Seminar Sophus Lie 1 (1991) 235–242

Orbitmethode und unitäre Darstellungen für eine Gruppe lokaler, reell analytischer Diffeomorphismen

Frank Leitenberger

1. Einführung

Im folgenden betrachten wir die Gruppe G von Diffeomorphismen φ der reellen Geraden, die in einer Umgebung der Null definiert und reell analytisch sind, die Null als Fixpunkt besitzen und zusätzlich der Bedingung φ′(0) = 1 genügen. Offenbar bilden diese Diffeomorphismen in natürlicher Weise eine Gruppe mit der Multiplikation φ ∘ ψ(x) := ψ(φ(x)).

Wir zeigen: Jeder Orbit in der koadjungierten Darstellung von G ist entweder endlichdimensional oder (bis auf eine Faktorisierung durch eine Untergruppe mit verschwindender Lie-Unteralgebra) zu G isomorph. Für einige spezielle Orbits werden mit Hilfe der Orbitmethode von Kirillov (s.[3]) unitäre Darstellungen konstruiert.

2. Die Gruppe G und ihre Lie-Algebra 𝔤

Die in Abschnitt 1 beschriebene Gruppe läßt sich offenbar auch folgendermaßen definieren:

Definition 1. Wir setzen G = {φ(x) = x + a_{1}x^{2} + a_{2}x^{3} + ⋯: a_{n} ∈ ℝ, lim sup |a_{n}|^{1/n} < ∞}. Auf G können wir eine topologische Struktur einführen. Dazu sei G_{R} = {φ(x) = a_{0}x + a_{1}x^{2} + ⋯: a_{n} ∈ ℝ, lim sup |a_{n}|^{1/n} < 1/R}, und |φ|_{r} := sup{φ(x) : |x| < r}, r = R(1 − 1/n), n > 1 definiere ein Halbnormensystem auf dem Vektorraum G_{R}. Dann ist G_{R} ein Frechet-Raum. Wir versehen ⋃_{R>0} G_{R} mit der Topologie des induktiven Limes. Folglich ist G als Hyperebene a_{0} = 1 ein topologischer Raum. In dieser Topologie ist G eine topologische Gruppe (s. [1]).

Wir definieren weiter die zu G assoziierte Lie-Algebra g:

Definition 2. We setzen 𝔤 = \{v(x)\frac{d}{dx} : v(x) = b_{1}x^{2} + b_{2}x^{3} + ⋯, b_{n} ∈ ℝ, lim sup |b_{n}|^{1/n} < ∞\} mit der Lie-Klammer [v(x)\frac{d}{dx}, w(x)\frac{d}{dx}] := (v(x)w′(x) − w(x)v′(x))\frac{d}{dx}. Völlig analog zu G erlaubt 𝔤 eine Topologisierung als Folgenraum und ist dann eine topologische Lie-Algebra (s. [1]).

Bemerkung 3. 𝔤 und G sind durch die stetige Exponentialabbildung

exp: 𝔤 → G, v(x)\frac{d}{dx} ↦ ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(v(x)\frac{d}{dx})^{k}x

miteinander verknüpft. Die Funktion exp ist auf 𝔤 wohldefiniert, aber weder lokal injektiv noch surjektiv. Aber es gilt exp 𝔤 ∘ exp 𝔤 = G. Weiterhin steht die Menge der einparametrigen stetigen Untergruppen von G in eineindeutiger Relation zu 𝔤 (s. [1]).

3. Die koadjungierte Darstellung von G und 𝔤

Wir ermitteln zunächst den Dualraum 𝔤^{∗} von 𝔤. Mit Hilfe von [5] finden wir

𝔤^{∗} = \{p(x) = \frac{c_{1}}{x^{3}} + \frac{c_{2}}{x^{4}} + \frac{c_{3}}{x^{5}} + ⋯: c_{n} ∈ ℝ, (∀M > 0) c_{n}M^{n} → 0\}

mit der Paarung

⟨p(x) | v(x)\frac{d}{dx}⟩ = ∫_{C} p(x)v(x) dx = ∑_{i=1}^{∞} b_{i}c_{i},

wobei C ein (von p und v abhängender) hinreichend kleiner Kreis um die Null ist. Also besteht g^{∗} aus auf ganz (ℂ∪∞)\{0} definierten holomorphen Funktionen (ohne 1/x und 1/x^{2} -Glied). Die starke Topologie kann durch das Halbnormensystem |p|_{M} = sup{c_{k}M^{k} : k ∈ ℕ} oder das äquivalente Halbnormensytem |p|_{r} = sup{p(x) : r < |x|} gegeben werden. Die topologischen Vektorräume 𝔤 und 𝔤^{∗} sind lokalkonvex und reflexiv (s. [5]).

