Homology, Homotopy and Applications, vol.6(1), 2004, pp.5–16

AUTOUR DES FORMES QUADRATIQUES QUASI-VOISINES

AHMED LAGHRIBI

(communicated by Ulf Rehmann)

Abstract In this article we study a generalization of the notion of Pfister neighbors. An anisotropic quadratic form φ over a field F of characteristic not 2 is called a quasi-Pfister neighbor when the anisotropic part (φ_{F (φ)})_{an} is F (φ)-similar to an F - quadratic form ψ where F (φ) denotes the function field of the projective quadric given by φ. We prove the uniqueness of ψ up to F -similarity for forms φ of dimension ⩽ 8, odd dimension and many others of large dimension, and in these cases we give a precise description of ψ.

1. Introduction

Soit F un corps de caractéristique ≠ 2. Pour une forme quadratique φ, on note dim φ sa dimension, det φ son déterminant, φ_{an} sa partie anisotrope, C(φ) son algèbre de Clifford et C_{0}(φ) son algèbre de Clifford paire.

A une forme quadratique φ de dimension ⩾ 2, non isométrique au plan hyperbolique ⟨1, −1⟩, on associe la quadrique projective X_{φ} d’équation φ = 0. On note F (φ) le corps des fonctions de X_{φ}. Lorsque φ ≃ ⟨1, −1⟩ ou dim φ ⩽ 1, on pose F (φ) = F.

Pour φ une forme quadratique telle que dim φ_{an} ⩾ 1, on définit une suite (F_{i}, φ_{i})_{0⩽i⩽h(φ)} de formes quadratiques et d’extensions de F, dite la tour de déploiement générique de φ, comme suit: F_{0} = F, φ_{0} = φ_{an}, et pour i ⩾ 1 on définit par induction F_{i} = F_{i−1}(φ_{i−1}) et φ_{i} = ((φ_{i−1})_{F_{i}})_{an}. L’entier h(φ), appelé hauteur de φ, est le plus petit entier vérifiant dim φ_{h(φ)} ⩽ 1. Lorsque dim φ est paire et h(φ) ⩾ 1, on sait que φ_{h(φ)−1} est semblable à une forme de Pfister π qu’on appelle la forme dominante de φ. Dans ce cas, le degré de φ est l’entier d vérifiant dim π = 2^{d} [18].

Une forme quadratique φ est dite une voisine de Pfister s’il existe une forme de Pfister π telle que 2 dim φ > dim π et απ ≃ φ ⊥ ψ pour certains α ∈ F^{∗} et ψ une forme quadratique (≃ désigne l’isométrie pour les formes quadratiques). Les formes π et ψ sont uniques à isométrie près. On appelle ψ la forme complémentaire de φ.

L’auteur a été soutenu par le projet Européen HPRN-CT-2002-00287 “Algebraic K-Theory, Linear Algebraic Groups and Related Structures”. Received September 23, 2003, revised January 6, 2004; published on February 6, 2004. 2000 Mathematics Subject Classification: 11E04, 11E81. Key words and phrases: Mots clés. Forme quadratique, corps des fonctions d’une quadrique projective, voisine de Pfister, quasi-voisine de Pfister, déploiement générique d’une forme quadratique. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2004, Ahmed Laghribi. Permission to copy for private use granted.

Pour un entier n ⩾ 1, on note I^{n}F = (IF)^{n} où IF est l’idéal fondamental de l’anneau de Witt W (F) de F.

Pour K/F une extension de corps et A une K-algèbre simple centrale, on désigne par [A] sa classe dans le groupe de Brauer de K.

Le but de cet article est de discuter un problème lié au déploiement d’une forme quadratique sur le corps des fonctions de sa propre quadrique projective. A notre connaissance ce problème n’a pas été traité jusqu’à présent. Il a son origine dans un travail dû à Kersten et Rehmann sur la classification des groupes algébriques linéaires excellents [17]. Rappelons qu’un groupe algébrique linéaire semisimple G sur F est dit excellent si pour toute extension de corps K/F, la partie anisotrope (G ×_{F} K)_{an} du groupe G ×_{F} K est définie sur F, c’est-à-dire, il existe un F -groupe H tel que (G ×_{F} K)_{an} soit isomorphe à H ×_{F} K. En remplaçant G ×_{F} K par φ_{K} où φ est une forme quadratique, on obtient la définition d’excellence pour les formes quadratiques [18]. La théorie générique de Knebusch a permis de classifier complètement de telles formes quadratiques [18], [19]. Par contre, une classification complète dans le cas des groupes algébriques linéaires excellents est loin d’être achevée, sauf pour le cas du groupe orthogonal spécial où elle a été faite par Kersten et Rehmann [17]. Leur travail a dégagé une nouvelle classe de formes quadratiques φ définies par la propriété suivante: Il existe une suite (ψ_{0}, ⋯, ψ_{h(φ)}) de F -formes quadratiques telle que φ_{i} soit F_{i}-semblable à ψ_{i} où (F_{i}, φ_{i})_{0⩽i⩽h(φ)} est la tour de déploiement générique de φ. Ces formes quadratiques, dites quasi-excellentes, ont été classifiées plus tard par Izhboldin et Kersten en caractéristique 0 [12].

