����������� ������ 52 (2000), 19–25

UDK 517.548

���������� ������ ��� wissenschaftliche Forschungsarbeit

EINIGE ERGEBNISSE ZUR THEORIE POLYANALYTISCHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

M. Čanak und Lj. Protić

I

N. Theodorescu [1] definierte die polyanalytische Funktiom als Lösung der polyanalytischen Differentialgleichung

\frac{∂^{n}w}{∂z̄^{n}} = 0.  (1)

Er zeigte dass die allgemeine Lösung dieser Gleichung die Form

w(z, z̄) = ∑_{k=0}^{n−1} z̄^{k}φ_{k}(z)  (2)

besitzt, wobei φ_{k}(z) beliebige analytische Funktionen sind. Ausserdem hat er die Formel

F^{+}(z, z̄) = \frac{1}{2πi} ∑_{p=0}^{n−1} ∫_{L} \frac{(z̄ − t̄)^{p}}{p! (t − z)} \frac{∂^{p}F^{+}(t, t̄)}{∂t̄^{p}} dt  (3)

ausgeführt, wo die rechte Seite das Cauchysche Integral für die polyanalytische Funktion darstellt.

In seiner Arbeit [2] hat S. Fempl die lineare komplexe Differentialgleichung

D^{n}w + a_{1}D^{n−1}w + ⋯ + a_{n−1}Dw + a_{n}w = 0  (4)

untersucht, wobei a_{k} (k = 1, 2,…, n) gegebene Konstanten sind und

Dw = (u′_{x} − v′_{y}) + i(u′_{y} + v′_{x}) = 2w′ ; z̄  (5)

den bekannten Differentialoperator von Kolossov darstellt. Fempl hat zuerst den Begriff der areolären Exponentialfunktion

E(z, z̄) =^{def} φ(z)e^{rz̄}  (6)

AMS Subject Classification: 34 M 99, 32 W 50

Communicated at the 4th Symposium on Mathematical Analysis and its Applications, Aran - delovac 1997

eingeführt und danach auch gezeigt, dass die allgemeine Lösung von (4) die Form

w(z, z̄) = ∑_{k=1}^{n} E_{k}(z, z̄) = ∑_{k=1}^{n} φ_{k}(z)e^{(r_{k}/2)z̄}  (7)

besitzt, wobei φ_{k}(z) beliebige analytische Funktionen sind, während r_{k} (k = 1, 2,…, n) die Wurzeln der algebraischen Gleichung

s^{n} + a_{1}s^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}s + a_{n} = 0  (8)

darstellen. Im Falle m gleichen Wurzeln der charakteristischen Gleichung (8) gelingt man zum Ausdruck

[φ_{1}(z) + z̄φ_{2}(z) + ⋯ + z̄^{m−1}φ_{m}(z)]e^{(r/2)z̄}  (9)

als dem entsprechenden Teil der Lösung (7).

J. Kečkić hat die Gleichung (4) im Falle, wenn a_{k} = a_{k}(z) gegebene analytische Funktionen sind, gelöst.

Es sei beliebiges Polynom

M(t) = b_{0} + b_{1}t + ⋯ + b_{n−1}t^{n−1} + t^{n}  (10)

gegeben. V. Gabrinovič [4] definierte die sgn. metaanalytische Funktionen U(z, z̄) im Bezug auf das Polynom M(t) als Lösungen der metaanalytischen Differentialgleichung

M (\frac{∂}{∂z̄}) U = 0.  (11)

Er zeigte dass diese Funktionen folgende Form

U(z, z̄) = ∑_{k=1}^{s} F_{k}(z, z̄)e^{t_{k}z̄} = ∑_{k=1}^{s} ( ∑_{l=0}^{m_{k}−1} f_{kl}(z)z̄^{l}) e^{t_{k}z̄}  (12)

besitzen. Hier sind:

t_{k} (k = 1, 2,…, s) – Wurzeln des Polynoms (10),

m_{k} – Mannigfaltigkeit der Wurzeln t_{k} (∑_{k=1}^{s} = n),

f_{kl}(z) – analytische Funktionen (k = 1, 2,…, s, l = 0, 1,…, m_{k−1}),

F_{k}(z, z̄) – polyanalytische Funktionen in einem Gebiet D.

