Seminar Sophus Lie 1 (1991) 55–63

Invariante Kegel in Cartan-Algebren

Ulrike Zimmermann

Für die Bestimmung von Halbgruppen in einer Liegruppe spielen invariante Kegel als deren Tangentialobjekte eine sehr wichtige Rolle. Ein invarianter Kegel in einer Lie-Algebra ist durch seinen Schnitt mit einer Cartan-Unteralgebra eindeutig bestimmt, und diese Schnitte sind im Fall von spitzen und erzeugenden Kegeln vollständig klassifiziert.

Im Folgenden wird die Klassifikation der invarianten Kegel angegeben, wozu als technisches Hilfsmittel die reelle Wurzelzerlegung einer Lie-Algebra bereitgestellt wird. Im zweiten Abschnitt wird die Geometrie dieser Kegel genauer untersucht.

I. Invariante Kegel in Lie-Algebren

Es sei 𝔤 eine reelle Lie-Algebra. Ein Kegel W in 𝔤 heißt invariant, falls er invariant ist unter der adjungierten Wirkung von 𝔤, d. h. falls für alle x ∈ 𝔤 gilt: e^{ad x}W = W.

Ohne allzugroße Einschränkung der Allgemeinheit werden nur spitze und erzeugende Kegel betrachtet.

Definition I.1. Ein Element x ∈ 𝔤 heißt kompakt, falls die Einparametergruppe e^{ℝ ad x} in End 𝔤 relativ kompakt ist. Eine Cartan-Algebra 𝔥 in 𝔤 heißt kompakt eingebettet, falls sie aus kompakten Elementen besteht. Die Menge der kompakten Elemente in 𝔤 wird mit comp 𝔤 bezeichnet.

In [2] wird gezeigt, daß kompakt eingebettete Cartan-Algebren abelsch sind, und in [3, 4.6] erhält man

Satz I.2. Sei 𝔤 eine Lie-Algebra mit einem spitzen erzeugenden invarianten Kegel W. Dann enthält 𝔤 eine kompakt eingebettete Cartan-Algebra 𝔥. Der Kegel W ist durch den Schnitt C := 𝔥 ∩ W eindeutig bestimmt.

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung der Struktur von Lie-Algebren mit invarianten Kegeln ist die reelle Wurzelzerlegung. Man erhält sie aus der komplexen Wurzelzerlegung von 𝔤_{ℂ}

𝔤_{ℂ} = 𝔥_{ℂ} ⊕ ⨁_{λ∈Λ\{0}} 𝔤_{ℂ}^{λ}

mit 𝔤_{ℂ}^{λ} = {x ∈ 𝔤_{ℂ} | (∀h ∈ 𝔥) [h, x] = λ(h)x} und Λ = {λ ∈ 𝔥̂ | 𝔤_{ℂ}^{λ} ≠ {0}}, indem man setzt

Ω = {−iλ|𝔥 | λ ∈ Λ}, 𝔤^{ω} = 𝔤 ∩ (𝔤_{ℂ}^{λ} ⊕ 𝔤_{ℂ}^{−λ}).

Wegen 𝔤^{λ} = 𝔤^{−λ} wählt man aus Ω ein sogenanntes positives System Ω^{+} aus, d. h. eine Menge Ω^{+} ⊆ Ω, die in einem Halbraum von 𝔥̂ liegt und für die gilt: Ω = Ω^{+} ˙∪ (−Ω^{+}) ˙∪ {0}. Dazu erhält man eindeutig eine komplexe Struktur I: 𝔥^{+} → 𝔥^{+} mit I^{2} = − id und bekommt die reelle Wurzelzerlegung

𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔥^{+} mit 𝔥^{+} = ⨁_{ω∈Ω^{+}} 𝔤^{ω},

und es gilt [h, x] = ω(h)Ix für h ∈ 𝔥 und x ∈ 𝔤^{ω}. (Details siehe [3, III.6])

Durch Q: 𝔥^{+} → 𝔥 mit Q(x) = [Ix, x] wird eine quadratische Abbildung definiert. Falls 𝔤 einen invarianten Kegel enthält, gilt Q(x) ≠ 0 für alle x ≠ 0. Man sagt, 𝔤 habe Kegelpotential. Die Struktur von Lie-Algebren mit Kegelpotential ist bestimmt in [5].

