Theory and Applications of Categories, Vol. 20, No. 17, 2008, pp. 605–649.

PROPRIÉTÉS UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN DÉRIVÉES

DENIS-CHARLES CISINSKI

Abstract. We prove that, given any small category A, the derivator Hot_{A}, corresponding to the homotopy theory of presheaves of homotopy types on A, is characterized by a natural universal property. In particular, the theory of Kan extensions extends to the setting of Grothendieck derivators.

Contents

1 Densité homotopique du plongement de Yoneda 609 2 Calcul local: isomorphismes de changement de base 615 3 La propriété universelle de Hot_{A} 619 4 La propriété universelle de Hot_{•,A} 627 5 Sorites monoïdaux: 𝔻-algèbres et 𝔻-modules 635 6 Catégories de modèles monoïdales 645

Introduction

Ce texte fait suite à deux autres articles: [Cis03, Cis04].

Dans Pursuing stacks [Gro83], Grothendieck énonce une hypothèse inspiratrice à propos de la catégorie homotopique des CW -complexes, notée ici Hot: la sous-catégorie pleine des endofoncteurs de Hot formée des auto-équivalences est équivalente à la catégorie finale. Autrement dit, toute auto-équivalence de Hot est isomorphe à l’identité, et le seul endomorphisme de l’identité est l’identité. Considérons un cas plus trivial: la catégorie des ensembles Ens. Si C et C′ sont deux catégories, désignons par \underline{Hom}_{!}(C, C′) la catégorie des foncteurs de C vers C′ qui commutent aux petites limites inductives. L’évaluation sur l’ensemble à un élément e induit, pour toute petite catégorie admettant des petites limites inductives, une équivalence de catégories

\underline{Hom}_{!}(Ens, C) ⟶^{∼} C .

En particulier, on a une équivalence de catégories \underline{Hom}_{!}(Ens, Ens) ≃ Ens par laquelle l’identité de Enscorrespond à l’ensemble final. En particulier, 1_{Ens} est un objet final de la catégorie \underline{Hom}_{!}(Ens, Ens), ce qui implique l’analogue de l’hypothèse inspiratrice pour la catégorie des ensembles. L’équivalence de catégories ci-dessus est un cas particulier de la théorie des extensions de Kan à gauche qui caractérise la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur une petite catégorie A par une propriété universelle: pour toute catégorie C admettant des petites limites inductives, la composition avec le plongement de Yoneda de A dans Â induit une équivalence de catégories

Received by the editors 2008-07-23 and, in revised form, 2008-12-04.

Transmitted by Steve Lack. Published on 2008-12-12.

2000 Mathematics Subject Classification: 55U40, 18A40, 18G50, 18G55, 55U35.

Key words and phrases: derivator, homotopy theory, derived Kan extension, homotopy colimit, homotopy limit..

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Denis-Charles Cisinski, 2008. Permission to copy for private use granted.

\underline{Hom}_{!}(Â, C) ⟶^{∼} \underline{Hom}(A, C) .

Autrement dit, le 2-foncteur C ⟼ \underline{Hom}(A, C) est représenté par Â dans la 2-catégorie des catégories admettant des petite limites inductives. Cette propriété universelle a une interprétation géométrique: cela signifie que la catégorie des préfaisceaux sur A est la catégorie des faisceaux d’ensembles sur elle même pour la topologie canonique.

