Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 19, 2010, pp. 1–38.

2-CATÉGORIES RÉDUCTIBLES

DOMINIQUE BOURN ET JACQUES PENON

Originally published as: 2-Catégories Réductibles, January 1978 Received by the editors 2010-04-22. Transmitted by S. Lack, R. Street and R.J. Wood. Reprint published on 2010-11-05. 2000 Mathematics Subject Classification: 18A32,18B25,18C15,18D05,18D35. Key words and phrases: internal category, 2-category, effective profunctorial monad, 2-topos.

Foreword

You will find here a typeset version of a preprint published by the Mathematics Department of the University of Amiens. It was not published elsewhere because it was too long and written in French, and for this reason it may have remained relatively unknown. There is no precise date on the cover, however it is cited in [4] as being published in January 1978. The authors think that one of them gave a talk on this matter during the summer category meeting in 1977 or 1978. On seeing the talk [3] of John Bourke at the CT09 meeting in Cape-Town which was based on a similar starting point, they thought that this old preprint could once again be of interest. The authors are very grateful to the editors of Theory and Applications of Categories for the possibility of publishing this reprint and so allow these somewhat inaccessible old results to circulate once again.

English summary

It is well known that, in the category Set of sets, pulling back a mapping f : X → Y along itself :

\xymatrix{X ×_{Y} X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ X \ar[r]_{f} & Y}

produces an equivalence relation on the set X which determines a bijection between the equivalence relations on X and the surjections with domain X.

The starting point of this work was the observation that a similar phenomenon does exist in the 2-category Cat of categories if we replace the pullback by the ”comma" construction of the functor f with itself :

[figure: X/_{Y} X; X; f; X; f; Y; ⟸]

This induces a bijection between the profunctorial monads on the category X and the “bijective on objects” functors with domain X, see also [15] in the bibliography.

Our first point (Section I.1) is to investigate those 2-categories in which this bijection still holds. For that consider a finitely complete 2-category 𝕂, i.e. having enriched finite limits in Cat and, for any object X, a 2-cell classifier X\underline{2}, i.e. a context in which it is possible define an internal profunctor (distributeur in French) X ↬ Y as a discrete bifibration X ← Z → Y. In such a 2-category, an object Z is called discrete when the factorization Z → Z\underline{2} is an isomorphism and coarse (= grossier) when this is the case for the factorization Z\underline{2} → Z × Z. We denote respectively by Di(𝕂) and Gr(𝕂) the subcategories of discrete and coarse objects in 𝕂. A map h : U → V in 𝕂 is called coarsely invertible when, for any coarse object Z, the functor 𝕂(h, Z) : 𝕂(V, Z) → 𝕂(U, Z) is isomorphic. We define a catéade in 𝕂 as an internal category :

\xymatrix{C_{1} \ar[r]^{d_{1}} \ar[r]_{d_{0}} & C_{0} \ar[l]_{s_{0}}}

such that the pair (d_{0}, d_{1}) is underlying an internal profunctor, and denote by Kat(𝕂) the full sub-2-category of Cat(𝕂) whose objects are the catéades. Any map f : X → Y in 𝕂 produces a catéade by the previous comma construction. In particular the map 1_{X} : X → X produces the canonical catéade :

\xymatrix{X\underline{2} \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & X \ar[l]}

and a 2-functor Δ : 𝕂 → Kat(𝕂). We then call : Axiom R-1 : The 2-functor Δ has a left exact 2-left adjoint functor Q.

Then Proposition I.1.9 asserts (inter alia) that axiom R-1 implies that any catéade is effective and universal, and that any map f : X → Y in 𝕂 can be canonically decomposed into a fully faithful map and a coarsely invertible map.

In Section I.2, we define an anéade in 𝕂 as an internal category :

\xymatrix{C_{1} \ar[r]^{d_{1}} \ar[r]_{d_{0}} & C_{0} \ar[l]_{s_{0}}}

endowed with a 2-cell θ : d_{0} ⇒ d_{1} satisfying some natural coherence axioms and such that the factorization map C_{1} → C\underline{2} 0 induced by the 2-cell θ is fully faithful. The following diagram :

\xymatrix{X\underline{2} \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & X \ar[l]}

is underlying a canonical anéade in 𝕂. A morphism of anéades is an internal functor which commutes with the 2-cells θ, and a 2-morphism is a coherent internal natural transformation. We denote by An(𝕂) the 2-category of anéades in 𝕂, and still by Δ : 𝕂 → An(𝕂) the 2-functor induced by the example above. We then introduce : Axiom R-2 : This 2-functor Δ has a 2-right adjoint functor N.

Then Propositions I.2.7 and I.2.8 emphasize some important internal consequences of axiom R-2.

Section I.3 culminates with the characterization of those finitely complete 2-categories 𝕂 which satisfy R-1 and R-2 (Theorem I.3.2) :

A finitely complete 2-category 𝕂 satisfies axioms R-1 and R-2 if and only if it is leftexactly (i.e. with a left exact 2-endofunctor) comonadic above a 2-category of the form Cat(𝔼), where the category 𝔼 is a finitely complete category.

Whence the terminology of reducible 2-category for such a kind of 2-category 𝕂. Starting with a reducible 2-category 𝕂, the category 𝔼 in question in the previous theorem is nothing but the category Gr(𝕂) of coarse objects in 𝕂.

Section II.1 is devoted to the characterization and to the properties of those reducible 2-categories 𝕂 whose category 𝔼 in the above theorem is a topos ; accordingly, such a 2category is called a 2-topos. In such a setting profunctors become composable (Proposition II.1.7). In Section II.2 the left exact idempotent monads on a 2-topos are characterized (Theorem II.2.5), essentially in terms of closure operator on fully faithful subobjects.

An appendix shows how the categories Kat(𝕂) and An(𝕂) of catéades and anéades of 𝕂 can be obtained from two (dual and symmetrical) universal constructions on the monad on 2-Cat (or more precisely on the subcategory Comp_{f} of finitely complete 2-categories and left exact 2-functors) whose endofunctor associates Cat(𝔻) with the 2-category 𝔻.

INTRODUCTION

L’étude récente des 2-catégories, de catégories enrichies, de catégories internes, de catégories fibrées, de champs ou même de topos, nous fait de plus en plus sentir la nécessité de se pencher sur les 2-catégories (ou même peut-être les bicatégories) d’une façon générale. Guidés par les travaux antérieurs de W. Lawvere [12], tout d’abord puis de J. Gray [9] R. Street [14] et D. Bourn [5], nous avons cherché à mettre en évidence de nouvelles propriétés de Cat. Deux, surtout, ont retenu notre attention.

1ère propriété : Laissons-nous conduire, pour cela, par la propriété, bien connue de la catégorie Ens : A toute flèche A → B de celle-ci on peut, en effet, associer la relation d’équivalence sur A :

\xymatrix{A ×_{B} A \ar[r] \ar[r] & A}

qui est obtenue par la composition de A → B avec la relation inverse B − − > A; et il existe une correspondance bijective :

relation d′equivalence

surjection de

sur A  source A

D’une façon analogue, dans Cat, on peut associer, à toute flèche A → B, une monade sur A dans les distributeurs [2] qui est obtenue par la composition de A → B avec le distributeur adjoint à droite A − − > B. Or, il est utile de regarder les monades dans Dist (que nous appellons catéades) comme des catégories internes C dans Cat pour lesquelles : C_{0} ←^{dom} C_{1} →^{cod} C_{0} soit un distributeur. Dans la situation précédente la catégorie interne déterminée par A → B est :

\xymatrix{A/_{B}A \ar[r] \ar[r] & A}

On constate alors l’existence d’une correspondance bijective [15] :

Monade sur A

Foncteur bijectif sur les objets

dans les distributeurs

de source A

Cependant cette propriété peut s’exprimer plus avantageusement en disant que le 2foncteur canonique :

\xymatrix{Cat \ar[rr] &  & Catéades \\ A \ar@{|->}[r] & (A^{3} \ar[r] & A^{2} \ar[r] \ar[r] & A)}

admet un adjoint à gauche exact à gauche. En effet, l’exactitude à gauche permet d’exprimer, entre autre, de façon plus synthétique, le fait que, comme les relations d’équivalences dans Ens, les catéades sont effectives et que leur effectivité est universelle.

2ème propriété : Comme nous le savons, dans Cat, l’existence de limites projectives et de ( )^{2} permet de construire, pour toute catégorie ℂ ayant suffisamment de limites, la catégorie Alg(𝕋, ℂ) pour une théorie algébrique 𝕋. Par contre elle ne permet pas la construction des catégories suivantes :

|C|  = catégorie discrète des objets de C,
Iso(C)  = sous-catégorie de C ayant pour flèches

les isomorphismes de C,

Mono(C) = sous-catégorie de C ayant pour flèches

les monomorphismes de C,

etc.

Aussi, afin de résoudre ce problème, sommes-nous amenés à considérer le nouveau concept d’anéade (“dual”, dans un certain sens, de celui de catéade). Une anéade 𝔸 est une catégorie interne 𝔸 dans Cat (ou plus généralement dans une 2-catégorie quelconque)

munie d’une 2-flèche \xymatrix{A_{1} \ar[rr]^{dom} \ar[rr]_{cod} & ⇓ & A_{0}} astreinte à des conditions de cohérence avec la

structure de catégorie interne de A et pour laquelle la flèche A_{1} → A_{0}^{2} est pleinement fidèle. La deuxième propriété s’exprime alors en disant que le 2-foncteur

\xymatrix{Cat \ar[rr] &  & Anéades \\ A \ar@{|->}[r] & (A^{3} \ar[r] & A^{2} \ar[rr] \ar[rr] & ⇓ & A)}

admet un adjoint à droite.

Pour une 2-catégorie finiment complète le cumul des deux propriétés décrites précédemment équivaut à dire que ces 2-catégories sont exactement cotriplables sur une 2-catégorie de catégories internes, ce qui est très fort. Ainsi remarque-t-on, d’une certaine façon, que leur étude se “réduit” à celles des 2-catégories de catégories internes. Les 2-catégories Cat^{𝔻} de 2-préfaisceaux sur 𝔻 pour une 2-catégorie 𝔻 quelconque, et plus généralement Fais_{J}(𝔻) des J-faisceaux sur 𝔻 pour une topologie de Grothendieck J sur la catégorie sous-jacente à 𝔻 en sont des exemples. Peut-être nous reprochera-t-on d’avoir envisagé la question d’une façon trop “stricte”. La 2-catégorie des catégories fibrées non nécessairement scindées (au-dessus d’une catégorie donnée) n’a pas, par exemple, de produits fibrés, à strictement parler, mais seulement des “pseudo-produits fibrés”. Aussi dans un deuxième temps faudra-t-il “assouplir” ce que nous avons décrit ici afin d’élargir sensiblement le nombre des exemples.