Die adjungierte und koadjungierte Darstellungen können folgendermaßen gegeben werden:

Definition 4. Wir definieren

ad(v(x)\frac{d}{dx})(w(x)\frac{d}{dx} = [v(x)\frac{d}{dx}, w(x)\frac{d}{dx}]
ad (φ(x))(w(x)\frac{d}{dx}) = (w(φ(x))\frac{1}{φ′(x)} \frac{d}{dx}
⟨K(v(x)\frac{d}{dx}), w(x)\frac{d}{dx}⟩ = −⟨p(x), ad(v(x)\frac{d}{dx})(w(x)\frac{d}{dx})⟩
⟨K(φ(x))p(x), w(x)\frac{d}{dx}⟩ = ⟨p(x), ad (φ^{−1}(x))w(x)\frac{d}{dx}⟩.

Die Funktionen ad(v(x)\frac{d}{dx}) und ad φ(x) sind stetige lineare Operatoren in 𝔤 (s. [1]). Somit sind auch die adjungierten Operatoren K(v(x)\frac{d}{dx}) und K(φ(x)) wohldefiniert und stetig (s. [6]). Weiterhin sind ad und K stetige Darstellungen.

Die jeweiligen Darstellungen der Lie-Algebra erhält man durch Differentiation in den Darstellungen der Gruppen entlang einparametriger Untergruppen. Wir setzen LT[∑_{−∞}^{∞} a_{n}x^{n}] := ∑_{−3}^{∞} a_{n}x^{n} und erhalten folgende explizite Formeln für K:

\begin{aligned}K(φ(x))p(x) & = LT[p(φ^{−1}(x))(φ^{−1})′(x)^{2}] \\ K(v(x)d/dx)p(x) & = LT[v(x)p′(x) + 2v′(x)p(x)]. \end{aligned}

4. Koadjungierte Orbits

Sei p ∈ 𝔤^{∗}. Unter einem Orbit von p in der koadjungierten Darstellung verstehen wir die Menge O_{p} = {K(φ)p : φ ∈ G} ⊆ 𝔤^{∗}, und unter der Stabilisatorgruppe von p die Untergruppe G_{p} = {φ ∈ G : K(φ)p = p}. Es gilt offenbar O_{p} ≅ G/G_{p}. Weiter sei 𝔤_{p} die Lie-Algebra von G_{p}, d.h. 𝔤_{p} = \{v(x)\frac{d}{dx} ∈ 𝔤 : (∀t ∈ R) exp tv(x)\frac{d}{dx} ∈ G_{p}\} . Es gilt auch

𝔤_{p} = \{v(x)\frac{d}{dx} ∈ 𝔤 : K((v(x)\frac{d}{dx})p = 0\}.

Im allgemeinen erzeugt exp 𝔤_{p} aber nicht ganz G_{p}, da G_{p} aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen kann.

Satz 5. (i) Ist p finit, so ist O_{p} endlichdimensional und besteht aus finiten Elementen gleichen Grades.

(ii) Ist p infinit, so besteht O_{p} nur aus infiniten Elementen. Beweis. K(φ) hat in Matrixform folgende Gestalt

K(φ) ( c_{1} ; c_{2} ; c_{3} ; ⋮ ) = ( \begin{matrix}1 & p_{12} & p_{13} & ⋯ \\ 0 & 1 & p_{23} & ⋯ \\ 0 & 0 & 1 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) ( c_{1} ; c_{2} ; c_{3} ; ⋮ ) .

