Seminar Sophus Lie 1 (1991) 3–21

Eine Einführung in die Theorie der Quantenmatrixgruppen

Konrad Schmüdgen

Quantengruppen - das ist ein neues Gebiet der Mathematik und der mathematischen Physik, das sich erst im letzten Jahrzehnt herausgebildet hat. Pionierarbeiten haben dabei vor allem V. G. Drinfeld, M. Jimbo, S. L. Woronowicz, die Leningrader Schule (L. D. Faddeev, E. K. Sklyanin, N. Reshetikhin, L. Takhtajan) und Yu. I. Manin geleistet. Einen guten Überblick über die rapide wachsende Zahl relevanter Publikationen und über die Vielfalt von Querverbindungen zu anderen Gebieten gibt die Bibliographie von T. Koornwinder [4].

Der folgende Artikel ist die Ausarbeitung von 2 Vorträgen des Autors über Quantenmatrixgruppen im Seminar ,,Lie-Theorie und Anwendungen”. Die Abschnitte 1 und 2 geben eine an typischen Beispielen orientierte elementare Einführung. Abschnitt 2 folgt weitgehend Manin [6]. Die Abschnitte 3 und 4 haben die Woronowiczsche Theorie kompakter Quantenmatrixgruppen zum Inhalt. Bis auf den in 4. angedeuteten Zusammenhang zur Theorie orthogonaler Polynome geht hier alles auf die fundamentale Arbeit von Woronowicz [8] zurück. In Abschnitt 5 skizzieren wir einige Probleme, die bei der Konstruktion von C*–Algebren nichtkompakter Quantenräume auftreten. Grundlage bilden hierbei Untersuchungen von van Daele [2] zur Quantenversion der ax + b-Gruppe.

Hopfalgebren

Vom mathematischen Standpunkt sind Quantengruppen (gewisse) Hopfalgebren. Wir führen diesen grundlegenden Begriff anhand eines wichtigen und typischen Beispiels ein.

a.) Ein Beispiel: Die Koordinatenalgebra K(G)

G sei eine (multiplikative) Halbgruppe mit Einselement I (Einheitsmatrix) in M_{n}(ℂ).

Für g = [a_{ij}] ∈ G und i, j = 1, ..., n sei f_{ij}(g) := a_{ij} , d.h. f_{ij} ist die (i, j)-te Koordinatenfunktion auf G. A := K(G) sei die von den Funktionen f_{ij} und der Funktion 1 erzeugte Algebra von Funktionen auf G. Die Matrizenmultiplikation ergibt

f_{ij}(gg′) = ∑_{k=1}^{n} f_{ik}(g)f_{ki}(g′), g, g′ ∈ G.

Wir definieren nun Algebrenhomomorphismen Δ: A → A ⊗ A und ε : A → ℂ durch

(1)  Δf_{ij} = ∑_{k=1}^{n} f_{ik} ⊗ f_{ki} und εf_{ij} = δ_{ij}, i, j = 1, …, n.

(Homomorphismen bzw. Antihomomorphismen von Algebren sollen bei uns immer die Einselemente erhalten.)

Aus der Assoziativität der Multiplikation von G ergibt sich auf A⊗A⊗A die Identität

(2)  (Δ ⊗ id)Δ = (id ⊗ Δ)Δ.

Ebenso folgt aus g · I = I · g = g für g ∈ G auf ℂ ⊗ A ≅ A ⊗ ℂ ≅ A die Identität

(3)  (ε ⊗ id)Δ = (id ⊗ ε)Δ = id.

Nach Definition galt:

(4)  Δ und ε sind Algebrenhomomorphismen .

G sei jetzt eine Untergruppe der SL(n, ℂ).

Für f ∈ A sei κ(f)(g) := f(g^{−1}), g ∈ G. Weil detg = 1 für g ≡ [a_{ij}] ∈ G, gilt g^{−1} = [p_{ij}(a_{11}, ..., a_{nn})] mit gewissen Polynomen p_{ij} ; somit ist κ(f_{ij}) = p_{ij}(f_{11}, ..., f_{nn}) ∈ A. Folglich ist κ eine lineare Abbildung von A in A. m bezeichnet die durch m(a ⊗ b) := ab definierte lineare Abbildung von A ⊗ A in A. Aus gg^{−1} = g^{−1}g = I für g ∈ G erhalten wir auf A die Identität

(5)  m(κ ⊗ id)Δ = m(id ⊗ κ)Δ = ε1.

Wir haben damit die Multiplikation der Halbgruppe bzw. Gruppe G und ihre Eigenschaften (Assoziativität, Eins, Inverses) mit Hilfe der Algebra A, den Abbildungen Δ, ε, κ und deren Eigenschaften (2) - (5)

ausgedrückt.

b.) Bialgebren und Hopfalgebren

Definition 1.1. A sei eine komplexe Algebra mit Eins. Wenn es Abbildungen Δ : A → A ⊗ A und ε : A → ℂ mit den Eigenschaften (2) - (4) gibt, dann ist A (genauer: das Tripel (A, Δ, ε) ) eine Bialgebra. Δ heißt dabei die Komultiplikation und ε die Koeins der Bialgebra.

Definition 1.2. (A, Δ, ε) sei eine Bialgebra. Wenn es eine lineare Abbildung κ : A → A gibt, so daß (5) gilt, dann ist A (genauer: das Quadrupel (A, Δ, ε, κ) ) eine Hopfalgebra. κ heißt Antipode der Hopfalgebra.

Die obigen Überlegungen zeigen damit: Wenn G ⊆ M_{n}(ℂ) Halbgruppe mit I ∈ G ist, dann ist K(G) eine Bialgebra. Für jede Untergruppe von SL(n, ℂ) ist K(G) eine Hopfalgebra.

Bemerkung: Noch etwas allgemeiner ist der Begriff der Koalgebra: Dies ist ein komplexer Vektorraum A mit Abbildungen Δ : A → A ⊗ A und ε : A → ℂ, für die (2) und (3) gelten.

Wir nennen einige allgemeine Fakten. (A, Δ, ε) sei dazu eine Bialgebra.

(i) Wenn A eine Antipode (d.h. eine lineare Abbildung κ : A → A, die (5) erfüllt) besitzt, dann ist diese eindeutig bestimmt.

(ii) Eine Antipode κ von A ist ein Antihomomorphismus der Algebra A, d.h. κ(1) = 1 und κ(ab) = κ(b)κ(a) für a, b ∈ A.

(iii) Wenn die Algebra A kommutativ ist (also im Beispiel K(G)), dann ist κ^{2} = id. Die Beispiele im nächsten Abschnitt zeigen, daß dies i.a. nicht der Fall ist.

(iv) Für Funktionale f_{1}, f_{2} ∈ A′ (A′ ist der Vektorraum der linearen Funktionale auf A) sei f_{1} ∗ f_{2} das durch (6) definierte Funktional aus A′ :

(6)  (f_{1} ∗ f_{2})(a) := (f_{1} ⊗ f_{2})Δa, a ∈ A.

Mit dem Produkt ” ∗ ” ist A′ eine Algebra.

Später benötigen wir auch noch folgende

Definition 1.3. Eine Hopf-∗-Algebra ist eine Hopfalgebra (A, Δ, ε, κ), die zugleich eine ∗-Algebra ist mit der Involution a → a^{∗} , wobei

Δ(a^{∗}) = Δ(a)^{∗}, ε(a^{∗}) = \overline{ε(a)}

und κ(κ(a)^{∗})^{∗} = a für alle a ∈ A gilt.

c.) Komoduln

Wie in a.) sei G wieder eine Halbgruppe in M_{n}(ℂ) mit I ∈ G. Wir wollen nun auch den Begriff der Darstellung mit Hilfe der Algebra A = K(G) formulieren. Dazu sei U eine Darstellung von G auf einem Vektorraum V , d.h. U ist Homomorphismus von G in L(V) mit U(I) = I. Wir setzen voraus, daß es eine Basis {v_{i}, i ∈ I} von V gibt, so daß die Matrixelemente von U bzgl. dieser Basis in K(G) liegen. D.h. es ist U(g)v = ∑_{i} φ_{i}(g; v)v_{i} mit komplexen Koeffizienten φ_{i}(g; v) , wobei φ_{i}(·; v) ∈ K(G) . Wir definieren eine lineare Abbildung [4]ϱ: V → V ⊗ A durch ϱ(v) := ∑_{i} v_{i} ⊗ φ_{i}(·; v), v ∈ V . Aus U(gg′) = U(g)U(g′) für g, g′ ∈ G erhält man auf V ⊗ A ⊗ A die Identität

(7)  (ϱ ⊗ id)ϱ = (id ⊗ Δ)ϱ.