2-CATÉGORIES RÉDUCTIBLES  7

Sommaire. Préliminaire : Rappel sur les outils 2-catégoriques. Définition des distributeurs dans une 2-catégorie quelconque. Chapitre I : 2-catégories réductibles :

1. Catéades et axiome R 1

2. Anéades et axiome R 2

3. 2-catégories réductibles.

Chapitre II : 2-topos :

1. 2-topos : 2-catégories réductibles “sur” un topos

2. Monade idempotente exacte sur un 2-topos.

Appendice : Deux constructions associées à une (2-)monade : Les anéades et les catéades peuvent apparaître au moyen de deux constructions “standard”, “duales”, associées à une monade sur une 2-catégorie.

PRELIMINAIRE

(P - 1) - Si 𝔻 est une 2-catégorie, on notera \underline{𝔻} sa catégorie sous-jacente. D’autre part 𝔼 étant une catégorie à limites projectives finies, on notera Cat(𝔼) la 2-catégorie des catégories internes dans 𝔼.

(P - 2) - Fixons-nous, à partir de maintenant, une 2-catégorie 𝕂 qui est finiment complète (i.e. qui possède des limites projectives finies enrichies dans Cat et, pour tout objet A de 𝕂, un objet noté A^{2} et un isomorphisme naturel (en X) :

𝕂(X, A^{2}) ≃ 𝕂(X, A)^{2}

𝕃 étant une autre 2-catégorie finiment complète, un 2-foncteur F : 𝕂 → 𝕃 est dit exact (à gauche) si

1) il préserve les limites projectives finies,

2) pour tout objet A de 𝕂, la flèche canonique F (A^{2}) → (F A)^{2} est une isomorphisme.

Ainsi on dira qu’une monade ou qu’une comonade est exacte si son endofoncteur est exact. Une 2-catégorie exactement cotriplable est (donc) une 2-catégorie cotriplable telle que la comonade qu’elle définit est exacte.

(P - 3) - Un objet A de 𝕂 est dit :

1. discret, si la flèche canonique A ↣ A^{2} est inversible ;

2. grossier, si la flèche [dom, cod] : A^{2} → A × A est inversible.

Notons Di(𝕂) et Gr(𝕂) les sous-2-catégories pleines de 𝕂 ayant pour objets respectivement les objets discrets et les objets grossiers de 𝕂.

Une flèche A → B de 𝕂 est fidèle (resp. pleinement fidèle) si pour tout objet X de 𝕂 le foncteur

𝕂(X, A) → 𝕂(X, B)

est fidèle (resp. pleinement fidèle).

(P - 4) - A et B étant deux objets de 𝕂, considérons sur la 2-catégorie Span(A, B) des “spans” de A dans B la monade T dont l’endofoncteur associe à tout span A ← S → B le span composé

\xymatrix{ & A^{2} \ar@{-->}[dl] \ar@{-->}[dr] &  & S \ar[dr] \ar[dl] &  & B^{2} \ar@{-->}[dr] \ar@{-->}[dl] \\ A &  & A &  & B &  & B.}

Les algèbres de cette monade sont les bifibrations scindées (ou bimodules) de A dans B (voir [14]). Notons Bifib(A, B) la 2-catégorie Alg_{T} (Span(A, B)). On note aussi Fib_{A}(𝕂) = Bifib(A, 1) et Cofib_{B}(𝕂) = Bifib(1, B).

Un distributeur de A dans B est un objet discret de Bifib(A, B). On notera alors Dist(A, B) la sous-2-catégorie pleine de Bifib(A, B) ayant pour objets les distributeurs. Notons enfin :

Fibdi_{A}(𝕂) = Di[Fib_{A}(𝕂)] = Dist(A, 1) (fibration discrète au dessus de A) Cofibdi_{B}(𝕂) = Di[Cofib_{B}(𝕂)] = Dist(1, B) (cofibration discrète au dessus de B).

(P - 5) Remarque :

1) Notons T_{g} la monade sur Span(A, B) dont l’endofoncteur associe à tout span A ← S → B le span composé :

\xymatrix{ & A^{2} \ar@{-->}[dl] \ar@{-->}[dr] &  & S \ar[dl] \ar[dr] \\ A &  & A &  & B}

et dont la catégorie des algèbres est Fib_{A}(𝕂)/(A × B → A), et notons T_{d} la monade dont l’endofoncteur associe à tout span A ← S → B le span composé :

\xymatrix{ & S \ar[dr] \ar[dl] &  & B^{2} \ar@{-->}[dl] \ar@{-->}[dr] \\ A &  & B &  & B}

et dont la catégorie des algèbres est Cofib_{B}(𝕂)/(A × B → B).

Il est clair que l’on a une loi distributive [1] inversible de T_{g} vers T_{d}. En appliquant les résultats de [1] on sait que T_{g} se relève en une monade sur

Alg_{T_{d}}(Span(A, B)) = Cofib_{B}(𝕂)/(A × B → B)

On vérifie en explicitant cette monade, que c’est celle des fibrations scindées au dessus de (A × B → B). D’autre part, il est clair que la monade composée T_{g}.T_{d} (c.f. [1]) est T. D’où l’isomorphisme :

Bifib(A, B) ≃ Fib_{A×B→B}[Cofib_{B}(𝕂)]

La loi distributive étant inversible, on a naturellement aussi l’isomorphisme :

Bifib(A, B) ≃ Cofib_{A×B→A}[Fib_{A}(𝕂)]

et par conséquent :

Dist(A, B) ≃ Di(Fib_{A×B→B}[Cofib_{B}(𝕂)]) = Fibdi_{A×B→B}[Cofib_{B}(𝕂)]
Dist(A, B) ≃ Di(Cofib_{A×B→A}[Fib_{A}(𝕂)]) = Cofibdi_{A×B→A}[Fib_{A}(𝕂)]

2) La monade T_{d} (resp. T_{g}) possède en outre une structure de λ-monade [10] (resp. coλ-monade) et, par conséquent [10], pour toutes algèbres (A, a) et (B, b) et toute flèche A → B, il existe une 2-flèche :

[figure: T_{d}A; a; T_{d}B; b; A; B; ⟸]

ce qui implique en particulier que si l’objet B est discret, il ne peut y avoir que la seule structure d’algèbre b et que dans ce cas tout morphisme de but B et de source une algèbre (A, a) est un morphisme d’algèbre.

En utilisant la loi distributive inversible du 1) et la remarque précédente on peut en conclure aussi qu’un distributeur est parfaitement défini par la donnée de son span sous-jacent et que tout morphisme d’une bifibration scindée vers un distributeur est automatiquement un morphisme de bifibration scindée.

I - 2-Catégories réductibles

§.1. Catéades et axiome (R 1) : (1-1) Définition : Une flèche A → B sera dite grossièrement inversible dans 𝕂 si, pour tout objet grossier G, le foncteur ci-dessous est un isomorphisme :

𝕂(B, G) → 𝕂(A, G)

(1-2) Exemple : Pour 𝕂 = Cat(𝔼) (où 𝔼 est une catégorie à limites projectives finies) une flèche A → B est grossièrement inversible si et seulement si la flèche A_{0} → B_{0} est inversible dans 𝔼 (où A_{0} désigne l’objet des objets de A). Ainsi T étant une monade sur une catégorie ℂ le foncteur de Kleisli : ℂ → Kl_{T} (ℂ) est grossièrement inversible dans Cat.

(1-3) Définition : Une catéade dans 𝕂 est une catégorie interne C dans 𝕂 pour laquelle le span C_{0} ←^{dom} C_{1} →^{cod} C_{0} est un distributeur.

(1-4) Exemples :

1) Toute catégorie interne dans Di(𝕂) est une catéade de 𝕂.

2) Toute flèche A → B de 𝕂 “engendre” une catéade C en prenant l’objet comma suivant :

[figure: C_{1}; cod; dom; C_{0}; C_{0}; A; A; B; ⟹]

3) dans le cas où 𝕂 = Cat les catéades de 𝕂 sont les monades dans la bicatégorie Dist (celle qui a pour flèches les distributeurs).

Preuve du (3) : A étant un objet de Cat le foncteur :

Dist(A, A) ⟶ Span(A, A)

est pleinement fidèle (voir préliminaire) ; de plus dans Cat (et même dans un 2-topos, comme nous le verrons au chapitre II en (1 - 7)), il admet un adjoint à gauche D. Notons : I = (A ←^{id} A →^{id} A) l’unité dans la catégorie monoidale Span (A, A) J = (A ←^{dom} A^{2} →^{cod} A) l’unité dans la catégorie monoidale Dist (A, A).

De plus, B et B′ étant deux distributeurs composables, notons aussi : B′ ∘_{D} B le composé de B et B′ en tant que distributeur B′ ∘_{S} B le composé de B et B′ en tant que span.

On a alors les isomorphismes :

J ≃ D(I)
B′ ∘_{D} B ≃ D(B′ ∘_{S} B)
D(B” ∘_{S} D(B′ ∘_{S} B)) ≃ D(B” ∘_{S} B′ ∘_{S} B) ≃ D(D(B” ∘_{S} B′) ∘_{S} B)

De ces formules on déduit que D crée une correspondance bijective entre les monades de Span (A,A) dont l’endomorphisme est un distributeur (ce sont exactement les catéades sur A) et les monades de Dist (A,A).

(1 - 5) Notons Kat (𝕂) la sous-2-catégorie pleine de Cat (𝕂 ) ayant pour objets les catéades de 𝕂. Notons aussi Δ : 𝕂 → Kat(𝕂) le 2-foncteur qui associe à chaque objet A de 𝕂 la catéade :

\xymatrix{A^{3} \ar[r]^{comp} & A^{2} \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & A}

(1 - 6) Proposition :

1) Kat (𝕂) est stable dans Cat (𝕂) pour les limites projectives finies et la représentation ()^{2}.

2) Le foncteur sous-jacent \underline{Δ} : \underline{𝕂} → \underline{Kat}(𝕂) admet pour adjoint à droite le foncteur d’oubli canonique.

Preuve :

1) C’est un corollaire de (A - 7) et (A - 8).

2) Résulte du fait que J ≃ D(I) (en utilisant les notations du (1 - 4) (3)).

(1 - 7) Axiome (R 1) : Le 2-foncteur Δ : 𝕂 → Kat(𝕂) admet un adjoint à gauche exact à gauche (on le note Q).