Es sei 𝔯 das Radikal in 𝔤. Dann existiert nach ([6, Th.3]) eindeutig ein angepaßtes Levikomplement 𝔰 mit [𝔥∩𝔯, 𝔰] = {0}. Es gilt dann 𝔥 = 𝔥∩(𝔯⊕𝔥)∩𝔰. Man erhält eine Zerlegung der Menge Ω^{+} in Ω_{R}^{+} ˙∪ Ω_{S}^{+} durch

Ω_{R}^{+} = {ω ∈ Ω^{+} | (∀x ∈ 𝔤^{ω}) Q(x) ∈ 𝔷},

wobei 𝔷 das Zentrum der Lie-Algebra ist, Ω_{S}^{+} = {ω ∈ Ω^{+} | (∀x ∈ 𝔤^{ω}) Q(x) ∈ 𝔥 ∩ 𝔰}.

Es gibt noch eine weitere Zerlegung der Menge Ω^{+} . Zu der kompakt eingebetteten Cartan-Algebra 𝔥 existiert eindeutig eine maximal kompakt eingebettete Unteralgebra 𝔨(𝔥), die 𝔥 enthält. Falls 𝔤 invariante Kegel enthält, gilt:

𝔷(𝔨(𝔥)) ∩ int comp 𝔤 ⊈ {0}.

Die Lie-Algebra 𝔤 heißt dann quasihermitesch.

Falls 𝔤^{ω} ∩ 𝔨(𝔥) ≠ {0} gilt, so folgt 𝔤^{ω} ⊆ 𝔨(𝔥). Also kann man die Zerlegung Ω^{+} = Ω_{K}^{+} ˙∪ Ω_{P}^{+} definieren durch Ω_{K}^{+} := {ω ∈ Ω^{+} | 𝔤^{ω} ⊆ 𝔨(𝔥)}.

Nun wird noch die Weylgruppe W = W(𝔥, 𝔤) von 𝔥 in 𝔤 gebraucht. Sie ist die Gruppe, die erzeugt wird von den Reflexionen an den Hyperebenen ker ω mit ω ∈ Ω_{K}^{+} .

Damit hat man die nötigen Strukturelemente zusammen, um die Klassifikation angeben zu können wie sie in [3, III 5.18] bewiesen ist.

Satz I.3. (Hauptsatz über invariante Kegel) Sei 𝔥 eine kompakt eingebettete Cartan-Algebra der Lie-Algebra 𝔤. Ein spitzer erzeugender Kegel C in 𝔥 ist genau dann die Spur eines spitzen erzeugenden invarianten Kegels W in 𝔤, falls er folgende Bedingungen erfüllt:

1) C ist invariant unter der Weylgruppe W.

2) Für x ∈ 𝔤^{ω} mit ω ∈ Ω^{+} gilt: ω(C)Q(x) ⊆ C.

Führt man nun folgende Menge von Rang-1-Operatoren von 𝔥 ein:

C := {(ad x)^{2}|𝔥 | x ∈ 𝔤^{ω}, ω ∈ Ω_{P}^{+}},

so ist Bedingung 2) äquivalent zu

2′) C ist invariant unter C. Es gilt nämlich: (ad x)^{2}(h) = [x, [x, h]] = −ω(h)[x, Ix] = ω(h)Q(x).

II. Invariante Kegel in Konfigurationsräumen (𝔥, H, W, C)

Faßt man zusammen, welche Informationen man über die Struktur von Cartan-Algebren mit invarianten Kegeln hat, so erhält man folgende verallgemeinerte Situation.

Definition II.1. Ein Konfigurationsraum sei ein System (𝔥, H, W, C) mit folgenden Eigenschaften: Es sei

𝔥 = 𝔥_{R} ⊕ 𝔥_{S} ein reeller n-dimensionaler Hilbertraum mit Skalarprodukt ⟨•, •⟩, so daß ⟨𝔥_{R}, 𝔥_{S}⟩ = {0} gilt,

H = H_{k} ˙∪ H_{p} eine endliche Menge von Hyperebenen durch den Nullpunkt des Vektorraumes 𝔥,

W die durch die orthogonalen Reflexionen s_{H} an den Hyperebenen H ∈ H_{k} erzeugte Gruppe,

C eine Menge von Rang-1-Operatoren in 𝔥 mit

H_{p} ={ker τ |τ ∈ C},

die abgeschlossen ist unter Multiplikation mit positiven reellen Zahlen und für die gilt: C ∩ −C = Ø.

