme de (φ, Γ_{0})-module, alors la réduction modulo π_{0} induit f̄: M → M′ un morphisme de φ-modules filtrés. Donc f̄⊗ Id : M ⊗_{W} S_{0} → M′ ⊗_{W} S_{0} est un morphisme de (φ, Γ_{0})-module par le résultat précédent, donc g = f − f̄ ⊗ Id aussi, et il se réduit modulo π_{0} sur l’application nulle. Notons M′′ le noyau de g, c’est un sous (φ, Γ_{0})-module de M ⊗_{W} S_{0}. Nous avons π_{0}M′′ = M′′ ∩ π_{0}M ⊗_{W} S_{0} car M′ ⊗_{W} S_{0} est sans π_{0}-torsion. Donc M′′/π_{0}M′′ ⊂ M, et par le lemme du serpent, nous avons égalité, car :

\xymatrix{0 \ar[r] & M′′ \ar[r] \ar[d]^{u_{1}} & M ⊗_{W} S_{0} \ar[r]^{g} \ar[d]^{u_{2}} & M ⊗_{W} S_{0} \ar[r] \ar[d]^{u_{3}} & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[r] & M \ar[r]^{ḡ} & M \ar[r] & 0}

les lignes horizontales sont exactes, u_{1} est la réduction modulo π_{0} composée avec l’inclusion M′′/π_{0}M′′ ⊂ M, u_{2} et u_{3} sont la réduction modulo π_{0}, u_{2} est surjectif (u_{3} aussi), et l’application naturelle Ker(u_{2}) = π_{0}M ⊗_{W} S_{0} → Ker(u_{3}) = π_{0}M ⊗_{W} S_{0} est surjective. Donc, nous avons M ⊗_{W} S_{0} = M′′ + π_{0}M ⊗_{W} S_{0}, l’idéal engendré par π_{0} est inclus dans le radical de Jacobson de S_{0}, M ⊗_{W} S_{0} est de type fini sur S_{0}, donc par le lemme de Nakayama, nous avons M ⊗_{W} S_{0} = M′′, donc f = f̄⊗ Id. Par conséquent le foncteur est pleinement fidèle. La quatrième étape est l’étude du foncteur restreint à MF_{W,tf}^{h} . Par construction, nous avons i^{∗} F(N) = N pour tout objet N de MF_{W,tf}^{h} . Montrons :

Lemme 18. Pour tout objet N de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, libre comme S_{0}-module, si N = i^{∗}(N), il existe un unique isomorphisme de (φ, Γ_{0})-module F(N) → N (qui se réduit modulo π_{0} sur l’égalité N = i^{∗}(N)).

Démonstration. Présentons ici une démonstration de ce fait due à N. Wach. Pour cela, considérons une base (e_{i})_{1≤ i≤ d} de N, adaptée à la graduation, et (a_{i,j}) la matrice des applications φ^{r} dans cette base (donc l’action de φ est donnée sur F(N) par φ(e_{j}) = q^{r_{j}} ∑_{1≤ i≤ d} a_{i,j}e_{i}). Il faut alors prouver l’existence

et l’unicité d’une base (f_{i}) dans N vérifiant φ(f_{j}) = q^{r_{j}} ∑_{1≤ i≤ d} a_{i,j}f_{i} avec e_{i} =

f_{i} modulo π_{0}. Ce sera suffisant car en posant h(e_{i}) = f_{i}, nous aurons un morphisme de φ-module, qui fera commuter l’action de Γ_{0} par unicité de celleci, et qui modulo π_{0} redonnera l’identité. Par construction du φ-module filtré N, la base (e_{i}) se relève en une famille (ê_{i}) de N avec φ(ê_{i}) ∈ q^{r_{i}}N. De plus, N est complet pour la topologie π_{0}-adique (car S_{0} l’est), et modulo π_{0}, (e_{i}) est une base, donc N étant sans torsion, (ê_{i}) est une base de N (nous pourrions aussi invoquer le lemme de Nakayama). Donc, il existe â_{i,j} ∈ S_{0} tels que :

φ(ê_{j}) = q^{r_{j}} ∑_{1≤i≤d} â_{i,j}ê_{i}

et â_{i,j} = a_{i,j} modulo π_{0}. Posons α_{i,j} ∈ S_{0} l’unique élément tel que â_{i,j} = a_{i,j} + π_{0}α_{i,j}. Nous cherchons à modifier la base (ê_{i}) pour obtenir la base (f_{i}). Cherchons f_{j} sous la forme f_{j} = ê_{j} + π_{0}c_{j}, et posons b_{j} = ∑_{1≤i≤d} α_{i,j}ê_{i}. Alors,

puisque φ(π_{0}) = uq^{p−1}π_{0},

φ(ê_{j} + π_{0}c_{j}) = φ(ê_{j}) + uπ_{0}q^{p−1}φ(c_{j}), et en faisant apparaître ∑_{i=1}^{d} q^{r_{j}}a_{i,j}π_{0}c_{i},

nous obtenons

φ(ê_{j} + π_{0}c_{j}) = ∑_{i=1}^{d} q^{r_{j}}a_{i,j}(ê_{i} + π_{0}c_{i}) + π_{0}q^{r_{j}}b_{j} + uπ_{0}q^{p−1}φ(c_{j}) − ∑_{i=1}^{d} q^{r_{j}}a_{i,j}π_{0}c_{i}

autrement dit, nous cherchons les c_{j} ∈ N tels que

b_{j} + uq^{p−1−r_{j}}φ(c_{j}) − ∑_{1≤i≤d} a_{i,j}c_{i} = 0

Nous résolvons ce système de manière unique par récurrence modulo π_{0}^{n}. A chaque étape, le système se résout en faisant une récurrence modulo p^{k}, en utilisant que p − 1 − r_{j} ≥ 1 (par hypothèse), donc que q^{p−1−r_{j}} = 0 modulo (p, π_{0}), et que la matrice (a_{i,j}) est inversible modulo p.

Pour terminer la démonstration du théorème (c’est à dire prouver le lemme précédent sans l’hypothèse sur la liberté de N), nous aurons besoin de résultats sur les modules de Wach, qui apparaitront plus loin dans l’article. La fin de la démonstration sera faite à la section 4.

Pour la suite, nous aurons besoin de faire intervenir un foncteur légèrement différent. Si N est un objet de MF_{W}^{−h}, son dual N^{∗} = Hom_{ℤ_{p}}(N, ℤ_{p}) est un objet de MF_{W}^{h}, donc F(N^{∗}) est bien défini.

Définition 19. Le foncteur F^{−} est défini sur MF_{W}^{−h} pour h ≤ p − 2 par :

F^{−}(N) = ( F(N^{∗}) ⊗_{S_{0}} O_{E})^{∗} = N ⊗_{W} O_{E}

pour tout objet N de MF_{W}^{−h}. Il donne bien un (φ, Γ)-module étale sur O_{E} (donc est à valeurs dans ΓΦM_{O_{E}}^{ét} ). Il s’étend de même à MF_{W} < −h >.

Remarque 20. Le foncteur F consiste à munir N ⊗_{W} S_{0} (pour N objet de MF_{W} < h >) d’une structure de (φ, Γ_{0})-module, et pour avoir un foncteur défini sur MF_{W}^{−h}, nous prenons le dual. Pour retrouver exactement les résultats du théorème 1 cité dans l’introduction, il faudrait définir F^{−} par F^{−}(N) = F(N^{∗})^{∗}. Cet objet est le dual d’un (φ, Γ_{0})-module sur S_{0} de hauteur h, ce n’est donc pas un (φ, Γ_{0})-module, car l’action de φ construite par dualité ne le laisse pas stable (de manière générale, le dual d’un φ-module sur S_{0} n’est pas un φmodule). Mais nous verrons plus tard que c’est un module de Wach, au sens de [Ber04]. En étendant les scalaires à O_{E}, nous retrouvons le foncteur donné dans la définition précédente. Pour éviter d’avoir à introduire la catégorie des duaux des (φ, Γ_{0})-module sur S_{0} de hauteur h, nous n’utilise rons que la définition 19 (le théorème 1 se déduira alors directement du théorème 15, des propositions 31 et 35, de la remarque 39 et des propriétés des modules de Wach montrées par L. Berger).

Remarquons que F^{−} peut être défini sur MF_{W,tf}^{−h} (puis sur MF_{W,tf} < −h >) en prenant pour un module de p-torsion le dual de Pontriaguine, et en passant à la limite projective pour le cas général.

Remarque 21. Nous pouvons définir F̃ sur MF_{W}^{±h} pour h ≤ \frac{p−2}{2} en posant F̃(N) = F(N ⊗_{W} W [h]) ⊗_{S_{0}} O_{E}[−h] avec O_{E}[−h] = F(W [h])^{∗} et W [−h] l’objet de MF_{W}^{−h} dont le W -module sous-jacent est W, avec Fil^{i}(W [−h]) =

\{ \begin{matrix}W si i ≤ −h \\ 0 si i > −h \end{matrix} et φ^{−h}(x) = σ(x). Alors, F̃(N^{∗}) est canoniquement iso-

morphe à F̃(N)^{∗} (cela se voit à l’aide de l’unicité de l’action de Γ_{0} agissant trivialement modulo π_{0}, et commutant à φ, d’après le lemme 3.1.6 de [Wac97]), et F̃ s’étend alors en un foncteur sur MF_{W} < ±h > qui a des propriétés similaires à celles de F, et qui préserve le dual.

3 Lien entre le foncteur et les modules de Wach

3.1 Fonctorialité de g_{N}

Rappelons le Théorème 1’ de N. Wach (cf. [Wac97]) :

Théorème 1’. Si N est un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, alors Hom_{MF_{W}}(i^{∗}(N), A_{cris}) est isomorphe (en tant que représentation galoisienne) à Hom_{ΦM_{S_{0}}} (N , OÊ_{nr}).

Enoncé dans le cadre (et avec les notations) qui nous intéresse, il devient :

Théorème 1’. Si N est un objet de MF_{W,tf}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p−2, alors il existe un isomorphisme g_{N} : V_{O_{E}} (F^{−}(N)) → V_{cris}(N) de représentations galoisiennes. Si en plus N est libre, en passant au dual, cela donne un isomorphisme de représentations galoisiennes ^{t}g_{N}^{−1} : V_{O_{E}} ( F(N^{∗}) ⊗_{S_{0}} O_{E}) → V_{cris}(N)^{∗}.

Nous allons vérifier que cet isomorphisme est fonctoriel :

Théorème 22. Pour tout objet N de MF_{W,tf}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p−2, l’application g_{N} construite par N. Wach vérifie les propriétés de fonctorialité suivante :

1. pour tout morphisme f : N → N′ entre deux objets N et N′ de MF_{W,tf}^{−h} , nous avons V_{cris}(f) ∘ g_{N} = g_{N′} ∘ V_{O_{E}} (F^{−}(f)) (cela s’applique en particulier pour l’injection d’un sous-objet, ou pour la projection sur un objet quotient).

2. pour tout objet N et N′ de MF_{W,tf}^{−h} , g_{N⊕N′} = g_{N} ⊕ g_{N′} ;

3. pour tout objet N et N′ de MF_{W,tf}^{−h} , pour tout sous-objet L de N ⊗ N′ tel que L soit un objet de MF_{W,tf}^{−h} , l’application g_{N} ⊗ g_{N′} restreinte à V_{O_{E}} (F^{−}(L)) est égale à g_{L}. En particulier, si N ⊗ N′ est un objet de MF_{W,tf}^{−h} , alors g_{N⊗N′} = g_{N} ⊗ g_{N′} ;

Remarque 23. Le point (3) montre en particulier que V_{cris}(N ⊗ N′) est égal à V_{cris}(N) ⊗_{ℤ_{p}} V_{cris}(N′) dès que N, N′ et N ⊗ N′ sont des objets de MF_{W,tf}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2.