Ebenso rechnet sich U(I) = I um zu

(8)  (id ⊗ ε)ϱ = id.

Diese Eigenschaften legen folgende Definition nahe.

Definition 1.4. Ein Rechtskomodul für eine Bialgebra (A, Δ, ε) ist ein Paar (V, ϱ), wobei V ein Vektorraum ist und ϱ : V → V ⊗ A eine lineare Abbildung, die (7) und (8) genügt.

Damit haben wir: Ist ϱ die oben mit Hilfe der Darstellung U definierte Abbildung, dann ist das Paar (V, ϱ) ein Rechtskomodul für K(G).

Beispiele von Quantenmatrixgruppen

q sei im folgenden stets eine von Null verschiedene feste komplexe Zahl. ℂ⟨x_{1}, …, x_{r}⟩ bezeichne die freie Algebra mit Eins von Erzeugenden x_{1}, …, x_{r} und (y_{1}, …, y_{s}) sei das von den Elementen y_{1}, …, y_{s} erzeugte zweiseitige Ideal.

a.) Die Quantenmatrixalgebra M_{q}(2)

Definition 2.1. M_{q}(2) := ℂ⟨a, b, c, d⟩/(ab−qba, ac−qca, cd−qdc, bd−qdb, bc− cb, ad − da − (q − q^{−1})bc).

Wir wollen im folgenden in der Bezeichnung nicht zwischen einem Element und seinem kanonischen Bild im Faktorraum unterscheiden. M_{q}(2) ist somit die freie Algebra mit Eins, die von Elementen a, b, c, d erzeugt wird, die den Relationen

(9) ab = qba, ac = qca, cd = qdc, bd = qdb, bc = cb, ad − da = (q − q^{−1})bc

genügen. Wir sehen M_{q}(2) als Polynomalgebra in den nichtkommutierenden ”Koordinaten” a, b, c, d einer Matrix

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

an. Für q = 1 ist M_{q}(2) die kommutative Polynomalgebra ℂ[a, b, c, d], also die Koordinatenalgebra von M(2, ℂ). Die Komultiplikation Δ wird -wie in (1)- mit Hilfe der üblichen Matrizenmultiplikation definiert:

Δa = a ⊗ a + b ⊗ c, Δb = a ⊗ b + b ⊗ d,

Δc = c ⊗ a + d ⊗ c, Δd = c ⊗ b + d ⊗ d.

Einfaches Nachrechnen ergibt: Die Elemente Δa, Δb, Δc, Δd erfüllen die Vertauschungsrelationen (9) wie die Elemente a, b, c, d. Daraus folgt unmittelbar, daß sich Δ eindeutig zu einem korrekt definierten Algebrenhomomorphismus von M_{q}(2) in M_{q}(2) ⊗ M_{q}(2) fortsetzen läßt. Analog zu (1) definiert man

εa = εc = 1, εb = εd = 0, und setzt ε zu einem Algebrenhomomorphismus von M_{q}(2) in ℂ fort. Man verifiniert leicht: M_{q}(2) wird eine Bialgebra, die Quantenmatrixalgebra M_{q}(2).

Nützlich ist häufig folgende Bezeichnung: Ist R ein Ring, dann sei M_{q}(2; R) die Menge aller Matrizen

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

wobei a, b, c, d ∈ R sind und die Relationen (9) erfüllen.

b.) Der Quantenraum ℂ_{q}^{2} als Rechtskomodul für M_{q}(2)

Definition 2.2. Wir setzen ℂ_{q}^{2} := ℂ⟨x, y⟩/(xy − qyx). Also ist ℂ_{q}^{2} die freie Algebra mit Eins, die von Elementen x, y erzeugt wird, für die xy = qyx gilt. Für q = 1 ist ℂ_{q}^{2} die kommutative Polynomalgebra ℂ[x, y], also die Koordinatenalgebra des Vektorraumes ℂ^{2} . Im allgemeinen Fall fassen wir ℂ_{q}^{2} als Quantenraum (genauer als dessen Koordinatenalgebra) auf.

Die auf den ersten Blick merkwürdige Struktur der Relationen (9) wird sofort klarer, wenn man—wie im klassischen Fall q = 1—fordert, daß M_{q}(2) auf ℂ_{q}^{2} wirken soll. Um das entsprechende Resultat zu formulieren, einige Voraussetzungen:

B sei eine Algebra, die Unteralgebren A und X enthält mit ax = xa für a ∈ A und x ∈ X. Es seien a, b, c, d ∈ A und x, y ∈ X. Aus a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{2}y^{2} = 0 mit a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ A folge stets a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0. Es sei xy = qyx und q^{2} ≠ −1.

(Diese Voraussetzungen sind z.B. erfüllt, wenn A = M_{q}(2), X = ℂ_{q}^{2} und B = A ⊗ X gesetzt wird.)

Wir definieren

( \begin{matrix}x′ \\ y′cr \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

und

( \begin{matrix}x′′ \\ y′′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Satz 2.1. (Kobyzev) x′y′ = qy′x′ und x′′y′′ = qy′′x′′ genau dann wenn a, b, c, d (7) erfüllen.

Beweis. x′y′ = qy′x′ ⇔ (ax + by)(cx + dy) = q(cx + dy)(ax + by) ⇔ (ac − qca)x^{2} + (bd − qdb)y^{2} + (ad + q^{−1}bc − qcb − da)xy = 0 ⇔

(10)  ac = qca, bd = qdb, ad − da = qcb − q^{−1}bc.

Analog erhält man

(11)  x′′y′′ = qy′′x′′ gdw. ab = qba, cd = qdc, ad − da = qbc − q^{−1}cb

Aus (9) bekommt man sofort (10) und (11) und damit x′y′ = qy′x′, x′′y′′ = qy′′x′′. Zur umgekehrten Richtung bemerken wir zunächst, daß aus den 3. Gleichungen in (10) und (11) (q + q^{−1})(cb − bc) = 0 und wegen q^{2} ≠ −1 auch bc = cb folgt. Damit reduzieren sich (10) und (11) auf (9).

Wir definieren nun die Komodulabbildung φ : ℂ_{q}^{2} → M_{q}(2) ⊗ ℂ_{q}^{2} (siehe Definition 1.4) wie die Wirkung der Matrix

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) auf den Vektor ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

durch

φ(x) = a ⊗ x + b ⊗ y, φ(y) = c ⊗ x + d ⊗ q.

Aus Satz 1 folgt sofort φ(x)φ(y) = qφ(y)φ(x), d.h. φ läßt sich eindeutig zu einem Algebrenhomomorphismus von ℂ_{q}^{2} in M_{q}(2) ⊗ ℂ_{q}^{2} fortsetzen. Man verifiziert leicht den Satz 2.2. (ℂ_{q}^{2}, φ) ist ein Rechtskomodul für die Bialgebra M_{q}(2).

c.) SL_{q}(2)

Definition 2.2. R sei ein Ring und

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{q}(2; R).

Das Element

Det_{q} | \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | := ad − q^{−1}bc

von R heißt Quantendeterminante der Matrix

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .

Die Quantendeterminante hat einige interessante Eigenschaften:

(i) Sie kommutiert stets mit den Elementen a, b, c, d.

(ii) Für 2 Matrizen aus M_{q}(2; R), deren Elemente paarweise miteinander kommutieren, ist die Quantendeterminante des Produkts (dies liegt auch wieder in M_{q}(2; R)) gleich dem Produkt der Quantendeterminanten.

(iii) Es gilt

(12)  ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}d & −qb \\ −q^{1}c & a \end{matrix} ) = Det_{q} |( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )| ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Definition 2.3. SL_{q}(2) := M_{q}(2)/(ad − q^{−1}bc − 1)

Die in 2,a.) erklärten Abbildungen Δ und ε lassen sich eindeutig zu korrekt definierten Algebrenhomomorphismen von SL_{q}(2) in SL_{q}(2) ⊗ SL_{q}(2) bzw. von SL_{q}(2) in ℂ fortsetzen. (Für Δ wird (ii) benutzt.) Durch (12) motiviert, definieren wir

κ(a) = d, κ(b) = −qb, κ(c) = −q^{−1}c, κ(d) = a. und setzen κ zu einem Antihomomorphismus der SL_{q}(2) fort.

