����������� ������ 46 (1994), 11–15

UDC 517.955

���������� ������ ��� wissenschaftliche Forschungsarbeit

METHODE VON EULER-SCHEN TYPUS ZUM NÄHERUNGSWEISEN AUFLOSEN EINER AREOLAREN DIFFERENTIALGLEICHUNG

Miloš Čanak

Abstract. Es sei eine areoläre Differentialgleichung

Dw = F (z, z̄, w)  (1)

mit der Anfangsbedingung

α_{a/z}w = w_{0}(z)  (2)

gegeben, wobei w_{0}(z) eine gegebene analytische Funktion ist, und

Dw = (u′_{x} − v′_{y}) + i(u′_{y} + v′_{x}) = 2w′ ; z̄

den bekannten Differentialoperator von Kolossov darstellt.

In dieser Arbeit löst man die Gleichung (1) mit der Anfangsbedingung (2) durch eine Näherungsmethode vom Euler-schen Typus.

Definition 1. Es sei { W | w = w(z, z̄) } die Menge der komplexen Funktionen, die differenzierbar nach z̄ in einem Gebiet G sind, und es sei { Ω | Ω = Ω(z) } die Menge der analytischen Funktionen in G. Führen wir eine Abbildung α_{g(z)} (g(z) ist eine beliebige analytische Funktiom) der Menge W auf die Menge Ω auf folgende Art und Weise ein: Die Funktion Ω = α_{g(z)}w ist eine solche Funktion, die aus der Funktion w = w(z, z̄) entstehen kann, wenn wir den Wert z̄ mit g(z) vertauschen und den Wert z unveräderlich lassen. Die Funktion Ω = α_{g(z)}w enthält keine Veränderliche z̄, und darum ist sie analytisch. Leicht kann man sehen, dass α_{g(z)} die menge W auf die Menge Ω abbildet und dass jedem Original w ein und nur ein Bild Ω entspricht. Der geometrische Sinn dieses Operators ist folgender: Wenn z̄ = g(z) die Gleichung einer glatten, einfachen, geschlossen oder nichtgeschlossen Kontur ist, so besitzen die Funktionen w(z, z̄) und α_{g(z)}w den gleichen Randwert auf dieser Kontur.

Es sei W (z, z̄) eine gegebene komplexe Funktion die beliebig oft im Kreisring P: \sqrt{a} − δ/2 ⩽ |z| ⩽ \sqrt{a} + δ/2 nach z̄ differenzierbar ist. Nehmen wir an, dass die positive Zahl b = sup b_{k}, k = n + 1, n + 2, …, existiert, wobei b_{k} Majoranten von |α_{a/z}D^{k}W | sind. In der Arbeit [1] hat der Verfasser gezeigt, dass sich die Funktion W (z, z̄) in P durch ein areoläres Polynom n-ter Ordnung der Form

W (z, z̄) ≈ f_{0}(z) + (z̄ − a/z)f_{1}(z) + ⋯ + (z̄ − a/z)^{n}f_{n}(z),

approximieren lässt. Die Koeffizienten f_{k}(z) lassen sich durch die Formel

f_{k}(z) = \frac{α_{a/z}D^{k}W}{2^{k}k!} , k = 0, 1,…,

ausrechnen, wobei

DW = (u′_{x} − v′_{y}) + i(u′_{y} + v′_{x}) = 2W ′ ; z̄, W = u + iv, (D^{k}W = D[D^{k−1}W])

der bekannte Operator von Kolossov ist. Für die Abschätzung des Approximationsfehlers können wir die Ungleichkeit

|R| ⩽ b\frac{(δ/2)^{n+1}}{(n + 1)!} e^{δ/2}

nützen und |R| → 0 wenn n → ∞. Im speziellen Fall n = 1 haben wir die Approximation

W (z, z̄) ≈ α_{a/z}W + \frac{z̄ − a/z}{2} α_{a/z}DW  (3)

mit dem Approximationsfehler |R| ⩽ (bδ^{2}e^{δ/2})/8.

Es sei eine areoläre Differentialgleichung

DW = F (a, z̄, W)  (4)

mit der Anfangsbedingung

α_{a/z}W = w_{0}(z)  (5)

gegeben, wobei w_{0}(z) eine gegebene analytische Funktion ist. Nehmen wir an, dass die Funktion F (z, z̄, W) im Gebiet

Π : \{ \begin{matrix}\sqrt{a} − δ/2 ⩽ |z| ⩽ \sqrt{a} + δ/2 \\ |W − w_{0}| ⩽ d \end{matrix}

stetig ist und dass sie der Bedingung |F (z, z̄, W) − F (z, z̄, W_{1})| ⩽ L|W_{2} − W_{1}| genügt. In seiner Arbeit [2] hat der Verfasser die Existenz einer solchen reellen Zahl δ > 0 gezeigt, dass im Kreisring P: \sqrt{a} − δ/2 ⩽ |z| ⩽ \sqrt{a} + δ/2 eine einzige Lösung der Gleichung (4) mit der Anfangsbedingung (5) existiert.

