����������� ������ 53 (2001), 61–70

UDK 519.213

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RECHERCHE DES ENSEMBLES MINIMUM POUR UNE CASCADE DE FILES D’ATTENTE AVEC IMPATIENCE

Abdalkader Gheriballah et Bénamar Chouaf

Résumé. Des conditions de récurrence et de récurrence positives sont obtenues sur un système de files d’attente dans lequel les clients impatients quittent la chaine. Les temps des inter-arrivés, les temps de service et les temps d’impatience sont indépendants et indépendantes entre eux.

1. Introduction

En 1978 F. Charlot et J. Pujolle [2] ont étudié la récurrence et les ensembles minimum pour un système de files d’attente composé d’une seule station. En 1979 Numelin [7] a étudié les systémes de files d’attente classiques en tandem. Le but de notre travail est d’étudier les systèmes de files d’attente en tandem avec impatience et de déterminer les ensembles où notre système récurre.

Nous supposons que notre première station à un serveur alimente une autre station à un seul serveur. Les clients arrivent dans le système aux instants A_{1}, A_{1} + A_{2}, …, A_{1} + A_{2} + ⋯ + A_{n}, … suivant la discipline “FIFO”, et réclament des temps de services B_{n} = (B_{n}^{1}, B_{n}^{2})_{n} où pour tout i ∈ {1, 2}; B^{i} représente le temps de service du client à la ième station. Bien sûr le temps de sortie d’un client de la première station correspond à l’instant d’entré à la deuxième station. Nous supposons que les variables (A_{n}, B_{n})_{n} sont indépendantes ainsi que les (C_{n})_{n} qui représentent les temps d’impatience des clients. On note W_{n} = (W_{n}^{1}, W_{n}^{2}) le vecteur d’attente global du client “n” dans le système, où pour tout i, W_{n}^{i} représente le temps d’attente du client “n” à la ième station.

On étudie dans un premier temps, la première station avec impatience c’est à dire à tout moment le client peut quitter le système, donc il n’est pas servi. Dans un deuxième temps, nous supposons que la première station est G/G/1 et la deuxième est avec impatience. Enfin dans un dernier temps nous supposons que la première et la deuxième station sont avec impatience.

AMS Subject Classification: 60 K 25

Mots clés: Chaines de Markov, récurrence, récurrence positive, file d’attente, tandem

2. Notations et Définitions

Soient α, β, μ trois mesures de probabilité sur (ℝ_{+}, B_{ℝ_{+}})

γ une mesure de probabilité sur (\overline{ℝ}_{+}, B_{\overline{ℝ}_{+}})

(Ω, A, ℙ) espace fondamental de probabilité de notre problème, Ω = (ℝ_{+} × ℝ_{+} × ℝ_{+} × \overline{ℝ}_{+})^{ℕ}. A = (B_{ℝ_{+}} ⊗ B_{ℝ_{+}} ⊗ B_{ℝ_{+}} ⊗ B_{\overline{ℝ}_{+}})^{⊗ℕ}.

ℙ = (α ⊗ β ⊗ μ ⊗ γ)^{⊗ℕ}. (A_{n}, B_{n}, C_{n}; n ≥ 1) est la famille des coordonées de l’espace Ω. Θ l’opérateur shift de Ω défini de Ω: ∀n ≥ 1, A_{n} ∘ Θ = A_{n+1}, B_{n} = (B_{n}^{1}, B_{n}^{2}) ∘ Θ = B_{n+1} = (B_{n+1}^{1}, B_{n+1}^{2}), C_{n} ∘ Θ = C_{n+1}, B′_{n} = B_{n}1_{{C_{n}=∞}}, C′_{n} = C_{n}1_{{C_{n}<∞}}. A_{0} = {∅, Ω}; ∀n ≥ 1 A_{n} = σ(A_{p}, B_{p}, C_{p}; 1 ≤ p ≤ n);

a = ess. sup A_{1} = inf{t ≥ 0 α([0, t]) = 1}
b^{1} = ess. inf B_{1} = sup{t ≥ 0 β([t, +∞[) = 1}
b^{2} = ess. inf B_{2} = sup{t ≥ 0 β([t, +∞[) = 1}
c = ess. inf C_{1}

A_{n} est l’inter-arrivé entre le client “n” et le client “n − 1”. B_{n} est le temps de service du client “n − 1”. C_{n} est le temps d’impatience du client “n − 1”.