Damit wird SL_{q}(2) eine Hopfalgebra.

d.) SU_{q}(2)

Klassisch ist

SU(2) = \{( \begin{matrix}a & −\overline{c} \\ c & \overline{a} \end{matrix} ) ∈ SL(2, C)\} .

Wir denken uns SU_{q}(2) als Matrizen der Form

( \begin{matrix}a & −qc^{∗} \\ c & a^{∗} \end{matrix} ) aus M_{q}(2).

Genauer: Sei q ∈ ℝ. Wir definieren

(13)  a^{∗} = d, b^{∗} = −qc, c^{∗} = −q^{−1}b, d^{∗} = a.

Man kann zeigen: (13) läßt sich zu einer korrekt definierten Involution auf der Algebra SL_{q}(2) erweitern. Versehen mit dieser Involution wird die Hopfalgebra SL_{q}(2) zu einer Hopf-∗-Algebra; diese nennen wir SU_{q}(2). Etwas umformuliert ergibt sich: Die ∗-Algebra SU_{q}(2) wird von Elementen a und c erzeugt, die folgenden Relationen genügen:

(14)  a^{∗}a + c^{∗}c = 1, aa^{∗} + q^{2}c^{∗}c = 1, ac^{∗} = qc^{∗}a, ac = qca, cc^{∗} = c^{∗}c.

e.) Zwei weitere ∗-Algebren

In b.) hatten wir ℂ_{q}^{2} := ℂ⟨x, y⟩/(xy − qyx) definiert. Sei zunächst | q |= 1. Dann kann man durch x^{∗} = x, y^{∗} = y eine Involution auf ℂ_{q}^{2} erklären, mit der ℂ_{q}^{2} eine ∗-Algebra wird. Wir bezeichnen diese mit ℝ_{q}^{2} und fassen sie als Quantenanalogon des ℝ^{2} auf. Denn für q = 1 ist ℝ_{q}^{2} die Polynomalgebra in 2 hermitischen kommutierenden Unbestimmten x und y, also die Koordinatenalgebra des ℝ^{2} .

Sei jetzt q ∈ ℝ. Durch x^{∗} := y, y^{∗} := x erhält man eine korrekt definierte Involution auf ℂ_{q}^{2} . Die Algebra ℂ_{q}^{2} wird damit eine ∗-Algebra, die wir mit ℂ_{q} bezeichnen und als Quantenversion der komplexen Zahlenebene ansehen wollen. Für q = 1 ist nämlich ℂ_{q} der Polynomalgebra in einer komplexen Variablen ∗-isomorph (x ↦ z und x^{∗} = y ↦ \overline{z}).

C*-Algebren kompakter Quantenmatrixgruppen

In den beiden vorangegangenen Abschnitten wurden die Quantengruppen bisher lediglich algebraisch behandelt. Beim Aufbau einer Lie-Theorie auf Matrixgruppen sind aber gerade analytische Methoden (Integration, Differentialrechnung auf Liegruppen, Darstellungstheorie) erforderlich. Der von Woronowicz entwickelte C*-Zugang scheint dafür am besten geeignet zu sein. Im Falle einer kompakten Matrixgruppe G wäre dabei die (kommutative) Algebra der stetigen Funktionen auf G die zugrundeliegende C*-Algebra. Als typisches Beispiel einer ,,echten” Quantengruppe können wir uns immer die SU_{q}(2) vorstellen.

a.) Die C*-Algebra der SU_{q}(2)

Es sei hier q ∈ [−1, 1]. Nach Definition war A := SU_{q}(2) die in 2.d.) eingeführte Hopf-∗-Algebra. Als ∗-Algebra wird A von Elementen erzeugt, die die Relationen (14) erfüllen.

Wir wollen die ∗-Algebra A durch Operatoren im Hilbertraum darstellen. Zunächst seien a und c Operatoren, die auf einem dichten Teilraum D eines Hilbertraumes H definiert sind mit aD ⊆ D, cD ⊆ D, a^{∗}D ⊆ D, c^{∗}D ⊆ D, und für die (14) gilt. Für φ ∈ D haben wir ∥ aφ ∥^{2} + ∥ cφ ∥^{2}= ⟨(a^{∗}a + c^{∗}c)φ, φ⟩ = ⟨1φ, φ⟩; also ist ∥ a ∥≤ 1 und ∥ c ∥≤ 1.

Daraus folgt: Bei jeder ∗-Darstellung Π der ∗-Algebra A ist für x ∈ A der Operator Π(x) beschränkt und ∥ Π(x) ∥≤ C_{x} mit einer nur von x, nicht aber von Π abhängigen Konstanten C_{x}. Damit definiert ∥ x ∥_{0}:= sup ∥ Π(x) ∥, x ∈ A, eine C*-Halbnorm auf der ∗-Algebra A. Um zu zeigen, daß ∥ . ∥_{0} eine Norm ist, reicht es aus, eine treue ∗-Darstellung Π von A zu finden. Eine solche ergibt sich für | q |< 1 (für q = ±1 sind Modifikationen nötig) im Hilbertraum H mit VNOS {e_{nk}; n ∈ N_{o}, k ∈ Z} durch die Wirkungen Π(a)e_{nk} := \sqrt{1 − q^{2n}}e_{n−1,k} und Π(c)e_{nk} = q^{n}e_{n,k+1} . Also ist ∥ . ∥_{0} eine C*-Norm auf A. Sei A die C*-Algebra, die man als Vervollständigung von (A, ∥ . ∥_{0}) erhält. Wir haben damit eine C*-Algebra A, die universell für die Relationen (14) ist: Sind ã und c̃ Operatoren in einem Hilbertraum H, die (14) erfüllen, dann gibt es (genau) eine ∗-Darstellung Π von A mit Π(a) = ã und Π(c) = c̃.

Wir wollen jetzt die Komultiplikation Δ von A auf ganz A erweitern. Dazu realisieren wir die C*-Algebra A als Operatorenalgebra in einem Hilbertraum K. Dann sind Δa = a ⊗ a + b ⊗ c = a ⊗ a + (−qc^{∗}) ⊗ c und Δc = c ⊗ a + d ⊗ c = c ⊗ a + a^{∗} ⊗ c beschränkte Operatoren auf K ⊗ K, die auch (14) erfüllen. Also existiert wegen der universellen Eigenschaft von A eine ∗- Darstellung Δ̃ von A auf K ⊗ K mit Δ̃(a) = Δa und Δ̃(c) = Δc. Da natürlich Δ̃(A) = Δ(A) ⊆ A ⊗ A, folgt aus der Stetigkeit von Δ̃, daß Δ̃(A) ⊆ Aˆ⊗A, wobei ” ˆ⊗” die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts A ⊗ A in der Operatorennorm von K ⊗ K ist. Wir schreiben jetzt wieder Δ statt Δ̃. Δ ist dann ∗-Homomorphismus von A in Aˆ⊗A.

Bemerkungen: 1. Die C*-Algebra Aˆ⊗A ist in Wirklichkeit nicht von der speziellen Realisierung von A auf K abhängig, denn man kann zeigen, daß A eine nukleare C*-Algebra ist, also nur eine mögliche C*-Norm auf A ⊗ A existiert.

2. Für verschiedene Zahlen q ∈ (−1, 1) sind die zugehörigen C*-Algebren A isomorph (als C*-Algebren, nicht aber als Hopfalgebren). In der Theorie klassischer Liegruppen bedeutet dies aber nur, daß die zugrundeliegenden topologischen Räume homöomorph sind; es bedeutet nicht, daß die entsprechenden Liegruppen isomorph sind.

b) C*-Algebren kompakter Quantenmatrixgruppen

Wir geben zuerst folgende abstrakte Definition nach Woronowicz.

Definition 3.1. A sei eine C*-Algebra und u = (u_{rs})_{r,s=1,...,n} eine n × n-Matrix von Elementen u_{rs} aus A. Das Paar (A, a) heißt kompakte Quantenmatrixgruppe, wenn folgendes gilt:

(i) Die von den Elementen 1 und u_{rs}, r, s = 1, …, n, erzeugte ∗-Unter-algebra A von A ist dicht in A.

(ii) Es gibt einen ∗-Homomorphismus Δ : A → Aˆ⊗A (Aˆ⊗A ist die Vervollständigung von A ⊗ A in einer C*-Norm) mit

(15)  Δu_{rs} = ∑_{j=1}^{n} u_{rj} ⊗ u_{js}, r, s = 1, …, n.