Wir sehen, daß finite Vektoren p ∈ 𝔤^{∗} in solche von gleichem Grade übergeführt werden und infinite Vektoren in infinite, da sonst mit den inversen Gruppenelementen finite in infinite Vektoren übergeführt werden. Weiter ist O_{p} für finite p endlichdimensional als Teilmenge des endlichdimensionalen Vektorraumes aller Laurent-Polynome gleichen oder kleineren Ranges.

Satz 6. Ist p infinit, so gilt 𝔤_{p} = 0.

Mit anderen Worten und etwas genauer:

Bemerkung 7. Es gibt eine Untergruppe G_{d} von G mit verschwindender Lie-Unteralgebra derart, daß O_{p} ≅ G/G_{d} gilt. Beweis. Zu zeigen ist: Aus K(v(x)\frac{d}{dx})p(x) = 0 folgt v(x) = 0. Die Voraussetzung hat in Matrixform folgende Gestalt:

( \begin{matrix}0 & 0 & b_{2} & 2b_{3} & 3b_{4} & 4b_{5} & ⋯ \\ 0 & 0 & −b_{1} & 0 & b_{3} & 2b_{4} & ⋯ \\ 0 & 0 & 0 & −2b_{1} & −b_{2} & 0 & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) ( c_{1} ; c_{2} ; c_{3} ; ⋮ ) = 0.

Eine Umordnung ergibt (mit der absoluten Summierbarkeit wegen der Köthe-Dualität von 𝔤 und g^{∗} (s. [5]))

( \begin{matrix}0 & c_{3} & 2c_{4} & 3c_{5} & ⋯ \\ −c_{3} & 0 & c_{5} & 2c_{6} & ⋯ \\ −2c_{4} & −c_{5} & 0 & c_{7} & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) ( b_{1} ; b_{2} ; b_{3} ; ⋮ ) =: C(p)v(x)\frac{d}{dx} = 0.

Hierbei ist C(p): 𝔤 → 𝔤^{∗} ein stetiger linearer Operator, da K eine stetige Darstellungist. C(p)^{⊤} wirkt ebenfalls von 𝔤^{∗∗} = 𝔤 nach 𝔤^{∗} und es gilt C(p)^{⊤} = −C(p). Es bleibt zu zeigen,daß ker C(p) = 0. Nun gilt (s. [6]): ker C(p) = (im C(p)^{⊤})^{⊥} = (im C(p))^{⊥}. Das heißt, es genügt zu zeigen, daß sich die Vektoren (0, …, 0, 1, 0, …) ∈ 𝔤^{∗} durch Spalten von C(p) approximieren lassen. Wir beweisen hier nur den einfachsten Fall (1, 0, …). Dazu zeigen wir

lim inf |( 1 0 0 ⋮ ) − \frac{1}{(n − 2)c_{n}} ( (n − 2)c_{n} ; (n − 3)c_{n+1} ; (n − 4)c_{n+2} ; ⋮ )|_{M} = 0 for all M > 0,

denn dann gibt es offenbar eine gegen (1, 0, …) konvergente Teilfolge. Angenommen der untere Grenzwert ist nicht 0, dann folgt

(∃M, ε < 1) sup_{k>1} |\frac{(n − k − 2)c_{n+k}}{(n − 2)c_{n}} M^{k(n)}| > ε for all n

Die Ungleichung werde jeweils für k(n) angenommen. Dann folgt

\begin{aligned}ε & < |\frac{(n − k(n) − 2)c_{n+k(n)}}{(n − 2)c_{n}} M^{k(n)}| = |\frac{(n + k(n) − 2)(n − k(n) − 2)c_{n+k}}{(n − 2)(n + k(n) − 2)c_{n}} M^{k(n)}| \\ & < |\frac{(n + k(n) − 2)c_{n+k(n)}}{(n − 2)c_{n}} M^{k(n)}| . \end{aligned}

Mit M′ = \frac{M}{ε} folgt

|\frac{(n + k(n) − 2)c_{n+k(n)}}{(n − 2)c_{n}} | > \frac{ε}{M^{k(n)}} > (\frac{ε}{M} )^{k(n)} = \frac{1}{M^{′k(n)}} ,

d.h. es existiert eine Teilfolge (n_{i} − 2)c_{n_{i}} > C \frac{1}{M^{′n_{i}}} . Das ist ein Widerspruch zu c_{n} ∈ 𝔤^{∗}.