Le but de ce texte est d’établir des résultats analogues pour des “catégories admettant des petites limites inductives homotopiques”, et une notion adéquate de préfaisceaux sur une petite catégorie dans cette situation (3.24 et 3.26). C’est dans cette optique que Grothendieck [Gro83, Gro90] a dégagé la notion de dérivateur, déjà introduite dans [Mal01, Cis03]. Le rôle de la catégorie des préfaisceaux sur A est joué dans ce contexte par le dérivateur Hot_{A} associé à la théorie de l’homotopie des préfaisceaux en petites catégories (ou de manière équivalente, en ensembles simpliciaux) sur A. L’ingrédient essentiel pour la caractérisation de Hot_{A} par une propriété universelle est la définition axiomatique de la théorie de l’homotopie des petites catégories dégagée par Grothendieck [Gro83] par la notion de localisateur fondamental. Les localisateurs fondamentaux sont des classes de flèches de la catégorie Catdes petites catégories vérifiant certains axiomes de descente (dont l’énoncé du théorème A de Quillen [Qui73] est un cas particulier). Le théorème principal de [Cis04] est que les équivalences faibles usuelles de Cat(appelées ici ∞-équivalences) forment le localisateur fondamental minimal. Or toute théorie cohomologique (en un sens adéquat) sur Catdéfinit canoniquement un localisateur fondamental. En particulier, tout dérivateur 𝔻 définit canoniquement une classe de 𝔻-équivalences qui se révèlent former un localisateur fondamental (3.7). Une fois constaté que le plongement de Yoneda est homotopiquement dense (1.15), un simple calcul local des extensions de Kan homotopiques, fondé sur le yoga des isomorphismes de changement de base (2.4), permet alors de prouver la propriété universelle. En second lieu, on étend cette propriété universelle aux dérivateurs ponctués (i.e. admettant un objet nul). Si C est une catégorie admettant des petites limites inductives et un objet final ⋆, désignons par C_{•} la catégorie des objets pointés de C. On a un foncteur canonique (adjoint à gauche du foncteur d’oubli) ?_{+} : C ⟶ C_{•} qui associe à tout objet X de C, l’objet X_{+} = X ⨿ ⋆. On vérifie facilement que pour toute catégorie C′ admettant des petites limites inductives et un objet nul, la composition par ?_{+} induit une équivalence de catégories

\underline{Hom}_{!}(C_{•}, C′) ⟶^{∼} \underline{Hom}_{!}(C, C′) .

On démontre un énoncé analogue pour les dérivateurs (4.17), ce qui a pour corollaire la propriété universelle annoncée (4.19 et 4.21). Ces propriétés universelles sont exploitées pour définir une structure monoïdale canonique sur Hot (et sur sa variante ponctuée Hot_{•}), laquelle se révèle être celle définie par le produit cartésien (resp. le ∧-produit). On construit de même une action canonique de Hot (resp. de Hot_{•}) sur tout dérivateur (resp. sur tout dérivateur ponctué). Enfin, le théorème principal de [Cis03] étant qu’à toute catégorie de modèles est associé un dérivateur, on utilise ces résultats pour trivialiser les deux conjectures de cohérence homotopique posées par Hovey [Hov99, 5.6.6 et 5.7.5]. On retrouve aussi de la sorte les résultats de Chachólski et Scherer [CS08].

Pour terminer cette introduction, signalons que l’on peut montrer que le dérivateur stable universel associé à la théorie de l’homotopie des CW -complexes par Heller [Hel97] est canoniquement équivalent au dérivateur associé à la catégorie de modèles des spectres symétriques. Les résultats présentés ici permettent donc de caractériser la théorie de l’homotopie stable par une propriété universelle; voir [Tab08] pour plus de détails. D’autres applications sont données dans [Tab08, Cis08].

Conventions et notations

On rapelle ici succintement les définitions concernant les dérivateurs. D’une manière générale, il est conseillé au lecteur de parcourir le premier paragraphe de [Cis03] afin de se familiariser avec les différentes terminologies et notations de manière plus précise.

On se donne une catégorie de diagrammes Dia(c’est-à-dire une sous-2-catégorie pleine de la 2-catégorie des petites catégories vérifiant des conditions de stabilité adéquates): dans la pratique, Diaest la 2-catégorie des ensembles ordonnés (éventuellement finis), ou bien la 2-catégorie des petites catégories (c’est cette dernière situation qui sera le centre d’intérêt dans cet article).