(iii) Es gibt einen Antihomomorphismus der Algebra A in A mit

(16)  ∑_{j=1}^{n} κ(u_{rj})u_{js} = ∑_{j=1}^{n} u_{rj}κ(u_{js}) = δ_{rs} · 1, r, s = 1, …, n

und κ(κ(x)^{∗})^{∗} = x für alle x ∈ A.

Zunächst einige erläuternde Bemerkungen zu dieser Definition.

1. (A, a) sei eine kompakte Quantenmatrixgruppe im Sinne von Definition 3.1. Wir definieren einen ∗-Homomorphismus ε : A → ℂ durch ε(u_{rs}) = δ_{rs}, r, s = 1, …, n; da u_{rs} und 1 die ∗-Algebra A erzeugen, ist dies möglich. Dann verifiziert man leicht, daß -rein algebraisch - (A, Δ, ε, κ) eine Hopf-∗- Algebra nach Definition 1.3. ist.

2. Die Eigenschaft (15) von Δ entspricht der Matrixmultiplikation. (16) drückt aus, daß die Matrix u = (u_{rs}) in der Matrixalgebra M_{n}(A) das Inverse (κ(u_{rs})) besitzt.

3. In Definition 3.1. wurde die C*-Algebra A vorgegeben und in ihr die Hopf-∗-Algebra A gefordert. In konkreten Fällen hat man aber zuerst die Hopfalgebra oder Hopf-∗-Algebra A vorgegeben (etwa aus dem Abschnitt 2) und man muß die entsprechende C*-Algebra A, in der A nach (i) dicht liegen soll, erst konstruieren und dann Δ auf A erweitern.

Beispiel 3.1. SU_{q}(2)

Sei A die C*-Algebra der SU_{q}(2) aus a.) und u = (u_{rs}) die 2×2-Matrix mit u_{11} = a, u_{12} = −qc^{∗}, u_{21} = c, u_{22} = a^{∗}. Alle Forderungen von Definition 3.1. sind nach a.) erfüllt, also ist (A, u) eine kompakte Quantenmatrixgruppe. Außer im Fall q = 1 (der der klassischen Gruppe SU(2) entspricht) ist sie nicht kommutativ.

Beispiel 3.2. Kompakte Matrixgruppen

G sei eine kompakte Liegruppe enthalten in M_{n}(ℂ). A sei die kommutative C*-Algebra C(G) der stetigen Funktionen auf G, und u = (u_{rs})_{r,s=1,...,n} sei die Matrix der Funktionen u_{rs} ∈ C(G), wobei u_{rs}(g) := a_{rs} für g = (a_{ij}) ∈ G ist (man vergleiche Beispiel 1.2.). (A, u) ist dann eine kompakte Quantenmatrixgruppe. Daß die von u_{rs} und 1 erzeugte ∗-Unteralgebra A dicht in C(G) liegt, folgt sofort aus dem Stone-Weierstraß Theorem. Da C(G × G) ≅ C(G)ˆ⊗C(G), ist durch (Δf)(g, g′) := f(g · g′) ein ∗-Homomorphismus Δ von A in Aˆ⊗A gegeben. (15) gilt dabei nach (1). Im Falle G ⊆ U_{n}(ℂ) ist κ(u_{rs}) = \overline{u_{sr}} ∈ A, woraus sofort Bedingung (iii) in Definition 3.1. folgt; im allgemeinen Fall gilt (iii) auch.

Die C*-Algebra A in diesem Beispiel ist kommutativ. Man kann zeigen, daß jede kompakte Quantenmatrixgruppe mit kommutativer C*-Algebra von der eben beschriebenen Form ist. c.) Das Haarfunktional für kompakte Quantenmatrixgruppen

Ein zentrales Resultat der Theorie kompakter Quantenmatrixgruppen ist folgendes Theorem von Woronowicz.

Theorem 3.1. (A, u) sei eine kompakte Quantenmatrixgruppe. Es gibt einen eindeutig bestimmten Zustand h auf der C*-Algebra A mit der Eigenschaft, daß

(17)  (h ⊗ id)Δx = (id ⊗ h)Δx = h(x)1 füralle x ∈ A.

h ist treu auf A (d.h. aus h(x^{+}x) = 0 und x ∈ A folgt x = 0 ), und es gilt h(κ(x)) = h(x) für x ∈ A.

Den Zustand h aus Theorem 3.1. nennt man das Haarfunktional für die kompakten Quantenmatrixgruppen (A, u), denn h verallgemeinert das Haarmaß wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel 3.2. (Fortsetzung)

h sei ein Zustand auf der C*-Algebra A = C(G). Nach dem Riesz-Markov Theorem wird h durch ein positives Borelmaß μ auf G gegeben: h(f) = ∫ f dμ für f ∈ C(G). Für f ∈ C(G) und g_{1}, g_{2} ∈ G haben wir

(h ⊗ id)Δf = (h ⊗ id)f(g_{1}, g_{2}) = ∫ f(g_{1}, g_{2})dμ(g_{1}),

(id ⊗ h)Δf = (id ⊗ h)f(g_{1}g_{2}) = ∫ f(g_{1}g_{2})dμ(g_{2})

und h(f)1 = ∫ f(g) dμ(g). Folglich ist (17) erfüllt genau dann, wenn μ links- und rechtsinvariant, also das Haarmaß von G ist. Die Eigenschaft h(κ(x)) = h(x) in Theorem 3.1. besagt in unserem Falle gerade ∫ f(g) dμ(g) = ∫ f(g^{−1}) dμ(g).

Beispiel 3.1. (Fortsetzung)

Sei q ∈ (−1, 1), q ≠ 0. Das Haarfunktional h kann man explizit angeben. Man kann zeigen, daß die Elemente a^{k}c^{r}c^{∗s} und a^{∗j}c^{r}c^{∗s}, wobei k, r, s ∈ N_{o} und j ∈ N sind, eine Vektorraumbasis für A bilden. Da A dicht in A und h stetig ist, reicht es aus, h für diese Basiselemente anzugeben: Es ist

h(c^{r}c^{∗r}) = \frac{1 − q^{2}}{1 − q^{2r+2}}

für r ∈ N_{0} . Für die übrigen Basiselemente ist h gleich Null. Unter Verwendung der Vertauschungsrelationen (14) kann man hier die Gleichung (17) für Basiselemente x direkt nachrechnen.

Darstellungstheorie kompakter Quantenmatrixgruppen

In diesem Abschnitt sei (A, u) stets eine kompakte Quantenmatrixgruppe im Sinne von Definition 3.1. Auch die Symbole A, u_{ij}, Δ, ε und κ seien fest. Wir betrachten nur Darstellungen in endlichdimensionalen Vektorräumen. Die im folgenden auftretenden Vektorräume V, V_{1}, V_{2} etc. sind stets endlichdimensional und komplex.

a.) Zum Begriff der Darstellung

Definition 4.1. Eine Darstellung von (A, u) auf einem (endlichdimensionalen) Vektorraum V ist eine lineare Abbildung ϱ : V → V ⊗ A mit (id ⊗ Δ)ϱ = (ϱ ⊗ id)ϱ.

Bemerkungen: 1. Wir lassen hier auch ,,entartete” Darstellungen zu, d. h. solche mit ϱ(v) = 0 für v ≠ 0.

2. Bei Woronowicz [8] ist der Darstellungsbegriff noch etwas allgemeiner: Es sind lineare Abbildungen ϱ : V → V ⊗ A mit (id ⊗ Δ)ϱ = (ϱ ⊗ id)ϱ. Darstellungen ϱ : V → V ⊗ A heißen bei ihm glatt.

Wir geben jetzt einige Umformulierungen des Darstellungsbegriffes. Zunächst bemerken wir, daß die Vektorräume L(V, V ⊗A) und L(V)⊗A

kanonisch isomorph sind vermöge folgender Korrespondenz ϱ̃ ↔ ϱ: Für ϱ = ∑_{k} T_{k} ⊗ a_{k} ∈ L(V) ⊗ A, wobei T_{k} ∈ L(V) und a_{k} ∈ A, sei ϱ̃ ∈ L(V, V ⊗ A) durch ϱ̃v := ∑_{k} T_{k}v ⊗ a_{k}, v ∈ V , erklärt.

Man rechnet sofort um, daß für ϱ̃ = ∑ T_{k}⊗a_{k} ∈ L(V)⊗A die Abbildung ϱ : V → V ⊗ A genau dann eine Darstellung von (A, u) ist wenn gilt

(18)  ∑_{k} T_{k} ⊗ Δ(a_{k}) = ∑_{k,l} T_{k}T_{l} ⊗ a_{k} ⊗ a_{l}.