(1 - 8) Exemples : les 2-catégories :

1) Cat (𝔼), pour toute catégorie 𝔼 à limites projectives finies,

2) Kat(𝔻), pour toute 2-catégorie 𝔻 finiment complète,

3) Cat^{𝔻} des 2-foncteurs de 𝔻 dans Cat, pour toute 2-catégorie 𝔻, 4)\underleftarrow{L}(𝔻), sous-2-catégorie pleine de Cat^{𝔻}, ayant pour objets les 2-foncteurs préservant les limites projectives finies,

5) Fais_{J}(𝔻), pour toute topologie de Grothendieck J sur \underline{𝔻}, où 𝔻 est une petite 2-catégorie (voir Chapitre II, (2 - 3) et remarque I, (3 - 8)). Preuve :

1) C étant une catéade dans Cat (𝔼)) on a :

\xymatrix{QC = (|C_{2}| \ar[r] & |C_{1}| \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & |C_{0}|)}

(pour plus de précision voir (A - 8) et (A - 9))

2) voir (A -10)

3) Q se construit point par point. Mais nous verrons plus loin que ce résultat se déduit du Théorème (3 - 2)

4) En fait \underleftarrow{L}(𝔻) est stable pour l’axiome (R 1) dans Cat^{𝔻}

5) Voir (II, (2 - 6)).

(1 - 9) Proposition : Si 𝕂 vérifie (R 1) :

1) les catéades sont effectives (i.e. toute catéade C est engendrée (au sens de (1 - 4) (2)) par la flèche canonique C_{0} → Q(C)).

2) l’effectivité des catéades est universelle - i.e. pour toute catéade C et toute flèche X → Q(C), on a l’isomorphisme suivant :

\xymatrix{ & C′ \ar[dr] \ar[dl] \\ ΔX \ar[rr]_{≃} &  & ΔQ(C′)}

où C′ → ΔX est obtenu par le produit fibré suivant dans Kat (𝕂) :

\xymatrix{C′ \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \\ ΔX \ar[r] & ΔQ(C)}

3) toute flèche A → B de 𝕂 se décompose de façon unique (à isomorphisme près) en : A → C → B, où C → B est pleinement fidèle et A → C est grossièrement inversible.

4) l’inclusion Gr(𝕂) ↪ 𝕂 admet un adjoint à gauche G qui préserve les limites projectives finies,

5) une flèche A → B de 𝕂, est pleinement fidèle si et seulement si le carré suivant est un produit fibré :

\xymatrix{A \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ GA \ar[r] & GB}

6) soit une flèche A → B de 𝕂, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) A → B est grossièrement inversible, (ii) pour toute flèche pleinement fidèle X → Y le carré suivant est un produit fibré :

\xymatrix{𝕂(B, X) \ar[r] \ar[d] & 𝕂(A, X) \ar[d] \\ 𝕂(B, Y) \ar[r] & 𝕂(A, Y)}

(iii) GA → GB est inversible, (iv) il existe un isomorphisme

\xymatrix{ & A \ar[dr] \ar[dl] \\ B \ar[rr]_{≃} &  & Q(C_{A})}

(où C_{A} désigne la catéade engendrée par A → B)

7) soit le 2-foncteur U composé suivant :

𝕂 →^{Δ} Cat(𝕂) →^{Cat(G)} Cat(Gr𝕂)

alors U est exact à gauche et il réfléchit les isomorphismes,

8) 𝕃 étant une 2-catégorie finiment complète et p : 𝕃 → 𝕂 un 2-foncteur admettant un adjoint à gauche q exact à gauche, alors q commute avec Q.

9) soit T une monade interne à 𝕂, alors il existe l’objet de Kleisli Kl_{T} associé à T.

Preuve :

1) Dire qu’une catéade C est effective équivaut à dire que la flèche canonique C → ΔQ(C) dans Kat (𝕂) est pleinement fidèle. C’est-à-dire que le carré ci-dessous est un produit fibré :

\xymatrix{C_{1} \ar[r] \ar[d] & (QC)^{2} \ar[d] \\ C_{0} × C_{0} \ar[r] & QC × QC}

Mais ce carré est l’image par le 2-foncteur exact Q du carré suivant :

\xymatrix{ΔC_{1} \ar[r] \ar[d] & C^{2} \ar[d] \\ ΔC_{0} × ΔC_{0} \ar[r] & C × C}

qui est un produit fibré dans Kat (𝕂).

2) On prend l’image du carré suivant par le 2-foncteur exact Q :

\xymatrix{C′ \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \\ ΔX \ar[r] & ΔQC}

3) Constatons, tout d’abord, que cette décomposition existe dans Cat (𝕂) (on utilise (1 - 2)), puis que Kat (𝕂) est stable pour cette décomposition. Enfin remarquons que Q : Kat(𝕂) → 𝕂 étant un adjoint à gauche exact à gauche, il préserve cette décomposition. Il reste donc à décomposer la flèche ΔA → ΔB dans Kat (𝕂), puis à en prendre l’image par Q.

4) Pour tout objet A de 𝕂, GA apparait dans la décomposition :

A → GA → 1

Le foncteur G peut être vu aussi comme le composé suivant :

𝕂 →^{P} Kat(𝕂) →^{Q} 𝕂

où P (A) = (A × A × A → A × A ⇉ A). Or P et Q préservant les limites projectives finies, il en va de même pour G.

5) On le vérifie tout d’abord dans Kat (𝕂) en remarquant que pour tout objet C de Kat(𝕂) :

GC = (C_{0} × C_{0} × C_{0} → C_{0} × C_{0} ⇉ C_{0})

Par suite le carré :

\xymatrix{ΔA \ar[r] \ar[d] & ΔB \ar[d] \\ GΔA \ar[r] & GΔB}

ainsi que son image par Q (c’est le carré cherché) sont des produits fibrés. La réciproque est immédiate.

6) (i) ⇒ (ii) : On a l’égalité des deux rectangles suivants :

\xymatrix{𝕂(B, X) \ar[r] \ar[d] & 𝕂(A, X) \ar[r] \ar[d] & 𝕂(A, GX) \ar[d] & 𝕂(B, X) \ar[r] \ar[d] & 𝕂(B, GX) \ar[r] \ar[d] & 𝕂(A, GX) \ar[d] \\ 𝕂(B, Y) \ar[r] & 𝕂(A, Y) \ar[r] & 𝕂(A, GY) & 𝕂(B, Y) \ar[r] & 𝕂(B, GY) \ar[r] & 𝕂(A, GY)}

Celui de droite est constitué de deux produits fibrés. Celui de gauche est tel que son carré de droite est un produit fibré. Par conséquent son carré de gauche est aussi un produit fibré.

(ii) ⇒ (i) : ll suffit d’appliquer pour tout objet grossier G la condition (ii) à la flèche pleinement fidèle G → 1.

(i) ⇔ (iii) : Pour tout objet grossier X de 𝕂, on a le carré commutatif suivant :

\xymatrix{Gr(𝕂)(GB, X) \ar[r] \ar[d]_{≃} & Gr(𝕂)(GA, X) \ar[d]^{≃} \\ 𝕂(B, X) \ar[r] & 𝕂(A, X)}

où les flèches verticales sont des isomorphismes. Par suite une des deux flèches horizontales est un inversible si et seulement si l’autre l’est. D’où l’équivalence cherchée.

(i) ⇔ (iv) : Comme ΔA → C_{A} → ΔB est une décomposition, dans la 2-catégorie Kat (𝕂), de ΔA → ΔB, alors son image par Q : A → Q(C_{A}) → B en est une dans 𝕂. Si A → B est grossièrement inversible, alors A → B →^{=} B est une autre décomposition de A → B, mais, d’après le (3), ceci implique que B ≃ Q(C_{A}). La réciproque est immédiate.

7) U est exact, car Δ et Cat(G) le sont(d’après le (4)). Il reste donc à montrer qu’il réfléchit les isomorphismes. Soit donc A → B une flèche de 𝕂. Alors UA → UB est inversible dans Cat (Gr𝕂) si et seulement si GA → GB et G(A^{2}) → G(B^{2}) le sont dans Gr𝕂 (on dira d’une telle flèche qu’elle vérifie la propriété (I)). Soit maintenant la flèche canonique A^{2} → P où P provient du produit fibré suivant :

\xymatrix{P \ar[r] \ar[d] & B^{2} \ar[d] \\ A × A \ar[r] & B × B}

On constate les deux résultats suivants :

a) A → B est fidèle si et seulement si A^{2} → P est pleinement fidèle.

b) Si A → B vérifie (I), il en va de même deA^{2} → B^{2} et donc de A^{2} → P.

- Supposons dans un premier temps que A → B soit fidèle et verifie (I). Alors, d’après les (a) et (b), la flèche A^{2} → P est pleinement fidèle et vérifie (I). Elle est donc inversible (d’après (5)). Par suite A → B est pleinement fidèle. Comme elle vérifie aussi (I), elle est donc inversible.

- Supposons maintenant que A → B vérifie seulement (I), alors il en va de même de A^{2} → P. Mais cette dernière flèche est toujours fidèle. Elle est donc inversible d’après le raisonnement précédent, et de ce fait A → B l’est aussi.

8) Les foncteurs p et q étant exacts, on a pour toute catéade C de 𝕂 et tout objet X de 𝕃 les isomorphismes naturels :

Kat(𝕃)(qC, ΔX) ≃ Kat(𝕂)(C, pΔX) ≃ Kat(𝕂)(C, ΔpX)
≃ 𝕂(QC, pX) ≃ 𝕃(qQC, X)

9) T étant une monade interne à 𝕂 sur l’objet A, l’objet Kl_{T} (A) apparait dans la décomposition :

A → Kl_{T} (A) → Alg_{T} (A)

de la flèche canonique A → Alg_{T} (A) où Alg_{T} (A) est la lax-limite de T, voir [5]-α.

§.2. Anéades et axiome (R 2) : Comme nous le verrons dans l’Appendice la notion de catéade a pour “duale" celle d’anéade. C’est elle que nous allons étudier maintenant.

(2 - 1) Définition : Une anéade A est la donnée :

1) d’une catégorie interne dans 𝕂 (notée aussi A),

2) d’une 2-flèche : \xymatrix{A_{1} \ar[rr]^{dom} \ar[rr]_{cod} & θ ⇓ & A_{0}} vérifiant les propriétés suivantes :

a) on a les égalités :

\xymatrix{A_{0} \ar[r] & A_{1} \ar[rr]^{dom} \ar[rr]_{cod} & θ ⇓ & A_{0} = A_{0} \ar[rr]^{id} \ar[rr]_{id} & || & A_{0}}

et

[figure: A_{1}; dom; cod; ⇓; A_{2}; proj_{1}; proj_{2}; ||; A_{0} = A_{2}; comp; A_{1}; dom; cod; ⇓; A_{0}; ⇓; A_{1}; dom; cod]

b) la flèche canonique A_{1} → A_{0}^{2} associée à θ est pleinement fidèle.