Pour motiver la définition qui va suivre rappelons un résultat dû à Knebusch et Hoffmann:

Théorème 1. ([19], [5]) Soient φ, ψ deux formes quadratiques sur F anisotropes avec dim ψ < dim φ. On a que φ est une voisine de Pfister de forme complémentaire ψ si et seulement si (φ_{F (φ)})_{an} ≃ −ψ_{F (φ)}.

Définition 1. (1) Une forme quadratique anisotrope φ est dite quasi-voisine si (φ_{F (φ)})_{an} est F (φ)-semblable à une F -forme quadratique.

(2) Pour φ quasi-voisine, on note S(φ) la classe des F -formes quadratiques, à F - similitude près, qui sont F (φ)-semblables à (φ_{F (φ)})_{an}.

Voici quelques exemples simples de formes quasi-voisines:

Exemples 1. (1) Une forme quasi-excellente est évidemment une quasi-voisine.

(2) Une voisine de Pfister φ de forme complémentaire φ′ est une quasi-voisine et φ′ ∈ S(φ) comme on le voit par le théorème 1.

(3) Une forme bonne^{1} de hauteur 2 est quasi-voisine. En particulier, cet exemple montre qu’il existe des quasi-voisines qui ne sont pas des voisines.

La proposition suivante décrit partiellement les formes quasi-voisines de dimension au plus 8:

1C’est-à-dire une forme dont la forme dominante est définie sur F.

Proposition 1. Soit φ une forme quadratique anisotrope sur F de dimension ⩽ 8 qui n’est pas du type suivant:

(∗)  dim φ = 8 et φ ∉ I^{2}F.

Alors, φ est une quasi-voisine si et seulement si elle est de l’un des types suivants qui s’excluent mutuellement:

(1) φ est une voisine de Pfister.

(2) dim φ = 4 et det φ ∉ F^{∗2}.

(3) φ est de dimension 6 mais pas une forme d’Albert, isotrope mais non hyperbolique sur F (\sqrt{− det φ}).

(4) dim φ = 8 et l’indice ind C(φ) de C(φ) est égal à 2 ou 4.

L’exception (∗) évoquée dans cette proposition sera discutée dans la proposition 3.

D’autres définitions d’une forme quasi-voisine peuvent être données. En terme de quadriques, qu’une forme quadratique anisotrope φ soit quasi-voisine équivaut à l’existence d’une quadrique projective X sur F telle que la quadrique X_{F (φ)} soit isomorphe à celle donnée par (φ_{F (φ)})_{an}.

Dans le langage des groupes algébriques, on obtient par un résultat de Kersten et Rehmann qu’une forme quadratique φ anisotrope est une quasi-voisine si et seulement si la partie anisotrope du groupe SO(φ) ×_{F} F (φ) est définie sur F [17, Th. 2.2 et 2.3].

Dans cet article on s’intéresse à la finitude de la classe S(φ) pour φ une quasivoisine. Dans ce sens, on va donner des exemples non triviaux de formes quasivoisines φ où S(φ) est finie. Cela couvre les formes de dimension ⩽ 8, de dimension impaire et d’autres formes de dimension grande. Dans tous nos exemples, on va montrer que la classe S(φ) est réduite à un seul élément, et dans tous les cas on va décrire de manière explicite cet élément (voir théorèmes 2 et 3). Cependant, il semble que la finitude de S(φ) est très difficile à étudier pour une quasi-voisine φ quelconque, et on ne sait pas répondre à cela au moins pour des formes particulières comme les voisines de Pfister. Ceci motive le problème suivant:

Problème 1. Soit φ une forme quadratique quasi-voisine. Est-ce que S(φ) est finie? Plus particulièrement, est-ce que | S(φ) |= 1? Sinon, pour quel type de formes quadratiques φ a-t-on la finitude de S(φ)?

En parlant de finitude, on commence par un résultat qui montre que dans certains cas les motifs des quadriques projectives des éléments de S(φ) sont tous isomorphes:

Proposition 2. Soit φ une forme quadratique quasi-voisine telle que dim(φ_{F (φ)})_{an} ⩽ 2^{n} < dim φ pour un certain entier n ⩾ 1. Alors, pour toutes formes ψ, ψ′ ∈ S(φ), les quadriques projectives X_{ψ} et X_{ψ′} ont des motifs de Chow isomorphes.