Es sei ein endliches Intervall [a, A], (a, A ∈ R) gegeben. Teilen wir dieses Intervall auf n gleicher Abschnitten a = x_{0}, x_{1} = x_{0} + h, x_{2} = x_{0} + 2h, …, A = x_{n} = x_{0} + nh, (h = (A − a)/n) und konstruiren wir ein System von Kreisen: K_{i}: z̄ = x_{i}/z, (i = 0, 1, …, n). Eine nichtanalytische, komplexe Funktion kann einerseits in der expliziten Form W = W (z, z̄) erscheinen. Andererseits lässt sie sich auch in der Form einer Tabelle, wenn ihre Grenzenwerte auf den gegebenen Kreisen W (z, z̄)|_{K_{i}} bekannt sind, darstellen. Durch Ausnützung des Operators α ist manchmal möglich, eine Folge der analytischen Funktionen w_{0}(z), w_{1}(z), …, w_{n}(z) zu konstruiren, dere Grenzenwerte auf K_{i} mit den entsprechenden Grenzenwerten von W (z, z̄) identisch sind. Darstellung einer nichtanalytischen Funktion W (z, z̄) in folgender tabellaren Form

\begin{matrix}K_{i} & K_{0} : z̄ = x_{0}/z & K_{1} : z̄ = x_{1}/z & … & K_{n} : z̄ = x_{n}/z \\ w_{i}(z) & w_{0}(z) & w_{1}(z) & … & w_{n}(z) \end{matrix}  (6)

nennen wir α-Repräsetation dieser Funktion auf dem System der Kreissen K_{i}. Wenn α_{x_{i}/z}W (z, z̄) = w_{i}(z), (i = 0, 1, …, n), so ist die Repräsentation (6) eindeutig und jedem Wert z̄ = x_{i}/z entspricht eine und nur eine analytische Funktion w_{i}(z). In siner Arbeit [3] hat der Verfasser das sgn. α-Interpolationspolynom konstruirt, das die nichtanalytische Funktion W (z, z̄) approximiert und der Tabelle (6) entspricht.

Suchen wir die näherungsweise Lösung der Aufgabe (4)–(5) in der Form (6). Dabei suchen wir solche Folge der analytischen Funktionen w_{i}(z), (i = 0, 1, …, N) dere Grenzenwerte auf den Kreisen z̄ = x_{i}/z, (x_{i+1} − x_{i} = h = (A − a)/N) mit den Grenzenwerten der exakten Lösung näherungsweise gleich sind.

Die Formel (3) auf Grund (4) geht in

W (z, z̄) ≈ α_{a/z}W + \frac{z̄ − a/z}{2} α_{a/z}F (z, z̄, W)  (7)

über.

Den ersten näherungsweisen Wert w_{1} erhalten wir durch Anwendung des Operators α_{x_{1}/z} auf (7), d.h.

α_{x_{1}/z}W = w_{1} = α_{a/z}W + \frac{x_{1} − a}{2z}α_{a/z}F (z, z̄, W)

oder w_{1} = w_{0} + \frac{h}{2z} F (z, x_{0}/z, w_{0}).

Auf dem Kreis z̄ = x_{1}/z geht die Formel (7) in

W (z, z̄) ≈ α_{x_{1}/z}W + \frac{z̄ − x_{1}/z}{2} α_{x_{1}/z}F (z, z̄, W)  (8)

über.

Den zweiten näherungsweisen Wert w_{2} erhalten wir durch Anwendung des Operators α_{x_{2}/z} auf (8), d.h.

α_{x_{2}/z}W = w_{2} = w_{1} + \frac{h}{2z} F (z, x_{1}/z, w_{1}).

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erhalten wir auf eine gleiche Art und Weise die allgemeine rekurrente Formel

w_{n+1} = w_{n} + \frac{h}{2z} F (z, x_{n}/z, w_{n})  (9)

die uns die näherungsweise Lösung der Aufgabe (4)–(5) in der tabellaren Form (6) gibt.