Wir fixieren jetzt eine Basis von V und bezeichnen mit m_{ij} die entsprechende (i, j)-te Matrixeins aus L(V). D.h. m_{ij} ist die Abbildung aus L(V), die in Matrixdarstellung bezüglich dieser Basis eine 1 hat am Schnittpunkt der i-ten Zeile und j-ten Spalte und sonst nur Nullen. Schreiben wir jetzt ϱ ∈ L(V) ⊗ A in der Form

(19)  ϱ = ∑_{i,j=1}^{d} m_{ij} ⊗ a_{ij},

d = dim V , dann sind die Elemente a_{ij} ∈ A durch ϱ eindeutig bestimmt. Nach (18) ist ϱ Darstellung genau dann wenn

(20)  Δ(a_{ij}) = ∑_{k=1}^{d} a_{ik} ⊗ a_{ki} für i, j = 1, …, d.

Die Elemente a_{ij} ∈ A heißen dann - in Analogie zum klassischen Begriff - Matrixelemente der Darstellung ϱ. Die Bestimmung von Darstellungen ist also gleichbedeutend mit der Bestimmung von Matrizen (a_{ij}) ∈ M_{d}(A), die (20) erfüllen. Wegen (15) erhält man z.B.eine Darstellung in V = ℂ^{n}, wenn man d = n und a_{ij} = u_{ij} setzt. Diese Darstellung nennt man die Fundamentaldarstellung von (A, u).

Sei wieder ϱ ∈ L(V) ⊗ A. Für f ∈ A′ sei ϱ_{f} := (id ⊗ f)ϱ. Es ist klar, daß ϱ_{f} ∈ L(V). Eine kurze Rechnung (basierend auf der Charakterisierung (18)) zeigt, daß ϱ eine Darstellung ist genau dann wenn

(21)  ϱ_{f_{1}∗f_{2}} = ϱ_{f_{1}}ϱ_{f_{2}} für f_{1}, f_{2} ∈ A.

Dabei ist f_{1} ∗ f_{2} das durch (6) definierte Produkt der Funktionale f_{1}, f_{2} , d. h. (f_{1} ∗ f_{2})(a) = (f_{1} ⊗ f_{2})Δa, a ∈ A. Illustrieren wir die eben gegebene Charakterisierung einer Darstellung am

Beispiel 1.2. (Fortsetzung)

Es ist hier A = K(G). Für g ∈ G sei F_{g} die Punktevolution an g, d.h. F_{g}(a) = a(g) für a ∈ A. Für ϱ ∈ L(V) ⊗ A setzen wir U(g) := ϱ_{F g}. Weil offenbar F_{g_{1}} ∗ F_{g_{2}} = F_{g_{1}g_{2}} in A′ ist, bedeutet (21) für f_{1} = F_{g_{1}}, f_{2} = F_{g_{2}} gerade, daß U(g_{1} · g_{2}) = U(g_{1})U(g_{2}) für g_{1}, g_{2} ∈ G gilt, also g → U(g) ein Homomorphismus von G in L(V) ist.

b.) Nichtentartete Darstellungen

Wie im klassischen Fall nennt man eine Darstellung ϱ : V → V ⊗ A nichtentartet, wenn ϱ(v) = 0 für v ∈ v nur für v = 0 möglich ist. Es gilt nun

Satz 4.1. Für eine Darstellung ϱ : V → V ⊗ A sind äquivalent:

(i) ϱ ist nichtentartet. (ii) ϱ_{ε} = I auf V ⊗ ℂ ≅ V. (iii) ϱ̃ ist in L(V) ⊗ A invertierbar.

Zusammen mit der Relation (id ⊗ Δ)ϱ = (ϱ ⊗ id)ϱ für die Darstellung ϱ besagt Bedingung (ii), daß (V, ϱ) ein Rechtskomodul für A ist. Die nichtentarteten Darstellungen von (A, u) sind also genau die Rechtskomodule der Hopfalgebra A nach Definition 1.4.

Ist die Darstellung ϱ im obigen Beispiel unter a.) nicht entartet, dann ist die dortige Abbildung U ein stetiger Homomorphismus von G in GL(V), also eine Darstellung der Liegruppe G. (Die Stetigkeit von U folgt aus der Stetigkeit der Funktionen aus A auf G.)

c.) Der Intertwining-Raum zweier Darstellungen

ϱ_{1} und ϱ_{2} seien Darstellungen von (A, u) auf V_{1} bzw. V_{2} .

Definition 4.2. Der Intertwining-Raum Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}) ist die Menge aller linearen Abbildungen φ : V_{1} → V_{2} , für die ϱ_{2}φ = (φ ⊗ id)ϱ_{1} ist.

Eine nützliche Charakterisierung von Mor(φ_{1}, φ_{2}) gibt

Satz 4.2. Für eine lineare Abbildung φ : V_{1} → V_{2} sind äquivalent: (i) φ ∈ Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}). (ii) (φ ⊗ id)ϱ̃_{1} = ϱ̃_{2}(φ ⊗ id). (iii) φ(ϱ_{1})_{f} = (ϱ_{2})_{f}φ für alle f ∈ A′. d.) Einige Standardbegriffe der Darstellungstheorie

Begriffe wie invarianter Teilraum, Unterdarstellung, Irreduzibität und Äquivalenz von Darstellungen überträgt man sofort aus der Darstellungstheorie von Gruppen. Eine Darstellung ϱ auf V heißt irreduzibel, wenn es außer {0} und V keinen linearen Teilraum V_{1} von V mit ϱ(V_{1}) ⊆ V_{1} ⊗ A gibt. Zwei Darstellungen ϱ_{1} und ϱ_{2} heißen äquivalent, wenn Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}) ein invertierbares Element enthält. Man schreibt dann ϱ_{1} ≅ ϱ_{2} . Aus Satz 4.2. folgt sofort, daß ,, ≅” eine Äquivalenzrelation ist. Völlig analog zum klassischen Fall haben wir

Satz 4.3. ϱ_{1} und ϱ_{2} seien irreduzible Darstellungen.

(i) Wenn ϱ_{1} ≅ ϱ̸_{2} , dann Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}) = {0}.

(ii) Wenn ϱ_{1} ≅ ϱ_{2} , dann Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}) = ℂ · T für ein invertierbares T ∈ Mor(ϱ_{1}, ϱ_{2}). Insbesondere, Mor(ϱ_{1}, ϱ_{1}) = ℂ · I.

Wir definieren jetzt das Tensorprodukt zweier Darstellungen ϱ_{1} und ϱ_{2} auf V_{1} bzw. V_{2} . Sei etwa ϱ̃_{1} = ∑_{k} T_{k} ⊗ a_{k} ∈ L(V_{1}) ⊗ A und ϱ̃_{2} = ∑_{l} S_{l} ⊗ b_{l} ∈ L(V_{2}) ⊗ A. Mit Hilfe von (19) rechnet man sofort nach, daß die Abbildung ϱ̃ = ∑_{k,l} T_{k} ⊗ S_{l} ⊗ a_{k}b_{l} aus L(V_{1} ⊗ V_{2}) ⊗ A eine Darstellung von (A, u) auf dem Vektorraum V_{1} ⊗ V_{2} definiert. Wir bezeichnen diese mit ϱ_{1} ⊗ ϱ_{2} und nennen sie das Tensorprodukt von ϱ_{1} und ϱ_{2} .

Für zwei Darstellungen U_{1} und U_{2} einer Gruppe ist das Tensorprodukt der Darstellungen kommutativ in dem Sinne, daß der Flipoperator σ : V_{1} ⊗V_{2} → V_{2} ⊗ V_{1} eine Äquivalenz der Darstellung en U_{1} ⊗ U_{2} und U_{2} ⊗ U_{1} bewirkt. Diese Eigenschaft gilt hier für beliebige Darstellungen nur noch, wenn die C*-Algebra A kommutativ ist, d.h. wenn A = C(G) für eine kompakte Gruppe in M_{n}(ℂ) ist (Beispiel 3.2.). Dies ist eigentlich auch zu erwarten, denn bei der Definition von ϱ_{1} ⊗ϱ_{2} steht in ϱ̃ der Term a_{k}b_{l}, während bei ϱ_{2} ⊗ϱ_{1} der Term b_{l}a_{k} vorkommt.