Enonçons maintenant nos résultats concernant le problème 1:

Théorème 2. Soit φ une forme quadratique sur F anisotrope et φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an}. Soit h (resp. d) la hauteur (resp. le degré) de φ. Si φ est quasi-voisine, alors S(φ) est réduite à un seul élément dans les cas suivants:

(1) φ est de dimension impaire. Dans ce cas, φ est voisine de Pfister et S(φ) = {φ′} où φ′ est sa forme complémentaire.

(2) φ est de dimension paire, bonne de hauteur 2. Dans ce cas, S(φ) = {τ} où τ est la forme dominante de φ.

(3) φ est quasi-excellente de hauteur ⩾ 3 avec F de caractéristique 0 si d ⩾ 2. Dans ce cas, on a:

– Si h > 3 ou dim φ_{h−2} n’est pas une puissance de 2, alors φ est une voisine de Pfister et S(φ) = {φ′} où φ′ est sa forme complémentaire.

– Si h = 3 et dim φ_{h−2} est une puissance de 2, alors S(φ) = {ψ} où ψ est une

(d + 1, d)-forme de Pfister^{2}.

(4) φ n’est ni voisine de Pfister ni bonne, de hauteur 3 et de degré 2 avec F de caractéristique 0. Dans ce cas, on a nécessairement dim φ = 8, ind C(φ) = 4 et S(φ) = {ψ} où ψ est une forme d’Albert^{3} vérifiant [C(φ)] = [C(ψ)].

(5) φ est de l’un des quatre types décrits dans la proposition 1. Dans ce cas: – Si φ est de type (1), alors S(φ) = {φ′} où φ′ est sa forme complémentaire.

– Si φ est de type (2), alors S(φ) = {⟨1, − det φ⟩}.

– Si φ est de type (3), alors S(φ) = {ψ} où ψ est une forme de dimension 4, de déterminant − det φ et vérifiant [C_{0}(ψ)] = [C_{0}(φ)].

– Si φ est de type (4), alors S(φ) = {ψ} où ψ est une 2-forme de Pfister ou une forme d’Albert vérifiant [C(ψ)] = [C(φ)] suivant que ind C(φ) = 2 ou 4.

Dans les assertions (3) et (4) de ce théorème, on suppose F de caractéristique 0. Cela est dû essentiellement au fait que dans les preuves on utilise des résultats connus qu’en cette caractéristique.

En dimension 10 et 12 on a le résultat suivant:

Théorème 3. (1) Il n’existe pas de forme quasi-voisine φ ∈ I^{2}F de dimension 10 telle que ind C(φ) = 2.

(2) Il existe des formes quasi-voisines φ ∈ I^{2}F de dimension 12 telles que ind C(φ) = 2. Pour une telle forme φ on a que S(φ) est réduite à un seul élément. Plus précisément, dim(φ_{F (φ)})_{an} ∈ {4, 8, 10} et dans chaque cas on a:

– Si dim(φ_{F (φ)})_{an} = 4, alors φ est voisine de Pfister et S(φ) = {φ′} où φ′ est sa forme complémentaire.

– Si dim(φ_{F (φ)})_{an} = 8, alors ψ ∈ S(φ) si et seulement si φ ⊥ ψ ⊥ τ ⊥ aτ ∈ I^{4}F pour un certain a ∈ F^{∗} où τ est la 2-forme de Pfister vérifiant [C(τ)] = [C(φ)].

– Si dim(φ_{F (φ)})_{an} = 10, alors ψ ∈ S(φ) si et seulement si φ ⊥ bψ ∈ I^{4}F pour un certain b ∈ F^{∗}.

Concernant les formes de type (∗) comme dans la proposition 1, on prouve le résultat suivant:

2Au sens de Hoffmann [6, Def. 3.4] 3C’est-à-dire dim ψ = 6 et det ψ ∈ −F^{∗2}

Proposition 3. S’il existe une forme quasi-voisine φ de dimension 8 n’appartenant pas à I^{2}F alors:

(1) Pour toute forme ψ ∈ S(φ) on a:

(i) ψ est une forme d’Albert virtuelle^{4}. (ii) Il existe x ∈ F^{∗} et τ semblable à une 2-forme de Pfister et divisible par ⟨1, − det φ⟩ tels que φ ⊥ xψ ⊥ τ ∈ I^{4}F. En particulier, φ est isotrope sur F (\sqrt{− det φ}).

(2) S(φ) est réduite à un seul élément.

On peut se demander si la conclusion de la proposition 2 est vraie sans l’hypothèse dim(φ_{F (φ)})_{an} ⩽ 2^{n} < dim φ.

Pour tout entier pair n ⩾ 8 (n ≠ 12) Izhboldin a construit un corps F de caractéristique ≠ 2 et une paire de formes quadratiques sur F de même dimension n qui ne sont pas semblables mais dont les quadriques projectives ont des motifs isomorphes [11]. Cela donnerait peut être une voie pour construire un éventuel exemple d’une forme quasi-voisine φ telle que | S(φ) |> 1 (dans ce cas, φ doit être de dimension au moins 10 comme on le voit par le théorème 2(5) et la proposition 3). Dans ce sens, rappelons aussi un résultat d’Izhboldin qui affirme que deux formes quadratiques de même dimension impaire dont les quadriques projectives ont des motifs isomorphes sont semblables [10]. En particulier, en dimension impaire la proposition 2 donne une réponse partielle au problème 1, de plus on voit par le théorème 2(1) que cela est vraie sans hypothèse supplémentaire.