5. Konstruktion koadjungierter Darstellungen mit Hilfe der Orbitmethode

Die Orbitmethode für eine endlichdimensionale nilpotente Lie-Gruppe nach Kirillov. Es sei G eine endlichdimensionale, einfach zusammenhängende nilpotente Lie-Gruppe und 𝔤 ihre Lie-Algebra. Ω sei ein koadjungierter Orbit und p ∈ Ω. Wir nennen eine Unteralgebra 𝔥 dem Element p untergeordnet, falls ⟨p, [h, h]⟩ = 0. Nun sei 𝔥 maximal in der Menge der p untergeordneten Unteralgebren und H die zugehörige Gruppe H = exp 𝔥. Durch u: 𝔥 ∋ x ↦ i⟨p, x⟩ ∈ iℝ wird eine eindimensionale Darstellung von 𝔥 definiert. Wegen des einfachen Zusammenhangs von H bestimmt sie eindeutig eine Darstellung U: H → U(1) durch U(exp x) = e^{i⟨p,x⟩} der Gruppe H. Die Isomorphieklasse der von ihr induzierten Darstellung Ind_{H}^{G}U ist, wie man zeigen kann, unabhängig von p ∈ Ω und 𝔥.

Definition 8. Ind_{H}^{G}U heißt Darstellung zum Orbit Ω.

Theorem 9. (Kirillov, s. [4])(i) Ind_{H}^{G}U ist irreduzibel.

(ii) Die Methode liefert alle unitären Darstellungen.

(iii) Darstellungen zu Orbits Ω und Ω′ sind genau dann äquivalent, wenn Ω = Ω′ gilt.

Wir wollen nun obige Konstruktionsvorschrift auf unsere unendlichdimensionale Gruppe G übertragen. Dies ist in allen Schritten möglich, bis auf eine Ausnahme: als Darstellungsraum von Ind_{H}^{G} wird anstatt L_{2}(G/H, μ) der Raum L_{2}(ℝ^{∞}, μ) gewählt, wobei ℝ^{∞} sich als eine gewisse Vervollständigung von G/H erweisen wird. Als besondere Schwierigkeit erweist sich dabei die Konstruktion der quasiinvarianten Maße μ auf dem nicht lokalkompakten Raum R^{∞}.

Konstruktion unitärer Darstellungen von G. Wir betrachten nur die speziellen Orbits O_{p} mit

p(x) = \frac{c_{1}}{x^{3}} + \frac{c_{3}}{x^{5}} + \frac{c_{5}}{x^{7}} + ⋯,

das heißt c_{2i} = 0. Wir bezeichnen die Erzeugenden x^{i+1} \frac{d}{dx}, i > 1 von 𝔤 mit L_{i}.

Satz 10. Der Abschluß 𝔥 der linearen Hülle der Elemente L_{2i} = x^{2i+1} \frac{d}{dx} ist eine maximale p untergeordnete Unteralgebra. Beweis. Es gilt ⟨p, [v, w]⟩ = ⟨p, [∑ b_{i}L_{i}, ∑ b′_{i}L_{i}]⟩ = ⟨p, ∑ b_{i}b′_{j}(j − i)L_{i+j}⟩ = ∑ b_{i}b′_{j}(j − i)c_{i+j} = ⟨v, C(p)w⟩. D.h. es ist zu zeigen, daß 𝔥 ein maximaler isotroper Unterraum von C(p) ist. Dazu permutieren wir die Basisvektoren in der Matrixdarstellung von C(p):

( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & ⋯ & c_{3} & 3c_{5} & 5c_{7} & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & −c_{5} & c_{7} & 3c_{9} & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & −3c_{7} & −c_{9} & c_{11} & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \\ −c_{3} & c_{5} & 3c_{7} & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ \\ −3c_{5} & −c_{7} & c_{9} & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & A \\ −A^{⊤} & 0 \end{matrix} ) .

Nun ist die Isotropie des Unterraumes 𝔥 offensichtlich. Die Maximalität von 𝔥 entspricht der Aussage ker A = 0. Dies wird analog wie in Bemerkung 7gezeigt.