On suppose que les les trois suites sont indépendantes et chaque suite est formée par des variables indépendantes équidistribuées. Le client “0” arrive à l’instant “0”. Le client “n” arrive à l’instant ∑_{i=1}^{n} A_{i}.

Soit x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2} la charge du système à l’instant t = 0 c’est à dire W_{0} = (W_{0}^{1}, W_{0}^{2}) = x. On note W_{n} par W_{n}^{x} dans le cas ou x ≠ 0. W_{n}^{x} = (W_{n}^{1,x_{1}}, W_{n}^{2,x_{2}}).

Pour tout x ∈ ℝ_{+} on définit le processus stochastique W^{x} sur (Ω, A, ℙ) par

W^{x}(ω) = (W_{n}^{x}(w); n ∈ ℕ) = (W_{n}(x, ω); n ∈ ℕ)

Lemme 2.1. [2] Soit

f : ℝ_{+} × ℝ_{+} × ℝ_{+} × \overline{ℝ}_{+} ⟶ ℝ_{+}
(x, a, b, c) ⟼ f(x, a, b, c) = ((x + b) ∧ (x ∨ c) − a)_{+}

(i) f est croissante en b, c, x et décroissante en a (ii) ∀(x, a, b, c,), ∀(x′, a′, b′, c′)

|f(x, a, b, c,) − f(x′, a′, b′, c′)| ≤ max(|x − x′|, |a − a′|, |b − b′|, |c − c′|)

Théorème 2.1. [4] Soient (Y_{n}; n ∈ ℕ) une chaine de Markov récurrente positive et g: E → ℝ^{m} une fonction mesurable. On pose X_{n} = g(Y_{n}). Soit f une fonction borélienne de ℝ_{+}^{k} × ℝ^{m} dans ℝ_{+}^{k} croissante et continue à gauche par rapport à la première coordonnée. Pour tout x ∈ ℝ_{+}^{k} on pose

\{ \begin{matrix}W_{0}^{x} & = x \\ W_{n+1}^{x} & = f(W_{n}^{x}, X_{n+1}). \end{matrix}

On suppose que

(i) Sous ℙ_{m}, (W_{n}^{0}) converge en loi; (ii) ∀y ∈ E, ℙ_{y}(lim sup_{n}{W_{n}^{x} = W_{n}^{0}}) = 1,

alors ((Y_{n}, W_{n}^{x}); n ∈ ℕ) est une chaine de Markov homogène récurrente positive d’état initial (Y_{0}, x).

3. Résultats

3.1. Premier cas (Impatience, Classique)

Si nous considérons que la première station est avec impatience, et la deuxième est classique, alors l’équation de récurrence dans la première station est donnée par(voir [2])

W_{n+1}^{1} = (W_{n}^{1} + B_{n+1}^{1} − A_{n+1})_{+} ∧ (W_{n}^{1} ∨ C_{n+1} − A_{n+1})_{+}

et dans la deuxième station par

W_{n+1}^{2} = \{ \begin{matrix}(W_{n}^{2} + B_{n+1}^{2} − A′_{n+1})_{+}, & si W_{n}^{1} + B_{n+1}^{1} ≤ C_{n+1}, \\ (W_{n}^{2} − A′_{n+1})_{+}, & sinon, \end{matrix}

où A′_{n+1} = W_{n+1}^{1} + B_{n+2}^{1} − W_{n}^{1} − B_{n+1}^{1} + A_{n+1}.

3.1.1. Irréductibilité Proposition 3.1.

(i) Si min(b^{1} − a, c − a) < 0 et b^{2} − a < 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) > 0.

(ii) Si min(b^{1} − a, c − a) ≥ 0 et b^{2} − a < 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ∀ε > 0; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ [c − a, c − a + ε] × {0}}) > 0.