On vient de voir que certaines des formes φ traitées dans les théorèmes 2 et 3 sont données par des voisines de Pfister et que la classe S(φ) est réduite à la forme complémentaire. La question suivante se pose alors:

Question 1. Soit φ une forme voisine de Pfister anisotrope de forme complémentaire φ′. A-t-on S(φ) = {φ′}?

Pour φ voisine d’une n-forme de Pfister et de forme complémentaire φ′, on a dim φ′ ⩽ 2^{n−1} < dim φ. Ainsi, par la proposition 2 et pour toute forme ψ ∈ S(φ), les quadriques projectives données par φ′ et ψ ont des motifs isomorphes. Par [10] les formes φ′ et ψ sont semblables lorsque dim φ′ ⩽ 7. Ainsi, la question 1 a une réponse positive pour une voisine de Pfister de forme complémentaire de dimension au plus 7. Aussi, par le théorème 2(1) on a une réponse positive à cette question lorsque φ est voisine de dimension impaire.

On suppose le lecteur familier avec l’aspect algébrique des formes quadratiques. Pour plus de détails sur les notations et la terminologie inexpliquée on renvoie à [2], [18], [19], [23]. Les preuves des théorèmes 2 et 3 nécessiteront d’importants résultats sur le problème d’isotropie, la théorie de déploiement générique des formes quadratiques et le problème de descente étudié dans [14]. Remerciements. Je tiens à remercier Bruno Kahn et Ulf Rehmann pour les différentes discussions que j’ai eues avec eux concernant ce travail.

4C’est-à-dire dim ψ = 6 et ψ est anisotrope sur F (\sqrt{− det ψ})

2. Preuve de la proposition 1

Soient F_{1} = F (φ), φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an} et d = det φ.

(1) Supposons que φ soit quasi-voisine et soit ψ ∈ S(φ). Si φ n’est pas une voisine de Pfister, alors par le théorème 2(1) dim φ est paire.

(i) Si dim φ = 4, alors nécessairement det φ ∉ F^{∗2}.

(ii) Si dim φ = 6, alors on a dim φ_{1} = 4.

– Si φ est une forme d’Albert, alors φ est de hauteur 2 et donc bonne puisqu’elle est supposée quasi-voisine, ce qui n’est pas possible.

– Si φ n’est pas une forme d’Albert, alors ψ_{F (\sqrt{−d})} est semblable à une 2-forme de Pfister, et donc la forme φ est hyperbolique sur F_{1}(\sqrt{−d})(ψ). Ainsi, φ est hyperbolique sur F (\sqrt{−d})(ψ) et donc φ_{F (\sqrt{−d})} est isotrope. Puisque φ n’est pas une voisine de Pfister, la forme φ_{F (\sqrt{−d})} n’est pas hyperbolique [19].

(iii) Si dim φ = 8, alors par hypothèse φ ∈ I^{2}F. On a ind C(φ) ⩾ 2 puisque φ n’est pas une voisine. Puisque [C(φ)_{F_{1}}] = [C(ψ)_{F_{1}}] et dim φ > 4, on obtient que [C(φ)] = [C(ψ)] et donc ind C(φ) = 2 ou 4 du fait que ψ ∈ I^{2}F de dimension ⩽ 6.

(2) Réciproquement, supposons que φ soit de l’un des quatre types décrits dans la proposition.

(i) Si φ est voisine de Pfister, alors elle est quasi-voisine.

(ii) Si dim φ = 4 et det φ ∉ F^{∗2}, alors φ est bonne de hauteur 2 et donc elle est quasi-voisine.

(iii) Si φ est de type (3): Soient α, β, x, y ∈ F^{∗} tels que φ ≃ α ⟨1, d⟩ ⊥ β ⟨1, x, y, xy⟩. Puisque φ_{F (\sqrt{−d})} n’est pas hyperbolique, la forme ⟨d, −x, −y, −xy⟩ est anisotrope. Ainsi, cette forme reste anisotrope sur F (φ) [24]. Par la multiplicativité d’une forme de Pfister, on a que φ_{1} est semblable à ⟨d, −x, −y, −xy⟩_{F (φ)} et donc φ est quasi-voisine.

(iv) Si φ est de type (4): Soit η est une 2-forme de Pfister ou une forme d’Albert vérifiant [C(φ)] = [C(η)] suivant que ind C(φ) = 2 ou 4. Dans ce cas on sait que φ_{1} est semblable à η_{F (φ)} et donc φ est quasi-voisine.