Für U ergibt sich mit der Orbitmethode die triviale Darstellung, da ⟨p, h⟩ = 0. Wir geben jetzt eine explizite Beschreibung von G/H und der Wirkung von G auf G/H. Dazu bezeichnen wir den Raum aller geraden konvergenten Potenzreihen mit 𝔮.

Satz 11. In jeder Rechtsnebenklasse liegt genau ein Element der Gestalt x + g(x), g(x) = g_{1}x^{2} + g_{2}x^{4} + ⋯ ∈ 𝔮. Beweis. Wir betrachten für jedes φ die Gleichung G ∋ φ = u∘(x+g), u ∈ 𝔥, g ∈ 𝔮. Sie hat genau eine Lösung u, g, und zwar

(∗)  u(x) = P_{u}(φ(x)), g(x) = P_{g}φ((P_{u}φ)^{−1}(x)).

Hierbei sind P_{g}, P_{u} die Projektoren auf den geraden bzw. ungeraden Anteil einer Potenzreihe.

Das gestattet die Identifikation G/H ∋ H ∘ φ ↔ g(x) ∈ 𝔮.

Satz 12. Die Wirkung von G auf G/H hat die Gestalt T_{φ}: H∘ψ → H∘ψ∘φ^{−1} ,

T_{φ}g(x) = P_{g}(φ^{−1}(x + g))[(P_{u}(φ^{−1}(x + g)))^{−1}(x)]

mit P_{g}, P_{u} wie im Beweis von Satz 11. Beweis. Die Behauptung kann man aus Formel (∗) erkennen.

T_{φ} ist eine nichtlineare Wirkung auf dem Vektorraum der geraden Potenzreihen und ist mittels obiger Formel auf die Menge aller geraden formalen Potenzreihen übertragbar. Folglich gestattet jedes gegen alle Transformationen T_{φ} quasiinvariante Maß auf ℝ^{∞} eine unitäre Darstellung in L_{2}(ℝ^{∞}, μ) gemäß

U_{μ}(φ)f(g) = (\frac{dμ(T_{φ}g)}{dμ(g)})^{\frac{1}{2}} f(T_{φ}g).

Es verbleibt die Existenz von quasiinvarianten Maßen zu zeigen.

Satz 13. Auf ℝ^{∞} ≅ 𝔮 existieren bezüglich G quasiinvariante Maße, und somit existieren auch unitäre Darstellungen in L_{2}(ℝ^{∞}, μ).

Beweisskizze. Wir definieren in ℝ^{∞} das Skalarprodukt (g, h) := ∑ \frac{1}{λ_{n}} g_{n}h_{n}.

Der zugehörige Hilbertraum heiße H ⊂ ℝ^{∞}. Es gilt H ≅ ℓ_{2} vermöge der Transformation g′_{n} = \frac{1}{\sqrt{λ_{n}}} g_{n}. Es sei μ das Standardgaußmaß für H ⊂ ℝ^{∞}. Nun gilt folgendes Theorem (s. [2]): Theorem. Sei μ das Standardgaußmaß und T eine nichtlineare Transformation von H. Weiter gelte:

a) T sei invertierbar mit der Umkehrabbildung S, sowohl T als S seien stetig differenzierbar im Hilbertraum und lokal beschränkt, und schließlich sei | det dT (x)| und | det dS(x)| stetig differenzierbar und lokal beschränkt. Mit T (x) = x+λ(x) und S(x) = x+λ^{∗}(x) sei T_{n}(x) = x+P_{n}λ(x) und S_{n}(x) = x+ P_{n}λ^{∗}(x), wobei P_{n} die Projektion auf die ersten n Koordinaten ist) und es gelte lim_{n→∞} | det dT_{n}(x)| = | det dT (x)| und lim_{n→∞} | det dS_{n}(x)| = | det dT (x)|.

Dann gilt

b) ∑_{k=1}^{∞}(λ(x), e_{k})(x, e_{k}), ∑_{k=1}^{∞}(λ^{∗}(x), e_{k})(x, e_{k}) sind auf ℝ^{∞} fast überall konvergente Reihen.