Un prédérivateur 𝔻 (de domaine Dia) est un 2-foncteur contravariant (sur les 1-flèches et les 2-flèches) de Dia vers la 2-catégorie des catégories (non nécessairement petites). Les prédérivateurs forment une 2-catégorie, notée Preder : les 1-morphismes (appelés dans [Cis03] Dia-morphismes) sont les pseudo-transformations naturelles, et les 2-morphismes sont les modifications (appelées dans [Cis03] 2-Dia-morphismes). Si 𝔻 et 𝔻′ sont deux prédérivateurs, on désignera par \underline{Hom}(𝔻, 𝔻′) la catégorie des morphismes de 𝔻 vers 𝔻′.

On note e la catégorie ponctuelle (i.e. avec un seul objet, et pour seul morphisme, l’identité). La philosophie des (pré)dérivateurs consiste à voir 𝔻 comme une structure sur la catégorie 𝔻(e).

La notion de dérivateur à gauche est une généralisation de la notion de catégorie admettant des petites limites projectives. En effet, si C est une telle catégorie, elle définit un dérivateur à gauche défini par

A ⟼ \underline{Hom}(A^{op}, C) ,

où \underline{Hom}(A^{op}, C) désigne la catégorie des préfaisceaux sur A à valeurs dans C.

Pour un prédérivateur 𝔻 donné et un foncteur u : A ⟶ B, on note u^{∗} = 𝔻(u) : 𝔻(B) ⟶ 𝔻(A) le foncteur correspondant.

0.1. Définition. Un dérivateur faible à gauche (sous-entendu de domaine Dia) est un prédérivateur 𝔻 satisfaisant les axiomes suivants.

Der 1 (a) Si I et J sont deux objets de Dia, alors le foncteur

𝔻(I ⨿ J) ⟶^{(i^{∗}, j^{∗})} 𝔻(I) × 𝔻(J) ,

induit par les inclusions canoniques i : I ⟶ I ⨿ J et j : J ⟶ I ⨿ J, est une équivalence de catégories.

(b) 𝔻(∅) est équivalente à la catégorie ponctuelle.

Der 2 Pour toute petite catégorie A dans Dia, la famille de foncteurs a^{∗} : 𝔻(A) ⟶ 𝔻(e), a ∈ Ob A, est conservative (i.e. si φ est un morphisme de 𝔻(A) tel que pour tout objet a de A, a^{∗}φ = φ_{a} soit un isomorphisme, alors φ est un isomorphisme).

Der 3g Tout foncteur de Diaadmet une image directe cohomologique dans 𝔻. Autrement dit, pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, le foncteur image inverse

u^{∗} : 𝔻(B) ⟶ 𝔻(A)

admet un adjoint à droite

u_{∗} : 𝔻(A) ⟶ 𝔻(B) .

Der 4g Pour tout foncteur u : A ⟶ B de Dia et tout objet b de B, le morphisme de changement de base b^{∗} u_{∗} ⟶ p_{∗} j^{∗}, induit par le 2-diagramme associé à (u, b),

[figure: A/b; j; p; α; A; u; e; b; B; ,]

est un isomorphisme dans 𝔻(e) (où A/b = B/b ×_{B} A, j est la projection canonique, et α est le 2-morphisme défini par les morphismes de la forme α : u(a) ⟶ b pour chaque objet (a, α) de A/b).

Si 𝔻 est un prédérivateur, on lui associe son prédérivateur opposé 𝔻^{op} par la formule

𝔻^{op}(A) = 𝔻(A^{op})^{op} .

Cela permet de dualiser les notions concernant les (pré)dérivateurs.

0.2. Définition. Un prédérivateur 𝔻 (de domaine Dia) est un dérivateur faible à droite si 𝔻^{op} est un dérivateur faible à gauche (de domaine Dia′ = {A^{op} | A ∈ Dia}), ou encore, de manière équivalente, s’il satisfait les axiomes Der 1 et Der 2, ainsi que les deux axiomes ci-dessous.