(2 - 2) Exemples :

1) Toute catégorie interne dans Gr(𝕂) peut être munie canoniquement d’une structure d’anéade.

2) Supposons que 𝕂 vérifie (R 1), alors à toute flèche B → C, on associe une anéade A, où les objets A_{0}, A_{1} etA_{2} apparaissent dans les décompositions suivantes en flèches grossièrement inversibles et pleinement fidèles :

\xymatrix{B^{3} \ar[r] \ar[d] & A_{2} \ar[r] \ar[d] & C^{3} \ar[d] \\ B^{2} \ar[r] \ar[d] \ar[d] & A_{1} \ar[r] \ar[d] \ar[d] & C^{2} \ar[d] \ar[d] \\ B \ar[r] & A_{0} \ar[r] & C}

La construction de la 2-flèche : \xymatrix{A_{1} \ar[rr]^{dom} \ar[rr]_{cod} & θ ⇓ & A_{0}} résulte du fait que A_{0} → C est pleinement

fidèle.

(2 - 3) Notons An (𝕂) la 2-catégorie ayant :

- pour objets, les anéades de 𝕂,

- pour flèches f : A → A′, les foncteurs internes f : A → A′ tels que θ′.f_{1} = f_{0}.θ,

- pour 2-flèches t : f ⇒ f′ les transformations naturelles internes entre les foncteurs f et f′.

Notons encore Δ : 𝕂 → An(𝕂) le 2-foncteur qui associe à chaque objet A de 𝕂

l’anéade : \xymatrix{A^{3} \ar[r]^{comp} & A^{2} \ar[rr]^{dom} \ar[rr]_{cod} & ⇓ & A}

(2 - 4) Proposition :

1) An (𝕂) est une 2-catégorie finiment complète et le 2-foncteur d’oubli An(𝕂) → Cat(𝕂) est exact.

2) Le 2-foncteur Δ : 𝕂 → An(𝕂) admet pour adjoint à gauche le foncteur d’oubli canonique. Preuve :

1) c’est un corollaire de (A - 7) et (A - 8).

2) Se vérifie aisément.

(2 - 5) Axiome (R 2) : Le 2-foncteur Δ : 𝕂 → An(𝕂) admet un adjoint à droite noté N.

(2 - 6) Exemples : Les 2-catégories :

1) Cat (𝔼), pour toute catégorie 𝔼 à limites projectives finies,

2) An (𝔻), pour toute 2-catégorie 𝔻 finiment complète, 3) Cat^{𝔻}, pour toute 2-catégorie 𝔻 petite,

4) Fais_{J}(𝔻), pour toute topologie de Grothendieck J sur \underline{𝔻} où 𝔻 est petite (voir Chapitre II, (2 - 3) et Remarque I, (3 - 8)),

5) 0rd(𝔼) des ordres internes dans 𝔼, pour toute catégorie 𝔼 à limites projectives finies. Preuve :

1) Comme pour le (1 - 8), A étant une anéade de Cat(𝔼), on pose :

\xymatrix{NA = (|A_{2}| \ar[r] & |A_{1}| \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & |A_{0}|)}

(pour plus de détails voir (A - 9)).

2) voir (A - 10).

3) A étant une anéade de 𝔻̂ = Cat^{𝔻}, on pose pour tout objet X de 𝔻 :

NA(X) = An(𝔻̂)(ΔY (X), A)

où Y : 𝔻^{op} → 𝔻̂ est le plongement canonique. Comme nous le verrons, ce résultat peut apparaitre aussi comme un corollaire du Théorème (3 - 2).

4) voir (II, (2 - 6)).

5) On constate que 0rd(𝔼) est stable pour N dans Cat (𝔼).

(2 - 7) Proposition : Si 𝕂 vérifie (R 2) :

1) Le foncteur d’inclusion \underline{Di}(𝕂) ↪ \underline{𝕂} admet un adjoint à droite :

Ob : \underline{𝕂} → \underline{Di}(𝕂)

2) Grou(𝕂) désignant la sous-2-catégorie de 𝕂 ayant pour objets les objets-groupoïdes de 𝕂 (i.e. les objets G de 𝕂 tels que pour tout objet X de 𝕂, 𝕂(X, G) soit un groupoide), alors le foncteur inclusion \underline{Grou}(𝕂) ↪ \underline{𝕂} admet un adjoint à droite Iso : \underline{𝕂} → \underline{Grou}(𝕂).

3) Les 2-foncteurs admettant un adjoint à gauche exact à gauche commutent avec N. Preuve :

1) Pour tout objet A de 𝕂 on pose :

\xymatrix{Ob(A) = N(A \ar[r]^{id} & A \ar[rr]^{id} \ar[rr]_{id} & ∥ & A)}

2) Pour tout objet A de 𝕂 on pose :

\xymatrix{Iso(A) = N(A^{I} ×_{A} A^{I} \ar[r] & A^{I} \ar[rr] \ar[rr] & ⇕ & A)}

où I est le groupoïde :

0 ⇆ 1

3) Soient q ⊣ p : 𝕂 → 𝕃 l’adjonction considérée et A une anéade de 𝕂. Alors, pour tout objet X de 𝕃 on a les isomorphismes naturels :

An(𝕃)(ΔX, pA) ≃ An(𝕂)(qΔX, A) ≃ An(𝕂)(ΔqX, A)
≃ 𝕂(qX, NA) ≃ 𝕃(X, pNA).

(2 - 8) Un objet A de 𝔻 est dit à produits fibrés finis internes si la diagonale δ : A^{2} → A^{2} ×_{A} A^{2} de l’objet cod : A^{2} → A de 𝔻/A admet un adjoint à droite π : A^{2} ×_{A} A^{2} → A^{2}

dans la 2-catégorie 𝔻/A. Dans de cas il existe une 2-flèche \xymatrix{A^{2} \ar[rr]_{π.δ} \ar[rr]^{id} & ⇓ & A^{2}} au dessus

de A.

Notons A^{M} ↣ A^{2} l’inverseur de cette 2-flèche, alors \xymatrix{A^{M} \ar[rr] \ar[rr] & ⇓ & A} détermine une anéade :

\xymatrix{MonA = (A^{M} ×_{A} A^{M} \ar[r] & A^{M} \ar[rr] \ar[rr] & ⇓ & A)}

Soit Pf(𝕂) la sous 2-catégorie de 𝕂 des objets à produits fibrés internes, des flèches compatibles et des 2-flèches quelconques. Un objet A de Pf(𝕂) sera dit regulier lorsque A^{M} ↣ A^{2} est un isomorphisme. Notons Reg(𝕂) la sous 2-catégorie pleine de Pf(𝕂) dont les objets sont réguliers. L’anéade MonA est par exemple un objet régulier de An (𝕂).

Proposition : Le foncteur inclusion Reg(𝕂) ↪ Pf(𝕂) admet un adjoint à droite Mon. Preuve : Pour tout objet A de Pf(𝕂), on pose :

\xymatrix{Mon(A) = N(MonA) = N(A^{M} ×_{A} A^{M} \ar[r] & A^{M} \ar[rr] \ar[rr] & ⇓ & A)}

0.1 §.3. 2-catégories réductibles : (3 - 1) Proposition : Si la 2-catégorie 𝕂 vérifie les propriétés (R 1) et (R 2) alors :

1) le 2-foncteur U : 𝕂 → Cat(\underline{Gr}(𝕂)) (cf. I (1 - 9)(7)) admet un adjoint à droite.

2) le 2-foncteur V : 𝕂 → Cat(\underline{Di}(𝕂)) composé suivant :

𝕂 →^{Δ} Cat(𝕂) ⟶^{Cat(Ob)} Cat(\underline{Di}(𝕂))

admet un adjoint à gauche. Preuve :

1) Comme Cat(\underline{Gr}(𝕂)) se plonge dans An (𝕂), l’adjoint à droite de U cherché est le composé :

Cat(\underline{Gr}(𝕂)) ↣ An(𝕂) →^{N} 𝕂

2) De même Cat(\underline{Di}(𝕂)) se plonge dans Kat (𝕂). L’adjoint à gauche de V est donc le composé :

Cat(\underline{Di}(𝕂)) ↣ Kat(𝕂) →^{Q} 𝕂

Nous pouvons énoncer maintenant le :

(3 - 2) Théorème : Soit 𝕂 une 2-catégorie finiment complète, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) ll existe une catégorie finiment complète 𝔼 et un cotriple exact C sur la 2-catégorie Cat (𝔼) pour laquelle on a une équivalence de 2-catégorie :

𝕂 ≅ Coalg_{C}(Cat(𝔼))

(ii) 𝕂 vérifie les propriétés (R 1) et (R 2) (iii) 𝕂 vérifie les propriétés (4) et (5) de la Proposition (1 - 9) et la propriété (1) de la Proposition (3 - 1). Preuve : ((iii) ⇒ (i)) : Le 2-foncteur U : 𝕂 → Cat(\underline{Gr}(𝕂)) :

- admettant un adjoint à droite (hypothèse)

- étant exact à gauche (même preuve que Prop. (1 - 9) (7))

- réfléchissant les inversibles (même preuve que Prop. (1 - 9) (7)) est exactement cotriplable sur Cat(\underline{Gr}(𝕂)), et \underline{Gr}(𝕂) est une catégorie à limites projectives finies. ((ii) ⇒ (iii)) : déjà démontré. ((i) ⇒ (ii)) : Comme nous l’avons déjà dit, nous verrons dans l’Appendice, au (A - 9), que si 𝔼 est une catégorie à limites projectives finies la 2-catégorie Cat (𝔼) vérifie les propriétés (R 1) et (R 2). Il nous reste donc à montrer le :

Lemme l : Si une 2-catégorie 𝕂 vérifie (R 1) et (R 2), alors il en est de même de la 2-catégorie Coalg_{C}(𝕂) des C-coalgébres, où C est un cotriple exact sur 𝕂.

Ce dernier lemme est lui-même conséquence des deux autres lemmes suivants : Lemme 2 : Soit, dans 2-Cat, le carré commutatif (à un isomorphisme près) suivant :

\xymatrix{ℂ′ \ar[r]^{d′} \ar[d]_{q′} & ℂ \ar[d]^{q} \\ 𝔻′ \ar[r]_{d} & 𝔻}

où q et q′ sont comonadiques. On suppose de plus que la 2-flèche canonique ci-dessous est un isomorphisme :

[figure: 𝔻′; d; p′; 𝔻; p; ℂ′; d′; ℂ; ⟹]

où p et p′ sont respectivement les adjoints à droite de q et q′. Alors si d admet un adjoint à gauche, il en est de même de d′.