3. Preuve de la proposition 2

Puisque dim ψ = dim(φ_{F (φ)})_{an} ⩽ 2^{n} < dim φ, on a que i_{W} (ψ_{K(φ)}) = i_{W} (ψ_{K}) pour toute extension K/F [5]. On reprend le même raisonnement pour ψ′ et on utilise le fait que ψ_{K(φ)} est semblable à ψ′_{K(φ)} pour avoir i_{W} (ψ_{K}) = i_{W} (ψ′_{K}). Par un résultat^{5} dû à Vishik [27], les quadriques projectives données par ψ et ψ′ ont des motifs isomorphes.

4. Preuve du théorème 2

Soit (F_{i}, φ_{i})_{0⩽i⩽h} la tour de déploiement générique de φ. Soient d′ = det φ et τ la forme dominante de φ. On note ∼_{F} la relation de F -similitude entre les formes

5Vishik a prouvé ce résultat en caractéristique 0, puis Karpenko l’a étendu en toute caractéristique ≠ 2 [15].

quadratiques, et ∼ l’équivalence de Witt. Lorsque φ est une voisine de Pfister, on désigne par φ′ sa forme complémentaire.

Supposons que φ soit quasi-voisine et soient ψ ∈ S(φ) et α ∈ F_{1}^{∗} tels que φ_{1} ≃ α(ψ_{F_{1}}).

(1) Supposons que φ soit de dimension impaire: En comparant les déterminants dans la relation φ_{1} ≃ α(ψ_{F_{1}}), on peut supposer α ∈ F^{∗}. Ainsi, φ est une voisine de Pfister et φ′ ≃ −αψ. Par conséquent, S(φ) = {φ′}.

(2) Supposons que φ soit de dimension paire, bonne de hauteur 2: Puisque τ_{F_{1}(ψ)} est hyperbolique et dim φ > dim τ, on obtient par le théorème de la sous-forme que τ ∼_{F} ψ. Ainsi, S(φ) = {τ}.

(3) Supposons que φ soit quasi-excellente de hauteur ⩾ 3: Soient ψ_{2}, ⋯, ψ_{h} des F -formes quadratiques telles que φ_{i} soit F_{i}-semblable à ψ_{i}.

(i) Supposons que dim φ_{h−2} ne soit pas une puissance de 2: Dans ce cas, la suite S := (φ, ψ, ψ_{2}, ⋯, ψ_{h}) est de première espèce au sens de [12, Def. 0.3]. Par [12, Th. 0.6] φ est une voisine de Pfister et φ′ ∼_{F} ψ. Ainsi, S(φ) = {φ′}.

(ii) Supposons que dim φ_{h−2} soit une puissance de 2: Alors, la suite S est de deuxième ou troisième espèce (toujours au sens de [12]). Dans le cas de deuxième espèce, on a que φ est une voisine de Pfister et φ′ ∼_{F} ψ [12, Th. 0.10]. Ainsi, S(φ) = {φ′}. Dans le cas de troisième espèce, on distingue deux cas:

– Si h > 3, alors dans ce cas φ est une voisine de Pfister et φ′ ∼_{F} ψ [12, Th. 0.10], et donc S(φ) = {φ′}.

– Si h = 3, alors par [12, Th. 0.10] ψ est semblable à une (d + 1, d)-forme de Pfister. Pour une autre forme ψ′ ∈ S(φ), on a que ψ_{F_{1}(ψ′)} est isotrope et donc ψ_{F (ψ′)} est aussi isotrope du fait que dim φ > 2^{d+1} [5]. La forme ψ′ n’est pas une voisine de Pfister car sinon elle serait semblable à une (d + 1)-forme de Pfister et donc φ serait de hauteur 2. Puisque dim ψ′ = 2^{d+1}, on déduit par [6, Th. 5.4] que ψ ∼_{F} ψ′. Ainsi, S(φ) = {ψ}.

(4) Supposons que φ ne soit ni voisine de Pfister ni bonne, de hauteur 3 et de degré 2: On obtient par [22] que dim φ = 8, 12, 14 ou 16.

(i) Si dim φ = 8: Dans ce cas φ_{1} est une forme d’Albert et donc il en est de même pour la forme ψ. Puisque [C(φ)_{F_{1}}] = [C(ψ)_{F_{1}}] et dim φ > 4, on déduit que [C(φ)] = [C(ψ)] et donc ind C(φ) = 4. Si on reprend le même raisonnement avec une autre forme ψ′ ∈ S(φ), on obtient [C(ψ)] = [C(ψ′)] et par un résultat de Jacobson [13] on déduit que ψ ∼_{F} ψ′.

(ii) Si dim φ = 12: On a dim φ_{1} ⩾ 6 puisque h ⩾ 3.