Der 3d Tout foncteur de Diaadmet une image directe homologique dans 𝔻. Autrement dit, pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, le foncteur image inverse

u^{∗} : 𝔻(B) ⟶ 𝔻(A)

admet un adjoint à gauche

u_{!} : 𝔻(A) ⟶ 𝔻(B) .

Der 4d Pour tout foncteur u : A ⟶ B de Dia et tout objet b de B, le morphisme de changement de base p_{!} j^{∗} ⟶ b^{∗} u_{!}, induit par le 2-diagramme,

[figure: b\A; j; p; A; u; e; b; B; α; ,]

est un isomorphisme dans 𝔻(e).

Un dérivateur est un dérivateur faible à gauche et à droite.

Soit F : 𝔻 ⟶ 𝔻′ un Dia-morphisme entre deux dérivateurs faibles à gauches (resp. à droite). On dit que F est continu, ou encore exact à gauche (resp. cocontinu, ou encore exact à droite), si pour tout foncteur u : A ⟶ B de Dia, le foncteur F commute à u_{∗} (resp. u_{!}). Un Dia-morphisme entre dérivateurs est dit bicontinu, on encore exact, s’il est à la fois continu et cocontinu.

Si A est une petite catégorie, on note par défaut p_{A} : A ⟶ e l’unique foncteur de A vers e.

Étant données deux catégories A et B, on désignera par \underline{Hom}(A, B) la catégorie des foncteurs de A vers B.

1. Densité homotopique du plongement de Yoneda

1.1. On rappelle que Δ̂ désigne la catégorie des ensembles simpliciaux, et WΔ̂ les équivalences faibles simpliciales [Cis04, 2.1.1]. Le foncteur nerf

N : Cat⟶ Δ̂

permet de définir les ∞-équivalences par W_{∞} = N^{−1} WΔ̂. On obtient ainsi un morphisme de localisateurs:

N : (Cat, W_{∞}) ⟶ (Δ̂, WΔ̂) .

D’autre part, on a un foncteur i_{Δ} : Δ̂ ⟶ Cat[Cis04, 1.3.2], et des équivalences faibles naturelles

i_{Δ} N ⟶^{∼} 1_{Cat} et N i_{Δ} ⟶^{∼} 1Δ̂

(voir [Cis04, 2.1.15 et 2.2.3]). Cela implique aussitôt que le foncteur nerf induit une équivalence entre les prédérivateurs induits

N : 𝔻_{(Cat,W_{∞})} ⟶^{∼} 𝔻_{(Δ̂,WΔ̂)} .

On pose Hot = 𝔻_{(Cat,W_{∞})}. L’équivalence ci-dessus implique que cette notation n’est pas contradictoire avec celle de [Cis03, 3.10] (du moins à équivalence près). Il résulte de [Tho80, Cis99] et de [Cis03, théorème 6.11] et de son dual que Hot est un dérivateur de domaine Cat. On désigne encore par Hot la catégorie Hot(e). Cette dernière est donc équivalente à celle des CW -complexes à homotopie près. Enfin, si A est une petite catégorie, on note Hot_{A}^{op} = (Hot_{A})^{op}. Autrement dit, Hot_{A}^{op} est le dérivateur qui associe à chaque petite catégorie X, la catégorie homotopique Hot(A × X^{op})^{op}, localisée de \underline{Hom}(A^{op} × X, Cat)^{op}.

Si I est une petite catégorie, on appellera encore ∞-équivalences les flèches de la catégorie \underline{Hom}(I, Cat) qui sont des ∞-équivalences de Catargument par argument. Les résultats de ce paragraphe sont rédigés en terme d’∞-équivalences mais n’utilisent en fait que les axiomes de localisateur fondamental [Gro83, Mal05a] (lesquels sont vérifiés par W_{∞} en vertu de [Cis04, théorème 2.1.13] ou encore de la remarque 3.8).

