SUR LA COURBE MODULAIRE X_{ndép}(11)

EMMANUEL HALBERSTADT

Abstract. La courbe modulaire X_{ndép}(11) classifie les courbes elliptiques E telles que l’image de la représentation de Galois dans le groupe des points de 11-torsion de E soit contenue dans le normalisateur d’un sous-groupe de Cartan non déployé. On sait que X_{ndép}(11) est de genre 1. Nous donnons ici une paramétrisation de cette courbe par une certaine courbe elliptique sur ℚ, de conducteur 121. Nous en déduisons des exemples explicites de couples de courbes elliptiques sur ℚ non isogènes sur ℚ mais donnant des représentations de Galois modulo 11 symplectiquement isomorphes.

The modular curve X_{ndép}(11) (or X_{nonsplit}(11)) classifies the elliptic curves E such that Galois acts on the group of 11-torsion points of E through the normaliser of a non-split Cartan subgroup. It is known that this curve has genus 1. We give here a parametrisation of this curve by a certain elliptic curve over ℚ with conductor 121. As an application, we give explicit examples of couples of elliptic curves over ℚ nonisogenous over ℚ but giving symplectically isomorphic modulo 11 Galois representations.