Rappelons la construction de g_{N} : N. Wach construit l’isomorphisme modulo p^{n} pour tout n à partir des morphismes d’anneaux (avec A_{S}^{+} = W (R) ∩ OÊ_{nr}) : A_{S}^{+}/p^{n} → W_{n}(R)/π_{0} et A_{cris}/p^{n} → W_{n}(R)/π_{0}. Notons N := F^{−}(N). Nous avons la bijection V_{A_{S}^{+}}(N /p^{n}) := (N ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+}/p^{n})^{φ} → (N ⊗_{S_{0}} O_{E_{nr}/p^{n}})^{φ} (cf [Fon90], p.296, où c’est exprimé pour le foncteur contravariant). Or, N. Wach a montré que pour N objet de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, le schéma suivant

\xymatrix{N/p^{n} ⊗_{W} A_{cris}/p^{n} \ar[r]^{k_{N}} & N/p^{n} ⊗_{W} W_{n}(R)/π_{0} & N /p^{n} ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+}/p^{n} \ar[l]_{j_{N}} \\ V_{cris}(N/p^{n}) \ar@{^{(}->}[u]_{k} &  & V_{A_{S}^{+}}(N /p^{n}) \ar@{^{(}->}[u]_{j}}

induit un isomorphisme de représentations galoisiennes de V_{A_{S}^{+}}(N /p^{n}) sur V_{cris}(N/p^{n}), c’est-à-dire que K_{N} = k_{N} ∘ k et J_{N} = j_{N} ∘ j sont toutes les deux injectives, et ont même image dans N/p^{n} ⊗_{W} W_{n}(R)/π_{0}. Tout ceci passe à la limite projective, et nous obtenons l’application g_{N} bijective :

\xymatrix{N ⊗_{W} A_{cris} \ar[r]^{k_{N}} & N ⊗_{W} W (R)/π_{0} & N ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+} \ar[l]_{j_{N}} \\ V_{cris}(N) \ar@{^{(}->}[u]_{k} \ar[ur]_{K_{N}} &  & V_{A_{S}^{+}}(N) \ar@{^{(}->}[u]_{j} \ar@{-->}[ul]^{J_{N}} \ar[ll]^{g_{N}}}

où V_{A_{S}^{+}}(N) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} V_{A_{S}^{+}}(N /p^{n}) = (N ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+})^{φ=1} = V_{O_{E}} (N ⊗_{S_{0}} O_{E}).

Démonstration du théorème 22. Pour la fonctorialité au niveau des flèches, il suffit de remarquer que le diagramme suivant est commutatif (car V_{O_{E}} (F^{−}(f)) est juste f ⊗ Id) :

\xymatrix{V_{O_{E}} (F^{−}(N)) \ar[r]^{V_{O_{E}} (F^{−}(f))} \ar@{^{(}->}[d] & V_{O_{E}} (F^{−}(N′)) \ar@{^{(}->}[d] \\ N ⊗ A_{S}^{+} \ar[d]_{j_{L}} \ar[r]^{f⊗Id} & N′ ⊗ A_{S}^{+} \ar[d]^{j_{L′}} \\ N ⊗ W (R)/π_{0} \ar[r]^{f⊗Id} & N′ ⊗ W (R)/π_{0} \\ N ⊗ A_{cris} \ar[u]^{k_{L}} \ar[r]^{f⊗Id} & N′ ⊗ A_{cris} \ar[u]_{k_{L′}} \\ V_{cris}(N) \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{V_{cris}(f)} & V_{cris}(N′) \ar@{^{(}->}[u]}

Le fait que g_{N⊕N′} = g_{N} ⊕ g_{N′} se montre de la même façon. Il reste donc à voir le cas du produit tensoriel : considérons N et N′ deux objets de MF_{W,tf}^{−h} avec h ≤ p − 2. Soit L un sous-objet de N ⊗ N′ qui est dans MF_{W,tf}^{−h} , posons L = L ⊗_{W} S_{0}. Le diagramme suivant est alors commutatif :

\xymatrix{L ⊗_{W} A_{cris} \ar[d]^{k_{L}} \ar@{^{(}->}[r] & (N ⊗_{W} A_{cris}) ⊗_{A_{cris}} (N′ ⊗_{W} A_{cris}) \ar[d]^{k_{N} ⊗k_{N′}} \\ L ⊗_{W} W (R)/π_{0} \ar@{^{(}->}[r] & (N ⊗_{W} W (R)/π_{0}) ⊗_{W (R)/π_{0}} (N′ ⊗_{W} W (R)/π_{0}) \\ L ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+} \ar[u]_{j_{L}} \ar@{^{(}->}[r] & (N ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+}) ⊗_{A_{S}^{+}} (N′ ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+}) \ar[u]_{j_{N} ⊗j_{N′}}}

Par conséquent, l’application K_{N} ⊗ K_{N′} restreinte à V_{cris}(L) est égale à K_{L}, et l’application J_{N} ⊗ J_{N′} restreinte à V_{A_{S}^{+}}(L) est égale à J_{L}.

Le point important est que L étant un objet de MF_{W,tf}^{−h} (par hypothèse), ce sont bien des bijections, et ce sont celles qui permettent de construire g_{L}. Donc g_{N} ⊗ g_{N′} envoie V_{A_{S}^{+}}(L) sur V_{cris}(L) si L est un sous-objet de N ⊗ N′

qui soit dans MF_{W,tf}^{−h} , et plus exactement, l’application g_{N} ⊗ g_{N′} restreinte à V_{A_{S}^{+}}(L) est égale à g_{L}.

Si N ⊗ N′ est un objet de MF_{W,tf}^{−h} , le résultat précédent avec L = N ⊗ N′ nous donne g_{N⊗N′} = g_{N} ⊗ g_{N′}.

Remarque 24. Nous montrons de même que pour (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} objets

de MF_{W,tf}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, et pour L un sous-objet de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j} qui

soit dans MF_{W,tf}^{−h} , alors ⨁ ⊗g_{F^{−}(N_{i,j})} restreinte à V_{O_{E}} (F^{−}(L)) est égale à g_{L}.

Nous pouvons traduire ces résultats en disant :

Théorème 25. Soit 0 ≤ h ≤ p−2, et notons G le foncteur exact de la catégorie MF_{W,tf}^{−h} vers la catégorie des représentations continues de Γ_{K} sur les ℤ_{p}- modules de rang fini, défini par : si N objet de MF_{W,tf}^{−h} , G(N) = V_{O_{E}} (F^{−}(N)). Alors il existe g un isomorphisme de foncteurs entre G et V_{cris}. De plus, nous pouvons supposer que :

– pour tous objet N et N′ de MF_{W,tf}^{−h} , tel que N ⊗ N′ soit encore un objet de MF_{W,tf}^{−h} , nous avons g_{N⊗N′} = g_{N} ⊗ g_{N′} ;

– pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} de MF_{W,tf}^{−h} , pour tout sous-

objet L (dans MF_{W,tf}^{−h} ) de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j}, l’application ⨁ ⊗g_{N_{i,j}} restreinte

à V_{OÊ}(F^{−}(L)) est égale à g_{L}.

3.2 Lien entre Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} et ΓΦM_{S}^{h}

Avant de parler de modules de Wach (qui sont des S-modules), il faut comprendre l’extension des scalaires S_{0} → S.

Lemme 26. S = ⨁_{0≤i≤p−2} S_{i}, où si x ∈ S_{i} et g ∈ Γ_{f} est [α] (le relèvement de

Teichmuller de α ∈ 𝔽_{p}^{∗}), alors g agit sur x par g(x) = [α]^{i}x.

Démonstration. L’application p_{i} = \frac{1}{|Γ_{f} |} ∑_{g∈Γ_{f}} X (g)^{−i}g est un projecteur dont

l’image est S_{i}, et les p_{i} vérifient ∑_{0≤i≤p−2} p_{i} = Id.

Lemme 27. S a une base normale sur S_{0}, c’est à dire qu’il existe e ∈ S tel que (g(e))_{g∈Γ_{f}} soit une base de S sur S_{0}. De plus, p ne divise aucun p_{i}(e).

Démonstration. En effet, il suffit de le montrer modulo p (et ensuite de relever une base normale de k[[π]] sur k[[π_{0}]], puisque S_{0} est complet pour la topologie p-adique). Or, Fontaine a montré dans [Fon90], page 270, que le corps des fractions de k[[π]], k((π)), est une extension galoisienne cyclique de degré p − 1 (donc modérément ramifiée) de k((π_{0})), dont le groupe de Galois est donné par Γ_{f}. Donc, par un théorème de E. Noether, il existe une base normale pour les anneaux d’entiers correspondants. Enfin, si \overline{e} est cette base (modulo p), alors p_{i}(\overline{e}) = ∑_{g} \frac{X (g)^{−i}}{|Γ_{f} |} g(\overline{e}) est non nul (puisque chaque coordonnée suivant la base (g(\overline{e})) est non nulle (même modulo p)), donc p_{i}(e) sera bien non divisible par p si e relève \overline{e}.

En particulier, nous avons S_{i} = p_{i}(e)S_{0} (car p_{i}(e)S_{0} ⊂ S_{i}, puis e ∈ ⊕_{i}p_{i}(e)S_{0}, ⊕_{i}p_{i}(e)S_{0} est donc un S_{0}-module contenant e et stable par Γ_{f}, donc S = ⊕_{i}p_{i}(e)S_{0} ⊂ ⊕_{i}S_{i} = S). Puis, remarquons que p_{i} ∘ p_{j} = 0 pour i ≠ j, donc pour M un objet de ΓΦM_{S}^{h}, nous avons les p_{i}(M) en somme directe dans M. Enfin, p_{i}(e)M^{Γ_{f}} ⊂ p_{i}(M), et p_{i}(e)M^{Γ_{f}} est isomorphe comme S_{0}-module à M^{Γ_{f}} car M est sans p′-torsion, et p ne divise pas p_{i}(e). Donc, nous avons que pour M un objet de ΓΦM_{S}^{h}, M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S = ⊕_{i}M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S_{0}p_{i}(e) s’injecte dans M.

Proposition 28. Soit M un objet de ΓΦM_{S}^{h}, alors M^{Γ_{f}} est un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}, et M = M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S. De plus, M^{Γ_{f}} /π_{0} = M/π. Enfin, si M est S-libre, alors M^{Γ_{f}} est S_{0}-libre.

Démonstration. Nous avons que p_{0}(M) = M^{Γ_{f}}. Or, comme l’action de Γ_{f} est triviale modulo π, nous avons que pour tout x ∈ M, x − p_{0}(x) ∈ πM, donc si N est le S-module engendré par M^{Γ_{f}} (c’est à dire que N = M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S d’après la remarque précédent la proposition), alors M = N + πM, donc comme M est de type fini sur S, et que l’idéal engendré par π est dans le radical de S, le lemme de Nakayama nous donne que M = N. Puis, M est de type fini sur S, donc sur S_{0} (car S est un S_{0}-module libre de rang fini par le lemme 27), donc engendré sur S_{0} par exemple par la famille finie (m_{i}). Alors, p_{0}(M) = M^{Γ_{f}} est engendré par la famille (p_{0}(m_{i})) (car p_{0} est un morphisme de S_{0}-modules), donc est de type fini. De plus, M^{Γ_{f}} étant inclus dans M, il est sans p′-torsion. Ensuite, nous avons que πM∩M^{Γ_{f}} = π_{0}M^{Γ_{f}} : pour S, l’égalité πS∩S_{0} = π_{0}S_{0} provient juste de ce que π_{0} est un multiple de π, donc π_{0}S_{0} ⊂ πS∩S_{0}, et pour la réciproque, que S_{0} = W [[π_{0}]]. Cela se traduit par la suite exacte de S_{0}-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{0}S_{0} \ar[r] & S \ar[r] & S/πS ⊕ S/S_{0} \ar[r] & 0}