Setzt man

Z := ⋂_{H∈H} H, Z_{k} := ⋂_{H∈H_{k}} H

so soll die Bedingung Z ⊆ 𝔥_{R} ⊆ Z_{k} erfüllt sein.

Die Menge der Rang-1-Operatoren werde zerlegt durch

C = C_{s} ˙∪ C_{n} mit \{ \begin{matrix}τ ∈ C_{s} & ⟺ im τ ⊆ 𝔥_{S}, \\ τ ∈ C_{n} & ⟺ im τ ⊆ Z. \end{matrix}

Setze noch H_{ps} := {H ∈ H_{p} | ∃τ ∈ C_{s} mit ker τ = H}, H_{pn} := {H ∈ H_{p} | ∃τ ∈ C_{n} mit ker τ = H}.

Die Menge C und die Gruppe W seien dadurch verknüpft, daß C invariant ist unter Konjugation mit Elementen aus W.

Bemerkung II.2. Die Gruppe W eines Konfigurationsraumes ist eine endliche Coxetergruppe [7, VI.1].

Definition II.3. Unter einem invarianten Kegel in einem Konfigurationsraum (𝔥, H, W, C) soll ein spitzer erzeugender Kegel in dem Vektorraum 𝔥 verstanden werden, der invariant ist unter der Coxetergruppe W und unter der Menge von Rang-1-Operatoren C.

Bemerkung II.4. Jede Hyperebene H von 𝔥 wird bestimmt durch einen Normaleneinheitsvektor n_{H}, der bis auf seine Orientierung eindeutig bestimmt ist, d. h. H = n_{H}^{⊥} = { h ∈ 𝔥 | ⟨n_{H}, h⟩ = 0 } = (−n_{H})^{⊥}.

Ebenso kann man jedem Operator τ ∈ C zwei Vektoren n_{τ} , Q_{τ} ∈ 𝔥 mit ∥n_{τ} ∥ = 1 zuordnen, so daß τ(h) = ⟨n_{τ} , h⟩Q_{τ} = ⟨−n_{τ} , h⟩(−Q_{τ}) für alle h ∈ 𝔥 gilt. Auch n_{τ} und Q_{τ} sind eindeutig bis auf das Vorzeichen. Dabei gilt Ω := {±n_{τ} | τ ∈ C } = {±n_{H} | H ∈ H_{p} }. Wir schreiben τ = Q_{τ} ⊗ n_{τ} und haben

(Q_{σ} ⊗ n_{σ}) ∘ (Q_{τ} ⊗ n_{τ}) = Q_{σ} ⊗ ⟨n_{σ}, Q_{τ} ⟩n_{τ} .

Die Gruppe W wirkt auf der Menge der der Hyperebenen H_{p} und der Menge Rang-1-Operatoren C, und man berechnet:

\begin{aligned}w(n_{H}) & = ±n_{wH}, \\ w(Q_{τ} ⊗ n_{τ})w^{−1} & = w(Q_{τ}) ⊗ w(n_{τ}), \\ also Q_{wτw^{−1}} = ±w(Q_{τ}), & n_{wτw^{−1}} = ±w(n_{τ}). \end{aligned}

Zuerst soll eine Auswahl der Vorzeichen getroffen werden.

Definition II.5. Ein positives System ist eine Menge Ω^{+} = { n_{H} | H ∈ H_{p} }, so daß Ω = Ω^{+} ˙∪ −Ω^{+} gilt und Ω^{+} in einem offenen Halbraum von 𝔥 liegt.

Zu einem gewählten positiven System Ω^{+} werde ein Rang-1-Operatoren τ ∈ C geschrieben als n_{H} ⊗ Q_{τ} mit n_{H} = n_{τ} ∈ Ω^{+} .

Es wird nun untersucht, unter welchen Voraussetzungen ein Konfigurationsraum (𝔥, H, W, C) invariante Kegel enthält, und, wo sie existieren, werden sie näher bestimmt.