Preuve. (i) Supposons que b^{1} − a < 0 et b^{2} − a < 0. Soit ε > 0 tel que

b^{1} − a + ε < 0 et b^{2} − a + ε < 0. Si on prend N_{1} = [\frac{x_{1}}{(a − b^{1} − ε)}] + 1; N_{2} =

[\frac{x_{1} + x_{2} + ε}{(a − b^{2} − ε)}] et N = max(N_{1}, N_{2}), alors

F = {⋂_{i=1}^{N}(B_{i}^{1} ≤ b^{1} + ε/2; A_{i} ≥ a − ε/2; B_{i}^{2} ≤ b^{2} + ε/2)} ⊂ {W_{N+1}^{x} = 0}.

64 A. Gheriballah, B. Chouaf

Donc

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) ≥ ℙ(F) = (ℙ(B_{1}^{1} ≤ b^{1}+ε/2; A_{1} ≥ a−ε/2; B_{1}^{2} ≤ b^{2}+ε/2))^{N} > 0.

Supposons maintenant que c−a < 0 et b^{2}−a < 0. Soit ε > 0 tel que b^{2}−a+ε <

0. Posons N_{1} = [\frac{x_{1}}{(a − ε/2)}] + 1; N_{2} = [\frac{x_{1} + x_{2} + ε}{(a − b^{2} − ε)}] + 1 et N = max(N_{1}, N_{2}),

alors

F = ⋂_{i=1}^{N}{C_{i} − A_{i} ≤ 0; B_{i}^{2} ≤ b^{2} + ε/2, A_{i} ≥ a − ε/2} ⊂ {W_{N+1}^{x} = 0},

d’où

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) ≥ ℙ(F) = (ℙ(C_{1} − A_{1} ≤ 0; A_{1} ≥ a − ε/2; B_{1}^{2} ≤ b^{2} + ε/2))^{N} > 0.

(ii) b^{1} − a ≥ 0; c − a ≥ 0; b^{2} − a < 0. Soit ε > 0 tels que 2ε ≤ a et

b^{2} − a + ε < 0. Si on prend N_{1} = [\frac{(x_{1} − c − ε)_{+}}{(a − ε)} ] + 1; N_{2} = [\frac{x_{1} + x_{2} + ε}{(a − b^{2} − ε)}] + 1 et

N = max(N_{1}, N_{2}), alors

F = ⋂_{i=1}^{N+2}{C_{i} ≤ c+ε/2; A_{i} ≥ a−ε/2; B_{i}^{2} ≤ b^{2}+ε/2} ⊂ {W_{N+2} ∈ [c−a, c−a+ε]×{0}}

donc

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ [c − a, c − a + ε] × {0}}) ≥ ℙ(F)

= (ℙ(C_{1} ≤ c + ε/2; A_{1} ≥ a − ε/2; B_{1}^{2} ≤ b^{2} + ε/2))^{N+2} > 0

d’où le résultat.

3.1.2. Récurrence. Supposons maintenant que (W_{n}^{x_{1},1}, n ≥ 0) est une chaine de Markov récurrente positive et que “μ” sa unique mesure invariante.

Proposition 3.2. Sous l’hypothèse ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) > 𝔼(A_{1}) la chaine (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est transiente.

Preuve. Cette proposition est une conséquence de l’inégalité W_{n}^{2,x_{2}} ≥ (W_{n}^{2,x_{2}} + B′_{n+1} − A′_{n+1})_{+} et des résultats sur les files classiques GI/G/1.

Théorème 3.1. Sous les hypothèses ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{1}) < 𝔼(A_{1}) et 𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), la chaine (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est récurrente positive au sens de Harris.

Preuve. Si ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{1}) < 𝔼(A_{1}), alors la chaine (W_{n}^{1,x_{1}}, n ≥ 0) est récurrente positive [2], on suppose que sa mesure invariante est μ.

