Могульский А. А.
Интегро-локальная теорема, действующая на всей полуоси, для сумм случайных величин с правильно меняющимися распределениями

Получена интегро-локальная предельная теорема для сумм S(n) =ξ(1)+…+ξ(n) независимых случайных величин с общим распределением, правый хвост которого правильно меняется, т. е. имеет вид P(ξ ≥ t) = t^?βL(t), β > 2, L(t) — медленно меняющаяся функция. Эта теорема описывает асимптотическое поведение для фиксированного Δ > 0 и при x →∞ вероятностей

P (S(n) [x, x + Δ))

на всей правой полуоси, т. е. в зоне, где действует нормальное приближение, в зоне, где распределение S(n) аппроксимируется распределением максимального слагаемого, а также «на стыке» этих двух зон.

Mogul’skii A. A.
An integro-local theorem applicable on the whole half-axis to the sums of random variables with regularly varying distributions

We obtain an integro-local limit theorem for the sum S(n) =ξ(1)+…+ξ(n) of independent identically distributed random variables with distribution whose right tail varies regularly; i.e., it has the form P(ξ ≥ t) = t^?βL(t) with β > 2 and some slowly varying function L(t). The theorem describes the asymptotic behavior on the whole positive half-axis of the probabilities P (S(n) [x, x + Δ)) as x →∞ for a fixed Δ > 0; i.e., in the domain where the normal approximation applies, in the domain where S(n) is approximated by the distribution of its maximum term, as well as at the “junction” of these two domains.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (550 KB)
• PostScript file (1 MB)