(la surjectivité vient juste de ce que S/π = W, et que W ⊂ S_{0}), et en tensorisant par M^{Γ_{f}} au dessus de S_{0}, nous avons la suite exacte de S_{0}-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{0}M^{Γ_{f}} \ar[r] & M \ar[r] & M/π ⊕ M/M^{Γ_{f}} \ar[r] & 0}

ce qui traduit bien πM ∩ M^{Γ_{f}} = π_{0}M^{Γ_{f}}. Par conséquent, M^{Γ_{f}} /π_{0} s’injecte dans M/π, et l’action de Γ_{0} provient de celle sur M/π, qui est triviale par définition. De plus, nous avons vu que pour tout x ∈ M, x − p_{0}(x) ∈ πM, donc comme p_{0}(x) ∈ M^{Γ_{f}}, l’application naturelle M^{Γ_{f}} /π_{0} → M/π (dont nous avons vu l’injectivité) est surjective. Par conséquent, si M est S-libre, M^{Γ_{f}} /π_{0} est W -libre et M^{Γ_{f}} est sans π_{0}-torsion, et donc S_{0} étant complet pour la topologie π_{0}-adique, une W -base de M^{Γ_{f}} /π_{0} se relève en une S_{0}-base de M^{Γ_{f}}. Enfin, φ commute à Γ, donc laisse stable M^{Γ_{f}}, donc induit un morphisme φ_{0} : M^{Γ_{f}} ⊗_{σ} S_{0} → M^{Γ_{f}}. Pour étudier le conoyau, remarquons d’abord que x ⊗ y ∈ S_{0} ⊗_{σ} S_{0} ↦ φ(x)y ∈ S_{0} et x ⊗ y ∈ S ⊗_{σ} S ↦ φ(x)y ∈ S sont des isomorphismes (préservant l’action naturelle de Γ_{f}), donc S_{0} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}] ≃ S_{0}[\frac{1}{q}] et S⊗_{σ(S)}S[\frac{1}{q}] ≃ S[\frac{1}{q}] (puisque S[\frac{1}{q}] est plat sur S et S_{0}[\frac{1}{q}] est plat sur S_{0}). Par conséquent, S_{0} ⊗_{σ(S_{0})} S ≃ S ⊗_{σ(S)} S et S_{0} ⊗_{σ(S_{0})} S[\frac{1}{q}] ≃ S ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] ; plus présicément, si y_{i} ∈ S⊗_{σ(S)}S s’envoye dans S sur p_{i}(e) (nous pouvons supposer que y_{0} = 1 car p_{0}(e) est inversible dans S_{0}), alors S ⊗_{σ(S)} S = ⊕_{i}S_{0} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}y_{i} et S ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] = ⊕_{i}S_{0} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}]y_{i} (c’est bien le même y_{i}, car S ⊗_{σ(S)} S s’injecte dans S ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}], puisque S ⊗_{σ(S)} S est sans q-torsion). Et l’action naturelle de Γ_{f} sur S ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] revient à dire que g(y_{i}) = X (g)^{i}y_{i} pour g ∈ Γ_{f}. Puisque M = M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S, nous avons que M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] = M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S[\frac{1}{q}] = ⊕_{i}M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}]y_{i}. Donc, M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}] s’injecte naturellement dans M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}], et (M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}])^{Γ_{f}} = M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}]. Ensuite, φ : M⊗_{σ} S → M est injective, de conoyau tué par q^{h} (par définition), donc comme S[\frac{1}{q}] est plat sur S, φ induit une bijection φ : M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] → M ⊗_{S} S[\frac{1}{q}]. Puis, S[\frac{1}{q}] = ⊕_{i}S_{0}[\frac{1}{q}]p_{i}(e), donc M ⊗_{S} S[\frac{1}{q}] = M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S[\frac{1}{q}] = ⊕_{i}M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}}S_{0}[\frac{1}{q}]p_{i}(e), donc M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}}S_{0}[\frac{1}{q}] s’injecte dans M⊗_{S}S[\frac{1}{q}] et M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S[\frac{1}{q}] = (M ⊗_{S} S[\frac{1}{q}])^{Γ_{f}}. Par conséquent, le diagramme

\xymatrix{M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}] \ar[r]^{φ} & M ⊗_{S} S[\frac{1}{q}] \\ M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}] \ar[r]^{φ_{0}} \ar@{^{(}->}[u]^{i} & M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S_{0}[\frac{1}{q}] \ar@{^{(}->}[u]^{j}}

est commutatif, avec φ bijective, i et j injective, et φ (qui commute à l’action de Γ_{f}) qui identifie (M ⊗_{σ(S)} S[\frac{1}{q}])^{Γ_{f}} à (M ⊗_{S} S[\frac{1}{q}])^{Γ_{f}}, donc φ_{0} est bijective (donc M^{Γ_{f}} /φ_{0}(M^{Γ_{f}} ⊗_{σ} S_{0}) est de q-torsion, donc tué par une puissance de q car M^{Γ_{f}} est de type fini sur S_{0}). Soit alors x ∈ M^{Γ_{f}}. Par définition, il existe y ∈ M⊗_{σ(S)}S = ⊕_{i}M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})}S_{0}y_{i} tel que φ(y) = q^{h}x. La commutativité du diagramme et la bijectivité de φ_{0} nous donne que y ∈ M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})}S_{0}[\frac{1}{q}]. Donc nous avons y ∈ (M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})}S_{0}[\frac{1}{q}])∩(⊕_{i} M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}y_{i}) = (M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}[\frac{1}{q}]) ∩ (M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}) = M^{Γ_{f}} ⊗_{σ(S_{0})} S_{0}. En définitive, nous avons bien que M^{Γ_{f}} /φ_{0}(M^{Γ_{f}} ⊗_{σ} S_{0}) est tué par q^{h}. Finalement, nous avons bien que M^{Γ_{f}} est un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}.

Remarque 29. De la même façon que pour S_{i}, nous montrons pour M un objet de ΓΦM_{S}^{h} que p_{i}(M) = M^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S_{i} = p_{i}(e)M^{Γ_{f}}.

Théorème 30. L’extension des scalaires de S_{0} à S induit une équivalence de catégories entre Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} et ΓΦM_{S}^{h}, préservant suites exactes et produit tensoriel (si ce dernier est encore dans la catégorie). Un quasi-inverse est donné par les points fixes par Γ_{f}.

Démonstration. L’essentielle surjectivité se prouve en remarquant que si f : M → N est un morphisme de ΓΦM_{S}^{h}, alors comme il commute à l’action de Γ_{f}, f induit bien un morphisme de (φ, Γ_{0})-modules entre M^{Γ_{f}} et N^{Γ_{f}} (qui redonne f en étendant les scalaires de S_{0} à S). Le reste est immédiat à partir des résultats précédents.

3.3 Modules de Wach

L. Berger a défini dans [Ber04] le module de Wach N(T) d’un réseau T d’une ℚ_{p}-représentation cristalline V à poids de Hodge-Tate négatifs comme l’unique S-sous-module de D^{+}(T) := (A_{S}^{+}⊗_{ℤ_{p}}T)^{H_{K}} (avec A_{S}^{+} = W (R)∩OÊ_{nr}) vérifiant :

– N(T) est un S-module libre de rang la dimension de V ;

– l’action de Γ préserve N(T) et est triviale sur N(T)/π N(T) ;

– il existe un entier r ≥ 0 tel que π^{r} D^{+}(T) ⊂ N(T). Il définit de même le module de Wach N(V) d’une représentation cristalline V à poids de Hodge-Tate négatifs. L’unicité donne en particulier que N va préserver somme directe et produit tensoriel, ce qui nous intéressera tout particulièrement. Donnons un résultat plus précis que le Théorème 1’ de N. Wach :

Proposition 31. Si N est un objet de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, D_{O_{E}} (g_{N}) (qui identifie F^{−}(N) = N ⊗_{W} O_{E} à D_{O_{E}} (V_{cris}(N))) envoie N ⊗_{W} S sur N(V_{cris}(N)) (le module de Wach associé à V_{cris}(N)).

Démonstration. En passant au dual, cela revient à dire que F(N^{∗}) ⊗_{S_{0}} S est isomorphe à N(V_{cris}(N)^{∗}) par fonctorialité du module de Wach envers le dual. Appelons T = V_{cris}(N)^{∗} et r ≤ p − 2 l’entier tel que Fil^{r}(N^{∗}) ≠ {0}, Fil^{r+1}(N^{∗}) = {0}. Remarquons que la structure de (φ, Γ_{0})-module de F(N^{∗}) induit une structure de (φ, Γ)-module sur N^{∗} ⊗_{W} S, et que N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} S est le dual (au sens généralisé des modules de Wach) d’un (φ, Γ)-module de hauteur finie (puisque égale à r) sur S, donc par le résultat de J.-M. Fontaine (cf [Fon90], p.296), les périodes de N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} S sont dans A_{S}^{+}. Par conséquent, V_{O_{E}} ((N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} S) ⊗_{S} O_{E}) = V_{O_{E}} (F(N^{∗}) ⊗_{S_{0}} O_{E}) = T = ((N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} S) ⊗_{S} A_{S}^{+})^{φ} ⊂ N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} A_{S}^{+}. Puis, l’identification de N avec D_{O_{E}} (V_{O_{E}} (N)) pour N un (φ, Γ)-module sur O_{E} est induite par la multiplication dans OÊ_{nr}. Donc, comme T ⊂ N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} A_{S}^{+}, nous avons D^{+}(T) ⊂ ((N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} A_{S}^{+}) ⊗ A_{S}^{+})^{H_{K}} qui est identifié à (N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} A_{S}^{+})^{H_{K}} = N^{∗} ⊗_{W} \frac{1}{π^{r}} S. Donc la dernière condition de la définition d’un module de Wach, π^{r} D^{+}(T) ⊂ N^{∗} ⊗_{W} S, est vérifiée.

Lemme 32. Sous les notations précédentes, nous avons l’inclusion N(T) ⊂ N^{∗} ⊗_{W} S.

Remarque 33. La démonstration donnée ci-dessous est exactement l’idée principale de la démonstration de l’unicité du module de Wach (cf. proposition II.1.1 de [Ber04])

Démonstration. Notons N_{1} = N(T) et N_{2} = N^{∗} ⊗_{W} S. N_{1} ⊂ D^{+}(T) par définition, donc nous avons l’inclusion π^{r}N_{1} ⊂ N_{2}. Soit x ∈ N_{1} et s l’entier tel que π^{s}x ∈ N_{2}, mais π^{s}x ∉ πN_{2}. Choisisons x ∉ πN_{1} tel qu’en plus s soit maximal, ce qui fait que π^{s}N_{1} ⊂ N_{2}. Comme π^{s}x ∈ N_{2} et que Γ agit trivialement sur N_{2}/πN_{2}, nous avons pour tout g ∈ Γ que (g − 1)(π^{s}x) ∈ πN_{2}, et nous pouvons écrire (g − 1)(π^{s}x) = g(π^{s})(g(x) − x) + (g(π^{s}) − π^{s})x. Comme Γ agit trivialement sur N_{1}/πN_{1}, et que π^{s}N_{1} ⊂ N_{2}, nous avons que g(π^{s})(g(x) − x) ∈ πN_{2}, et donc que (g(π^{s}) − π^{s})x ∈ πN_{2}, ce qui est une contradiction si s ≥ 1, parce qu’alors g(π^{s}) − π^{s} = (X (g)^{s} − 1)π^{s} + · · ·. Donc nous avons bien N_{1} ⊂ N_{2}, autrement dit N(T) ⊂ N^{∗} ⊗_{W} S.

L’étude du paragraphe précédent nous donne que le S_{0}-module N = N(T)^{Γ_{f}} est libre et N(T) = N(T)^{Γ_{f}} ⊗_{S_{0}} S. Utilisons alors le fait que le foncteur F est essentiellement surjectif (à cause de l’hypothèse sur h) pour dire que N est isomorphe en tant que (φ, Γ_{0})-module à F(N^{∗}), donc N(T) est isomorphe au (φ, Γ)-module N^{∗} ⊗_{W} S. Notons i cet isomorphisme. Remarquons que N(T) ⊗_{S} O_{E} = D_{O_{E}} (T) = N^{∗} ⊗_{W} O_{E}, car une représentation cristalline est de hauteur finie. Par conséquent, i induit un isomorphisme de D_{O_{E}} (T) qui envoye N(T) sur N^{∗} ⊗_{W} S, et comme il préserve D^{+}(T), nous obtenons bien N^{∗} ⊗_{W} S ⊂ D^{+}(T), donc N^{∗} ⊗_{W} S = N(T) car il vérifie toutes les conditions de la définition du module de Wach.

Nous pouvons alors en déduire la proposition qui nous intéresse :

Proposition 34. Soit N_{i,j} des objets de MF_{W}^{h} avec 0 ≤ h ≤ p−2, L un sousobjet (dans MF_{W}^{+}) de M = ⨁_{i} ⊗_{j}N_{i,j}. Alors les isomorphismes de modules

de Wach

t D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}^{∗}}) : N(V_{cris}(N_{i,j}^{∗})^{∗}) → N_{i,j} ⊗_{W} S

identifient L ⊗_{W} S à un module de Wach.