1.2. Soit A une petite catégorie. Pour chaque foncteur F : A^{op} ⟶ Cat(resp. F : A ⟶ Cat), on note

ζ(F) : ∇ F ⟶ A (resp. θ(F) : ∫ F ⟶ A )

la fibration (resp. la cofibration) associée^{1}. La construction de ∫ F est explicitée par exemple dans [Cis04, 1.2.1], et ∇ F est définie par la formule ∇ F = (∫ F^{op})^{op}.

Soient A et X deux petites catégories. On considère un foncteur F : X ⟶ \underline{Hom}(A^{op}, Cat), i.e. un foncteur X × A^{op} ⟶ Cat. En appliquant les constructions ∇ et ∫ fibre à fibre, on obtient alors deux foncteurs

∇ F : X ⟶ Cat et ∫ F : A^{op} ⟶ Cat,

un isomorphisme canonique au-dessus de A × X :

\xymatrix{∫ ∇ F \ar@{-->}[dr]_{∫ ζ(F)} \ar[rr]|{∼} &  & ∇ ∫ F \ar@{-->}[dl]^{∇θ(F)} \\  & A × X &  & .}

1Mise à part la section 6, les mots fibration et cofibration sont à prendre dans ces notes au sens catégorique [Gro03, Exposé VI].

En composant avec la projection X × A ⟶ A, on obtient une fibration

ϖ(F) : ∇∫ F ⟶ A ,

et en composant avec la projection X × A ⟶ X, une cofibration

π(F) : ∇∫ F ⟶ X .

D’autre part, on a un foncteur

h_{A} : A ⟶ Â = \underline{Hom}(A^{op}, Ens) ⊂ \underline{Hom}(A^{op}, Cat) ,

induit par le plongement de Yoneda de A dans Â et l’inclusion de la catégorie des ensembles (vus comme des catégories discrètes) dans Cat. On peut aussi voir h_{A} comme un objet de Hot_{A}^{op}(A) = (Hot(A^{op} × A))^{op}. La catégorie ∇∫ h_{A} admet une descritption explicite: c’est la catégorie Fl A des flèches de A. La fibration s = φ(h_{A}) est le foncteur “source”, et la cofibration t = π(h_{A}), le foncteur “but”. En particulier, on a un morphisme de foncteurs canonique s ⟶ t.

On fixe à présent une petite catégorie A.

1.3. Lemme. Les fibres des foncteurs

ϖ(h_{A}) : ∇∫ h_{A} ⟶ A et π(h_{A}) : ∇∫ h_{A} ⟶ A

sont asphériques. En particulier, le premier est coasphérique, et le second est asphérique.

Démonstration. Pour chaque objet a de A, ∫ (h_{A}(a)) = a\A est une catégorie asphérique, car elle admet un objet initial. Or ces catégories sont les fibres de la fibration ϖ(h_{A}) : ∇ ∫ h_{A} ⟶ A. L’identification π(h_{A})^{op} = ϖ(h_{A^{op}}) achève ainsi cette démonstration.

1.4. Soit X une petite catégorie. On note

1_{♯} = 1_{♯}^{X} : Cat/X ⟶ \underline{Hom}(X, Cat)

le foncteur qui associe à chaque X-catégorie C le foncteur

1_{♯}(C) : X ⟶ Cat , x ⟼ C/x .

On a d’autre part un foncteur

1^{♯} = 1_{X}^{♯} : \underline{Hom}(X, Cat) ⟶ Cat/X

associant à chaque foncteur F de X vers Catla X-catégorie

1^{♯}(F) = (∫ F, θ(F)) .

On a en outre des morphismes naturels

ε_{F} : 1_{♯}1^{♯}(F) ⟶ F et η_{C} : C ⟶ 1^{♯}1_{♯}(C) .

Le morphisme ε_{F} est défini pour chaque objet x de X par les foncteurs canoniques [Cis04, 1.3.7]

(∫ F)/x ≃ ∫ F |_{X/x} ⟶ \underrightarrow{lim}F |_{X/x} ≃ F (x) .