– Si dim φ_{1} = 6, alors i_{W} (φ_{F_{1}}) = 3 et donc une sous-forme de φ de dimension 10 devient isotrope sur F_{1}, ce qui n’est pas possible par un résultat d’Izhboldin [16, Th. 7.2.1] puisque φ n’est pas une voisine.

– Si dim φ_{1} ⩾ 8: Puisque ind C(ψ)_{F_{2}} = 2, on obtient par la réduction d’indice que ind C(ψ) = 2 et donc φ est bonne, ce qui est exclu par hypothèse.

(iii) Si dim φ = 14 ou 16: Par un résultat d’Izhboldin [9, Th. 13.9] on sait qu’en caractéristique 0 une forme quadratique de hauteur 2 et de degré 3 qui n’est pas bonne est de dimension 12. Avec [22, Th. 6] cela implique que le cas dim φ = 14 n’est pas possible, et que si dim φ = 16 alors φ est une (4, 2)-forme de Pfister et donc bonne, ce qui est exclu par hypothèse.

(5) (i) Si φ est de type (1), alors dim φ′ ⩽ 3. On reprend la même justification donnée après la question 1 pour avoir S(φ) = {φ′}.

(ii) Si φ est de type (2), alors par l’assertion (2) on a S(φ) = {⟨1, −d′⟩} puisque dans ce cas φ est de hauteur 2 et bonne de forme dominante ⟨1, −d′⟩.

(iii) Si φ est de type (3), alors on vient de voir dans la preuve de la proposition 1 qu’il existe x, y, α, β ∈ F^{∗} tels que φ ≃ α ⟨1, d′⟩ ⊥ β ⟨1, x, y, xy⟩ et φ_{1} est semblable à η := ⟨d′, −x, −y, −xy⟩. Puisque ψ_{F_{1}(η)} est isotrope, la forme ψ_{F (η)} est aussi isotrope par [24]. De nouveau la même référence implique que ψ ∼_{F} η. Ainsi, S(φ) = {η}. Remarquons que la forme η vérifie [C_{0}(η)] = [C_{0}(φ)], et que toute autre forme η′ de dimension 4 et de déterminant −d′ qui vérifie [C_{0}(φ)] = [C_{0}(η′)] est semblable à η.

(iv) Si φ est de type (4): Soit η une 2-forme de Pfister ou une forme d’Albert vérifiant [C(φ)] = [C(η)] suivant que ind C(φ) = 2 ou 4. Puisque φ_{1} est semblable η_{F_{1}}, la forme η_{F_{1}(ψ)} est isotrope. Par l’isotropie en dimension 4 et celle d’une forme d’Albert on obtient que ψ ∼_{F} η. Ainsi, S(φ) = {η}.

5. Preuve du théorème 3

(1) Supposons qu’il existe φ ∈ I^{2}F quasi-voisine de dimension 10 telle que ind C(φ) = 2. Soit ψ ∈ S(φ). Par [7] ψ est de dimension 8 et divisible par une forme ⟨1, −α⟩ pour un certain α ∈ F^{∗}. Ainsi, φ est hyperbolique sur F (φ)(\sqrt{α}) et donc φ_{F (\sqrt{α})} est aussi hyperbolique. Par conséquent, φ ≃ ⟨1, −α⟩ ⊗ ρ pour une certaine forme ρ de dimension 5. En comparant les déterminants on obtient α ∈ F^{∗2} et donc ψ est isotrope, ce qui n’est pas possible.

(2) Pour construire des exemples de formes quasi-voisines φ ∈ I^{2}F de dimension 12 telles ind C(φ) = 2, on peut procéder comme suit:

On prend un corps F qui a une 2-forme de Pfister τ et une 3-forme de Pfister π anisotropes, et on suppose qu’il existe α, β ∈ F^{∗} tels que φ := ατ ⊥ βπ soit anisotrope. On a bien φ ∈ I^{2}F de dimension 12 et ind C(φ) = 2. On affirme que ψ = (π ⊥ −τ)_{an} est semblable à (φ_{F (φ)})_{an}. En effet:

– Si i_{W} (π ⊥ −τ) = 4 ou 2, alors ψ est de dimension 4 ou 8 et donc reste anisotrope sur F (φ).

– Si i_{W} (π ⊥ −τ) = 1, alors ψ est de dimension 10 et reste aussi anisotrope sur F (φ) par [16, Th. 0.0.1].

Fixons maintenant φ ∈ I^{2}F quasi-voisine de dimension 12 telle que ind C(φ) = 2. Soient F_{1} = F (φ), φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an} et τ une 2-forme de Pfister telle que [C(φ)] = [C(τ)]. Prenons ψ, ψ′ ∈ S(φ). Puisque ind C(φ_{1}) = 2 on a nécessairement dim φ_{1} ∈ {4, 8, 10}.