Gabrinovič hat auch eine Rabdwertaufgabe vom Carlemantypus für diese Funktionenklasse gelöst.

Es ist klar, dass die Klasse der metaanalytischen Funktionen mit den regulären Lösungen der Differentialgleichung (4) dh. mit den areolären Exponentialfunktionen koinzidiert und dass S. Fempl der erste war, der diese Funktionenklasse eingeführt hat.

II

In seiner Arbeit [5] hat M. Čanak den Begriff der p-polyanalytische Funktion in der Form

f(z, z̄) = ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} f_{k}(z, z̄)  (13)

eingeführt, wobei f_{k}(z, z̄) beliebige p-analytische Funktionen sind, die durch das bekannte partielle Gleichungssystem von Položij

u′_{x} = \frac{1}{p} v′_{y},  u′_{y} = −\frac{1}{p} v′_{x}  (14)

definiert werden. Diese System können wir auch in der Form

u′_{x} − v′_{y} = \frac{1 − p}{p} v′_{y},  u′_{y} + v′_{x} = −\frac{1 − p}{p} v′_{x}  (15)

schreiben. Wenn man die zweite Gleichung (15) mit i multipliziert und mit der ersten addiert, so erhält man die folgende komplexe Gleichung

pDf + i(1 − p)Dv = 0  (p ≠ 0, f(z, z̄) = u + iv).  (16)

In der Gleichung (16) ist die Charakteristik p = p(x, y) eine reelle Funktion der reellen Veränderlichen x und y. Im speziellen Fall p = c = const geht die Gleichung (16) in

D[pf + i(1 − p)v] = 0

über. Daraus folgt pf + i(1 − p)v = φ(z), oder

\frac{p + 1}{2} f + \frac{p − 1}{2} f̄ = φ(z).  (17)

Aus (17) erhalten wir durch Konjugation nach einer kürzeren Rechnung die Formel

\frac{p + 1}{2p} φ − \frac{p − 1}{2p} φ̄ = f(z, z̄).  (18)

Es sei K die Menge der stetigen komplexen Funktionen, P_{c} – die Menge der panalytischen Funktionen mit der konstanten Charakteristik p = c und A die Menge der analytischen Funktionen in einem geschlossenen Gebiet T (A ⊂ P_{c} ⊂ K). Auf Grund der Formeln (17) und (18) führen wir auf der Menge K folgende Operatoren

R_{c}w = \frac{(c + 1)w − (c − 1)w̄}{2c} , R_{c}^{−1}w = \frac{(c + 1)w + (c − 1)w̄}{2}

ein. Leicht sehen wir dass R_{c}^{−1}R_{c}w = R_{c}R_{c}^{−1}w = w(z, z̄) gilt.

Jeder analytischen Funktion φ(z) entspricht auf eine einzige Art und Weisse eine p-analytische Funktion f(z, z̄) mit der konstanten Charakteristik p = c mittels des Operators

R_{c}φ = \frac{c + 1}{2c} φ − \frac{c − 1}{2c} φ̄ = f(z, z̄).

Andererseits entspricht jeder p_{c}-analytischer Funktion f(z, z̄) eine analytische Funktion, mittels des Operators

R_{c}^{−1}f = \frac{c + 1}{2} f + \frac{c − 1}{2} f̄ = φ(z).

Betrachten wir jetzt folgende komplexe Polynome

F (z, z̄) = ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} f_{k_{c}}(z, z̄)  (19)

Φ(z, z̄) = ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} φ_{k}(z)  (20)

wobei f_{k_{c}} beliebige p-analytische Funktionen mit der konstanten Charakteristik p = c sind, und φ_{k}(z) beliebige analytische Funktionen darstellen. Dabei ist F (z, z̄) eine p-polyanalytische Funktion und Φ(z, z̄) ein gewöhnliches areoläres Polynom. Leicht sehen wir die folgenden Eigenschaften

R_{c}^{−1}F = R_{c}^{−1} [ ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} f_{k_{c}}] = ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} R_{c}^{−1}f_{k_{c}}  (21)

R_{c}Φ = R_{c} [ ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} φ_{k}] = ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} R_{c}φ_{k}  (22)

gelten.