Plus concrètement, si (a, x′, u : x′ → x) est un objet de ∫ F/x (i.e. u est une flèche de X et a est un objet de F (x′), ε_{F} (x)(a, x′, u) = F (u)(a). Le morphisme η_{C} est le foncteur au-dessus de X

C ⟶ ∫ 1_{♯}(C) , c ⟼ (c, p_{C}(c))

(où p_{C} : C ⟶ X est le morphisme structural). La vérification de l’énoncé ci-dessous est laissée au lecteur.

1.5. Lemme. Les foncteurs 1_{♯} et 1^{♯} forment un couple de foncteurs adjoints avec pour co-unité ε et pour unité η.

1.6. Lemme. Le morphisme de foncteurs ε est une ∞-équivalence naturelle.

Démonstration. Si F est un foncteur de X vers Cat, et si x est un objet de X, le foncteur ε_{F} (x) est l’adjoint à gauche de l’inclusion canonique F (x) ⟶ (∫ F)/x (θ(F) est une cofibration), ce qui implique aussitôt que c’est une ∞-équivalence (en vertu de [Cis04, corollaire 1.1.9]).

1.7. On appelle ∞-équivalences les flèches de Cat/X dont l’image par le foncteur 1_{♯} est une ∞-équivalence. Autrement dit, un X-foncteur C ⟶ C′ est une ∞-équivalence si et seulement si pour tout objet x de X, le foncteur C/x ⟶ C′/x est une ∞-équivalence de Cat.

1.8. Lemme. Le morphisme de foncteurs η est une ∞-équivalence naturelle.

Démonstration. Il résulte de [Cis04, proposition 1.1.12] que le foncteur 1_{♯} respecte les ∞-équivalences. L’assertion résulte donc immédiatement du lemme 1.6.

1.9. Soit u : X ⟶ Y un foncteur entre petites catégories. On note Cat/u : Cat/X ⟶ Cat/Y le foncteur d’oubli par u. On désigne alors par

u_{♯} : \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X) ⟶ \underline{Hom}(A^{op} × Y, Cat)

le foncteur composé \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X) ⟶^{Cat/u} \underline{Hom}(A^{op}, Cat/Y)

⟶^{1_{♯}^{Y}} \underline{Hom}(A^{op}, \underline{Hom}(Y, Cat)) ≃ \underline{Hom}(A^{op} × Y, Cat),

et par

u^{♯} : \underline{Hom}(A^{op} × Y, Cat) ⟶ \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X)

le foncteur composé \underline{Hom}(A^{op} × Y, Cat) ⟶^{\underline{Hom}(A^{op}×u,Cat)} \underline{Hom}(A^{op} × X, Cat)

≃ \underline{Hom}(A^{op}, \underline{Hom}(X, Cat)) ⟶^{1_{X}^{♯}} \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X).

On appelle encore ∞-équivalences les flèches de \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X) qui sont des ∞-équival-ences de Cat/X argument par argument.

1.10. Lemme. Le foncteur u_{♯} est un adjoint à gauche de u^{♯}.

Démonstration. Il suffit de montrer l’assertion dans le cas où A est la catégorie finale. Le foncteur Cat/u admet un adjoint à droite défini par le changement de base le long de u. Par conséquent, il résulte du lemme 1.5 que u_{♯} admet un adjoint à droite, et il suffit de montrer que u^{♯} est isomorphe à ce dernier. Or cela résulte immédiatement du fait que pour tout foncteur F de Y vers Cat, le carré

\xymatrix{∫ u^{∗}F \ar[r] \ar[d]_{θ(u^{∗}F)} & ∫ F \ar[d]^{θ(F)} \\ X \ar[r]_{u} & Y}

est cartésien [Cis04, 1.2.1].