Fortsetzung des Beweises: T_{φ} hat folgende Gestalt:

T_{φ} ( g_{1} ; g_{2} ; g_{3} ; ⋮ ) = ( g_{1} ; g_{2} + p_{2}(g_{1}) ; g_{3} + p_{3}(g_{1}, g_{2}) ; ⋮ ; g_{n} + p_{n}(g_{1}, …, g_{n−1}) ; ⋮ )

Die p_{n} sind gewisse Polynome. Daraus ersehen wir sofort det dT_{φ} = 1, denn dT_{φ} ist eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale), und alle Forderungen aus a) sind erfüllt. Die Polynome p_{n}(x) haben die Gestalt

∑_{k_{1},...,k_{n−1},ℓ_{1},...,ℓ_{f(n)}} a_{1}^{ℓ_{1}} ⋯ a_{f(n)}^{ℓ_{f(n)}}g_{1}^{k_{1}}...g_{n−1}^{k_{n−1}}C_{k_{1},...,k_{n−1},ℓ_{1},...,ℓ_{f(n)}} \sqrt{\frac{λ_{1}^{k_{1}} … λ_{n−1}^{k_{n−1}}}{λ_{n}}} .

Die a_{n} sind hier die Koeffizienten von φ. Wir machen jetzt eine sehr grobe Abschätzung. Es seien:

(i) A_{n} der Koeffizienten C_{k_{1},...} ungleich Null, (ii) B_{n} die obere Schranke ihrer Beträge, (iii) L_{n} = max{k_{1} + 2k_{2} + ⋯ + (n − 1)k_{n−1}}, (iv) M_{n} = max{ℓ_{1} + 2ℓ_{2} + ⋯ + f(n)ℓ_{f(n)}}.

Nun existiert für alle φ ein M mit a_{n} < M^{n} und für alle Folgen g_{n} aus dem Unterraum vollen Maßes aller Folgen mit ∑ \frac{g_{n}^{2}}{n^{2}} < ∞ (s. [7]) existiert ein C mit g_{n} < Cn. Damit erhalten wir

\begin{aligned}∑_{n=2}^{∞}(λ(x), e_{k})(x, e_{k}) & = ∑_{n=2}^{∞} p_{n}(g_{1}, …, g_{n−1})g_{n} \\ & < ∑_{n=2}^{∞} A_{n}B_{n}(Cf(n))^{M_{n}}M^{L_{n}} \sqrt{\frac{λ_{n−1}^{L_{n}}}{λ_{n}}} . \end{aligned}

Sicher existiert eine stark wachsende Folge λ_{n}, die die Konvergenz der Reihe für alle C, M garantiert.

Bemerkung 14. Die Darstellungen wurden ganz analog zum Fall endlichdimensionaler nilpotenter Lie-Gruppen konstruiert. Diese erweisen sich stets als irreduzibel. Es erhebt sich die Frage, ob sich die Irreduzibilität auf unsere Gruppe G als Untergruppe des projektiven Limes gewisser endlichdimensionaler nilpotenter Liegruppen überträgt. Beispielsweise liefert unsere Konstruktion für die unendlichdimensionale Heisenberg-Gruppe irreduzible Darstellungen.

References

[1] Budzynski, R. J., S. Klimek and P. Sadowski, The group of local biholomorphisms of ℂ^{1} and conformal field theory in the operator formalism, Comm. Math. Phys. 120 (1989), 481–499.

[2] Gichman, I. I., und A. W. Skorochod, Theorie zufälliger Prozesse, Moskau 1971 (russisch).

[3] Kirillov, A. A., “Elements of the theory of representations”, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

[4] —, ,,Einführung in die Darstellungstheorie und nichtkommutative Analysis“, Itogi Nauki i Techniki, Sovremenije Problemi Matematiki, Fundamentalnije Naprawlenja, tom 22, Moskva 1988 (russisch).

[5] Köthe, G., ,,Topologische lineare Räume“, Band 1, Springer-Verlag, Berlin, 1960.

[6]  Schäfer, H., “Topological vector spaces”, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[7] Schilow, G. E. und Fan Dyk Tin, ,,Integral, Maß und Ableitung auf linearen Räumen“, Moskau, 1967 (russisch).

Fachbereich Mathematik Universität Leipzig Augustus-Platz O-7010 Leipzig, Germany

Received July 31, 1991