Démonstration. Les isomorphismes ^{t} D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}^{∗}}) induisent un isomorphisme

⨁_{i=1}^{n} ⊗_{j=1}^{m_{i}}^{t} D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}^{∗}}) : N(⨁_{i=1}^{n} ⊗_{j=1}^{m_{i}} V_{cris}(N_{i,j}^{∗})^{∗}) → M ⊗_{W} S

(puisque le module de Wach préserve le produit tensoriel). Nous utiliserons cet isomorphisme pour identifier ces deux espaces. Notons (e_{i}) une base de M telle que (p^{α_{i}}e_{i}) soit une base de L, avec α_{i} ∈ ℕ ∪ {+∞}. Notons aussi n = rg_{W} (M). La proposition 17 affirme que L ⊗_{W} S est stable par l’action de Γ. Considérons

alors la sous-représentation galoisienne T de U_{M} := ⨁_{i=1}^{n} ⊗_{j=1}^{m_{i}} V_{cris}(N_{i,j}^{∗})^{∗}

définie par T = V_{O_{E}} (L ⊗_{W} O_{E}). Montrons que N(T) = L ⊗_{W} S, c’est-à-dire vérifions les conditions qui caractérisent un module de Wach :

– L ⊗_{W} S ⊂ T ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} ∩ (U_{M} ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} = D^{+}(T) : l’inclusion provient de ce que T ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} = L ⊗_{W} OÊ_{nr} et N(U_{M}) = M ⊗_{W} S via l’isomorphisme (et donc M ⊗_{W} S ⊂ D^{+}(U_{M}) = (U_{M} ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}}) ; l’égalité se montre en considérant les coordonnées suivant la base (e_{i}), car si x ∈

T ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} ∩ (U_{M} ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}}, alors il existe (β_{i}) ∈ (A_{S}^{+})^{n} et (δ_{i}) ∈ On ; Ê_{nr}

avec x = ∑_{i} β_{i}e_{i} = ∑_{i} p^{α_{i}}δ_{i}e_{i}, donc β_{i} = p^{α_{i}}δ_{i} pour tout i, donc β_{i} ∈ p^{α_{i}}A_{S}^{+} pour tout i, ce qui donne T ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} ∩(U_{M} ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} ⊂ D^{+}(T) (l’inclusion réciproque étant immédiate) ;

– L ⊗_{W} S est un S-module libre de rang égal à celui de T sur ℤ_{p} (qui est celui de L ⊗_{W} O_{E} sur O_{E}, donc celui de L sur W) ;

– l’action de Γ laisse stable L ⊗_{W} S (c’est la proposition 17) et est triviale modulo π : l’action de Γ sur M ⊗_{W} S étant triviale modulo π par construction, pour γ ∈ Γ, pour i fixé, il existe (x_{j}) ∈ S^{n−1} et (y_{j}) ∈ S^{n} tels que γ(e_{i}) = e_{i} + π ∑_{j≠i} x_{j}e_{j} et γ(p^{α_{i}}e_{i}) = ∑_{j} y_{j}p^{α_{j}}e_{j} ; donc y_{i} = 1 et p^{α_{j}}y_{j} = πx_{j}p^{α_{i}} pour j ≠ i, donc π divise y_{j} dans S pour j ≠ i.

– il existe r un entier positif tel que π^{r} D^{+}(U_{M}) ⊂ M ⊗_{W} S, donc ce r donne π^{r} D^{+}(T) ⊂ M ⊗_{W} S ∩L⊗_{W} OÊ_{nr} = L⊗_{W} S. En effet, si x ∈ M ⊗_{W} S ∩L⊗_{W}

OÊ_{nr}, alors il existe (β_{i}) ∈ S^{n} et (δ_{i}) ∈ On ; Ê_{nr} avec x = ∑_{i} β_{i}e_{i} = ∑_{i} p^{α_{i}}δ_{i}e_{i},

donc β_{i} = p^{α_{i}}δ_{i} pour tout i, donc β_{i} ∈ p^{α_{i}}S pour tout i, ce qui donne M ⊗_{W} S ∩ L ⊗_{W} OÊ_{nr} ⊂ L ⊗_{W} S (l’inclusion réciproque étant immédiate).

D’où, nous avons bien N(T) = L ⊗_{W} S.

Ce qui nous intéressera tout particulièrement, c’est le corollaire suivant :

Proposition 35. Soit N_{i,j} des objets de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, L un sous-objet (dans MF_{W}^{−}) facteur direct (comme W -module) de M = ⨁_{i} ⊗_{j}N_{i,j}.

Alors les isomorphismes de modules de Wach

D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}}) : N_{i,j} ⊗_{W} S → N(V_{cris}(N_{i,j}))

induisent un isomorphisme de module de Wach

L ⊗_{W} S → N(\overline{V}_{cris}(L))

où \overline{V}_{cris}(L):= V_{cris,p}(D_{L}) ∩ ⨁_{i=1}^{n} ⊗_{j=1}^{m_{i}} V_{cris}(N_{i,j}).

Démonstration. Les isomorphismes D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}}) induisent un isomorphisme

D_{O_{E}} (g_{M}) := ⨁_{i=1}^{n} ⊗_{j=1}^{m_{i}} D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}}) : M ⊗_{W} S → N(\overline{V}_{cris}(M))

Par dualité, il suffit de voir que si L_{0} = M/L, alors D_{O_{E}} (g_{M}) induit un isomorphisme de \overline{V}_{cris}(L_{0}^{∗}) sur L_{0}^{∗}⊗_{W} S. Posons T = V_{O_{E}} (L_{0}^{∗}⊗_{W} O_{E}). La proposition précédente nous donne bien que N(T) = L_{0}^{∗} ⊗_{W} S (via D_{O_{E}} (g_{M})). Puis, une propriété du module de Wach nous permet de conclure : N(T [\frac{1}{p}])/π s’identifie à D_{cris,p}(T ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) (par le théorème III.4.4 de [Ber04]), et l’application g_{M} envoie N(T)/π sur L_{0}^{∗}, donc nous avons bien que D_{cris,p}(T ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) = L_{0}^{∗} ⊗_{W} K, donc que T = \overline{V}_{cris}(L_{0}^{∗}).

Remarque 36. Si M′ est le quotient du L considéré dans la proposition 35 par le sous-objet L′ (facteur direct comme W -module), alors D_{O_{E}} (g_{M}) : L⊗_{W} S → N(\overline{V}_{cris}(L)) (qui induit aussi un isomorphisme L′ ⊗_{W} S → N(\overline{V}_{cris}(L′))) induit par passage au quotient un isomorphisme M′ ⊗_{W} S → N(\overline{V}_{cris}(M′)).

Corollaire 37. Soit 0 ≤ h ≤ p−2. Soit M et M′ deux objets de MF_{W} < h >, et f : M → M′ un morphisme de φ-modules filtrés. Alors V_{E}(F(f) ⊗ Id_{E}) = V_{cris,p}(f).

Démonstration. Soient N_{i,j} et N′_{i,j} des objets de MF_{W}^{h}, L un sous-objet de ⊕⊗N_{i,j} et L_{0} un sous-objet facteur direct de L, tel que M = L/L_{0}, L′ un sousobjet de ⊕ ⊗ N′_{i,j} et L′_{0} un sous-objet facteur direct de L′, tel que M′ = L′/L′_{0}. Nous allons montrer que les isomorphismes ⊕ ⊗ D_{O_{E}} (g_{N_{i,j}}) et ⊕ ⊗ D_{O_{E}} (g_{N′_{i,j}}) identifient f ⊗ Id à D_{E}(V_{cris,p}(f)). Pour cela, il suffit d’utiliser la fidélité et la pleine fidélité de F combiné au théorème 30 (pour pouvoir dire que la réduction modulo π est injective sur les morphismes de (φ, Γ)-module entre M ⊗_{W} S et M′ ⊗_{W} S), plus le fait que D_{E}(V_{cris,p}(f)) modulo π redonne f (d’après les résultats de L. Berger dans [Ber04]).

Corollaire 38. Soit M et M′ deux objets de MF_{W} < h >, et f : M → M′ un morphisme φ-modules filtrés. Alors V_{cris,p}(f) envoye V_{O_{E}} (M ⊗_{W} O_{E}) dans V_{O_{E}} (M′ ⊗_{W} O_{E}). En particulier, en passant au dual, \overline{V}_{cris} devient un foncteur en posant \overline{V}_{cris}(f) = V_{cris,p}(f).

Démonstration. C’est une conséquence immédiate du corollaire précédent, et de ce que si T et T′ sont deux ℤ_{p}-représentations cristallines, alors un morphisme de (φ, Γ)-modules g : N(T) → N(T′) induit V_{O_{E}} (g) : T = V_{O_{E}} (N(T) ⊗_{S} O_{E}) → T′ = V_{O_{E}} (N(T′) ⊗_{S} O_{E}).

Remarque 39. D’après ce qui précède, le foncteur \overline{V}_{cris} et le foncteur V_{O_{E}} ∘ F^{−}, tous deux définis sur MF_{W} < −h > et à valeurs dans Rep_{ℤ_{p}}^{cris}(Γ_{K}), sont isomorphes (l’isomorphisme est donné par la transformation naturelle g).

4 Fin de la démonstration du théorème 15

Théorème 40. Pour 0 ≤ h ≤ p − 2, le foncteur F de MF_{W,tf}^{h} vers Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} a pour image essentielle Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h}.

Pour montrer ce résultat, nous allons utiliser le théorème 31 qui nous dit que pour N objet de MF_{W}^{h}, F(N) ⊗_{S_{0}} S est le module de Wach de V_{cris}(N^{∗})^{∗}. Commençons par montrer :

Proposition 41. Soit M un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} (avec 0 ≤ h ≤ p − 2) de ptorsion, et T′ = V_{O_{E}} (M ⊗_{S_{0}} O_{E}) la ℤ_{p}-représentation galoisienne correspondant au (φ, Γ)-module sur O_{E} obtenu à partir de M. Alors il existe T′′ ⊂ T deux ℤ_{p}-représentations galoisiennes cristallines (c’est à dire que le module sousjacent est libre sur ℤ_{p}, et en rendant p inversible nous avons une représentation cristalline) à poids de Hodge-Tate dans [[−h, 0]] telles que T′ s’identifie au quotient de T par T′′.

Démonstration. Le Théorème 1’ de [Wac97] (et la proposition 31) donne que T′ = Hom_{ℤ_{p}} ( V_{cris} ( Hom_{W} (i^{∗}(M), \underrightarrow{lim} W/p^{n})), \underrightarrow{lim} ℤ_{p}/p^{n}). En notant X^{∗} le dual de Pontriaguine d’un module de torsion X, cela s’écrit plus simplement en T′ = V_{cris} ((M/π_{0})^{∗})^{∗}. Puis, puisque (M/π_{0})^{∗} est un objet de la catégorie MF_{W,tf}^{−h} , la proposition 1.6.3 de [Win84] nous donne qu’il existe M_{1} ∈ MF_{W}^{−h} et un épimorphisme M_{1} → (M/π_{0})^{∗}. Le foncteur V_{cris} étant exact, il existe donc une ℤ_{p}-repésentation cristalline T_{1} (T_{1} = V_{cris}(M_{1})) dont les poids de Hodge-Tate sont dans [[0, h]] et un épimorphisme T_{1} → V_{cris} ((M/π_{0})^{∗}). Comme M est supposé de p-torsion, V_{cris} ((M/π_{0})^{∗}) est de p-torsion et de type fini, donc il existe un entier n tel que p^{n} V_{cris} ((M/π_{0})^{∗}) = {0}. Alors T_{1}/p^{n} se surjecte toujours sur V_{cris} ((M/π_{0})^{∗}), et en passant au dual de Pontriaguine, T′ s’injecte dans Hom_{ℤ_{p}} (T_{1}/p^{n}, \underrightarrow{lim} ℤ_{p}/p^{n}) = Hom_{ℤ_{p}}(T_{1}, ℤ_{p})/p^{n} (car T_{1} est un ℤ_{p}-module libre). Si f est la projection canonique Hom_{ℤ_{p}} (T_{1}, ℤ_{p}) → Hom_{ℤ_{p}} (T_{1}, ℤ_{p})/p^{n}, alors T = f^{−1}(T′) convient (et il suffit de prendre T′′ égal au noyau de la projection f|_{T}).

Proposition 42. Soit M un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} (avec 0 ≤ h ≤ p − 2) de ptorsion, T′ = V_{O_{E}} (M ⊗_{S_{0}} O_{E}) et T′′ ⊂ T les représentations données par la proposition ci-dessus. Alors M ⊗_{S_{0}} S s’identifie à N(T)/ N(T′′).