– Si dim φ_{1} = 4, alors φ_{1} ≃ xτ_{F_{1}} pour un certain x ∈ F_{1}^{∗}. Ainsi, φ est de hauteur 2 et bonne de forme dominante τ. Par le théorème 2(2) on obtient S(φ) = {τ}. De plus, par [14] on peut supposer x ∈ F^{∗}. Ainsi, φ est voisine de Pfister de forme complémentaire φ′ ≃ −xτ et donc S(φ) = {φ′}.

– Si dim φ_{1} = 8, alors ψ_{F (ψ′)} est isotrope puisque ψ_{F_{1}(ψ′)} est aussi isotrope. Par [20] on obtient que ψ ∼_{F} ψ′. D’où l’unicité de ψ.

Prouvons maintenant la caractérisation de ψ. Puisque ψ_{F (τ)} est semblable à une 3-forme de Pfister (car [C(ψ)] = [C(τ)]), la forme φ devient hyperbolique sur F (φ)(ψ)(τ). Ainsi, φ est hyperbolique sur F (ψ)(τ). Puisque φ ⊥ τ ∈ I^{3}F, on obtient e^{3}(φ ⊥ τ) ∈ Ker(H^{3}F ⟶ H^{3}F (τ)(ψ)) (e^{n} et H^{n}F sont respectivement le n-ième invariant d’Arason [1] et le n-ième groupe de cohomologie galoisienne modulo 2). Par [1] e^{3}(φ ⊥ τ)_{F (τ)} = e^{3}(ψ_{F (τ)}) et donc e^{3}(φ ⊥ τ)_{F (τ)} = e^{3}(ψ ⊥ −τ)_{F (τ)}. De nouveau [1] implique qu’il existe a ∈ F^{∗} tel que e^{3}(φ ⊥ τ) + e^{3}(ψ ⊥ −τ) = e^{3}(τ ⊥ aτ). Par [25], [26]

φ ⊥ ψ ⊥ τ ⊥ aτ ∈ I^{4}F.  (1)

Réciproquement, soit ψ une forme de dimension 8 qui vérifie (1). Puisque ψ ∈ I^{2}F et [C(ψ)] = [C(τ)], on sait que (ψ_{F (ψ)})_{an} ≃ bτ_{F (ψ)} pour un certain b ∈ F (ψ)^{∗}. On étend (1) au corps F_{1}(ψ) pour avoir

(φ_{1} ⊥ −abτ)_{F_{1}(ψ)} ∈ I^{4}F_{1}(ψ).

Par le Hautpsatz φ_{1} est isotrope sur F_{1}(ψ) et par [20] on obtient que φ_{1} ∼_{F_{1}} ψ_{F_{1}}, c’est-à-dire, ψ ∈ S(φ).

– Si dim φ_{1} = 10: Puisque ψ_{F_{1}(ψ′)} est isotrope, on déduit par [16, Th. 0.0.1] que ψ_{F (ψ′)} est isotrope. De nouveau la même référence implique que ψ ∼_{F} ψ′. D’où l’unicité de ψ.

Prouvons maintenant la caractérisation de ψ. Par [7] il existe π = ⟨1⟩ ⊥ π′ une 3-forme de Pfister et y ∈ F^{∗} tels que ψ ≃ y(π′ ⊥ −τ′). Soit α ∈ F_{1}^{∗} tel que φ_{1} ≃ α(ψ)_{F_{1}}. De cette relation on obtient

(φ ⊥ π)_{F_{1}} ⊥ αyτ ∈ I^{4}F_{1}.  (2)

Par [14] on peut supposer le scalaire z := αy dans F^{∗}. Ainsi, e^{3}(φ ⊥ π ⊥ zτ)_{F_{1}} = 0. Puisque dim φ > 8, on obtient par [1]

φ ⊥ π ⊥ zτ ∈ I^{4}F.  (3)

Dans (3) on change π par −zπ pour avoir

φ ⊥ bψ ∈ I^{4}F  (4)

où b = −yz.

Réciproquement, soit ψ une forme de dimension 10 qui vérifie (4). Par [8] il existe ρ une forme semblable à une 4-forme de Pfister telle que φ ∼ −bψ ⊥ ρ. Ainsi, (φ_{1})_{F_{1}(ρ)} ∼ (−bψ)_{F_{1}(ρ)} et donc φ_{1} est isotrope sur F_{1}(ψ)(ρ). On applique [16, Th. 0.0.1] pour déduire que φ_{1} ∼_{F_{1}} ψ_{F_{1}}, c’est-à-dire, ψ ∈ S(φ).

6. Preuve de la proposition 3

Soient F_{1} = F (φ), φ_{1} = (φ_{F (φ)})_{an} et d = det φ. Notons c(φ) l’invariant de Clifford de φ.

(1) Prenons ψ ∈ S(φ) et α ∈ F_{1}^{∗} tels que φ_{1} ≃ α(ψ_{F_{1}}).

(i) Puisque φ n’est pas une voisine, on déduit par [14] que dim φ_{1} ⩾ 4.