Grundlegend sind auch die Begriffe kontragrediente Darstellung und unitäre Darstellung.

ϱ sei Darstellung von (A, a) auf V mit ϱ̃ = ∑ T_{n} ⊗ a_{n} ∈ L(V) ⊗ A. Wir bezeichnen mit V′ den Vektorraum aller linearen Funktionale auf V , mit ⟨v′, v⟩ den Wert von v′ ∈ V′ an v ∈ V und mit T^{t} die zu T ∈ L(V) durch ⟨T^{t}v′, v⟩ := ⟨v′, T v⟩ definierte lineare Abbildung auf V′. Man verifiziert sofort, daß das Element ∑_{n} T_{n}^{t} ⊗ κ(a_{n}) von L(V′) ⊗ A auch wieder (19) erfüllt, also eine Darstellung von (A, u) definiert. Wir bezeichnen s ie mit ϱ^{c} und nennen sie die zu ϱ kontragrediente Darstellung. Symbolisch ist also ϱ̃^{c} = (t ⊗ κ)ϱ̃. Da ϱ̃^{cc} = (id ⊗ κ^{2})ϱ̃ und i.a. κ^{2} ≠ id ist, haben wir ϱ^{cc} ≠ ϱ i.a. Wenn ϱ nicht entartet ist, gilt aber wenigstens ϱ^{cc} ≅ ϱ.

Eine Darstellung ϱ von (A, u) auf einem endlichdimensionalen Hilbertraum V heißt unitär wenn ϱ̃ ein unitäres Element der ∗-Algebra L(V) ⊗ A ist, d.h. es gibt ϱ̃ϱ^{∗} = ϱ^{∗}ϱ̃ = I_{V} ⊗ 1 in L(V) ⊗ A. Wie im klassischen Fall erhält man mit Hilfe des Haarfunktionals folgenden

Satz 4.4. Jede nichtentartete Darstellung von (A, u) ist äquivalent zu einer unitären Darstellung.

e.) Invariante Elemente und Funktionale

ϱ sei eine Darstellung von (A, u) auf V . Ein Vektor v ∈ V heißt ϱinvariant wenn ϱ(v) = v ⊗ 1 ist. Ein Funktional f ∈ A′ nennt man ϱ-invariant wenn v′(ϱ_{f}) = f(1)v′ für alle v′ ∈ V ist.

Analog zu kompakten Gruppen erhält man mit Hilfe des Haarfunktionals h von (A, u) eine Projektion auf die ϱ-invarianten Elemente.

Satz 4.5. ϱ_{h} ≡ (id ⊗ h)ϱ̃ ist ein Projektor auf den Vektorraum V_{inv} der ϱ-invarianten Elemente von V . Es ist ϱ_{h} ∈ Mor(ϱ, ϱ).

Um die Anwendung des Haarfunktionals zu illustrieren, geben wir den kurzen Beweis des Satzes 4.5.:

Aus der Eigenschaft (17) des Haarfunktionals h erhalten wir für f ∈ A′ [4](f ∗h)(x) = (f ⊗h)Δx = (f ⊗id)(id⊗h)Δx = (f ⊗id)(1⊗h(x)) = h(x)f(1), x ∈ A, also f ∗ h = f(1)h. Nach (21) ist damit

(22)  ϱ_{f}ϱ_{h} = ϱ_{f∗h} = f(1)ϱ_{h}.

Analog ergibt sich ϱ_{h}ϱ_{f} = f(1)ϱ_{h}. Also ist ϱ_{h} ∈ Mor(ϱ, ϱ) nach Satz 4.2. Setzt man f = h in (22), so folgt ϱ_{h} · ϱ_{h} = ϱ_{h}; also ist ϱ_{h} ein Projektor.

Sei v ∈ ϱ_{h}(V). Dann ist (id ⊗ f)ϱ(v) = ϱ_{f}v = ϱ_{f} · ϱ_{h}v = f(1)ϱ_{h}v = f(1)v = (id⊗f)(v⊗1) für f ∈ A′. Damit gilt ϱ(v) = v⊗1. Umgekehrt folgt aus ϱ(v) = v ⊗ 1 natürlich ϱ_{h}v = v, d.h. v ∈ ϱ_{h}(v). D. h. wir haben ϱ_{h}(V) = V_{inv}.

f.) Harmonische Analyse auf kompakten Quantenmatrixgruppen

Ĝ bezeichnet die Menge aller Äquivalenzklassen von irreduziblen Darstellungen von (A, u). Für jedes α ∈ Ĝ wählen wir eine Darstellung ϱ_{α} aus α ,V_{α} sei der Darstellungsraum von ϱ_{α} und d_{α} seine Dimension. Nach Satz 4.4 können wir o. B. d. A. annehmen, daß V_{α} ein endlichdimensionaler Hilbertraum ist und daß ϱ_{α} unitär ist. Wir wählen eine Orthobasis in V_{α} und schreiben ϱ_{α} in der Form (19) mit Matrixeinsen m_{ij} bezüglich dieser Basis:

ϱ_{α} = ∑_{i,j=1}^{d_{α}} m_{ij} ⊗ a_{ij}^{α}

Im klassischen Fall (A = C(G), G kompakte Matrixgruppe) ist die Menge {d_{α}^{−1/2}a_{ij}^{α}; α ∈ Ĝ, i, j = 1, …, d_{α}} eine Orthonormalbasis in L^{2}(G). Im allgemeinen Fall gilt zumindest das

Theorem 4.1. (i) Die Menge {a_{ij}^{α}; α ∈ Ĝ, i, j = 1, …, d_{α}} ist eine Vektorraumbasis für A.

(ii) Es gibt (eindeutig bestimmte) Charaktere f_{1} und f_{−1} (d.h. multiplikative lineare Funktionale f_{j} ≢ 0, j = 1, −1) der Algebra A, so daß

(23)  h(a_{ij}^{α}(a_{kl}^{β})^{∗}) = \frac{1}{M_{α}} δ_{αβ}δ_{ik}f_{1}(a_{lj}^{α})

und

(24)  h((a_{ji}^{α})^{∗}a_{lk}^{β}) = \frac{1}{M_{α}} δ_{αβ}δ_{ik}f_{−1}(a_{lj}^{α}).

für α, β ∈ Ĝ, i, j, k, l = 1, …, d_{α}, wobei M_{α} = f_{1}(∑_{i=1}^{dα} a_{ii}^{α}) ist. Weiter gilt f_{1}(a^{∗}) = \overline{f_{−1}(a)} für a ∈ A.

Die Gleichungen (23) und (24) verallgemeinern also die Schurschen Orthogonalitätsrelationen für kompakte Gruppen. Für SU_{q}(2) ist der Charakter f_{1} sogar explizit angebbar: f_{1}(a) = q^{−1} , f_{1}(a^{∗}) = q, f_{1}(c) = f_{1}(c^{∗}) = 0.

Einige Worte zum Beweisgang der Relationen (23) und (24).

Zunächst sei α ≠ β. Dann ist Mor(ϱ_{α}, ϱ_{β}) = {0} (Satz 4.3.,(i)). Daraus folgert man, daß jedes invariante Element für ϱ_{α} ⊗ ϱ_{β}^{c} Null ist; also ist die Projektion (ϱ_{α} ⊗ ϱ_{β}^{c})_{h} (Satz 4.5.) auf die invarianten Elemente Null.

Sei jetzt α = β. Man zeigt, daß ϱ_{α} ≅ ϱ_{α}^{cc} ; also ist Mor(ϱ_{α}, ϱ_{α}^{cc}) = ℂ·T_{α}. Es ist natürlich Mor(ϱ_{α}, ϱ_{α}) = ℂ · I_{V_{α}}. Man zeigt, daß Mor(ϱ_{α}, ϱ_{α}^{cc})—bei geeigneter Identifikation von L(V_{α}, V_{α}) und (V_{α} ⊗ V′_{α})′ —genau die invarianten Funktionale für ϱ_{α} ⊗ ϱ_{α}^{c} sind. Ebenso entspricht Mor(ϱ_{α}, ϱ_{α}) den invarianten Elementen für ϱ_{α} ⊗ ϱ_{α}^{c}. Ausrechnen der Projektion auf die invarianten Elemente führt zu (ϱ_{α} ⊗ ϱ_{α}^{c})_{h}z = \frac{Tr T_{α}z}{Tr T_{α}} I_{V_{α}}. Setzt man für z die Matrixeins m_{lj} ∈ L(V_{α}) ein und rechnet die Spuren aus (M_{α} = Tr T_{α}, f_{1}(a_{lj}^{α}) = Tr T_{α}m_{lj}), so erhält man (23).