Démonstration. Notons M_{1} = M ⊗_{S_{0}} S et M_{2} = N(T)/ N(T′′) (tous les deux vus dans le (φ, Γ)-module M ⊗_{S_{0}} O_{E}, car N(T) ∩ D_{O_{E}} (T ”) = N(T′′) : en effet, notons N = N(T) ∩ D_{O_{E}} (T ”) = N(T) ∩ T′′ ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} qui est stable par l’action de Γ, nous avons que N ∩ π N(T) = πN puisque π est inversible dans OÊ_{nr}, donc N /π s’injecte dans N(T)/π, donc Γ agit bien trivialement sur N. Puis, T′′ ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} ∩ (T ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} = D^{+}(T′′), car si (e_{i}) est une base de T telle que (p^{α_{i}}e_{i}) est une base de T′′ (avec α_{i} ∈ ℕ ∪ {+∞}), alors un élément x de l’intersection s’écrit x = ∑_{i} x_{i}e_{i} = ∑_{i} p^{α_{i}}y_{i}e_{i} avec x_{i} ∈ A_{S}^{+} et y_{i} ∈ OÊ_{nr} ; donc y_{i} ∈ p^{−a_{i}}A_{S}^{+} ∩ OÊ_{nr} = A_{S}^{+} si α_{i} ≠ +∞, et {0} sinon, donc x ∈ T′′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+} et est fixé par H_{K}, donc T′′ ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} ∩ (T ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} ⊂ D^{+}(T′′) (l’inclusion réciproque étant immédiate). Donc nous avons N ⊂ D^{+}(T′′) puisque N(T) ⊂ (T ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} = D^{+}(T). Enfin, π^{h} D^{+}(T) ⊂ N(T), donc π^{h} D^{+}(T′′) ⊂ N(T), et comme π^{h} D^{+}(T′′) ⊂ T′′ ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr}, nous avons bien que π^{h} D^{+}(T′′) ⊂ N. Ces conditions caractérisent le module de Wach de T′′, donc N(T)∩D_{O_{E}} (T ”) = N(T′′)). D’après les résultats p.296 de [Fon90] (l’égalité entre D_{S}^{∗} et j_{∗} ∘ D_{E}^{∗}) (ou bien le lemme III.5 de [Col99]), nous avons M_{1} ⊂ D^{+}(T′) et M_{2} ⊂ D^{+}(T′), puisque tout deux sont des S-modules de type fini stables par φ et p-étales (puisque de q-hauteur finie). Puis, l’action de Γ est triviale modulo π dans les deux cas (puisque c’est le cas par définition sur N(T), et que l’action de Γ_{0} est triviale modulo π_{0} sur M).

D’après le Théorème III.3.1 de [Ber04], nous avons l’inclusion π^{h}T ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+} ⊂ N(T) ⊗_{S} A_{S}^{+}. Par conséquent, en projetant nous obtenons que π^{h}T′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+} ⊂ M_{2} ⊗_{S} A_{S}^{+}. Par définition, nous avons que D^{+}(T′) ⊂ D^{+}(T′) ⊗_{S} A_{S}^{+} ⊂ T′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+}, donc en prenant les points fixes sous l’action de H_{K}, nous avons D^{+}(T′) ⊂ ( D^{+}(T′) ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}} ⊂ (T′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+})^{H_{K}} = D^{+}(T′). Donc, en prenant les points fixes sous H_{K} dans l’inclusion π^{h}T′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+} ⊂ M_{2} ⊗_{S} A_{S}^{+}, nous obtenons que π^{h} D^{+}(T′) ⊂ (M_{2} ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}}. Donc nous avons π^{h} D^{+}(T′) ⊂ M_{2} en vertu du lemme :

Lemme 43. Soit N un S-module de type fini sans p′-torsion, alors (N ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}} = N.

Démonstration. C’est une conséquence de la proposition 1.2.7 de [Fon90], qui nous donne (sous les hypothèses du lemme) une filtration décroissante N_{i} de N, telle que N_{i}/N_{i+1} est soit S/p-libre, soit S-libre. La propriété cherchée est stable par suite exacte, c’est à dire vérifie que si 0 → N′′ → N → N′ → 0 est une suite exacte de S-modules, et que (N′′ ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}} = N′′, (N′ ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}} = N′, alors (N ⊗_{S} A_{S}^{+})^{H_{K}} = N. Donc il suffit de montrer le lemme pour N qui est S-libre ou S/p-libre, ce qui provient de ce que (A_{S}^{+})^{H_{K}} = S et (A_{S}^{+}/p)^{H_{K}} = S/p.

Puis \frac{1}{π^{h}} M_{1} est le dual (de Pontriaguine) d’un (φ, Γ)-module sur S de hauteur inférieure ou égale à h, sans p′-torsion, donc T′ = V_{O_{E}} (\frac{1}{π^{h}} M ⊗_{S_{0}} O_{E}) vérifie T′ = (\frac{1}{π^{h}} M ⊗_{S_{0}} A_{S}^{+})^{φ} (cf [Fon90], p.296) puisque 0 ≤ h. Donc T′ ⊗_{ℤ_{p}} A_{S}^{+} ⊂ \frac{1}{π^{h}} M⊗_{S_{0}}A_{S}^{+}, et en prenant les points fixes sous H_{K} (et par le lemme précédent), nous obtenons D^{+}(T′) ⊂ \frac{1}{π^{h}} M_{1}, donc π^{h} D^{+}(T′) ⊂ M_{1}. Ces conditions impliquent que la démonstration du lemme 32 s’applique ici (car h ≤ p−2, pour que nous ayons si 0 ≤ s ≤ h, X (g)^{s} −1 inversible dans ℤ_{p} (c’est à dire X (g)^{s} − 1 ≠ 0 modulo p) pour un g ∈ Γ), et donc M_{1} = M_{2}.

Remarque 44. L’unicité d’un tel module n’est plus vrai en général : dans S/pS, S/pS et π^{p−1}S/pS sont deux S-modules de type fini, avec action de Γ triviale modulo π, et si T = V_{O_{E}} (O_{E}/p) (c’est à dire 𝔽_{p} avec l’action triviale), alors D^{+}(T) = S/pS, donc la dernière condition est aussi vérifiée.

Il ne reste donc plus qu’à passer d’un module sur S à un module sur S_{0}, ce qui est donné par le lemme suivant (qui est une conséquence immédiate de l’égalité

S = ⨁_{0≤i≤p−2} S_{i}) :

Lemme 45. Soit M un S_{0}-module, alors (M ⊗_{S_{0}} S)^{Γ_{f}} = M.

Ces propositions et ces lemmes mis bout à bout nous donnent le théorème dans le cas d’un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} de p-torsion. C’est à dire que si M est un objet de Γ_{0}ΦM_{S_{0}}^{h} (avec 0 ≤ h ≤ p − 2) de p-torsion, alors il existe M un objet de MF_{W,tf}^{h} tel que M = F(M). Et plus précisément, nous avons M = i^{∗}(M) = M/π. Donc, dans le cas où M n’est pas supposé de p-torsion, nous avons que M/p^{n} = F(i^{∗}(M/p^{n})) pour tout n, donc en passant à la limite projective, nous obtenons bien que M = F(i^{∗}(M)), ce qui donne bien l’essentielle surjectivité de F, et donc termine la démonstration du théorème 40 (et donc du théorème 15).

5 Le point du torseur

5.1 Conséquence des théorèmes précédents

Pour tout objet N de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, construisons f_{N} comme la composée :

[figure: V_{cris}(N) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr}; g_{N}^{−1}; V_{OÊ}(F^{−}(N)) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr}; ψ_{F^{−}(N)}; F^{−}(N) ⊗_{O_{E}} OÊ_{nr}; N ⊗_{W} OÊ_{nr}]

où ψ est l’isomorphisme de Fontaine (cf. paragaraphe 1.1.2), g_{N} l’isomorphisme de N. Wach (cf. paragraphe 3.1), et F^{−} est le foncteur construit à la fin de la partie 2. De la proposition 35 nous déduisons (toujours à 0 ≤ h ≤ p − 2 fixé) :

Proposition 46. Pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} de MF_{W}^{−h}, pour

tout sous-φ-module filtré L facteur direct (comme W -module) de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j},

l’application ⨁ ⊗f_{N_{i,j}} envoie \overline{V}_{cris}(L) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} bijectivement sur L ⊗_{W} OÊ_{nr}.

Démonstration. Rappelons que \overline{V}_{cris}(L) = V_{cris,p}(D_{L})∩⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}} V_{cris}(N_{i,j}).

Comme corollaire de la proposition 35, l’inverse de la fonction ψ_{D_{O_{E}} (V_{cris}(N))}^{−1} ∘

( D_{O_{E}} (g_{N})⊗Id ) vérifie la propriété recherchée, car D_{O_{E}} (g_{N}) envoie L⊗_{W} S sur N(\overline{V}_{cris}(L)), donc L⊗_{W} O_{E} sur D_{O_{E}} (\overline{V}_{cris}(L)). Il suffit alors de remarquer que f_{N} = ψ_{F^{−}(N)}∘(g_{N}^{−1}⊗Id ) = ( D_{O_{E}} (g_{N}^{−1})⊗Id )∘ψ_{D_{O_{E}} (V_{cris}(N))} par commutativité du diagramme suivant :

\xymatrix{V_{cris}(N) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} \ar[r]^{g_{N}^{−1}⊗Id} \ar[d]^{ψ_{D_{O_{E}} (V_{cris}(N))}} & V_{O_{E}} (F^{−}(N)) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} \ar[d]^{ψ_{F^{−}(N)}} \\ D_{O_{E}} (V_{cris}(N)) ⊗_{O_{E}} OÊ_{nr} \ar[r]_{D_{O_{E}} (g_{N}^{−1})⊗Id} & F^{−}(N) ⊗_{O_{E}} OÊ_{nr}}

car D_{O_{E}} et V_{O_{E}} sont des foncteurs quasi-inverses l’un de l’autre.

Documenta Mathematica 12 (2007) 399–440

En combinant ce résultat et celui de la remarque 24, nous obtenons

Proposition 47. Si L est un sous-objet dans MF_{W}^{−h} de ⨁_{i} ⊗_{j}N_{i,j} avec N_{i,j}

des objets de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, alors V_{cris}(L) ⊂ ⨁_{i} ⊗_{j} V_{cris}(N)_{i,j}.

Remarque 48. Cette propriété peut être montré directement, en utilisant les propriétés des périodes des Lubin-Tate (qui donnent par produit les périodes des modules élémentaires) et le fait qu’un φ-module filtré simple est élémentaire, donc que (par Jordan-Hölder) tout φ-module filtré tué par p a une filtration dont le gradué associé est somme directe de modules élémentaires.

Combiné avec le Théorème 1’, et en introduisant F_{1} et F_{2} les foncteurs exacts de la catégorie MF_{W}^{−h} vers la catégorie des OÊ_{nr}-modules libres de rang fini, définis par : si M objet de MF_{W}^{−h}, F_{1}(M) = V_{cris}(M) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} et F_{2}(M) = M ⊗_{W} OÊ_{nr}, nous obtenons :

Théorème 49. Pour 0 ≤ h ≤ p−2 fixé, il existe f un isomorphisme de foncteur entre F_{1} et F_{2}. De plus, vis à vis du produit tensoriel, l’isomorphisme peut être choisi de telle sorte que :

– pour tous objets M et N de MF_{W}^{−h} tels que M ⊗ N est encore un objet de MF_{W}^{−h}, alors le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{V_{cris}(N ⊗ M) ⊗ OÊ_{nr} \ar[d] \ar[r]^{f_{N⊗M}} & (N ⊗ M) ⊗ OÊ_{nr} \ar[d] \\ (V_{cris}(M) ⊗ OÊ_{nr}) ⊗ (V_{cris}(N) ⊗ OÊ_{nr}) \ar[r]_{f_{M} ⊗f_{N}} & (N ⊗ OÊ_{nr}) ⊗ (M ⊗ OÊ_{nr})}

– pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} de MF_{W}^{−h}, pour tout sous-objet

L de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j} dans MF_{W}^{−h}, l’application ⨁ ⊗f_{N_{i,j}} restreinte à V_{cris}(L)

est égale à f_{L};

– pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} de MF_{W}^{−h}, pour tout sous-φ-

module filtré L facteur direct (comme W -module) de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j}, l’applica-

tion ⨁ ⊗f_{N_{i,j}} envoie ( V_{cris,p}(D_{L}) ∩ ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}} V_{cris}(N_{i,j})) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} bijecti-

vement sur L ⊗_{W} OÊ_{nr}.