– Montrons que dim ψ ≠ 4. Supposons le contraire et posons ψ = β ⟨d, −x, −y, xy⟩. Sans perdre de généralité, on peut supposer β = 1. On prend l’invariant de Clifford dans la relation φ_{1} ≃ αψ_{F_{1}} pour avoir

c(φ)_{F_{1}} = (d, −α) + (x, y)_{F_{1}}  (5)

On étend (5) au corps F_{1}(\sqrt{d}) pour avoir c(φ)_{F_{1}(\sqrt{d})} = (x, y)_{F_{1}(\sqrt{d})}. Puisque dim φ > 4, on a c(φ)_{F (\sqrt{d})} = (x, y)_{F (\sqrt{d})}. Ainsi, il existe z ∈ F tel que

c(φ) = (d, z) + (x, y).  (6)

On combine (5) avec (6) pour avoir −α ⟨1, −d⟩ ≃ z ⟨1, −d⟩_{F_{1}}. Avec la relation φ_{1} ≃ α(ψ_{F_{1}}) on obtient

(φ ⊥ −z ⟨1, −d⟩)_{F_{1}} ∼ α ⟨1, −x, −y, xy⟩ .

Par [14, Th. 6] la forme α ⟨1, −x, −y, xy⟩ est définie sur F, disons par une forme τ. Puisque φ_{F_{1}} ∼ (z ⟨1, −d⟩ ⊥ τ)_{F_{1}} et que dim φ_{1} = 4, la forme z ⟨1, −d⟩ ⊥ τ est isotrope sur F_{1}. Par [4] la forme z ⟨1, −d⟩ ⊥ τ est isotrope, ce qui implique que φ_{1} est définie sur F et donc φ est une voisine de Pfister, une contradiction.

– Supposons que ψ soit de dimension 6 et isotrope sur F (\sqrt{− det ψ}) = F (\sqrt{d}). Posons ψ = u ⟨1, −d⟩ ⊥ ψ′ pour u ∈ F^{∗} et ψ′ semblable à une 2-forme de Pfister. On prend l’invariant de Clifford dans la relation φ_{1} ≃ αψ_{F_{1}} pour avoir

c(φ)_{F_{1}} = (uα, d) + c(ψ′)_{F_{1}}.

Les mêmes techniques qu’auparavant montrent que uα ⟨1, −d⟩ ≃ (v ⟨1, −d⟩)_{F_{1}} pour un certain v ∈ F^{∗}. De la relation φ_{1} ≃ uα ⟨1, −d⟩ ⊥ αψ′, on déduit que (φ ⊥ −v ⟨1, −d⟩)_{F_{1}} ∼ αψ′. Par [14, Th. 6] la forme αψ′ est définie sur F, disons par une forme μ. Ainsi, φ_{F_{1}} ∼ (v ⟨1, −d⟩ ⊥ μ)_{F_{1}} et donc φ_{1} est définie sur F, ce qui implique que φ est une voisine de Pfister, une contradiction.

(ii) A scalaire près, on peut supposer ψ = ⟨k, l, kl, m, n, −dmn⟩. On montre comme dans (i) que α ⟨1, −d⟩ ≃ (w ⟨1, −d⟩)_{F_{1}} pour un certain w ∈ F^{∗}. La relation φ_{1} ≃ α(ψ_{F_{1}}) implique

φ_{F_{1}} ∼ mnα ⟨1, −d⟩ ⊥ α ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩ .

Ainsi,

(φ ⊥ r ⟨1, −d⟩)_{F_{1}} ∼ α ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩

avec r = −mnw. On obtient par [14, Th. 2] que la forme d’Albert α ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩ est définie sur F, disons par une forme d’Albert ν. Puisque les formes ν_{F_{1}} et α ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩ ont la même algèbre de Clifford, on obtient par la réduction d’indice et un théorème de Jacobson [13] que ν ≃ −x ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩ pour un certain x ∈ F^{∗}. Ainsi,

(φ ⊥ r ⟨1, −d⟩ ⊥ x ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩)_{F_{1}} ∼ 0.

Par un résultat de Fitzgerald [3] on a

φ ⊥ r ⟨1, −d⟩ ⊥ x ⟨k, l, kl, m, n, −mn⟩ ∈ I^{4}F.

Mais cette dernière relation n’est autre que

φ ⊥ xψ ⊥ τ ∈ I^{4}F

où τ = r ⟨1, −d, xw, −dxw⟩ qui est bien semblable à une 2-forme de Pfister divisible par ⟨1, −d⟩.

(2) Soit ψ′′ une autre forme de S(φ). Puisque ψ′′_{F_{1}(ψ)} est isotrope, on déduit par [21] que ψ′′_{F (ψ)} est isotrope. De nouveau la même référence implique que ψ ∼_{F} ψ′′. D’où, S(φ) est réduite à un seul élément.

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Ahmed Laghribi

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