Auf der Menge der differenzierbaren komplexen Funktionen im Sinne von Kolossov führen wir einen neuen Operator als Komposition der Operatoren R_{c}, R_{c}^{−1} und D durch folgende Formel

A_{c}w(z, z̄) = R_{c}DR_{c}^{−1}w  (23)

ein. Diesser Operator stellt die Verallgemeinerung des Operators von Kolossov D dar und reduziert sich im speziellen Fall (c = 1) auf denselben. Auf Grund (21) und (22) sehen wir dass die folgenden Eigenschaften dieses Operators

A_{c}^{0}w = R_{c}R_{c}^{−1}w, A_{c}^{1}w = A_{c}w, …, A_{c}^{k}w = A_{c}[A_{c}^{k−1}w]  (24)
A_{c} [ ∑_{k=0}^{n} (\frac{z + z̄}{2})^{k} f_{k_{c}}] = ∑_{k=1}^{n} k (\frac{z + z̄}{2})^{k−1} f_{k_{c}}  (25)

gelten.

Jetzt können wir die p-polyanalytische Differentialgleichung in der Form

A_{c}^{n}w = 0  (26)

einführen, wobei c gegebene, konstante Charakteristik ist. Auf Grund der Eigenschaft (25) finden wir leicht ihre allgemeine Lösung in der Form

w(z, z̄) = ∑_{k=0}^{n−1} (\frac{z + z̄}{2})^{k} f_{k_{c}}  (27)

wobei f_{k} beliebige p-analytische Funktionen mit der konstanten Charakteristik p = c in einem Gebiet T sind.

III

In seihen zahlreichen Arbeiten (siehe z.B. [6]) hat M. Balk eine ausführilche Theorie der polyanalytischen Funktionen entwickelt. Dabei definierte er auch die sgn. verallgemeinerten polyanalytischen Funktionen als Lösungen der Differentialgleichung

D_{A}^{n}f = 0,  (D_{A}f = f ′ ; z̄ + Af)  (28)

wobei A = A(z, z̄) gegebene, stetige Funktion in einem Gebiet T ist.

Für n = 1 haben wir die Differentialgleichung

f ′ ; z̄ + A(z, z̄)f = 0.  (29)

Ihre allgemeine Lösung auf Grund der Methode von Fempl (siehe [7]) ist

f(z, z̄) = Q(z) exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)  (30)

wobei Q(z) beliebige analytische Funktion darstellt.

Für n = 2 haben wir die Differentialgleichung D_{A}^{2}f = 0. Daraus folgt

D_{A}f = f ′ ; z̄ + A(z, z̄)f = Q(z) exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄).  (31)

Auf Grund der gleichen Methode finden wir die allgemeine Lösung von (31) in der Form

f(z, z̄) = exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)[Q_{1}(z) + z̄Q_{2}(z)].  (32)

Mit Hilfe der mathematischen Induktion finden wir auch die allgemeine Lösung der Differentialgleichung von Balk (28) in der form

f(z, z̄) = exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)[Q_{1}(z) + z̄Q_{2}(z) + ⋯ + z̄^{n−1}Q_{n}(z)] (33)

wobei Q_{1}(z), …, Q_{n}(z) beliebige analytische Funktionen sind. Diese Lösung stellt eine verallgemeinerte areoläre Exponentialfunktion in Sinne von Fempl dar.

Bemerkung. Im Falle A(z, z̄) = 0 geht die Gleichung von Balk (28) in die polyanalytische Differentialgleichung und die Lösung (33) in die gewöhnliche polyanalytische Funktion über. Im Falle A(z, z̄) = A(z) geht die Lösung (33) in

f(z, z̄) = exp(−z̄A(z))[Q_{1}(z) + z̄Q_{2}(z) + ⋯ + z̄^{n−1}Q_{n}(z)]  (34)

über und stellt die gewöhnliche Exponentialfunktion von Fempl dar.

IV

Eine weitere Verallgemeinerung stellt die Gleichung

F_{A,B}^{n}w = 0  (35)

mit F_{A,B}w = w′ ; z̄ + A(z, z̄)w + B(z, z̄), wobei A(z, z̄) und B(z, z̄) gegebene, stetige Funktionen in einem geschlossenen Gebiet T sind, dar.