Il faut juste regarder le comportement de f vis à vis du dual pour pouvoir déduire du théorème 49 le théorème 2 de l’introduction.

5.2 f et le dual

Pour la suite, nous aurons besoin de définir f_{N} pour N ayant des poids à la fois positifs et négatifs (par exemple si N = End(M) pour M un objet de MF_{W}^{−h}). Rappelons que W [−h] est l’objet de MF_{W}^{−h} dont le W -module sous-jacent

est W, avec Fil^{i}(W [−h]) = \{ \begin{matrix}W si i ≤ −h \\ 0 si i > −h \end{matrix} et φ^{−h}(x) = σ(x). Rappelons

que ℤ_{p}(h) est la représentation galoisienne ℤ_{p}(1)^{⊗h} pour h ≥ 0 (et ℤ_{p}(h) = ℤ_{p}(−h)^{∗} si h ≤ 0), et que OÊ_{nr}(h) = OÊ_{nr} ⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(h). Nous pouvons alors définir :

Définition 50. Supposons 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2}. Posons Ṽ_{cris}(N) = V_{cris}(N ⊗ W [−h])⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(−h) pour N objet de MF_{W}^{±h}, et Ṽ_{cris}(f) = V_{cris,p}(f) restreinte à Ṽ_{cris}(N) pour f : N → N′ flèche de MF_{W}^{±h}. Pour tout objet N de MF_{W}^{±h} nous pouvons définir \overline{f}_{N} de la façon suivante : remarquons que Ṽ_{cris}(N) ⊗ OÊ_{nr} = ( V_{cris}(N ⊗ W [−h]) ⊗ ℤ_{p}(−h)) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} = ( V_{cris}(N ⊗ W [−h]) ⊗ OÊ_{nr}) ⊗_{OÊnr} OÊ_{nr}(−h), et notons f_{h} = ^{t}f_{OÊnr [−h]}^{−1}, alors \overline{f}_{N} est l’isomorphisme

\xymatrix{Ṽ_{cris}(N) ⊗ OÊ_{nr} \ar[r]^{f_{N⊗W [−h]}⊗f_{h}} & ((N ⊗ W [−h]) ⊗ OÊ_{nr}) ⊗ OÊ_{nr}[h] \ar[d] \\  & N ⊗_{W} OÊ_{nr}}

Nous avons bien que Ṽ_{cris}(N) ≃ V_{cris}(N) ⊗_{ℤ_{p}} V_{cris}(W [−h]) ⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(−h) ≃ V_{cris}(N) de manière naturelle pour N un objet de MF_{W}^{−h}, car N ⊗ W [−h] est un objet de MF_{W}^{−2h}, et comme 2h ≤ p−2, nous pouvons appliquer la remarque 23. Un quasi-inverse de Ṽ_{cris} est donné par D̃_{cris}(V) = D_{cris}(V ⊗ℤ_{p}(h))⊗_{W} W [h]. Une façon naturelle de voir Ṽ_{cris}(N) dans N ⊗_{W} A_{cris} est de dire que

Ṽ_{cris}(N) = Fil^{0}(N ⊗_{W} t^{−h}A_{cris})^{φ}t^{−h}

Avant de continuer de regarder les propriétés de Ṽ_{cris}, introduisons \overline{g}_{N} pour N un objet de MF_{W}^{±h} si 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2} de la même façon que précédemment. De la proposition 35 et de la remarque 36, nous déduisons :

Corollaire 51. Pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤m} de MF_{W}^{±h} avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2}, pour tout sous-objet L facteur direct (comme W -module) de

⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{m}N_{i,j} et pour tout quotient M de L, les applications \overline{g}_{N_{i,j}} induisent

un isomorphisme de représentations de Γ_{K}, de V_{OÊ}(F^{−}(M ⊗ W [−mh])) ⊗ ℤ_{p}(−mh) sur un réseau de V_{cris,p}(D_{M}) (qui est l’image de V_{cris,p}(D_{L}) ∩

⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}} Ṽ_{cris}(N_{i,j}) par l’application projection).

Puis, pour l’étude vis à vis du dual, montrons d’abord le lemme suivant :

Lemme 52. Pour tout objet N de MF_{W}^{±h} avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2}, l’application surjective naturelle

\xymatrix{N ⊗ N^{∗} \ar[r]^{π} & W}

induit un isomorphisme

Ṽ_{cris}(N^{∗}) ≃ Ṽ_{cris}(N)^{∗}

dont le crochet de dualité correspond à V_{cris,p}(π).

Démonstration. Soient l ∈ ℕ et l′ ∈ ℕ tels que N ⊗W [−l] et N^{∗}⊗W [−l′] soient des objets de MF_{W}^{−2h}. Puis, W désigne l’objet trivial de MF_{W}^{±h}, et donc π induit une application F^{−}(π) : F^{−}(N ⊗W [−l]))⊗_{O_{E}} F^{−}(N^{∗}⊗W [−l′]) → O_{E}[−(l+l′)], dont l’application linéaire sous-jacente est toujours celle obtenue par le crochet de dualité (c’est juste π ⊗ Id), donc induit un isomorphisme entre le dual de F^{−}(N ⊗ W [−l])) ⊗_{O_{E}} O_{E}e_{l} et F^{−}(N^{∗} ⊗ W [−l′])) ⊗_{O_{E}} O_{E}e_{l′} (où φ(e_{r}) = q^{r}e_{r} et g(e_{r}) = \frac{X (g)^{−r}π^{−r}}{g(π^{−r})} pour g ∈ Γ). Cet isomorphisme de O_{E}-modules est en fait un isomorphisme de (φ, Γ)-module, car F^{−}(π) est un morphisme de (φ, Γ)- modules. Comme V_{O_{E}} préserve le dual, en notant Ṽ_{O_{E}} (N) = V_{O_{E}} (F^{−}(N ⊗ W [−l])) ⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(−l) = V_{O_{E}} ( F^{−}(N ⊗ W [−l]) ⊗_{O_{E}} O_{E}e_{l}) et Ṽ_{O_{E}} (N^{∗}) = V_{O_{E}} (F^{−}(N ⊗ W [−l′])) ⊗_{ℤ_{p}} ℤ_{p}(−l′) = V_{O_{E}} ( F^{−}(N^{∗} ⊗ W [−l′]) ⊗_{O_{E}} O_{E}e_{l′}), nous avons que l’application Ṽ_{O_{E}} (F^{−}(π)) identifie le dual de Ṽ_{O_{E}} (N) (comme représentation de Γ_{K}) à Ṽ_{O_{E}} (N)^{∗}. Or, Ṽ_{O_{E}} (N) est isomorphe à Ṽ_{cris}(N) (via \overline{g}_{N}) et Ṽ_{O_{E}} (N^{∗}) est isomorphe à Ṽ_{cris}(N^{∗}) (via \overline{g}_{N^{∗}}). Pour conclure, il suffit d’invoquer la commutativité du diagramme suivant (d’après le corollaire 37) :

\xymatrix{Ṽ_{O_{E}} (N) ⊗ Ṽ_{O_{E}} (N^{∗}) \ar[d]_{Ṽ_{OE} (F^{−}(π))} \ar[r]_{\overline{g}_{N} ⊗\overline{g}_{N∗}} & Ṽ_{cris}(N) ⊗ Ṽ_{cris}(N^{∗}) \ar[d]_{V_{cris,p}(π)} \\ V_{O_{E}} (F^{−}(W)) \ar[r]_{_{\overline{g}_{W}}} & Ṽ_{cris}(W)}

Nous en déduisons alors :

Lemme 53. Sous les conditions du lemme 52, l’application \overline{f}_{N} est fonctorielle vis à vis du dual, c’est-à-dire que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{Ṽ_{cris}(N)^{∗} ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} \ar[d] \ar[r]^{(^{t}\overline{f}_{N})^{−1}} & N^{∗} ⊗_{W} OÊ_{nr} \ar[d] \\ Ṽ_{cris}(N^{∗}) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} \ar[r]^{_{\overline{f}_{N∗}}} & N^{∗} ⊗_{W} OÊ_{nr}}

D’où, en rassemblant tout ceci, nous obtenons le théorème suivant :

Théorème 54. Soit 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2}, et notons F̃_{1} le foncteur exact de la catégorie MF_{W}^{±h} vers la catégorie des OÊ_{nr}-modules libres de rang fini, défini par : si N objet de MF_{W}^{±h}, F̃_{1}(N) = Ṽ_{cris}(N)⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr}. Alors il existe \overline{f} un isomorphisme de foncteurs entre F̃_{1} et F_{2}, préservant le dual. Nous pouvons supposer de plus :

– pour tous objet N et N′ de MF_{W}^{±h}, tel que N ⊗ N′ soit encore un objet de MF_{W}^{±h}, \overline{f}_{N⊗N′} = \overline{f}_{N} ⊗ \overline{f}_{N′} ;

– pour tout uplet d’objets (N_{i,j})_{1≤j≤n, 1≤i≤n_{j}} de MF_{W}^{±h}, pour tout sous-φ-

module filtré L facteur direct (comme W -module) de ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}}N_{i,j}, l’applica-

tion ⨁ ⊗\overline{f}_{N_{i,j}} envoie (V_{cris,p}(D_{L}) ∩ ⨁_{j=1}^{n} ⊗_{i=1}^{n_{j}} Ṽ_{cris}(N_{i,j})) ⊗_{ℤ_{p}} OÊ_{nr} bijecti-

vement sur L ⊗_{W} OÊ_{nr}.

6 Position des réseaux

Pour tout ce paragraphe, nous supposerons donnés ρ : Γ_{K} → G(ℤ_{p}) une représentation cristalline à valeurs dans les point sur ℤ_{p} d’un groupe algébrique lisse sur ℤ_{p}, G, et U un ℤ_{p}-module libre de rang n, avec α : G → GL_{U} une immersion fermée.

6.1 Description des groupes plats sur ℤ_{p}

Notons U_{W} = U ⊗_{ℤ_{p}} W. Identifions G avec son image dans GL_{U}. Nous allons donner une définition plus exploitable de G_{W} = G ×_{ℤ_{p}} W dans un cas particulier : Prenons une base de U et supposons que l’immersion de G dans GL_{U} induise une immersion dans End_{U} (c’est-à-dire G = Spec(ℤ_{p}[X_{i,j}]_{1≤i,j≤n}/I)). Notons ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤d} les polynômes de degré total inférieur ou égal à d. Le groupe GL_{U} agit sur ℤ_{p}[X_{i,j}] par : pour toute ℤ_{p}-algèbre R, si f ∈ R[X_{i,j}], et s ∈ GL_{U}(R), alors η_{s}(f) est le polynôme défini par η_{s}(f)(y) = f(s^{−1}y). Cette action est linéaire et laisse stable ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤d}.

Proposition 55. Soit G = Spec(ℤ_{p}[X_{i,j}]_{1≤i,j≤n}/I) un groupe algébrique plat sur ℤ_{p}, soient (f_{1}, ⋯, f_{r}) des générateurs de l’idéal I, et si d est le maximum des degrés totaux des f_{i}, posons E = I ∩ ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤d}. Alors E est facteur direct, et pour toute ℤ_{p}-algèbre R, si E_{R} = E ⊗_{ℤ_{p}} R, G(R) = {g ∈ GL_{U}(R)|η_{g}(E_{R}) = E_{R}}.

Remarque 56. Si α : G → GL_{U} n’induit pas une immersion fermée de G dans End_{U}, il suffit de composer α avec une immersion fermée β : GL_{U} → GL_{U′} tel que β induise une immersion fermée de GL_{U} dans End_{U′}. Par exemple, U′ = U ⊕ ℤ_{p} avec β = Id ⊕\frac{1}{det}, ou bien U′ = U ⊕ U^{∗} (où U^{∗} est le dual de U) avec β(g) = (g,^{t}g^{−1}). Par contre, le E donné par la proposition 55 dépendra du morphisme β considéré.

Démonstration. Commençons par le lemme suivant :

Lemme 57. Pour toute ℤ_{p}-algèbre R, le module I ⊗_{ℤ_{p}} R s’injecte dans R[X_{i,j}].