Posons X_{n+1} = (B_{n+1}^{2} − A′_{n+1}) et T = inf(n ≥ 1; W_{n}^{x_{2},2} = 0). On a

W_{n}^{2,x_{2}} ≤ (x_{2} + ∑_{i=1}^{n} X_{i})_{+} = (x_{2} + ∑_{i=1}^{n}(B_{i}^{2} − A_{i}) + W_{0}^{1} − W_{n+1}^{1} + B_{1}^{1} − B_{n+1}^{1})_{+}.

Si 𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), alors

∑_{i=1}^{n}(B_{i}^{2} − A_{i}) + W_{0}^{1} − W_{n+1}^{1} + B_{1}^{1} − B_{n+1}^{1} ⟶_{n→∞} −∞ ℙ_{μ}.p.s

ce qui implique que ℙ_{μ}(T < ∞) = 1, par suite ℙ_{μ}(lim sup_{n}{W_{n}^{2,x_{2}} = 0}) = 1.

D’où ℙ_{μ}( ⋂_{x_{2}∈ℝ_{+}} lim sup_{n}{W_{n}^{x_{2},2} = 0}) = 1. Comme la chaine (W_{n}^{1}; n ∈ ℕ) est

récurrente positive, alors pour tout x_{1} ∈ ℝ_{+}, ℙ_{x_{1}}( ⋂_{x_{2}∈ℝ_{+}} lim sup_{n}{W_{n}^{2,x_{2}} = 0}) = 1,

d’où la condition (ii) du Théorème 2.1. D’autre part on sait que

W^{2,0} ≤ M = sup_{n≥0} ∑_{i=1}^{n} X_{i}.

sous l’hypothèse 𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), M est une variable aléatoitre positive finie ℙ_{μ}.p.s, d’où la condition (i) du Théorème 2.1, et par suite W_{n}^{x} est une chaine de Markov homogène récurrente positive.

Remarque 3.1. Soit V l’ensemble défini par

\{ \begin{matrix}V = \{0\} × \{0\}, & si min(b^{1} − a, c − a) < 0 et b^{2} − a < 0, \\ V = [c − a, c − a + ε] × \{0\}, & si min(b − a, c − a) ≥ 0 et b^{2} − a < 0. \end{matrix}

De la Proposition 3.1 et Théorème 3.1 on conclut que ℙ(lim sup_{n}{W_{n}^{x} ∈ V }) = 1.

Si min(b^{1} − a, c − a) < 0 et b^{2} − a < 0 la chaine récurre au point “0”. Si min(b^{1} − a, c − a) ≥ 0 et b^{2} − a < 0 la chaine récurre dans l’ensemble [c − a, c − a + ε] × {0}.

Remarque 3.2. La condition 𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}) est optimale dont voici

l’exemple x_{1} = 0; A_{n} = 1; B_{n}^{1} = 1; ℙ(C_{n} = 2) = \frac{1}{2}; ℙ(C_{n} = ∞) = \frac{1}{2} alors

W_{n+1}^{2} = (W_{n}^{2} + B_{n+1}^{2} − A_{n+1})_{+}

c’est à dire notre condition devient nécessaire et suffisante.

3.2. Deuxième cas (Classique, Impatience).

On considère maintenant que la première station est classique, et la deuxième est avec impatience, alors nous avons les équations de récurrence suivantes

W_{n+1}^{1} = (W_{n}^{1} + B_{n+1}^{1} − A_{n+1})_{+}
W_{n+1}^{2} = (W_{n}^{2} + B_{n+1}^{2} − A′_{n+1})_{+} ∧ (W_{n}^{2} ∨ (C_{n+1} − W_{n}^{1} − B_{n+1}^{1})_{+} − A′_{n+1})_{+} (I)

3.2.1. Irréductibilité. Proposition 3.3. i) Si b^{1} − a < 0 et min(b^{2} − a, c − b^{1} − a) < 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) > 0

ii) Si b^{1} − a < 0 et min(b^{2} − a, c − a − b^{1}) ≥ 0, alors ∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ∀ε > 0;

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ {0} × [c − a − b^{1} − ε/2, c − a − b^{1} + 3ε/2]}) > 0.