Lemme 3 : Soit le triangle commutatif (à un isomorphisme près) suivant dans 2-Cat :

\xymatrix{ℂ′ \ar[rr]^{g} \ar[dr]_{q′} &  & ℂ \ar[dl]^{q} \\  & 𝔻}

où ℂ′ est à égalisateurs, q est comonadique et q′ admet un adjoint à droite. Alors g admet un adjoint à droite.

Preuve du lemme 2 : Notons g l’adjoint à gauche de d, ainsi que C = q.p et C′ = q′.p′ les cotriples correspondant sur 𝔻 et 𝔻’. L’adjoint à gauche g′ de d′ est alors défini sur une C-coalgèbre (X, x) par :

g′(X, x) = (gX, x′)

où x′ : gX → C′gX est la flèche correspondant au composé

X →^{x} CX → CdgX →^{≃} dC′gX

par l’isomorphisme canonique :

𝔻(X, dC′gX) ≃ 𝔻′(gX, C′gX)

Preuve du lemme 3 : Notons p et p′ respectivement les adjoints à droite de q et q′. Comme, pour tout objet X de ℂ, on a :

X = Egal(pqX ⇉ (pq)^{2}X)

il est naturel de poser :

dX = Egal(p′qX ⇉ p′qpqX)

On vérifie que d est bien l’adjoint à droite de g. Preuve du lemme 1 : Comp_{f} désignant la 2-catégorie qui a pour objets les 2-catégories finiment complètes, pour flèches les 2-foncteurs exacts et pour 2-flèches les 2-transformations naturelles quelconques, les applications :

𝔻 ↦ Kat𝔻 ; 𝔻 ↦ An𝔻

se prolongent en des 2-foncteurs Comp_{f} → Comp_{f} et les 2-foncteurs : Δ : 𝔻 → Kat(𝔻), Δ : 𝔻 → An(𝔻) définissent des pseudo-transformations naturelles Id ⇒ Kat(), Id ⇒ An(). Remarquons aussi que Kat() et An() préservent les 2-foncteurs réfléchissant les inversibles. Ainsi Kat() et An() préservent-ils les 2-foncteurs exacts comonadiques et les diagrammes ci-dessous vérifient respectivement les conditions des lemmes 2 et 3, si 𝕂 vérifie (R 1) et (R 2) :

\xymatrix{Coalg_{C}𝕂 \ar[r]^{Δ} \ar[dd] & Kat(Coalg_{C}𝕂) \ar[dd] & Coalg_{C}𝕂 \ar[rrr]^{Δ} \ar[dr] &  &  & An(Coalg_{C}𝕂) \ar[ddl] \\  &  &  & 𝕂 \ar[dr]_{Δ} \\ 𝕂 \ar[r]_{Δ} & Kat(𝕂) &  &  & An(𝕂)}

Par suite Coalg_{C}𝕂 vérifie, lui aussi, (R 1) et (R 2).

(3 - 3) Remarque : On peut se demander si, d’une façon analogue, la 2-catégorie 𝕂 est triplable sur Cat(\underline{Di}(𝕂)). Il n’en est rien (c.f. (3 - 8)).

(3 - 4) Définition : Une 2-catégorie 𝕂 sera dite réductible si elle vérifie l’une des propriétés équivalentes du Théorème (3 - 2).

(3 - 5) Exemples :

1) Cat (𝔼), où 𝔼 est une catégorie finiment complète,

2) Cat^{𝔻}, pour toute 2–catégorie 𝔻 petite,

3) Fais_{J}(𝔻), où 𝔻 est petite et J est une topologie de Grothendieck sur la catégorie \underline{𝔻} sous-jacente (voir le chapitre II, (2 - 3)). Preuve :

l) Evident

2) Le 2-foncteur d’oubli Cat^{𝔻} → Cat\underline{𝔻} :

- est exact à gauche,

- réfléchit les isomorphismes,

- admet un adjoint à droite, Par suite, comme Cat^{𝔻} est finiment compléte, Cat^{𝔻} est comonadique sur Cat\underline{𝔻} ≃ Cat(Ens\underline{𝔻}) et le cotriple en question est exact à gauche.

3) Voir (II (2 - 6)). Etudions maintenant quelques propriétés des 2-catégories réductibles.

(3 - 6) Proposition : Soit 𝕂 une 2-catégorie réductible, alors il en est de même de la 2-catégorie :

1) 𝕂_{op} obtenue en changeant le sens des 2-flèches de 𝕂.

2) Coalg_{C}𝕂 des C-coalgèbres, où C désigne une comonade exacte à gauche.

3) Alg_{T} 𝕂 des T -algébres, où T désigne une monade idempotente exacte à gauche sur 𝕂,

4) Fib_{X}𝕂 et Cofib_{X}𝕂 respectivement, des fibrations scindées et des cofibrations scindées au dessus d’un objet X de 𝕂,

5) Bifib(A, B). Preuve :

1) En effet :

(Coalg_{C}Cat𝔼)_{op} ≃ Coalg_{C}(Cat𝔼)_{op} ≃ Coalg_{C′}Cat𝔼

où C′ est le cotriple dont l’endofoncteur est le composé :

Cat𝔼 ≃^{op} (Cat𝔼)_{op} ≃^{C_{op}} (Cat𝔼)_{op} ≃^{op} Cat𝔼

2) Résulte du Lemme 1 du Théorème (3 - 2).

3) On montre que Alg_{T} 𝕂 vérifie (R 1) et (R 2). Notons Q′ et N′ les deux adjoints cherchés alors :

- si B est une catéade dans Alg_{T} 𝕂, on a Q′(B) = T Q(B)

- si A est une anéade dans Alg_{T} 𝕂, on a N′(A) = N(A) (car N(A) → T N(A) admet un inverse).

4) On démontre d’abord le lemme suivant : Lemme :

1) Si C est une comonade exacte sur une 2-catégorie finiment complète 𝕂 et (X, x) une C-coalgèbre, alors il existe une comonade exacte C_{x} sur 𝕂/X telle que :

Coalg_{C}(𝕂)/(X, x) ≃ Coalg_{C_{x}}(𝕂/X)

2) La comonade C_{x} se relève sur Fib_{X}(𝕂) en une comonade exacte et on a :

Fib_{(X,x)}Coalg_{C}(𝕂) ≃ Coalg_{C_{x}}Fib_{X}(𝕂)

Preuve du lemme :

l) Il suffit de vérifier que la preuve donnée dans [13] (chapitre I, prop. 1.6) peut-être enrichie aux 2-catégories.

2) Ce lemme découle du résultat suivant, démontré dans [5] (α, prop 3, exemple 2.b) :

- une monade T sur un objet C dans la 2-catégorie des comonades est aussi une comonade (notée également) C sur un objet (notée également) T dans la 2-catégorie des monades. La monade T se relève en une monade sur Coalg_{C}, et la comonade C se relève en une comonade sur Alg_{T} de telle sorte que :

Alg_{T} (Coalg_{C}) ≃ Coalg_{C}(Alg_{T})

En effet, on a aussi sur 𝕂/X = Span(X, 1) la monade T des bifibrations (cf. (P - 4)), on constate de plus que l’on a une transformation naturelle

d : T.C_{x} ⇒ C_{x}.T

qui vérifie toutes les cohérences souhaitées pour que cela devienne une monade dans les comonades (loi distributive mixte dans la terminologie de [6]). On trouve donc ici :

Coalg_{C_{x}}Fib_{X}(𝕂) ≃ Coalg_{C_{x}}Alg_{T} (𝕂/X) ≃ Alg_{T} Coalg_{C_{x}}(𝕂/X)
≃ Alg_{T} (Coalg_{C}(𝕂)/(X, x)) ≃ Fib_{(X,x)}Coalg_{C}(𝕂)

Fin de la preuve de 4). Comme 𝕂 ≃ Coalg_{C}Cat(𝔼), alors :

Fib_{(X,x)}Coalg_{C}Cat(𝔼) ≃ Coalg_{C_{x}}Fib_{X}Cat(𝔼) ≃ Coalg_{C_{x}}Cat(𝔼^{X})

où 𝔼^{X} désigne la catégorie des préfaisceaux sur X internes à 𝔼. Le résultat sur Cofib_{X}𝕂 s’obtient en utilisant 1).

5) On utilise l’isomorphisme de (P - 5) et on applique 4).

(3 - 7) Proposition : Soit 𝕂 une 2-catégorie réductible, alors la catégorie \underline{Di}(𝕂) est exactement cotriplable sur la catégorie \underline{Gr}(𝕂).

Preuve : Le foncteur composé : \underline{Di}(𝕂) ↣ \underline{𝕂} →^{G} \underline{Gr}(𝕂)

1) admet un adjoint à droite ; c’est le composé :

\underline{Gr}(𝕂) ↣ \underline{𝕂} →^{Ob} \underline{Di}(𝕂)

2) il est exact à gauche, car G l’est.

3) il réfléchit les inversibles, car A → B étant une flèche de \underline{Di}(𝕂), la flèche GA → GB est inversible si et seulement si UA → UB l’est ; par suite \underline{Di}(𝕂) est exactement cotriplable sur Gr(𝕂).

(3 - 8) Remarque : On vérifie que :

1) \underline{Gr}(Cat^{𝔻}) ≃ \underline{(GrCat)^{𝔻}} ≃ Ens\underline{𝔻}
2) \underline{Di}(Cat^{𝔻}) ≃ \underline{(DiCat)^{𝔻}} ≃ Ens^{π_{1}(𝔻)}

où π_{1}(𝔻) est la catégorie qui a les mêmes objets que 𝔻 et a pour morphismes les classes de flèches de 𝔻 modulo les 2-flèches.

Ainsi les catégories \underline{Gr}(𝕂) et \underline{Di}(𝕂) ne sont pas en général equivalentes. Si on prend 𝔻 la 2-catégorie simpliciale qui a pour seul objet 0, pour flèches les entiers naturels, pour 2-flèches les applications croissantes entre entiers, alors pour 𝕂 = Cat^{𝔻} on a :

\underline{Gr}(𝕂) ≃ Ens^{ℕ} et \underline{Di}(𝕂) ≃ Ens

où ℕ est le monoïde des entiers naturels.

II - 2-TOPOS.