Démonstration. Pour tout k, notons E_{k} = I∩ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤k}. Le module ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤k} est un ℤ_{p}-module libre de type fini, et ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤k}/E_{k} est sans p-torsion car il s’injecte dans ℤ_{p}[X_{i,j}]_{1≤i,j≤n}/I qui est plat sur ℤ_{p} (par hypothèse). Donc le module E_{k} est un ℤ_{p}-module libre facteur direct dans ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤k}. Donc E_{k} est un facteur direct de ℤ_{p}[X_{i,j}], par conséquent E_{k} ⊗_{ℤ_{p}} R s’injecte dans R[X_{i,j}]. Or, I est la réunion des E_{k}, donc I ⊗_{ℤ_{p}} R s’injecte dans R[X_{i,j}].

Au passage, nous avons démontré une assertion de la proposition, à savoir que E := E_{d} est facteur direct. Notons H le groupe algébrique défini par H(R) = {g ∈ GL_{U}(R)|η_{g}(E_{R}) = E_{R}}. L’application naturelle H → GL_{U} est une immersion fermée et H(R) = {g ∈ GL_{U}(R)|η_{g}(E_{R}) ⊂ E_{R}} car E est facteur direct. Nous voulons montrer que H = G. Si s ∈ GL_{U}(R) vérifie η_{g}(E_{R}) = E_{R}, alors pour tout i, η(s)(f_{i}) ∈ E_{R} ⊂ I ⊗_{ℤ_{p}} R, donc η(s)(f_{i})(Id) = 0 car Id ∈ G(R). Donc, par définition de l’action, f_{i}(s^{−1}) = 0 pour tout i, donc la famille (f_{i}) étant une famille de générateurs de l’idéal I sur ℤ_{p}, nous obtenons s^{−1} ∈ G(R), or G est un groupe, donc s ∈ G(R), ce qui montre l’inclusion H(R) ⊂ G(R). Donc il existe un monomorphisme H → G. Montrons que c’est une immersion fermée : le morphisme H → GL_{U} est une immersion fermée, et α est par hypothèse une immersion fermée de G dans GL_{U}. Donc, en notant A[K] l’algèbre affine d’un groupe K, les flèches A[GL_{U}] → A[G] et A[GL_{U}] → A[H] sont surjectives, et nous avons le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{A[G] \ar[d] & A[GL_{U}] \ar@{->>}[l] \ar@{->>}[dl] \\ A[H]}

par conséquent, la flèche A[G] → A[H] est surjective, donc H → G est bien une immersion fermée. Nous allons maintenant montrer que G et H ont même fibre générique. Pour cela, donnons une description de G semblable à celle de H :

Lemme 58. Pour toute ℤ_{p}-algèbre R, nous avons

G(R) = {g ∈ GL_{U}(R)|η_{g}((I ⊗_{ℤ_{p}} R) ∩ R[X_{i,j}]_{≤d}) = (I ⊗_{ℤ_{p}} R) ∩ R[X_{i,j}]_{≤d}}

Démonstration. Fixons R, et posons M = (I⊗_{ℤ_{p}} R)∩R[X_{i,j}]_{≤d}. Si s ∈ GL_{U}(R) vérifie η_{g}(M) = M, alors pour tout i, η(s)(f_{i}) ∈ M ⊂ I ⊗_{ℤ_{p}} R, donc η(s)(f_{i})(Id) = 0 car Id ∈ G(R). Donc, par définition de l’action, f_{i}(s^{−1}) = 0 pour tout i, donc la famille (f_{i}) étant une famille de générateurs de l’idéal I sur ℤ_{p}, nous obtenons s^{−1} ∈ G(R), or G est un groupe, donc s ∈ G(R), ce qui montre une inclusion. L’inclusion réciproque sera un corollaire du lemme de Yoneda : d’abord, il suffit de montrer que η_{s}(M) ⊂ M, car η est une action de groupe. Puis, si s ∈ G(R) et f ∈ M, notons P = η(s)(f). Pour toute R-algèbre B, pour tout g ∈ G(B), nous avons P (g) = f(s^{−1}g) = 0 car s^{−1}g ∈ G(B) et f ∈ I ⊗_{ℤ_{p}} R, donc P est dans I ⊗_{ℤ_{p}} R (et de bon degré, donc P ∈ M) par la remarque suivante : Soit G = Spec(A/I) un groupe algébrique au dessus d’un anneau R, alors si J = {f ∈ A| pour toute R-algebre B, ∀g ∈ G(B), f(g) = 0}, nous avons I = J. En effet, si K = Spec(A/J), alors K(B) ⊂ G(B) car I ⊂ J, puis la définition de J nous dit que pour tout φ : A/I → B, J est inclus dans Ker(φ), d’où se factorise en φ : A/J → B, J, donc G(B) ⊂ K(B). Le lemme de Yoneda donne alors G = K, donc I = J.

Lemme 59. Soit S/R une extension d’anneau, supposons que S est plat sur R. Alors, ((I ⊗_{ℤ_{p}} R) ∩ R[X_{i,j}]_{≤d}) ⊗_{R} S = (I ⊗_{ℤ_{p}} S) ∩ S[X_{i,j}]_{≤d}.

Démonstration. En effet, notons M_{1} = I ⊗_{ℤ_{p}} R, M_{2} = R[X_{i,j}]_{≤d} et M_{3} = R[X_{i,j}], alors nous voulons voir que (M_{1} ∩M_{2})⊗_{R} S = (M_{1} ⊗_{R} S)∩(M_{2} ⊗_{R} S). Or, nous avons la suite exacte courte de R-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & M_{1} ∩ M_{2} \ar[r] & M_{3} \ar[r] & M_{3}/M_{1} ⊕ M_{3}/M_{2}}

et nous avons supposé que S est plat sur R, donc en tensorisant par S au dessus de R, nous obtenons que

\xymatrix{0 \ar[r] & (M_{1} ∩ M_{2}) ⊗ S \ar[r] & M_{3} ⊗ S \ar[r] & (M_{3}/M_{1}) ⊗ S ⊕ (M_{3}/M_{2}) ⊗ S}

est une suite exacte, ce qui conclut car (M_{3}/M_{i})⊗_{R} S = M_{3} ⊗_{R} S/M_{i} ⊗_{R} S.

Puis, G et H ont même fibre générique, par application directe des deux lemmes précédents. Il ne reste plus qu’à voir que si H → G est une immersion fermée telle que G et H ont même fibre générique, et G plat, alors H = G. Nous voulons montrer que la flèche surjective A[G] → A[H] est aussi injective. G étant plat, l’application naturelle i_{G} : A[G] → A[G] ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} est injective. H et G ayant même fibre générique, la flèche f : A[G] → A[H] donnée par l’immersion fermée induit une bijection f_{p} : A[G] ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} → A[H] ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}. De plus le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{A[G] \ar[r]^{f} \ar@{^{(}->}[d]^{i_{G}} & A[H] \ar[d]^{i_{H}} \\ A[G] ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} \ar@{^{(}->}[r]^{f_{p}} & A[H] ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}}

donc f est bien injective, donc H = G.

Documenta Mathematica 12 (2007) 399–440

En fait, lors de l’identification de GL_{U} avec GL_{n,ℤ_{p}}, nous avons identifié la représentation de GL_{U} que sont les polynômes homogènes de degré i (noté ℤ_{p}^{i}[X_{i,j}]) avec Sym^{i}(End_{U}) qui est un sous-objet de End_{U}^{⊗i}, ou bien, dit autrement, ℤ_{p}[X_{i,j}]_{≤d} a été identifié à un sous-objet de ⊕_{0≤i≤d} End_{U}^{⊗i}. L’action de GL_{U} sur ℤ_{p}^{i}[X_{i,j}] est le produit tensoriel de l’action naturelle de GL_{U} sur U^{∗} par l’action triviale de GL_{U} sur U dans End_{U}^{⊗i} = (U ⊗_{ℤ_{p}} U^{∗})^{⊗i}; par conséquent E est un sous-module de ⨁_{0≤i≤d}(\underbrace{U^{∗} ⊕ ⋯ ⊕ U^{∗}}_{n fois})^{⊗i} (où n = rg(U)).

Appliquons ceci non pas au plongement α, mais à α^{∗} : G → GL_{U^{∗}}, défini par α^{∗}(g) = ^{t}α(g)^{−1}. Il existe alors E^{∗} = ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U ⊕ ⋯ ⊕ U}_{n fois})^{⊗i} ∩ I^{∗} un sous ℤ_{p}-

module (libre facteur direct) tel que s ∈ α(G)(R) ⇔ s(E_{R}^{∗}) = E_{R}^{∗} (où I^{∗} est l’idéal définissant α^{∗}(G)). Rassemblons tout ceci dans le lemme suivant :

Proposition 60. Soit G un groupe plat sur ℤ_{p}, U un ℤ_{p}-module libre de rang n et α : G → GL_{U} une représentation qui induit une immersion fermée dans End_{U}. Identifions G avec son image. Alors, il existe un entier k et un sous ℤ_{p}-module E (facteur direct) de ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U ⊕ ⋯ ⊕ U}_{n fois})^{⊗i} laissé stable par l’action

naturelle de G(ℤ_{p}) (provenant de celle de GL_{U}, notée η) tels que G(R) = {g ∈ GL(R)|η_{g}(E_{R}) = E_{R}} pour toute ℤ_{p}-algèbre R.

Nous pouvons alors définir sur M = D_{cris}(U) (ou sur D̃_{cris}(U) suivant les cas) un groupe algébrique sur W, G_{M}, par : si η est l’action naturelle de GL_{M} sur

⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{M ⊕ ⋯ ⊕ M}_{n fois})^{⊗i}, alors G_{M}(R) = \{g ∈ GL_{M}(R)|η_{g}(\overline{E}_{R}) = \overline{E}_{R}\} pour

toute W -algèbre R. Il ne reste qu’à bien choisir \overline{E} en liaison avec E, ce qui nous conduit au théorème suivant :

Théorème 61. Supposons G lisse sur ℤ_{p}. Si α : G → GL_{U} induit une immersion fermée dans End_{U} et si la représentation de Γ_{K} induite sur U par α (et par ρ : Γ_{K} → G(ℤ_{p})) vérifie

– soit elle est à poids de Hodge-Tate dans [[0, h]] avec 0 ≤ h ≤ p − 2

– soit elle est à poids de Hodge-Tate dans [[−h, h]] avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2} alors, en prenant

\overline{E} = D_{cris,p}(E ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) ∩ ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{D_{cris}(U) ⊕ ⋯ ⊕ D_{cris}(U)}_{n fois})^{⊗i}

dans le premier cas, ou

\overline{E} = D_{cris,p}(E ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) ∩ ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{D̃_{cris}(U) ⊕ ⋯ ⊕ D̃_{cris}(U)}_{n fois})^{⊗i}

dans le deuxième cas, il existe une bijection Ψ : U ⊗_{ℤ_{p}} W → M qui identifie G ×_{ℤ_{p}} W et G_{M}.

Remarque 62. Pour qu’une application Ψ bijective identifie G ×_{ℤ_{p}} W et G_{M}, il suffit de montrer que l’application naturelle induite par Ψ envoie E ⊗_{ℤ_{p}} W bijectivement sur \overline{E}.

6.2 Demonstration du théorème 61

Soit h : U_{R} = U ⊗_{ℤ_{p}} R ≃ M_{R} = M ⊗_{W} R un isomorphisme de R-modules,

alors h induit s(h) de ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U_{R} ⊕ ⋯ ⊕ U_{R}}_{n fois})^{⊗i} sur ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{M_{R} ⊕ ⋯ ⊕ M_{R}}_{n fois})^{⊗i},

qui est aussi un isomorphisme. Considérons alors

Isom(R) = \{h : U ⊗_{ℤ_{p}} R ≃ M ⊗_{W} R|s(h)(E_{R}) = \overline{E}_{R}\}

pour R une W -algèbre. C’est un sous-W -schéma de Isom_{W}(U ⊗_{ℤ_{p}} W, M) (les W -isomorphismes de U ⊗_{ℤ_{p}} W sur M). Il est non vide, car f_{D_{cris}(U)} (ou f̄_{D̃_{cris}(U)} suivant les conditions sur les poids de Hodge-Tate) induit un élément de Isom(OÊ_{nr}). C’est une retraduction du théorème 49 (ou du théorème 54)

Lemme 63. Le schéma Isom ×_{W} OÊ_{nr} est un torseur trivial sous G ×_{W} OÊ_{nr}.