1.11. Lemme. Les foncteurs u_{♯} et u^{♯} respectent les ∞-équivalences.

Démonstration. Il suffit de nouveau de montrer l’assertion dans lorsque A est la catégorie finale. Le cas de u^{♯} résulte immédiatement de [Cis04, proposition 1.2.4]. Pour ce qui est de u_{♯}, il suffit de vérifier que le foncteur Cat/u respecte les ∞-équivalences. Soit C ⟶ C′ un foncteur au-dessus de X tel que pour tout objet x de X, C/x ⟶ C′/x soit une ∞-équivalence. Alors pour tout objet y de Y, le foncteur C/y ⟶ C′/y est encore une ∞-équivalence. En effet, vu que les ∞-équivalences forment un localisateur fondamental [Cis04, théorème 2.1.13], il suffit de vérifier que ce foncteur est asphérique au-dessus de X/y. Or pour tout objet (x, v : u(x) → y) de X/y, le foncteur

(C/y)/(x, v) ≃ C/x ⟶ C′/x ≃ (C′/y)/(x, v)

est une ∞-équivalence, ce qui prouve l’assertion.

1.12. Soit u : X ⟶ Y un foncteur entre petites catégories. En vertu du lemme 1.11 appliqué à 1_{X} et à u, le foncteur

1_{X}^{♯}u_{♯} : \underline{Hom}(A^{op} × X, Cat) ⟶ \underline{Hom}(A^{op} × Y, Cat)

respecte les ∞-équivalences, et donc en passant à la catégorie homotopique (i.e. en inversant les ∞-équivalences), on obtient de la sorte un foncteur noté

u_{♭} : Hot_{A}(X^{op}) ⟶ Hot_{A}(Y^{op}) .

1.13. Théorème. [Grothendieck [Gro83]] Le foncteur u_{♭} est un adjoint à gauche du foncteur image inverse associé à u^{op} : X^{op} ⟶ Y^{op}

(u^{op})^{∗} : Hot_{A}(Y^{op}) ⟶ Hot_{A}(X^{op}) .

De manière équivalente, le foncteur

(u_{♭})^{op} : Hot_{A}^{op}(X) ⟶ Hot_{A}^{op}(Y)

est un adjoint à droite du foncteur image inverse associé à u

u^{∗} : Hot_{A}^{op}(Y) ⟶ Hot_{A}^{op}(X) .

Démonstration. En vertu des lemmes 1.5, 1.6 et 1.8, les foncteurs 1_{♯} et 1^{♯} induisent au niveau des catégories homotopiques des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre. D’autre part, il résulte des lemmes 1.10 et 1.11 que les foncteurs u_{♯} et u^{♯} induisent un couple de foncteurs adjoints en passant aux catégories homotopiques. L’assertion en résulte aussitôt.

1.14. Remarque. Ce théorème implique en particulier que si X est une petite catégorie, et si F est un foncteur de X dans Cat, alors ∫ F est la colimite homotopique de F, ce qui est l’un des résultats de Thomason [Tho79].

1.15. Proposition. Pour toute petite catégorie X, et pour tout objet F de la catégorie Hot_{A}^{op}(X), il existe un isomorphisme fonctoriel

F ⟶^{∼} π(F)_{∗} ϖ(F)^{∗}(h_{A}) .

Démonstration. Soit F un objet de Hot_{A}^{op}(X), i.e. un foncteur F de A^{op} × X dans Cat. Explicitons le foncteur

∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}) : A^{op} ⟶ Cat.

Si a est un objet de A, on vérifie que (∫ h_{A})(a) s’identifie canoniquement à la catégorie a\A. On en déduit le carré cartésien suivant.

\xymatrix{(∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}))(a) \ar[r] \ar[d] & a\A \ar[d] \\ ∇∫ F \ar[r]_{ϖ(F)} & A}

Autrement dit, on a les identifications canoniques suivantes:

(∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}))(a) = ∫ (ϖ(F)^{∗}(h_{A}))(a) ≃ a\(∇∫ F ) ≃ ∇∫ F |_{(a\A)^{op}×X} .

En vertu du lemme 1.6 et de [Cis04, proposition 1.2.6], on a donc une ∞-équivalence dans \underline{Hom}(A^{op}, Cat/X):

∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}) ≃ (1_{♯}^{A^{op}}1_{A^{op}}^{♯}(∫ F)^{op})^{op} ⟶ ∫ F .