0.2 §.1. 2-topos : (1 - 1) Proposition : Soit 𝕂 une 2-catégorie finiment complète. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un topos 𝔼, un cotriple exact C sur la 2-catégorie Cat (𝔼) et une équivalence de 2-catégorie :

𝕂 ≅ Coalg_{C}Cat(𝔼)

(ii) 𝕂 est réductible et \underline{Gr}(𝕂) est un topos, (iii) 𝕂 vérifie, en plus de (R 1) et (R 2), l’axiome suivant : (R T) : Pour tout objet A de 𝕂, le 2-préfaisceau P(− × A) est représentable (où P(X) désigne la catégorie grossière colibre associée à l’ensemble des sous objets pleins de X). Preuve :

(i) ⇒ (ii) : Le 2-foncteur d’oubli Coalg_{C}(Cat𝔼) → Cat𝔼 :

- admettant un adjoint à droite,

- étant exact à gauche,

- réfléchissant les isomorphismes, il en est de même du foncteur \underline{Gr}(Coalg_{C}(Cat𝔼)) → \underline{Gr}(Cat𝔼) ≃ 𝔼; par suite \underline{Gr}𝕂 ≃ \underline{Gr}(Coalg_{C}(Cat𝔼)) est exactement cotriplable sur 𝔼 et est donc un topos puisque 𝔼 l’est. (ii) ⇒ (i) : résulte de (I, (3 - 2)). (ii) ⇒ (iii) : Pour tout couple (A, B) d’objets de 𝕂, on a :

P(A × B) ≃ P(G(A × B)) ≃ P(GA × GB) ≃ (Gr𝕂)(GB, Ω^{GA}) ≃ 𝕂(B, Ω^{GA})

(iii) ⇒ (ii) : Immédiat.

(1 - 2) Définition : Une 2-catégorie finiment complète vérifiant l’une des trois propriétés équivalentes de la proposition précédente sera appelée 2-topos.

(1 - 3) Exemples :

1) Cat (𝔼), où 𝔼 est un topos,

2) Cat^{𝔻}, pour toute 2-catégorie 𝔻 petite ;

3) Fais_{J}(𝔻), où 𝔻 est petite et J est une topologie de Grothendieck sur la catégorie \underline{𝔻} sous jacente à 𝔻 (voir plus bas (2 - 3)).

(1 - 4) Comme pour les 2-catégories réductibles on a la : Proposition : 𝕂 étant un 2-topos, il en est de même des 2-catégories (1), (2), (3), (4), (5) considérées dans la Proposition (I, (3 - 6)). Preuve :

(1) Immédiat,

(2) Gr(Coalg_{C}𝕂) ≃ Coalg_{C}(Gr𝕂),

(3) Gr(Alg_{T} 𝕂) ≃ Alg_{T} (Gr𝕂),

(4) si 𝔼 est un topos, il en est de même de 𝔼^{X} [11],

(5) immédiat à partir de (4).

(1 - 5) Proposition : Soit un 2-topos 𝕂. Sont des topos les catégories suivantes :

1) \underline{Gr}(𝕂) et \underline{Di}(𝕂)

2) Fibdi_{X}(𝕂) et Cofibdi_{X}(𝕂)

3) Dist (A, B). Preuve :

1) \underline{Gr}(𝕂) est un topos et \underline{Di}(𝕂) est exactement cotriplable sur \underline{Gr}(𝕂).

2) Fibdi_{X}(𝕂) = DiFib_{X}𝕂

3) Dist(A, B) = Di Bifib(A, B).

(1 - 6) Proposition : Soit f : A → B une flèche de 𝕂, alors :

1) Le 2-foncteur changement de base :

f^{∗} : 𝕂/B → 𝕂/A

admet un adjoint à droite lorsque f est une fibration scindée ou une cofibration scindée.

2) Les 2-foncteurs changement de base :

f^{∗} : Fib_{B}(𝕂) → Fib_{A}(𝕂) ; f^{∗} : Cofib_{B}(𝕂) → Cofib_{A}(𝕂)

admettent des adjoints à droite, pour tout f. Preuve :

1) Le résultat est vrai pour 𝕂 = Cat(𝔼) où 𝔼 est un topos, voir [5], β (4.2.4.). Si 𝕂 est un 2-topos quelconque, on a le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{𝕂/B \ar[r]^{f^{∗}} \ar[d] & 𝕂/A \ar[d] \\ Cat𝔼/UB \ar[r]_{Uf^{∗}} & Cat𝔼/UA}

où les flèches verticales proviennent du foncteur d’oubli U : 𝕂 → Cat(𝔼). Elles sont cotriplables en vertu de la Proposition (I, (3 - 6) ((4), Lemme 1)) :

𝕂/B ≃ Coalg_{C}Cat(𝔼)/B ≃ Coalg_{C_{B}}(Cat𝔼/UB)

Si f est une fibration scindée, il en est de même de U(f), car U est exact ; par conséquent (Uf)^{∗} admet un adjoint à droite et on peut appliquer le résultat de (I, (3 - 2), Lemme 3).

2) En fait dès que 𝕂 est finiment complète, on va montrer qu’on a toujours (1) ⇒ (2).

i) Il suffit de démontrer le résultat pour f cofibration scindée, car toute flèche X → Y peut se décomposer en

X →^{i} X/_{Y} Y → Y

où i admet un adjoint à droite d et X/_{Y} Y → Y est une cofibration scindée ; or i^{∗} admet d^{∗} comme adjoint à droite, voir [5] (β (0.2.3.)) ; l’application X ↦ Fib_{X}(𝕂) est en effet un 2-pseudo-foncteur 𝕂_{op}^{op} → Cat. ii) Fib_{X}(𝕂) est monadique sur 𝕂/X, où l’endofoncteur de la monade est :

𝕂/X →^{Σdom} 𝕂/X^{2} →^{cod^{∗}} 𝕂/X

et donc, par 1), admet un adjoint à droite puisque cod est une cofibration scindée ; par conséquent, en suivant [7], Fib_{X}𝕂 est alors cotriplable sur 𝕂/X. iii) Considérons maintenant le diagramme suivant où f est une cofibration scindée :

\xymatrix{Fib_{B}(𝕂) \ar[r]^{f^{∗}} \ar[d] & Fib_{A}(𝕂) \ar[d] \\ 𝕂/B \ar[r]_{f^{∗}} & 𝕂/A}

Clairement ce diagramme est commutatif et le 2 foncteur f^{∗} : 𝕂/B → 𝕂/A admet un adjoint à droite, puisque f est une cofibration scindée (cf. 1). Il suffit d’appliquer (I, (3 - 2), Lemme 3) pour trouver l’adjoint à droite du foncteur f^{∗} : Fib_{B}(𝕂) → Fib_{A}(𝕂).

Etudions maintenant quelques propriétés inductives de 𝕂.

(1 - 7) Proposition :

1) Di(𝕂) ↪ 𝕂 admet un 2-adjoint à gauche π_{0} : 𝕂 → Di(𝕂).

2) On peut composer les distributeurs. Preuve :

1) Le résultat est vrai pour Cat (𝔼) où 𝔼 est un topos. De plus 𝕂 ↦ Di(𝕂) se prolonge en un 2-foncteur : Comp_{f} → Comp_{f} (voir I, (3 - 2) preuve du Lemme 1) qui préserve les 2foncteurs réfléchissant les inversibles. De plus on a une transformation naturelle Di() ↪ Id. Ainsi Di() préserve-t-il les 2-foncteurs comonadiques, et le diagramme ci-dessous verifie-t-il les conditions de (I, (3 - 2), Lemme 2) :

[figure: Di(𝕂); 𝕂; Di(Cat𝔼) ≃ 𝔼; Cat𝔼]

D’où le résultat.

2) D’après 1) et (1 - 5), l’inclusion Dist(A, B) = Di Bifib(A, B) ↪ Bifib(A, B) admet donc un adjoint à gauche π_{0}. Soient A ← D → A′ et A′ ← D′ → A” deux distributeurs. Le span composé A ← D” → A” est une bifibration ; le distributeur composé sera donc :

π_{0}(A ← D” → A”)

0.3 §. 2. Etude des monades idempotentes exactes sur un 2-topos. Soit 𝕂 un 2-topos.

(2 - 1) Définition : Appellons fermeture pleine stable un endomorphisme \overline{()} sur l’ensemble des sous-objets pleins de 𝕂, vérifiant les quatre conditions habituelles :

1) A ↣ B ⊂ A′ ↣ B ⇒ \overline{A ↣ B} ⊂ \overline{A′ ↣ B}

2) A ↣ B ⊂ \overline{A ↣ B}

3) Pour toute flèche f : B′ → B de 𝕂, on a \overline{f^{∗}(A ↣ B)} = f^{∗}(\overline{A ↣ B})

4) \overline{\overline{A ↣ B}} = \overline{A ↣ B}

(2 - 2) Proposition : Il existe une bijection entre l’ensemble des fermetures pleines stables sur 𝕂 et les topologies sur \underline{Gr}(𝕂).

Preuve : L’objet classifiant les monomorphismes pleins dans 𝕂 étant l’objet classifiant les monomorphismes dans \underline{Gr}(𝕂) (voir Proposition (II, (1 - 1))) la démonstration est la même que dans le cas des topos [11].

(2 - 3) Définition : j étant une topologie sur \underline{Gr}(𝕂), notons \overline{()} la fermeture pleine stable associée.

1) Un sous objet plein A ↣ B de 𝕂 est dit dense (pour j) si :

\overline{A ↣ B} = B ↣^{Id} B

2) Une flèche X → Y de 𝕂 est dit dense (pour j) si elle vérifie les deux conditions suivantes :

(i) Im(X^{2} → Y^{2}) est dense (où Im désigne l’image pleine). (ii) X → X ×_{Y} X vérifie (i).

3) Un objet F de 𝕂 est appellé faisceau (pour j) si pour tout monomorphisme dense X ↣ Y le foncteur

𝕂(Y, F) → 𝕂(X, F)

est un isomorphisme (les monomorphismes X ↣ Y considérés ne sont pas nécéssairement pleins).

Notons Fais_{j}(𝕂) la sous-2-catégorie pleine de 𝕂 formée des faisceaux pour j.

(2 - 4) Proposition : Soit T = (T, λ, μ) une monade idempotente exacte sur 𝕂. Alors :

1) Il existe sur 𝕂 une fermeture pleine stable \overline{()} (et donc une topologie j_{T}) sur Gr(𝕂), définie sur un sous-objet plein A ↣ B par :

\overline{A ↣ B} = λ_{B}^{∗}(T A ↣ T B)

2) Une flèche A → B de 𝕂 est dense pour j_{T} si et seulement si T A → T B est un isomorphisme.

3) Pour tout objet A de 𝕂, la flèche λ_{A} : A → T A est dense et T A est un faisceau pour j_{T}.

4) Fais_{j_{T}} (𝕂) = Alg_{T} (𝕂).

Preuve :

1) Cela se vérifie comme dans les topos [11].

2) On le démontre tout d’abord dans le cas particulier où A → B est un monomorphisme plein.

- Si T A ↣ T B est inversible, alors A ↣ B est évidemment dense. Réciproquement si A ↣ B est dense, il existe une flèche k : B → T A rendant le diagramme suivant commutatif :

[figure: A; λ_{A}; B; λ_{B}; k; T A; T B]

On en déduit alors que :

T B →^{T k} T^{2}A →^{μ_{A}} T A ↣ T B = T B →^{Id} T B

Par suite T A ↣ T B étant un monomorphisme, puisque T est exact, il est inversible.