Preuve. (i) Si b^{1} − a < 0 et b^{2} − a < 0 la démonstration est identique à celle de la Proposition 3.1.

Soient c − a < 0 et b^{1} − a < 0. Soient ε > 0 tel que b^{1} − a + ε < 0; N_{1} =

[\frac{x_{1}}{(a − b^{1} − ε)}]; et N_{2} = [\frac{x_{1} + x_{2} + ε}{(a − ε)}] + 1. Si on prend N = max(N_{1}, N_{2}), alors

F = ⋂_{i=1}^{N}{C_{i} − A_{i} ≤ 0; B_{i}^{2} ≤ b^{2} + ε/2; A_{i} ≥ a − ε/2} ⊂ {W_{N+1}^{x} = 0}

d’où

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) ≥ ℙ(F) = (ℙ(C_{1} −A_{1} ≤ 0; A_{1} ≥ a−ε/2; B_{1}^{2} ≤ b^{2} +ε/2))^{N} > 0.

(ii) b^{1} − a < 0; c − a − b^{1} ≥ 0; b^{2} − a ≥ 0. Soit ε > 0 tel que 2ε ≤ a et

b^{1} − a + ε < 0. Si on prend N_{1} = [\frac{x_{1}}{(a − b^{1} − ε)}] + 1; N_{2} = [\frac{(c − a − b^{1})}{(b^{2} − a + ε/2)}] + 1;

N_{3} = max(N_{1}, N_{2}); N_{4} = [\frac{(x_{1} + x_{2} − c − ε)_{+}}{(a − ε)} ] + 1; et N = max(N_{3}, N_{4}), alors

F = ⋂_{i=1}^{N+2}{C_{i} ≤ c + ε/2; A_{i} ≥ a − ε/2; B_{i}^{1} ≤ b^{1} + ε/2; B_{i}^{2} ≤ b^{2} + ε/2}

⊂ {W_{N+2}^{x} ∈ {0} × [c − a − b^{1} − ε/2, c − a − b^{1} + 3ε/2]}

donc

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ {0} × [c − a − b^{1} − ε/2, c − a − b^{1} + 3ε/2]}) ≥ ℙ(F)

= (ℙ(C_{1} ≤ c + ε/2; A_{1} ≥ a − ε/2; B_{1}^{1} ≤ b^{1} + ε/2; B_{1}^{2} ≤ b^{2} + ε/2))^{N+2} > 0

d’où le résultat.

3.2.2. Récurrence. Supposons que (W_{n}^{x_{1},1}, n ≥ 0) est une chaine de Markov récurrente positive et “m” sa unique mesure invariante.

Proposition 3.4. Si ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) > 𝔼(A_{1}), alors (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est une chaine de Markov transiente.

Preuve. La démonstration est identique à celle de la Proposition 3.2.

Lemme 3.1. lim inf_{n} W_{n}^{x_{2},2} est constante indépendante de x_{2} ℙ_{m}.p.s.

Preuve. Le lemme est conséquence directe de la loi (0,1) et la proposition 3.3.

Lemme 3.2. Sous l’hypothèse ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), lim inf_{n} W_{n}^{x_{2},2} est finie ℙ_{m}.p.s.

Preuve. D’aprés le Lemme 3.1, il suffit de montrer que ℙ(lim inf_{n} W_{n}^{x_{2},2} < ∞) > 0. On a [2]

\overline{W} _{n}^{2,x_{2}} = (∑_{i=1}^{n}(B′_{i}^{2} − A′_{i}) + ∑_{i=1}^{n−1}(C′_{i+1} − \overline{W} _{i}^{2,x_{2}})_{+} + x_{2} ∨ C′_{1})_{+} ℙ_{m}.p.s

1^{er} cas. Si C′_{1} est bornée et si lim inf_{n} W_{n}^{2,x_{2}} = +∞, alors

∑_{i=1}^{n}(C′_{i+1} − \overline{W} _{i}^{2,x_{2}})_{+} < +∞ ℙ_{m}.p.s

ce qui implique que

∑_{i=1}^{n}(B′_{i}^{2} − A′_{i}) = ∑_{i=1}^{n}(B′_{i}^{2} − A_{i}) − W_{n+1}^{1} + W_{0} − B_{n+1}^{1} + B_{1}^{1} ⟶_{n→∞} +∞

d’aprés théorème de Birkhoff on a 𝔼(B′_{i}^{2} − A_{i}) > 0. Par suite 𝔼(B′_{i}^{2}) = ℙ(C_{i} = +∞)𝔼(B_{i}^{2}) > 𝔼(A_{i}), ce qui est absurde.