Für n = 1 haben wir die Differentialgleichung

w′ ; z̄ + A(z, z̄)w + B(z, z̄) = 0.  (36)

Ihre allgemeine Lösung auf Grund [7] ist

w(z, z̄) = exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)[Q(z) − ∫ B(z, z̄) exp(∫ A(z, z̄) dz̄) dz̄]

oder

w(z, z̄) = Q(z) exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) + S_{1}(z, z̄)  (37)

mit

S_{1}(z, z̄) = − exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) ∫ B(z, z̄) exp(∫ A(z, z̄) dz̄) dz̄, (38)

wobei Q(z) beliebige analytische Funktion darstellt.

Für n = 2 haben wir die Differentialgleichung F_{A,B}^{2}w = 0. Daraus folgt

F_{A,B}w = Q(z) exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) + S_{1}(z, z̄)

oder

w′ ; z̄ + A(z, z̄)w + [B(z, z̄) − Q(z) exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) − S_{1}(z, z̄)] = 0. (39)

Auf Grund der gleichen Methode finden wir die allgemeine Lösung von (39) in der Form

w(z, z̄) = exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)[Q_{1}(z) + z̄Q_{2}(z)] + S_{2}(z, z̄)  (40)

mit

S_{2}(z, z̄) = − exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) ∫ [B(z, z̄)−S_{1}(z, z̄)] exp(∫ A(z, z̄) dz̄) dz̄. (41)

Mit Hilfe der mathematischen Induktion finden wir auch die allgemeine Lösung der polyanalytischen Differentialgleichung vom Fempltypus (35) in der Form

w(z, z̄) = exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄)[Q_{1}(z) + z̄Q_{2}(z) + ⋯ + z̄^{n−1}Q_{n}(z)] + S_{n}(z, z̄) (42)

wobei Q_{1}(z), …, Q_{n}(z) beliebige analytische Funktionen sind, während die Funktion S_{n}(z, z̄) der rekurrenten Formel

S_{n}(z, z̄) = − exp(− ∫ A(z, z̄) dz̄) ∫ [B(z, z̄) − S_{n−1}(z, z̄)] exp(∫ A(z, z̄) dz̄) dz̄.

(43)

genügt.

Bemerkung. Im Falle B(z, z̄) = 0 erhält man S_{1} = S_{2} = ⋯ = S_{n} = 0 und die Gleichung (35) geht in die polyanalytische Gleichung von Balk über. Im Falle A(z, z̄) = A(z) und B(z, z̄) = B(z) erhält man

S_{n} = −\frac{B}{A} + \frac{S_{n−1}}{A} = −\frac{B}{A} − \frac{B}{A^{2}} + \frac{S_{n−2}}{A^{2}} = ⋯

= −\frac{B}{A} − \frac{B}{A^{2}} − ⋯ − \frac{B}{A^{n}} = −\frac{B(z)[A^{n}(z) − 1]}{A^{n}(z)[A(z) − 1]}

und die Lösung (42) stellt wieder eine gewöhnliche areoläre Exponentialfunktion von Fempl dar.

LITERATUR

[1] Theodorescu, N., La dérivée areolaire …, These, Paris 1931.

[2] Fempl, S., Areoläre Exponentialfunktion als Lösung einer Klasse Differentialgleichungen, Publ. de l’Inst. Math. Belgrade 8(22) (1968), 138–142.

[3] Kečkić, J., O jednoj klasi parcijalnih jednačina, Mat. Vesnik 6(21) (1969), 71–73.

[4] Gabrinovič, V., O kraevoji zadache tipa Kerlemana dlya metaanaliticheskih funkciji, DAN SSSR 21, 2 (1977), 112–115.

[5] Čanak, M., Randwertaufgabe vom Riemanntypus für die p-polyanalytischen Funktionen auf der spriralförmigen Kontur, Mat. Vesnik 40 (1988), 197–203.

[6] Balk, M., Polyanalytic Functions, Complex Abalysis, Akademie Verlag, Berlin 1983, pp. 68–84.

[7] Fempl, S., Reguläre Lösungen eines Systems partieller Differentialgleichungen, Publ. de l’Inst. Math. Belgrade 4(18) (1964), 115–120.

(received 01.08.1997., in revised form 15.09.2000.)

Poljoprivredni fakultet, Nemanjina 6, 11080 Zemun, Yugoslavia

Matematički fakultet, Studentski trg 16, 11000 Beograd, Yugoslavia