- Supposons maintenant A → B quelconque. Comme T : 𝕂 → Alg_{T} (𝕂) est un adjoint exact, il préserve les images pleines, la représentation ()^{2} et les produits fibrés. Par suite :

T (Im(A^{2} → B^{2})) ≃ Im(T A^{2} → T B^{2})
T (Im(A^{2} → (A ×_{B} A)^{2})) ≃ Im(T A^{2} → (T A ×_{T B} T A)^{2})

Ainsi une flèche A → B est dense si et seulement si T A → T B est inversible (on utilise le fait que si un monomorphisme X ↣ Y est tel que :

Im(X^{2} → Y^{2}) ≃ Y^{2} →^{Id} Y^{2}

alors il est inversible).

3) Comme T est idempotent, T λ_{A} : T A → T^{2}A est inversible, par suite λ_{A} est dense (2). D’autre part pour tout monomorphisme dense X ↣ Y le carré suivant est commutatif :

\xymatrix{𝕂(Y, T A) \ar[r] \ar[d]_{≃} & 𝕂(X, T A) \ar[d]^{≃} \\ Alg_{T} (𝕂)(T Y, T A) \ar[r] & Alg_{T} (𝕂)(T X, T A)}

et la flèche horizontale inférieure est inversible, car T X → T Y l’est. Donc la flèche horizontale supérieure est inversible ce qui prouve que T A est un faisceau.

4) Toute T -algèbre est un faisceau d’après le (3). Réciproquement soit F un faisceau. Comme λ_{F} : F → T F est dense, alors F → F ×_{T F} F est un monomorphisme dense. Par suite, F étant un faisceau, il existe une unique flèche F ×_{T F} F → F telle que le diagramme suivant soit commutatif :

\xymatrix{F \ar[rr] \ar[dr]_{Id} &  & F ×_{T F} F \ar[dl] \\  & F}

En fait F ×_{T F} F → F et F → F ×_{T F} F sont inverses l’une de l’autre, car F ×_{T F} F est un faisceau (ceci résulte du fait que T F est un faisceau (3) et que les faisceaux sont stables par limites projectives finies). La flèche λ_{F} : F → T F est donc un monomorphisme dense. Un raisonnement analogue au précédent finit de prouver que λ_{F} est inversible.

Dans la proposition précédente nous venons de construire une application Φ : T ↦ j_{T} de l’ensemble M des monades idempotentes exactes sur 𝕂 dans l’ensemble T des topologies sur \underline{Gr}(𝕂).

(2 - 5) Théorème : Il existe une équivalence entre l’ensemble des monades idempotentes exactes sur 𝕂 et les topologies sur \underline{Gr}(𝕂) (i.e. il existe une application Ψ : T → M telle que ΦΨ(j) = j et ΨΦ(T) = T). Preuve :

a) Pour la construction de Ψ nous allons procéder en trois temps :

- Soit j une topologie sur \underline{Gr}(𝕂). Comme \underline{Gr}(𝕂) est un topos, nous savons qu’il existe une monade idempotente exacte T_{0} sur la catégorie \underline{Gr}(𝕂).

- La monade T_{0} étant exacte, on peut la prolonger en une monade idempotente exacte T_{1} = (T_{1}, λ_{1}, μ_{1}) sur la 2-catégorie 𝕃 = Cat\underline{Gr}(𝕂).

- Le 2-foncteur composé 𝕂 →^{U} 𝕃 →^{T_{1}} Alg_{T_{1}}𝕃 admet un adjoint à droite, puisque U et T_{1} en admettent un, par suite il définit une monade exacte T′ = (T′, λ′, μ′) sur 𝕂. En prenant l’égalisateur T de

[figure: T; η; T′; λ′T′; T′λ′; T^{′2}]

dans End(𝕂) on construit une monade idempotente exacte sur 𝕂 (voir [8]).

- L’application Ψ est alors définie par Ψ(j) = T.

b) La fin de la preuve résulte du lemme suivant : Lemme :

1) Sur une 2-catégorie 𝔻, deux monades idempotentes M et M′ qui inversent les mêmes flèches sont isomorphes.

2) Dans un topos, deux topologies qui ont les mêmes sous-objets denses coïncident.

3) A → B étant une flèche de 𝕂, T A → T B est inversible si et seulement si T_{1}UA → T_{1}UB l’est.

4) T_{0} est la restriction de la monade T à \underline{Gr}(𝕂).

5) A → B étant une flèche de 𝕂, alors A → B est dense pour j_{T} si et seulement si A → B est dense pour j.

6) j = j_{T}.

7) M et M′ étant deux monades idempotentes exactes sur 𝕂, si j_{M} = j_{M′}, alors M ≃ M′. Preuve du lemme :

1) Pour tout objet A de la 2-catégorie 𝔻, le carré suivant est commutatif :

\xymatrix{A \ar[r]^{u_{A}} \ar[d]_{u′_{A}} & MA \ar[d]^{u′_{MA}} \\ M′A \ar[r]_{M′u_{A}} & M′MA}

où u et u′ sont les unités respectivement de M et M′. Or M′u_{A} est inversible car Mu_{A} l’est. Nous avons donc un triangle commutatif :

\xymatrix{ & A \ar[dr]^{u′_{A}} \ar[dl]_{u_{A}} \\ MA \ar[rr] &  & M′A}

Le rôle de M et M′ étant interchangeable, on en déduit que MA ≃ M′A.

2) Soit \overline{()} et ˆ() deux fermetures stables ayant les mêmes sous objets denses. Alors pour tout sous-objet A ↣ B on a le triangle commutatif suivant :

[figure: \overline{A}; ˆ\overline{A}; B]

où \overline{A} ↣ B est fermé pour \overline{()} et \overline{A} ↣ ˆ \overline{A} est dense pour ˆ(), donc pour \overline{()}. Comme on le vérifie facilement, ceci entraîne que \overline{A} ↣ ˆ \overline{A} est un isomorphisme. Or : A ↣ B ⊂ \overline{A} ↣ B, donc : Â ↣ B ⊂ ˆ \overline{A} ↣ B et ainsi Â ↣ B ⊂ \overline{A} ↣ B. On démontre l’inclusion inverse par symétrie. D’où Â ↣ B = \overline{A} ↣ B.

3) Notons q le composé 𝕂 →^{U} 𝕃 →^{T_{1}} Alg_{T_{1}}(𝕃) et p son adjoint à droite. Alors pour tout objet A de 𝕂 :

[figure: qA; qλ′_{A}; q(pq)A; qλ′_{pqA}; qpqλ′_{A}; q(pq)^{2}A]

est un égalisateur ; du fait de la définition de T, il en est de même pour :

[figure: qT A; qη_{A}; q(pq)A; qλ′_{pqA}; qpqλ′_{A}; q(pq)^{2}A]

car pq = T′ et q, étant exact, préserve les égalisateurs. Donc qA → qT A est un inversible, ou encore T_{1}UA → T_{1}UT A est inversible, pour tout objet A de 𝕂.

Montrons maintenant notre lemme. Soit A → B une flèche de 𝕂. Comme le carré suivant est conmutatif dans 𝕃 :

\xymatrix{T_{1}UA \ar[r] \ar[d] & T_{1}UT A \ar[d] \\ T_{1}UB \ar[r] & T_{1}UT B}

on en déduit, d’après ce qui précède, que, si T A → T B est inversible, alors T_{1}UA → T_{1}UB l’est aussi. Réciproquement si T_{1}UA → T_{1}UB = qA → qB est inversible, alors T′A → T′B = pqA → pqB l’est aussi, ainsi que la flèche T^{′2}A → T^{′2}B. Donc T A → T B est inversible.

4) Se déduit immédiatement de (1) et (3), car les deux monades T_{0} et T inversent les mêmes flèches.

5) Il suffit de le montrer pour les monomorphismes pleins. Soit A ↣ B un sous objet plein. On a les équivalences :

A ↣ B est dense pour j  ⇔ GA ↣ GB est dense pour j
⇔ T_{0}GA ↣ T_{0}GB est inversible ⇔ T_{1}UA ↣ T_{1}UB est inversible
⇔ T A ↣ T B est inversible  ⇔ A ↣ B est dense pour j_{T}

6) Résulte de (2) et (5).

7) D’après le (1), il suffit de montrer que M et M′ inversent les mêmes flèches. Mais cela résulte de (2 - 4) (2).

(2 - 6) Corollaire : Si j est une topologie sur \underline{Gr}(𝕂), alors Fais_{j}(𝕂) est un 2-topos. Preuve : Résulte des propositions (l - 4), (2 - 4) et (2 - 5).

APPENDICE

0.4 Deux constructions associées à une (2)-monade. (A - 1) Soit T = (T, λ, μ) une monade sur Cat et C un objet de Cat. Pour simplifier les notations, on supprimera éventuellement la lettre “C” des flèches λ_{C}, μ_{C}, λ_{T C}, T λ_{C} ...

Notons K_{T} (C) la catégorie dont :

1) Les objets sont les couples (X, h) où X est un objet de T (C) et h : T λ(X) → λT (X) est une 2-flèche de T^{2}C telle que :

i) μ(h) = X →^{id} X

ii) Le diagramme suivant commute :

[figure: T^{2}λ.T λ(X); T^{2}λ(h); T^{2}λ.λT (X) = λT^{2}.T λ(X); λT^{2}(h); λT^{2}.λT (X); T λT.T λ(X); T λT (h); T λT.λT (X)]

2) les morphismes x : (X_{1}, h_{1}) → (X_{2}, h_{2}) sont les flèches x : X_{1} → X_{2} rendant commutatif le carré suivant :

\xymatrix{T λ(X_{1}) \ar[r]^{h_{1}} \ar[d]_{T λ(x)} & λT (X_{1}) \ar[d]^{λT (x)} \\ T λ(X_{2}) \ar[r]_{h_{2}} & λT (X_{2})}

Notons k_{C} : K_{T} (C) → T (C) le foncteur défini sur les objets par k_{C}(X, h) = X, par u_{C} : C → K_{T} (C) le foncteur défini sur les objets par u_{C}(X) = (λ(X), id) (on a donc k_{C}.u_{C} = λ_{C}) et par ν_{C} la transformation naturelle T λ_{C}.k_{C} ⇒ λT_{C}.k_{C}, définie par ν_{C}(X, h) = h.