Definition II.6. Der minimale und der maximale Kegel seien definiert durch

C_{min} = C_{min}(Ω^{+}) := cone({Q_{τ} | τ ∈ C(Ω^{+})}),

wobei cone(X) der von einer Menge X erzeugte Kegel ist,

C_{max} = C_{max}(Ω^{+}) := (Ω^{+})^{∗},

wobei X^{∗} := {h ∈ H | (∀x ∈ X)⟨h, x⟩ ≥ 0} der Dualkegel der Menge X ist.

Satz II.7. (Charakterisierung der Konfigurationsräume mit invarianten Kegeln). Ein wie oben definierter Konfigurationsraum (𝔥, H, W, C) enthält genau dann einen invarianten Kegel C, wenn es ein positives System Ω^{+} = {n_{H} | H ∈ H_{p}} gibt, sodaß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Für alle H ∈ H_{p} und für alle τ ∈ C(Ω^{+}) gilt: ⟨n_{H}, Q_{τ} ⟩ ≥ 0.

(2) Der von der Menge Q_{n} = {Q_{τ} | τ ∈ C_{n}} erzeugte Kegel ist spitz.

(3) Es existiert ein z ∈ Z_{k} \ {0}, so daß für alle n_{H} ∈ Q_{τ} gilt ⟨n_{H}, z⟩ > 0. Aus Bedingung (1) kann man folgern Korollar 1. Falls ein invarianter Kegel C existiert, so gilt für das positive System Ω^{+} :

C_{min}(Ω^{+}) ⊆ C ⊆ C_{max}(Ω^{+}).

Korollar 2. Das positive System Ω^{+} ist so gewählt, daß für alle w ∈ W, τ ∈ C und H ∈ H_{p} gilt:

Q_{wτw^{−1}} = w(Q_{τ}), n_{wτw^{−1}} = w(n_{τ}), n_{wH} = w(n_{H}).

Beweis. 7. 1.Schritt: Notwendigkeit von Bedingung (1). Sei C ein invarianter Kegel in (𝔥, H, W, C). Dieser ist invariant unter C , das bedeutet τ(C) = ⟨n_{τ} , C⟩Q_{τ} ⊆ C für alle τ ∈ C. Weil C erzeugend ist, gilt ⟨n, C⟩ ≠ {0} für jeden Einheitsvektor n in 𝔥. Die Abbildung ⟨n, •⟩: 𝔥 → 𝔥 ist stetig und linear. Damit ist das Bild ⟨n, C⟩ eines Kegels C ein Kegel in ℝ, also entweder ℝ oder [0, ∞[ oder ]−∞, 0]. Da C spitz ist und τ(C) = ⟨n_{H}, C⟩Q_{τ} ⊆ C gilt mit Q_{τ} ≠ 0, kann der Fall ⟨n_{H}, C⟩ = ℝ nicht eintreten. Jedes n_{H} mit H ∈ H_{p} liegt also in C^{∗} ∪ −C^{∗}.

Wir setzen nun Ω^{+} := Ω ∩ C^{∗} und zeigen, daß diese Menge ein positives System ist. Der Kegel C^{∗} ist spitz, da C erzeugend ist. Die Menge Ω^{+} ist also in einem spitzen Kegel enthalten und damit auch in einem Halbraum von 𝔥. Es gilt C ∩ −C = {0} und damit Ω^{+} ∩ −Ω^{+} = Ø. Wegen Ω ⊆ C^{+} ∪ −C^{∗} haben wir auch Ω = Ω^{+} ˙∪ −Ω^{+} .

2.Schritt: Beweis der Korollare. Das erste Korollar folgt sofort aus den obigen Rechnungen. Zum Beweis von Korollar 2: Nach Bemerkung II.4 gilt Q_{wτw^{−1}} ⊗ n_{wτw^{−1}} = w(Q_{τ}) ⊗ w(n_{τ}). Wegen C_{min} ⊆ C liegen Q_{wτw^{−1}} und Q_{τ} in dem spitzen Kegel C. Da C invariant ist unter W, gilt aber auch w(Q_{τ}) ∈ w(C_{min}) = C. Daraus folgen die ersten beiden Behauptungen. Es gilt nun n_{wH} = ±w(n_{H}) und mit n_{H} = n_{τ} erhält man w(n_{H}) = n_{wτw^{−1}} ∈ Ω^{+} . Also gibt es eine Hyperebene H′ mit n_{H′} = w(n_{H}), und es folgt H′ = wH.