2^{eme} cas. C′_{1} n’est pas bornée. On remplace C_{i} par C_{i}^{k}

\{ \begin{matrix}C_{i}^{k} = +∞, & si C_{i} ≥ k \\ C_{i}^{k} = C_{i}, & si C_{i} < k \end{matrix}

Donc C_{i}^{k} ≥ C_{i} pour tout i. On considère la suite (W_{k,n}^{2}; n ≥ 0) construite de (A′_{n}, B_{n}^{2}, C_{n}^{k})_{n∈ℕ} tout comme la suite (W_{n}^{2}; n ≥ 0) construite de (A′_{n}, B_{n}^{2}, C_{n})_{n∈ℕ}, cependant pour tout n, on a W_{k,n}^{2} ≥ W_{n}^{2}. Donc

lim_{n} inf W_{n}^{2,x_{2}} = +∞ ⟹ lim_{n} inf W_{k,n}^{2,x_{2}} = +∞.

D’aprés le cas précedent on a 𝔼(B_{i}^{2}1_{{C_{i}^{k}=∞}} − A_{i}) > 0, et par conséquent ℙ(C_{i}^{k} = +∞)𝔼(B_{i}^{2}) = ℙ(C_{i} ≥ k)𝔼(B_{i}) > 𝔼(A_{i}) ∀k ∈ ℕ. On fait tendre k vers l’infini, on obtient ℙ(C_{i} = ∞)𝔼(B_{i}^{2}) ≥ 𝔼(A_{i}). D’où la contradiction.

Théorème 3.2. Si 𝔼(B_{1}^{1}) < 𝔼(A_{1}) et ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), alors (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est une chaine de Markov récurrente positive.

Preuve. Sous l’hypothèse 𝔼(B_{1}^{1}) < 𝔼(A_{1}), (W_{n}^{1})_{n} est une chaine de Markov récurrente positive au sens de Harris [4].

On a d’aprés le lemme 3.2 la condition (ii) du Théorème 2.1. Pour montrer que W_{n}^{2,0} converge en loi, il suffit de voir que [2]

W_{n}^{2,0} ≤ Z = sup_{n≥0}(k + ∑_{i=1}^{n+1}(B_{i}^{2}1_{{C_{i}≥k}} − A′_{i}))

et que sous l’hypothèse ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), Z est P_{m}.p.s finie d’aprés théorème de Birkhoff. La récurrence de la chaine découle directement du Théorème 2.1.

D’aprés la Proposition 3.3 notre système récurre dans ce cas dans l’ensemble defini par

V = {0} × {0},  si min(b^{2} − a, c − a − b^{1}) < 0
et b^{1} − a < 0,
V = \{0\} × [c − a − b^{1} − \frac{ε}{2}, c − a − b^{1} + \frac{3ε}{2}], si min(b^{2} − a, c − a − b^{1}) ≥ 0
et b^{1} − a < 0.

3.3. Troisième Cas (Impatience, Impatience) Considérons maintenant les deux stations avec impatience, cependant nous

avons les équations suivantes

W_{n+1}^{1} = (W_{n}^{1} + B_{n+1} − A_{n+1})_{+} ∧ (W_{n}^{1} ∨ C_{n+1} − A_{n+1})_{+}

et

W_{n+1}^{2} = (W_{n}^{2} + B_{n+1}^{2} − A′_{n+1})_{+} ∧ (W_{n}^{2} ∨ (C_{n+1} − W_{n}^{1} − B_{n+1}^{1})_{+} − A′_{n+1})_{+}

3.3.1. Irréductibilité Proposition 3.5.

(1) Si c − a < 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) > 0.