Die Orthogonalitätsrelationen der Matrixelemente gelten also nur noch in der durch das Auftauchen von f_{1} modifizierten Form. Mathematisch ist die Ursache darin zu suchen, daß das Haarfunktional h nicht mehr zentral ist, d.h. es ist i.a. h(ab) ≠ h(ba). Das Funktional f_{1} beschreibt sogar das Abweichen von der Zentralität von h: es gilt nämlich h(ab) = h(bη(a)) für a, b ∈ A, wobei η(a) das Element (id ⊗ f)Δ(f ⊗ id)Δa von A ist. (Im Falle einer gewöhnlichen kompakten Matrixgruppe haben wir (ϱ^{α})^{cc} = ϱ^{α}, daher F_{α} = I, f_{1}(a_{ij}^{α}) = δ_{ij} und f_{1} = ε, woraus man η(a) = a erhält.) Im oben skizzierten Beweis kommt das Abweichen vom Gruppenfall daher, daß ϱ_{α} und ϱ_{α}^{cc} = (id⊗κ^{2})ϱ̃ zwar äquivalent, aber wegen κ^{2} ≠ id i.a. nicht gleich sind. Daher ist Mor(ϱ_{α}, ϱ_{α}^{cc}) = ℂ·T_{α}, wobei i.a. T_{α} ≠ I ist.

g.) Charaktere

Definition 4.3. ϱ sei eine Darstellung von (A, u). Das Element χ_{ϱ} := (T r ⊗ id)ϱ̃ von A heißt der Charakter von ϱ.

Ist ϱ in der Form (19), dann ist natürlich χ_{ϱ} = ∑_{i=1}^{d} a_{ii}. Den Charakter der Darstellung ϱ_{α}, α ∈ Ĝ, bezeichnen wir mit χ_{α}.

Satz 4.6. (i) Für α, β ∈ Ĝ und f ∈ A′ gilt

(25)  h(χ_{α}χ_{β}^{∗}) = h(χ_{β}^{∗}χ_{α}) = δ_{αβ} · 1 und
(26)  (id ⊗ f)Δχ_{α} = (f ⊗ id)Δχ_{α}

(ii) Jede unitäre Darstellung ϱ von (A, u) ist äquivalent zu einer direkten orthogonalen Summe ∑_{α∈_{G}} ⊗n_{α}ϱ_{α}, wobei n_{α} ∈ N_{0} . Es gilt dann χ_{ϱ} = ∑_{α} n_{α}χ_{α} mit n_{α} = h(χ_{α}^{∗}χ_{ϱ}) und h(χ_{ϱ}^{∗}χ_{ϱ}) = ∑_{α} n_{α}^{2} .

Die Formel (25) folgt sofort aus (23) und (24). Da Δχ_{α} = ∑_{i,k}^{dα} a_{ik}^{α} ⊗ a_{ki}^{α} ist, haben wir (id ⊗ f)Δχ_{α} = (f ⊗ id)Δχ_{α} = ∑_{r,s=1}^{dα} f(a_{sr}^{α}), also (26). Aus (ii) erhält man sofort die Folgerung 4.1. Zwei unitäre Darstellungen sind äquivalent genau dann, wenn ihre Charaktere gleich sind.

h.) Das Beispiel SU_{q}(2), q ∈ (−1, 1)

Die SU_{q}(2) war und ist das Standardbeispiel bei der Entwicklung der gesamten Theorie der Quantengruppen. Für dieses Beispiel wollen wir Ĝ beschreiben und einige allgemeine Resultate illustrieren.

Sei n ∈ \frac{1}{2}N_{0} . Für l ∈ I_{n} := \{−n, −n + 1, …, n\} sei x_{l} := a^{n+l}(c^{∗})^{n−l}. Aus Δ(x_{l}) = Δ(a)^{n+l}(Δ(c)^{∗})^{n−l} = (a ⊗ a − qc^{∗} ⊗ c)^{n+l}(c^{∗} ⊗ a^{∗} + a ⊗ c^{∗})^{n−l} und den Vertauschungsrelationen (14) für a, a^{∗}, c, c^{∗} folgt leicht, daß Δ(x_{l}) = ∑_{k∈In} x_{k} ⊗ w_{kl} gilt mit gewissen Elementen w_{kl} ∈ A. Die w_{kl} sind dabei eindeutig bestimmt, denn die x_{l} sind linear unabhängig. Aus ∑_{k} x_{k} ⊗ Δ(w_{kl}) = (id ⊗ Δ)Δx_{l} = ∑_{j} Δx_{j} ⊗ w_{jl} = ∑_{j,k} x_{k} ⊗ w_{kj} ⊗ w_{jl} ergibt sich

Δ(w_{kl}) = ∑_{j} w_{kj} ⊗ w_{jl},

d. h. die Matrix (w_{kl})_{k,l∈In} erfüllt (20) und definiert daher eine Darstellung in (2n + 1)-dimensionalen komplexen Vektorraum.

Diese Darstellung ist nicht entartet (Nachrechnen!) und damit äquivalent zu einer unitären Darstellung d_{n} im (2n + 1)-dimensionalen Hilbertraum. Man kann zeigen: Die d_{n}, n ∈ \frac{1}{2}ℕ_{0}, sind irreduzibel und ihre Äquivalenzklassen ergeben bereits den gesamten Dualraum Ĝ. Dabei ergibt n = \frac{1}{2} die Fundamentaldarstellung. In Matrixschreibweise haben wir

d_{\frac{1}{2}} = ( \begin{matrix}a & −qc^{∗} \\ c & a^{∗} \end{matrix} );

folglich ist

(d_{\frac{1}{2}} )^{cc} = ( \begin{matrix}a & −q^{−1}c^{∗} \\ q^{2}c & a^{∗} \end{matrix} ) .

Insbesondere sehen wir, daß (d_{\frac{1}{2}} )^{cc} ≠ d_{\frac{1}{2}} . Man verifiziert sofort, daß T_{\frac{1}{2}} :=

( \begin{matrix}|q|^{−1} & 0 \\ 0 & |q| \end{matrix} ) in Mor(d_{\frac{1}{2}} , (d_{\frac{1}{2}} )^{cc}) liegt, weshalb Mor(d_{\frac{1}{2}} , (d_{\frac{1}{2}} )^{cc}) = ℂ · T_{\frac{1}{2}} ist.

Die Matrixelemente a_{ij}^{n} von d_{n} (bei geeigneter Basiswahl!) ergeben einen bemerkenswerten Zusammenhang zur Theorie der orthogonalen Polynome, den wir hier nur andeutungsweise nennen wollen. Sie lassen sich mit Hilfe der sogenannten kleinen q -Jacobipolynome p_{k}(x; a, b, q) ausdrücken (siehe [5]). Es gilt

a_{ij}^{n} = χ_{ij}^{l}(a^{∗})^{i+j}p_{n−i}(cc^{∗}; q^{2(i−j)}, q^{2(i+j)}; q^{2})c^{i−j}

für i ≥ j ≥ −i mit gewissen positiven Koeffizienten χ_{ij}^{l}. Die Formel (25) hat dabei folgende Gestalt

h((a_{ji}^{n})^{∗}(a_{lk}^{m})) = δ_{nm}δ_{jl}δ_{ik} \frac{q^{2(m−l)}(1 − q^{2})}{1 − q^{2(2m+1)}}.

Für q → 1 geht der Quotient auf der rechten Seite gegen 2m+1 = dim V_{m}, d. h. wir erhalten die klassische Schursche Orthogonalitätsrelation für die SU(2).

Zur Konstruktion von C*-Algebren nichtkompakter Quantenmatrixgruppen

Wenn die Matrixgruppe nichtkompakt ist, dann kann man die Hopfalgebra A ihrer Quantenversion nicht mehr direkt in eine C*-Algebra A einbetten wie im Beispiel der SU_{q}(2) (siehe 3.a), denn die Vertauschungsrelationen für die Generatoren von A führen im Hilbertraum auf unbeschränkte Operatoren. Außerdem können beträchtliche technische Probleme mit den unbeschränkten Operatoren auftreten. Wir skizzieren dies am Beispiel einer Version der ax + b-Gruppe und folgen dabei—wie bereits erwähnt—van Daele [2].