3.Schritt: Notwendigkeit von Bedingung (2). Zu gewähltem System Ω^{+} sei Q_{s} die Menge aller Q_{τ} ∈ Q mit τ ∈ C_{s} und Q_{n} die Menge der Q_{τ} ∈ Q mit τ ∈ C_{n}. Nach Definition gilt dann: Q = Q_{s} ˙∪ Q_{n}.

Setze C_{min ,s} := cone(Q_{s}) und C_{min ,z} := cone(Q_{n}). Nach Definition von (𝔥, H, W, C) gilt C_{min ,z} ⊆ Z. Deshalb heißt C_{min ,z} der minimale zentrale Kegel.

Direkt aus den Definitionen ergeben sich dann die folgenden Aussagen: (i) C_{min ,s} = C_{min} ∩ 𝔥_{s}. (ii) C_{min ,z} = C_{min} ∩ Z. (iii) C_{min} = C_{min ,s} ⊕ C_{min ,z}.

Das folgende Lemma liefert dann die Behauptung.

Lemma . Falls ein positives System Ω^{+} existiert, sodaß Bedingung (1) erfüllt ist, dann ist der minimale Kegel C_{min} genau dann spitz, wenn der minimale zentrale Kegel C_{min ,z} spitz ist. Beweis des Lemmas. Der minimale Kegel ist genau dann spitz, wenn sowohl C_{min ,s} als auch C_{min ,z} spitz sind. Da Bedingung (1) erfüllt ist und Z ∩𝔥_{s} = {0} gilt, gibt es zu jedem 0 ≠ x ∈ C_{min ,s} ein τ ∈ C mit ⟨n_{τ} , x⟩ > 0, denn x liegt nicht in Z. Wegen der Wahl von Ω^{+} kann −x nicht zu C_{min ,s} gehören, das bedeutet aber gerade, daß C_{min ,s} immer spitz ist.

4.Schritt: Notwendigkeit von Bedingung (3). Sei C ein invarianter Kegel in (𝔥, H, W, C). Nach Definition ist C dann erzeugend und invariant unter W und es gilt C ⊆ C_{max} . Sei x ∈ int C. Es gilt dann auch

x ∈ int C_{max} = {h ∈ H | (∀H ∈ H_{p}) ⟨n_{H}, h⟩ > 0}.

Der durch z := \frac{1}{|W|} ∑_{w∈W} w(x) definierte Vektor ist ein Fixpunkt von W. Das ist gleichbedeutend mit z ∈ Z_{k}. Nun gilt aber für jedes n_{H} ∈ Ω^{+} :

⟨n_{H}, z⟩ = \frac{1}{|W|} ∑_{w∈W}⟨n_{H}, wz⟩ = \frac{1}{|W|} ∑_{w∈W}⟨n_{w^{−1}H}, z⟩ > 0,

d. h. z liegt in int C_{max} . Also wurde gezeigt:

Z_{k} ∩ int C_{max} ⊈ {0}.  (3′)

Dies ist aber äquivalent zu (3).

5.Schritt: Die Bedingungen sind auch hinreichend. Sei nun Ω^{+} ein positives System mit (1), (2), (3). Wegen (1) gilt C_{min} ⊆ C_{max} ,

(2) bedeutet, daß C_{min} spitz ist, und aus (3) folgt, daß C_{max} erzeugend ist. Zu 0 ≠ z ∈ Z_{k} ∩ int C_{max} wähle man eine kompakte Umgebung B ⊆ int C_{max} , so daß 0 ∉ conv(WB) =: K gilt. Das ist möglich, da 0 ∉ Wz = {z} und W eine kompakte Gruppe stetiger Selbstabbildungen von 𝔥 ist. Also ist K kompakt, konvex, invariant unter W, und es gilt K ⊆ int C_{max} . Setze C := ℝ^{+}K + C_{min} . Dann ist C erzeugend, da K innere Punkte hat. Wegen C_{min} ⊆ C ⊆ C_{max} ist C invariant unter C und nach Konstruktion ist C auch invariant unter W. Es bleibt zu zeigen, daß der Kegel C auch spitz ist. Sei also x ∈ C ∩ −C. Wegen C = ℝ^{+}K + C_{min} existieren λ, λ′ ∈ ℝ^{+} , k, k′ ∈ K und c, c′ ∈ C_{min} mit x = λk + c und −x = λ′k′ + c′. Also gilt λk + c = −λ′k′ − c′ und daraus folgt