(2)Supposons que c − a ≥ 0.

(i) Si b^{1} − a < 0 et min(b^{2} − a, c − b^{1} − a) < 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} = 0}) > 0.

(ii) Si b^{1} − a < 0 et min(b^{2} − a, c − a − b^{1}) ≥ 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ∀ε > 0; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ {0}×[c−a−b^{1}ε/2, c−a−b^{1}+3ε/2]}) > 0.

(iii) Si b^{1} − a > 0, alors

∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ_{+}^{2}; ∀ε > 0; ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ [c − a, c − a + ε] × {0}}) > 0.

Preuve. (1) et (2) (i) et (ii) La démonstration est identique à celle de la Proposition 3.3.

(iii) Si on prend N_{1} = [\frac{(x_{1} − c − ε)_{+}}{(a − ε)} ] + 1; N_{2} = [\frac{x_{2}}{(a − ε/2)}] et N =

max(N_{1}, N_{2}), alors

F = ⋂_{i=1}^{N+2}{C_{i} ≤ c+ε/2; A_{i} ≥ a−ε/2; B_{i}^{2} ≤ b^{2}+ε/2} ⊂ {W_{N+2} ∈ [c−a, c−a+ε]×{0}}

donc

ℙ( ⋃_{n≥0}{W_{n}^{x} ∈ [c − a, c − a + ε] × {0}}) ≥ ℙ(F)

= (ℙ(C_{1} ≤ c + ε/2; A_{1} ≥ a − ε/2))^{N+2} > 0

d’où le résultat.

3.3.2. Récurrence. Supposons toujours que (W_{n}^{x_{1},1}, n ≥ 0) est une chaine de Markov récurrente positive et que ”μ” sa unique mesure invariante.

Proposition 3.6. Sous l’hypothèse ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) > 𝔼(A_{1}) la chaine (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est transiente.

Preuve. La démonstration est identique à celle de la Proposition 3.2.

Théorème 3.3. Si ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{1}) < 𝔼(A_{1}) et ℙ(C_{1} = ∞)𝔼(B_{1}^{2}) < 𝔼(A_{1}), alors (W_{n}^{x}, n ≥ 0) est une chaine de Markov récurrente positive au sens de Harris.

Preuve. En reprenant la même démarche de la démonstration du Théorème 3.2, nous obtenons la récurrence positive pour notre chaine.

REFERENCES

[1] F. Charlot, M. Ghidouche, M. Hamami, Irréductibilité et récurrence au sens de Harris des temps d’attente des GI/G/q, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 43 (1978), 187–203.

[2] F. Charlot, J. Pujolle, Recurrence in single server queues with impatient customers, Ann. Inst. Henri Poincaré, XIV, 4 (1978), 399–410.

[3] F. Charlot, B. Chouaf, A. Guelil, Sur la stabilité et la récurrence des chaines de Markov et de systèmes de files d’attente, Ann. Sc. Clermont Ferrand II 93 (1989), 13–47.

[4] B. Chouaf, Equations de récurrence des files d’attente a plusieurs serveurs en hypothèses de stationnarité et semi markovienne, Thèse de magister. Université de U.S.T.H.B (1981)

[5] A. Geriballah, Sur la stabilité et la récurrence des systèmes de files d’attente avec impatience, Thèse de magister. Université de U-D-L Sidi-bel-Abbes (1996)

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[7] E. Numelin, Regeneration in tandem queues, Adv. App. Prob., 13 (1981), 221–230.

[8] D. Revuz, Markov Chains, North Holland, 1975.

[9] K. Sigman, Regeneration in tandem queues with multiservers stations, J. App. Prob. 25 (1988) 391–403.

[10] K. Sigman, Queues as Harris recurrent Markov Chains, Opns. Res. Soc. Amer. Queueing Systems 3 (1988), 179–198.

(received 16.03.1999)

Département de Mathématiques, Université de Sidi Bel Abbès, BP 89, 22000 Sidi Bel Abbes, Algerie