Beginnen wir zunächst mit der klassischen ax + b-Gruppe. Wir nehmen sie in der Form

G = \{g = ( \begin{matrix}α & β \\ 0 & α^{−1} \end{matrix} ) α > 0, β ∈ ℝ\} ,

wobei g als affine Transformation x ↦ α^{2}x + αβ der reellen Achse wirkt. Für die beiden Koordinatenfunktionen a(g) := α und b(g) := β auf G ergeben sich (vgl. 1.a) die Komultiplikation Δ und die Koeins ε zu

(27)  Δa = a ⊗ a, Δb = a ⊗ b + b ⊗ a^{−1}, εa = 1, εb = 0.

Als Quantenversion von G stellen wir uns Matrizen der Form

( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} )

aus M_{q}(2) vor. Genauer, wir definieren die Algebra B := M_{q}(2)/(c, da − 1, ad − 1). In B ist dann d = a^{−1} und c = 0. Wir definieren Δ und ε durch (27) und κ durch

(28)  κa := a^{−1} und κb := −q^{−1}b.

Man verifiziert leicht: Δ, ε, κ können auf B fortgesetzt werden und wir erhalten so eine Hopfalgebra. Im Falle | q |= 1 kann man durch a^{∗} := a, b^{∗} := b eine Involution auf der Algebra B definieren und B wird damit eine Hopf-∗-Algebra.

Im Hinblick auf die folgenden Darlegungen nehmen wir jedoch eine andere Hopf-∗-Algebra. Wir setzen jetzt q ∈ ℝ, q ≠ 0, voraus. A sei die freie ∗-Algebra mit Eins, die von Elementen a und b erzeugt werden mit

(29)  ab = qba, a^{∗} = a, bb^{∗} = b^{∗}b.

Definieren wir Δ, ε, κ durch (27) und (28) und setzen Δ und ε zu ∗-Homo-morphismen und κ zu einem Antihomomorphismus fort, dann wird A zu einer Hopf-∗-Algebra.

Um eine zu A assoziierte C*-Algebra A zu erhalten, betrachten wir Darstellungen von (29) durch Hilbertraumoperatoren. Es seien a und b abgeschlossene Operatoren in einem Hilbertraum mit

(30)  a = a^{∗} ≥ 0, bb^{∗} = b^{∗}b und ker a = ker b = {0},

für die auf einem dichten invarianten Bereich ab = qba gilt.

1. Schritt: Definition der strengen Kommutativität für die Relation ab = qba.

Im klassischen Fall q = 1 würde man für die Relation ab = ba fordern, daß a und b streng kommutieren, daß also die Spektralprojektoren von a und b kommutieren. Damit werden pathologische Darstellungen (,,Nelson-Paare”) ausgeschlossen. Im allgemeinen Fall kann man wie folgt vorgehen:

Sei b = u | b |die Polarzerlegung des Operators b. Formal folgt aus ab = qba, a = a^{∗} und q ∈ ℝ die Relation b^{∗}a = qab^{∗}, also ab^{∗}b = b^{∗}ba, d.h. a | b |^{2}=| b |^{2} a. Dies motiviert die folgende

Forderung 1: Die Spektralprojektoren von a und | b | kommutieren. Aus dieser Forderung erhält man wieder formal a | b |=| b | a und somit u^{∗}ab = u^{∗}au | b |= u^{∗}(qba) = qu^{∗}u | b | a = qa | b |. Naheliegend ist damit die

Forderung 2: u^{∗}au = qa.

Mit dem durch die Forderungen 1 und 2 definierten Begriff der strengen Kommutativität kommen wir nun zum

2. Schritt: Bestimmung aller streng kommutierenden irreduziblen Darstellungen der Relation ab = qba.

Sei etwa q > 1. Es sei H = l_{2}(ℤ) und e_{n} = (δ_{nm}) die kanonische Orthobasis von H. Für α ∈ [1, q) und β > 0 definieren wir ae_{n} = αq^{n}e_{n+1} und be_{n} = βe_{n+1}, n ∈ Z. Wir erhalten auf diese Weise genau alle irreduziblen streng kommutierenden Darstellungen von ab = qba unter den Bedingungen (30).

Aus den beschränkten Funktionen all dieser Darstellungsoperatoren a und b erzeugt man dann eine C*-Algebra und man nimmt dann deren Multiplieralgebra als C*-Algebra A.

3. Schritt: Definition der Komultiplikation als ∗-Homomorphismus Δ: A → Aˆ⊗A Da die ∗-Algebra A nicht in der C*-Algebra A enthalten ist, ist dies so zu verstehen, daß das Δ : A → A ⊗ A etwa durch Erweiterung auf beschränkte Funktionen von a und b stetig auf A ausgedehnt wird. Man rechnet leicht nach, daß in der ∗-Algebra A⊗A das Element Δb = a⊗b+b⊗a^{−1} normal ist, d.h. daß (Δb)^{∗}Δb = Δb(Δb)^{∗} ist. Im Hilbertraum ist Δb daher ein formal normaler Operator. Man kann nun aber zeigen, daß für gewisse Paare {a, b} aus dem 2. Schritt der Operator Δb keine normalen Erweiterungen (nicht einmal in einem größeren Hilbertraum) besitzt! Damit ist völlig unklar, wie man Δb (etwa durch Funktionalkalkül) in Beziehung zur C*-Algebra Aˆ⊗A bringen kann. Ein (allerdings wenig befriedigender) Ausweg aus diesem Dilemma wäre, solche Paare {a, b} wegzulassen. Dann könnte man zumindestens die Komultiplikation Δ auf dem Niveau der C*-Algebren definieren.

Das im 1. Schritt genannte Problem tritt auch bei der Konstruktion der C*-Algebra für verschiedene nicht kompakte Quantenräume auf, etwa für ℝ_{q}^{2} . Nach 2.e.) ist ℝ_{q}^{2} die freie ∗-Algebra mit Eins erzeugt von Elementen x = x^{∗} und y = y^{∗}, für die xy = qyx gilt. Hierbei ist | q |= 1, etwa q = e^{iγ} mit γ ∈ [0, 2π). Aus xq = qyx ergibt sich p(x)y = yp(qx) für jedes Polynom p. Naheliegend wäre es deshalb, strenge Kommutativität durch eine Forderung der Form f(x)y = yf(qx) mit geeigneten beschränkten Funktionen f zu definieren. Wenn der Operator x positiv selbstadjungiert ist und ker x = {0}, dann bieten sich die Funktionen f_{t}(x) := x^{it}, t ∈ ℝ, an. f_{t}(x)y = yf_{t}(qx) führt dann auf x^{it}y = e^{−γt}yx^{it}, t ∈ ℝ. (Wenn auch noch y = y^{∗} ≥ 0 und ker y = {0} ist, dann folgt aus der letzten Gleichung x^{it}y^{is}x^{−it} = e^{−γits}y^{is} für t, s ∈ ℝ. Für γ = 1 ist dies die Weylrelation für die unitären Gruppen x^{it} und y^{is}.) Im allgemeinen Fall (d.h. x = x^{∗} und y = y^{∗} beliebig) ist mir keine überzeugende Definition der strengen Kommutativität für xy = qyx bekannt. Es werden nur Arbeiten aufgelistet, die im Text explizit genannt wurden. Eine sehr gute Bibliographie zu Quantengruppen ist [4].

References

[1] Abe, E., “Hopf algebras”, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge Univ. Press, 1977.

[2] Daele, A. Van , “The operator a⊗b+b⊗a^{−1} when ab = λba.”, Preprint, Leuven, 1990.

[3] Hofmann, K. H., “The duality on compact semigroups and C*-bigebras”, Lecture Notes in Mathematics 129, Springer-Verlag, Berlin, 1970.

[4]  Koornwinder, T. H., References on quantum groups, September 1990.

[5] —, Representations of the twisted SU(2) quantum groups and some qhypergeometric orthogonal polynomials, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 92 (1989), 97–117.

[6] Manin, Yu. I., “Quantum groups and non-commutative geometry”, Publications du C. R. M. 1561, University of Montreal, 1988.

[7]  Sweedler, M. E., “Hopf algebras”, Benjamin, New York, 1969.

[8] Woronowicz, S. L., Compact matrix pseudogroups, Commun. Math. Phys. 111 (1987), 613–665.

[9] —, Twisted SU(2). An example of noncommutative differential calculus, Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 23 (1987), 117–181.

Sektion Mathematik Universität Leipzig Augustus-Platz O-7010 Leipzig

Received 19. Februar 1991