(A - 2) Proposition : Si b : T C → C est une algèbre pour T, alors la flèche K_{T} (C) →^{k_{C}} T (C) →^{b} C est un adjoint à gauche inverse à gauche de u_{c} : C → K_{T} (C). Preuve : Il est clair que le couple (k_{C}, ν_{C}) a une propriété universelle relativement aux conditions (i) et (ii). On trouvera la 2-flèche ϵ : id ⇒ u_{C}.b.k_{C} en prenant la factorisation à travers k_{C} de la 2-flèche :

T b.ν_{C} : T b.T λ_{C}.k_{C} = k_{C} ⇒ T b.λT_{C}.k_{C} = λ_{C}.b.k_{C} = k_{C}.u_{C}.b.k_{C}

(A - 3) D’une façon “duale” on construit A_{T} (C). Cette catégorie a pour objets les couples (X, h) où X est un objet de T (C) et h : λT (X) → T λ(X) est une flèche de T^{2}(C) vérifiant les deux axiomes qui se déduisent de (i) et (ii) en changeant le sens de h. On obtient donc :

(A - 4) Proposition : Si b : T (C) → C est une algèbre pour T, alors A_{T} (C) →^{a_{C}} T (C) →^{b} C est un adjoint à droite inverse à gauche de C →^{w_{C}} A_{T} (C) (où a_{C} et w_{C} sont les foncteurs d’oubli canoniques similaires à k_{C} et à u_{C}).

(A - 5) Il est clair que ces résultats restent valables pour toute monade T sur une 2-catégorie 𝔻 où l’on peut construire K_{T} (C) et A_{T} (C) comme les objets universels pour les axiomes (i) et (ii) qui les concernent respectivement (ce qui est le cas si la 2-catégorie 𝔻 est finiment complète par exemple). D’autre part la construction K_{T} est la première étape d’une récurrence pour associer à T une λ-monade [10] (à la manière dont on associe une monade idempotente à une monade quelconque [8]), première étape qui est suffisante lorsque l’endofoncteur de T est exact. De plus Kock appelle λ-modules les couples (C, β) où β est un inverse à gauche, adjoint à gauche de u_{C}. Lorsque l’endofoncteur T est exact, K_{T} C possède une structure canonique de λ-module [10] (et A_{T} C de co-λ-module).

(A - 6) Remarque : Si T λ_{T (C)} pleinement fidèle, l’axiome (ii) est automatiquement vérifié une fois (i) vérifié. Preuve : Il suffit même que T λT (C) soit plein. Donnons nous en effet le diagramme suivant :

[figure: Z; k; k; T C; T λ_{C}; T C; λ_{T C}; T^{2}C; ν; ⟸]

avec μ_{C}.ν = Id_{k}. On considère alors la 2-flèche :

(λT^{2}.ν) ∘ (T^{2}λ.ν) : T λT.T λ.k = T^{2}λ.T λ.k ⇒ λT^{2}.λT.k = T λT.λT.k

d’où, T λT (C) étant plein, une 2-flèche ν̄ : T λ.k ⇒ λT.k telle que :

T λT.ν̄ = (λT^{2}.ν) ∘ (T^{2}λ.ν) et donc :
ν̄ = μT.T λT.ν̄ = (μT.λT^{2}.ν) ∘ (μT.T^{2}λ.ν) = ν ∘ (T λ.μ.ν) = ν

d’où (ii).

(A - 7) Plaçons-nous à présent dans le cadre suivant : on considère la 2-catégorie Comp_{f} qui a pour objets les 2-catégories finiment complètes, pour flèches les 2-foncteurs exacts et pour 2-flèches les 2-transformations naturelles quelconques, et le 2-endofoncteur sur Comp_{f} qui à 𝔻 associe Cat (𝔻 ). On a aussi une 2-transformation naturelle μ : Cat(Cat()) ⇒ Cat() définie sur un objet C de Cat (Cat (𝔻)) par :

\xymatrix{μ_{𝔻}(C) = (|C_{2}| \ar[r] & |C_{1}| \ar[r] \ar[r] & |C_{0}|)}

De plus on a une pseudo-transformation naturelle λ : Id ⇒ Cat() (la commutation est à isomorphisme naturel près) définie sur un objet 𝔻 de Comp_{f} par :

\xymatrix{λ_{𝔻}(X) = (X^{3} \ar[r] & X^{2} \ar[r] \ar[r] & X)}

On vérifie alors que T = (Cat(), λ, μ) vérifie les axiomes d’une monade (et devient donc une pseudo-monade) et que le choix naturel pour Cat(λ_{𝔻}) entraîne que :

[figure: Cat(𝔻); λ_{Cat (𝔻)}; 𝔻; λ_{𝔻}; λ_{𝔻}; ⇕; Cat^{2}(𝔻); μ_{𝔻}; Cat(𝔻); =; 𝔻; λ_{𝔻}; Cat(𝔻); Cat(𝔻); Cat(λ_{𝔻})]

On vérifie enfin que, λ_{𝔻} étant pleinement fidèle, il en est de même pour Cat(λ_{Cat(𝔻)}), car Cat(), étant exact, préserve les flèches pleinement fidèles.

On peut voir alors que les propositions précédentes (A - 2) et (A - 4) demeurent valables malgré la pseudo-naturalité de λ, pourvu que l’on puisse construire l’objet universel pour l’axiome (i), ce qu’il est aisé de vérifier dans la 2-catégorie Comp_{f}.

(A - 8) Proposition :

1) K_{T} (𝔻) ≃ Kat(𝔻) (cf. (I, (1 - 5))

2) A_{T} (𝔻) ≃ An(𝔻) (cf. (I, (2 - 3)). Preuve :

1) Un objet de K_{T} (𝔻) est donc un couple (X, h) d’une catégorie interne X à 𝔻 et d’une flèche h : Cat(λ_{𝔻})(X) → λ_{Cat(𝔻)}(X) telle que μ_{𝔻}(h) = 1_{X} ; soit dans Cat (𝔻) :

\xymatrix{λ_{𝔻}(X_{2}) \ar[r]^{h_{2}} \ar[d] & X^{3} \ar[d] \\ λ_{𝔻}(X_{1}) \ar[r]^{h_{1}} \ar[d] \ar[d] & X^{2} \ar[d] \ar[d] \\ λ_{𝔻}(X_{0}) \ar[r]_{h_{0}} & X}

On va montrer que la catégorie de gauche est obtenue dans Cat (𝔻) à partir de l’objet “comma” de h_{0} par lui-même, ce qui prouvera que c’est une catéade de Cat (𝔻) (I, (1 - 4), exemple 2) et, comme λ_{𝔻} est pleinement fidèle, que :

\xymatrix{X = (X_{2} \ar[r] & X_{1} \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & X_{0})}

est une catéade de 𝔻.

Pour cela il suffit de vérifier que dans Cat (𝔻) le carré suivant est un produit fibré :

\xymatrix{λ_{𝔻}(X_{1}) \ar[r]^{h_{1}} \ar[d] & X^{2} \ar[d] \\ λ_{𝔻}(X_{0}) × λ_{𝔻}(X_{0}) \ar[r]_{h_{0}×h_{0}} & X × X}

Au niveau ()_{0} (celui des objets), c’est trivial du fait que μ_{𝔻}(h) = 1_{X}. Au niveau ()_{1} (celui des flèches), on trouve le carré :

\xymatrix{X_{1}^{2} \ar[r] \ar[d]_{(dom^{2},cod^{2})} & X_{4} \ar[d] \\ X_{0}^{2} × X_{0}^{2} \ar[r]_{(h_{0})_{1}×(h_{0})_{1}} & X_{1} × X_{1}}

Grâce au lemme de Yoneda, il suffit alors de vérifier que c’est un produit fibré dans Cat.

Réciproquement, on montre qu’une catéade de 𝔻 est un objet de K_{T} (𝔻) par l’adjonction (I, (1 - 6)(2)).

2) Un objet de A_{T} (𝔻) est, dans Cat (𝔻), la donnée de :

\xymatrix{X^{3} \ar[r]^{h_{2}} \ar[d] & λ_{𝔻}(X_{2}) \ar[d] \\ X^{2} \ar[r]^{h_{1}} \ar[d] \ar[d] & λ_{𝔻}(X_{1}) \ar[d] \ar[d] \\ X \ar[r]_{h_{0}} & λ_{𝔻}(X_{0})}

On va montrer que la catégorie de droite est obtenue dans Cat (𝔻) à partir de la construction (I, (2 - 2) exemple 2) ce qui prouvera qu’elle est munie d’une structure d’anéade dans Cat (𝔻) et, λ_{𝔻} étant pleinement fidèle, que

\xymatrix{X = (X_{2} \ar[r] & X_{1} \ar[r]^{dom} \ar[r]_{cod} & X_{0})}

est munie d’une structure d’anéade dans 𝔻. Pour cela, h_{0} étant grossièrement inversible (car μ_{𝔻}(h) = 1_{X}), il suffit de montrer que h_{1} est la partie grossièrement inversible de la décomposition de h_{0}^{2}. Pour cela il reste à prouver que, dans 𝔻, le carré suivant est un produit fibré :

\xymatrix{X_{1}^{2} \ar[r] \ar[d] & (X_{0}^{2})^{2} \ar[d] \\ X_{1} × X_{1} \ar[r]_{(h_{0})_{1}×(h_{0})_{1}} & X_{0}^{2} × X_{0}^{2}}

ce qui signifie que (h_{0})_{1} est pleinement fidèle. Grâce à Yoneda, il suffit de vérifier cela dans Cat. Réciproquement on montre qu’une anéade de 𝔻 est un objet de A_{T} (𝔻) par l’adjonction (I, (2 - 4)(2)).

(A - 9) 𝔼 étant une catégorie finiment compléte, Cat (𝔼) a une structure canonique d’a1gèbre pour la monade T ; on a donc :

Corollaire : Soit 𝔼 une catégorie finiment compléte. Cat (𝔼) vérifie (R 1) et (R 2).

(A - 10) Le 2-foncteur Cat() étant exact et donc compatible avec les propriétés universelles de K_{T} et A_{T}, la 2-catégorie K_{T} (𝔻) ≃ Kat(𝔻) vérifie (R 1) et la 2-catégorie A_{T} (𝔻) ≃ An(𝔻) vérifie (R 2) (c.f. (A - 5)).

De plus, il est aisé de vérifier que K_{T} (𝔻) et A_{T} (𝔻) sont les 2-catégories pseudo-libres (unicité des factorisations à une transformation isonaturelle près : cela provient de la pseudonaturalité de λ) respectivement pour les inclusions :

ℝ_{1} ↪ Comp_{f}
ℝ_{2} ↪ Comp_{f}

où ℝ_{1} (resp ℝ_{2}) est la sous 2-catégorie de Comp_{f} formée des 2-catégories vérifiant (R 1) (resp. (R 2)) et des 2-foncteurs compatibles avec (R 1) (resp. (R 2)).

38  DOMINIQUE BOURN ET JACQUES PENON

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