Démonstration. G agit naturellement et fidèlement à gauche sur Isom : si f ∈ Isom(R) et g ∈ G(R),

\xymatrix{U ⊗_{ℤ_{p}} R \ar[r]^{g} & U ⊗_{ℤ_{p}} R \ar[r]^{f} & M ⊗_{W} R}

est bien un isomorphisme. Puis, l’application naturelle

\xymatrix{⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U ⊕ ⋯ ⊕ U}_{n fois})^{⊗i} ⊗_{ℤ_{p}} R \ar[r]^{η_{g}} & ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U ⊕ ⋯ ⊕ U}_{n fois})^{⊗i} ⊗_{ℤ_{p}} R \ar[d]^{s(f)} \\  & ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{M ⊕ ⋯ ⊕ M}_{n fois})^{⊗i} ⊗_{W} R}

s’identifie naturellement à s(f ∘ g). Enfin, la définition de Isom, la proposition 60 et le fait que s(f ∘ g) = s(f) ∘ η_{g} donnent bien s(f ∘ g)(E_{R}) = E_{R}, donc que f ∘ g ∈ Isom(R). Le groupe G agit donc sur Isom par (g, f) ↦ f ∘ g^{−1}. La fidélité provient de ce qu’un élément de Isom est un isomorphisme de modules. Pour finir, il reste à montrer que pour f, f′ ∈ Isom(R), il existe g ∈ G(R) avec f′ = f ∘ g^{−1}. Autrement dit, il faut voir que g = f^{′−1} ∘ f est bien un élément de G(R). Cela se montre de la même façon que précédement. C’est la propriété 60 qui est le point essentiel.

Nous venons donc de montrer que Isom ×_{W} OÊ_{nr} est un G ×_{W} OÊ_{nr}-espace homogène ayant un point sur OÊ_{nr}, or G ×_{W} OÊ_{nr} est un groupe lisse, donc Isom ×_{W} OÊ_{nr} est lisse, donc Isom aussi (car la flèche Spec(OÊ_{nr}) → Spec(W) est fidèlement plate et quasi-compact, donc c’est une application directe du corollaire 17.7.3 de EGA IV). Isom est lisse, donc par le lemme de Hensel (cf. théorème 18.5.11 b de EGA IV), Isom(W) se surjecte (par la réduction modulo p) sur Isom(k). Si ce dernier est non vide, nous aurons bien montré que Isom(W) est non vide, ce qui prouvera le théorème. Isom ×_{W} OÊ_{nr} est lisse, donc, toujours par le lemme de Hensel, Isom(OÊ_{nr}) se surjecte sur Isom(OÊ_{nr}/p), donc le k-schéma Isom × Spec(k) est non vide (car OÊ_{nr}/p est une k-algèbre), donc par le théorème des zéros de Hilbert, Isom × Spec(k)(k) est non vide (car k est algébriquement clos). Remarquons qu’en nous donnant un ℤ_{p}-module N ⊂ M qui engendre M comme W -module (c’est à dire N ⊗_{ℤ_{p}} W = M), et tel que le ℤ_{p}-module N′ = \overline{E} ∩ ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{N ⊕ ⋯ ⊕ N}_{n fois})^{⊗i} engendre \overline{E} comme W -module (par exemple, avec les

notations du paragraphe 1.3, N = M^{f_{M}} (et alors N′ = \overline{E}^{f\overline{E}}) ou N = M_{ℤ_{p}}^{u_{N}^{−1}f_{M}}

(et alors N′ = \overline{E}_{ℤ_{p}}^{u−1 ; \overline{E}f\overline{E}})), nous pouvons définir Isom sur ℤ_{p} par

Isom(R) = {h : U ⊗_{ℤ_{p}} R ≃ N ⊗_{ℤ_{p}} R|s(h)(E_{R}) = N′_{R}}

pour R une ℤ_{p}-algèbre. Alors, par un théorème de Lang (tout H-torseur défini sur 𝔽_{p} est trivial si H est un groupe algébrique sur 𝔽_{p} connexe) , en supposant que G est à fibre spéciale connexe, nous avons Isom(𝔽_{p}) non vide, donc par lissité, Isom(ℤ_{p}) est non vide, et donc sous cette hypothèse, nous pouvons supposer que Ψ(U) = N. De plus, Ψ identifie G à une forme sur ℤ_{p} de G_{M} (celle qui est définie à l’aide de N′).

Corollaire 64. Sous les hypothèses et notations précédentes, si U′ est un réseau de U ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} laissé stable par l’action de G, alors Ψ[\frac{1}{p}] = Ψ ⊗_{W} K envoie U′ ⊗_{ℤ_{p}} W sur D_{cris}(U′) si les poids de Hodge-Tate sont positifs, ou sur D̃_{cris}(U′) sinon.

Démonstration. Notons M = D_{cris}(U) (ou M = D̃_{cris}(U) si les poids de Hodge-Tate ne sont pas tous positifs). Tout d’abord, quitte à multiplier par une certaine puissance de p, nous pouvons supposer U′ ⊂ U. Puis, Ψ ∈ Isom(W) ⊂ Isom(OÊ_{nr}) et f_{M} ∈ Isom(OÊ_{nr}) (respectivement, \overline{f}_{M} ∈ Isom(OÊ_{nr})), donc, comme Isom est un G ×_{ℤ_{p}} W -espace homogène, il existe g ∈ G(OÊ_{nr}) tel que Ψ = f_{M} ∘ g (respectivement Ψ = \overline{f}_{M} ∘ g). Il suffit donc (puisque U′ est stable par G) de vérifier la propriété pour f_{M} (ou \overline{f}_{M}), or ceci provient juste de la fonctorialité de f_{M} (et de \overline{f}_{M}) pour les sous-objets.

6.3 Exemples

Remarquons que GL_{U} se plonge naturellement par une immersion fermée β dans GL_{U⊕U^{∗}} où l’action sur U est l’action naturelle, et l’action sur le dual U^{∗} est donnée par la transposée de l’inverse. De plus, β provient d’une immersion fermée de GL_{U} dans End_{U⊕U^{∗}}, car l’image de β est un sous-groupe fermé de SL_{U⊕U^{∗}}. Donc, si la représentation galoisienne U est à poids de Hodge-Tate dans [[0, h]] avec h ≤ \frac{p−2}{2}, ou dans [[−h, h]] avec h ≤ \frac{p−2}{4}, alors l’immersion α′ = β ∘ α vérifie en partie les hypothèses du théorème 61. Soit alors E le sousmodule définissant G dans U ⊕ U^{∗} (de la manière décrite dans le paragraphe 6.1). Nous définissons de même sur D̃_{cris}(U)⊕D̃_{cris}(U)^{∗} un groupe G_{M} à l’aide de

\overline{E} = D_{cris,p}(E ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p}) ∩ ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{D̃_{cris}(U) ⊕ ⋯ ⊕ D̃_{cris}(U)}_{n fois})^{⊗i}

Théorème 65. Si la représentation de Γ_{K} induite sur U par α (et par ρ) vérifie – soit elle est à poids de Hodge-Tate dans [[0, h]] avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2}

– soit elle est à poids de Hodge-Tate dans [[−h, h]] avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{4} alors, avec les notations précédentes, il existe un isomorphisme de W -module Ψ : U ⊗_{ℤ_{p}} W → M qui induit une bijection Ψ ⊕^{t}Ψ^{−1} : (U ⊕ U^{∗}) ⊗_{ℤ_{p}} W → M ⊕ M^{∗} identifiant G ×_{ℤ_{p}} W et G_{M}. En particulier, le groupe G_{M} (plongé dans GL_{M⊕M^{∗}}) laisse stable M et M^{∗}.

Démonstration. Considérons le schéma Isom(R) = {h : U ⊗_{ℤ_{p}} R ≃ M ⊗_{W} R|s(h)(E_{R}) = \overline{E}_{R}\} (ce n’est à priori pas le même que celui considéré dans la démonstration du théorème 61, qui considère des morphismes définis sur U ⊗ U^{∗}). C’est un G ×_{ℤ_{p}} W espace homogène, qui a un point sur W (cela se montre de la même façon que lors de la démonstration du théorème 61).

6.4 Données initiales pour un φ-module filtré

Formulons ici comment les idées introduites précédemment se traduisent dans le formalisme introduit par Rapoport et Zink (cf. [RZ96]). Soit G un groupe algébrique lisse sur ℤ_{p} et ρ un morphisme de groupe de Γ_{K} dans G(ℤ_{p}), μ : 𝔾_{m} → G un cocaractère défini sur W, et b ∈ G(W). Alors, à toute représentation β : G → GL_{U} où U est un ℤ_{p}-module libre de rang fini, nous pouvons associer un objet I(U) (qui aura vocation à être un φ-module filtré) :

– le W -module sous-jacent est U ⊗_{ℤ_{p}} W = M ;

– une filtration Fil^{i}(M) = ⨁_{j≥i} M_{j} où M_{j} est l’espace propre de poids j corres-

pondant à μ;

– des applications φ^{i} : Fil^{i}(M) → M[\frac{1}{p}] définies par φ^{i} = p^{−i}b ∘ (Id ⊗ σ) sur Fil^{i}(M), c’est-à-dire si v = ∑_{k} v_{k} ⊗ x_{k} ∈ Fil^{i}(M) avec v_{k} ∈ U et x_{k} ∈ W,

φ^{i}(v) = p^{−i} ∑_{k} σ(x_{k})β(b)(v_{k}).

Définition 66. Le triplet (μ, b, β) est dit admissible si I(U) est un objet de MF_{W,tf} .

Si G est supposé lisse, si β induit une immersion fermée de G dans End_{U}, et I(U) est un objet de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2, nous pouvons faire de même qu’au paragraphe 6.1 : G est défini par E un ℤ_{p}-module bien choisi de ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{U ⊕ ⋯ ⊕ U}_{n fois})^{⊗i} (alors E ⊗_{ℤ_{p}} W sera un objet de MF_{W,tf} ), et sur

V_{cris}(I(U)) nous construisons G_{V_{cris}(I(U))} sur ℤ_{p} par son foncteur des points (si R est une ℤ_{p}-algèbre, G_{V_{cris}(I(U))}(R) est le sous-groupe de GL_{V_{cris}(I(U))}(R) formée des éléments qui laissent stable

( V_{cris,p}(E ⊗_{ℤ_{p}} K) ∩ ⨁_{0≤i≤k}(\underbrace{V_{cris}(M) ⊕ ⋯ ⊕ V_{cris}(M)}_{n fois})^{⊗i}) ⊗_{ℤ_{p}} R

Théorème 67. Sous les conditions précédentes, avec

– soit M est un objet de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ p − 2 et β induit une immersion fermée de G dans End_{U},

– soit M est un objet de MF_{W}^{−h} avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2},

– soit M est un objet de MF_{W}^{±h} avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{2} et β induit une immersion fermée de G dans End_{U},

– soit M est un objet de MF_{W}^{±h} avec 0 ≤ h ≤ \frac{p−2}{4}, alors il existe une bijection Ψ : M → V_{cris}(I(U)) ⊗_{ℤ_{p}} W qui identifie G ×_{ℤ_{p}} W et G_{V_{cris}(I(U))} ×_{ℤ_{p}} W. De plus, la représentation galoisienne associée à V_{cris}(I(U)) est à valeurs dans G_{V_{cris}(I(U))}(ℤ_{p}).

Démonstration. L’existence de la bijection se montre de la même façon que pour le théorème 61 : nous introduisons un G-espace homogène Isom défini sur ℤ_{p}, nous montrons qu’il est lisse sur ℤ_{p}, Isom(k) est non vide par le théorème des zéros de Hilbert, et le lemme de Hensel conclut. La définition même de G_{V_{cris}(I(U))} implique que la représentation galoisienne associée à V_{cris}(I(U)) est à valeurs dans G_{V_{cris}(I(U))}(ℤ_{p}).

Remarque 68. Le théorème de Lang à propos des torseurs définis sur les corps finis implique que si la fibre spéciale de G est connexe, alors le torseur Isom est trivial sur 𝔽_{p}. Autrement dit, il a un point sur 𝔽_{p}, que nous pouvons relever à ℤ_{p} par le lemme de Hensel. Par conséquent, si la fibre spéciale de G est connexe, l’isomorphisme Ψ est défini sur ℤ_{p}, c’est à dire qu’il induit une bijection Ψ : U → V_{cris}(I(U)).

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Lionel Dorat

IRMA

Université Louis Pasteur 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex lionel.dorat@ens-lyon.org