λk + λ′k′ = −c − c′ ∈ ({0} ∪ int C_{max}) ∩ −C_{min} = {0},

denn falls C_{ps} ≠ Ø ist, folgt aus x ∈ int C_{max} , daß −x ∉ int C_{max} , und für C_{ps} = Ø gilt C_{max} = 𝔥, C_{min} = 0. Also ist C ein invarianter Kegel in (𝔥, H, W, C).

Bemerkung II.8. Durch den Begriff des Konfigurationsraumes wurde der Fall von Cartan-Algebren in Lie-Algebren mit invarianten Kegeln verallgemeinert, und es ist zu erwarten, daß man die Bedingungen von Satz II.7. abschwächen kann. In der Tat: Falls das System (𝔥, H, W, C) von einer Lie-Algebra mit Kegelpotential abstammt, sind die zweite und die dritte Bedingung schon hinreichend für die Existenz invarianter Kegel. ([4, III.35])

Jeder invariante Kegel liegt also zwischen dem minimalen und dem maximalen Kegel, wobei diese selbst invariant sind ([7, VI.13]). Aus all diesem folgt nun schnell

Satz II.9. Ein spitzer erzeugender Kegel C in einem Konfigurationsraum (𝔥, H, W, C) ist genau dann invariant, wenn er invariant ist unter der Coxetergruppe W und C_{min} ⊆ C ⊆ C_{max} gilt.

Beispiele. Es werden die Kegel in den Cartan-Algebren der nichtkompakten quasihermiteschen einfachen Lie-Algebren mit dim 𝔥 = 3 betrachtet, wobei die Bezeichnungen der Lie-Algebren wie in [1] gewählt sind. In der Skizze sind jeweils Kegelbasen für den minimalen und den maximalen Kegel angegeben und die Hyperebnen, die W bestimmen. Insbesondere ist in sp(n, ℝ) der minimale gleich dem maximalen Kegel. Also gibt es dort (nach Wahl des positiven Systems) nur genau einen invarianten Kegel. Vergleicht man die Algebren so(2n+1, 2) und so(2n, 2), so erkennt man, daß minimale und maximale Kegel übereinstimmen, aber die Weylgruppe der so(2n, 2) eine Untergruppe von der Weylgruppe der so(2n + 1, 2) ist. Letztere enthält somit weniger invariante Kegel.

1) 𝔤 = su(3, 1) W = S_{3} 2) 𝔤 = so(5, 2) W = D_{4}

3) 𝔤 = so(4, 2) W = ℤ_{2} × ℤ_{2}

4) 𝔤 = sp(3, ℝ) W = S_{3}

References

[1] Helgason, S., “Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces”, Acad. Press, London, 1978.

[2] Hilgert, J., and K. H. Hofmann, Compactly embedded Cartan Algebras, Advances in Mathematics 75 (1989), 168–252.

[3] Hilgert, J., K. H. Hofmann, and J. D. Lawson,“Lie Groups, Convex Cones, and Semigroups”, Oxford Univ. Press, 1989.

[4] Neeb, K.-H., Invariant Subsemigroups of Lie Groups, The Infinitesimal Theory, Preprint 1317, 1990.

[5] Spindler, K., “Invariante Kegel in Liealgebren”, Mitteilungen Mathematisches Seminar Gießen 188, 1988.

[6] Spindler, K., Some remarks on Levi complements and roots in Lie algebras with cone potential, Preprint, Conf.Anal.Topol.theory of Semigroups, Oberwolfach, 1989.

[7] Zimmermann, U., “Invariante Kegel in Cartanalgebren”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Darmstadt, 1990.

Fachbereich Mathematik Technische Hochschule Darmstadt Schlossgartenstr. 7 D-6100 Darmstadt, Germany

e-mail XMATAG05@DDATHD21

Received January 18, 1991 and in final form February 18, 1991