Beispiel. Es sei die areolare Differentialgleichung

DW = W  (10)

mit dem Anfangsbedingung

α_{0}W = 1  (11)

gegeben. Teilen wir das Intervall [0, 1] auf N gleicher Abschnitten h = 1/N, x_{n} = nh, (n = 0, 1, …, N) und konstruiren wir ein System von Kreisen K_{n}: z̄ = x_{n}/z, (n = 0, 1, …, N). Man soll die α-Repräsentation der näherungsweisen Lösung von der Aufgabe (10)-(11) in der tabellaren Form (6) finden und den Fehler auf dem n-ten Kreis abschätzen. Hier ist F (z, x_{n}/z, w_{n}) = w_{n} und

w_{n+1} = w_{n} + \frac{h}{2z} w_{n} = w_{n}(1 + h/2z).  (12)

Die allgemeine Lösung der Differenzengleichung (12) hat die Form w_{n} = (1 + h/2z)^{n}φ(z), wobei φ(z) eine beliebige analytische Funktion ist. Durch Ausnützung der Anfangsbedingung (11), (n = 0) erhalten wir w_{0} = φ(z) = 1 und

w_{n} = (1 + h/2z)^{n} = (1 + h/2z)^{x_{n}/h}.

Anderseits hat die exakte Lösung der Aufgabe (10)–(11) die Form W (z, z̄) = e^{z̄/2} und α_{x_{n}/z}W = e^{x_{n}/2z}. Nach einer kürzen Rechnung erhält man

w_{n} = e^{x_{n}/2z}(1 − x_{n}h/8z^{2}) + O(h^{2})

und

e(x_{n}) = |α_{x_{n}/z}W − w_{n}| = |e^{x_{n}/2z}x_{n}h/8z^{2} + O(h^{2})|.

Dabei sehen wir dass e(x_{n}) → 0 wenn h → 0.

Bemerkung 1. Näherungsweise Methode vom Euler-schen Typus (9) für die Aufgabe (4)–(5) lässt sich verallgemeinern. Anstatt (9) können wir die allgemeine lineare Methode der Form

∑_{i=0}^{k} α_{i}W_{n+i} = \frac{h}{2z} ∑_{i=0}^{k} β_{i}F_{n+i}  (13)

betrachten. Wegen F_{n+i} = F (z, x_{n+i}/z, w_{n+i}) stellt die Relation (13) im allgemeinen Fall eine nichtlineare Differenzengleichung dar.

Definition 2. Es lässt sich die sgn. α-Abweichung der methode (13) auf dem n-ten Kreis K_{n}: z̄ = x_{n}/z als e(x_{n}) = |α_{x_{n}/z}W − w_{n}| definieren, wobei die Folge der analytischen Funktionen {α_{x_{n}/z}W }, n = 0, 1, …, N, die α-Repräsentation der exakten Lösung ist und die Folge {w_{n}}, n = 0, 1, …, N, die α-Repräsentation der näherungsweisen Lösung von der Aufgabe (4)–(5) darstellt.

Definition 3. Die α-Repräsentation {w_{n}} der näherungsweisen Lösung konvergiert nach der α-Repräsentation {α_{x_{n}/z}W } der exakten Lösung von der Aufgabe (4)–(5) im Falle wenn

lim_{h→0} e(x_{n}) = lim_{h→0} |α_{x_{n}/z}W − w_{n}| = 0.

Diese Konvergenz nennen wir α-Konvergenz, wenn es sich um die α-Repräsentation der nichtanalytischen Funktionen handelt.

Bemerkung 2. Im speziellen Fall reduziert sich die lineare näherungsweise Methode (13) auf die Methode vom Euler-schen Typus. Die Frage der α-Konvergenz von der Euler-schen Methode (9) lässt sich ähnlich wie bei der Euler-schen Methode zum näherungsweisen Auflösen der gewöhnlichen Differentialgleichungen y′ = f(x, y), y(x_{0}) = y_{0} untersuchen (siehe [4], s.24-32).

LITERATUR

[1] M. Čanak, Über die α-Approximation einer nichtanalytischen Funktion durch ein areoläres Polynom, Z. angew. Math. Mech. 69, 1989, 4, s.71-73

[2] M. Čanak, Über Existenz und Einzigheit der Lösung einer areolären Differentialgleichung erster Ordnung, Mathematica Balkanica, 8:5, 1978, s.43–48

[3] M. Čanak, Über die α-Interpolation einer nichtanalytischen komplexen Funktion, Z. angew. Math. Mech. 67, 1987, 5, s.463–464

[4] G. Milovanović, Numerische Analysis, III Teil, Beograd 1989, s.24–32

(received 27.07.1993.)

Brzakova 4, 11000 Beograd, Jugoslawien