Par conséquent, le lemme 1.11 appliqué à l’identité de X et une nouvelle application du lemme 1.6 nous donnent deux nouvelles ∞-équivalences naturelles

1_{♯}^{X}∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}) ⟶ 1_{♯}^{X}∫ F = 1_{♯}^{X}1_{X}^{♯}F ⟶ F .

Or 1_{♯}^{X}∫ ϖ(F)^{∗}(h_{A}) est la construction de π(F)_{∗} ϖ(F)^{∗}(h_{A}) définie par le théorème 1.13.

2. Calcul local: isomorphismes de changement de base

2.1. On rappelle que si A est une petite catégorie, p_{A} désigne l’unique foncteur de A vers la catégorie finale e.

2.2. Lemme. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. On considère un foncteur p : X ⟶ Y dans Dia. Alors pour tout objet y de Y, le morphisme de changement de base j^{∗}p_{∗} ⟶ p/y_{∗}i^{∗} associé au carré cartésien

\xymatrix{X/y \ar[r]^{i} \ar[d]_{p/y} & X \ar[d]^{p} \\ Y/y \ar[r]_{j} & Y}

est un isomorphisme.

Démonstration. Le morphisme (y, 1_{y})^{∗}j^{∗}p_{∗} ⟶ (y, 1_{y})^{∗}p/y_{∗}i^{∗} est un isomorphisme. En effet, comme (y, 1_{y}) est un objet final de Y/y, en vertu de [Cis03, lemme 1.17], le foncteur image inverse (y, 1_{y})^{∗} s’identifie au foncteur image directe p_{Y/y}_{∗}, et donc on obtient une flèche

(y, 1_{y})^{∗}j^{∗}p_{∗} = y^{∗}p_{∗} ⟶ p_{X/y}_{∗}i^{∗} ≃ (y, 1_{y})^{∗}p/y_{∗}i^{∗}

qui se révèle être un isomorphisme (c’est l’axiome Der 4g). Si (y′, u : y′ → y) est un objet de Y/y, en regard des isomorphismes X/y′ ≃ (X/y)/(y′, u), si on forme les carrés cartésiens

\xymatrix{(X/y)/(y′, u) \ar[r]^{∼} \ar[d]_{(p/y)/(y′,u)} & X/y′ \ar[r]^{i′} \ar[d]_{p/y′} & X/y \ar[r]^{i} \ar[d]_{p/y} & X \ar[d]^{p} \\ (Y/y)/(y′, u) \ar[r]^{∼} & Y/y′ \ar[r]_{j′} & Y/y \ar[r]_{j} & Y & ,}

ce qui précède nous donne des isomorphismes canoniques

(y′, u)^{∗}j^{∗}p_{∗} ≃ (y′, 1_{y′})^{∗}j′^{∗}j^{∗}p_{∗} ≃ (y′, 1_{y′})^{∗}p/y′_{∗}i′^{∗}i^{∗} ≃ (y′, u)^{∗}p/y_{∗}i^{∗} .

L’axiome Der 2 permet ainsi de conclure.

2.3. Lemme. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. On considère une cofibration p : X ⟶ Y dans Dia, et après avoir choisi un objet y de Y, on forme le carré cartésien suivant.

\xymatrix{X_{y} \ar[r]^{k} \ar[d]_{q} & X \ar[d]^{p} \\ e \ar[r]_{y} & Y}

Alors le morphisme de changement de base

y^{∗} p_{∗} ⟶ q_{∗} k^{∗}

est un isomorphisme.

Démonstration. Si y est un objet final de Y, alors k est une inclusion pleine, et admet un adjoint à gauche h. On en déduit par 2-fonctorialité que h^{∗} est un adjoint à gauche de k^{∗} (voir [Cis03, lemme 1.17]) et donc que k^{∗} ≃ h_{∗}, d’où un isomorphisme b^{∗} p_{∗} ≃ p_{X}_{∗} ≃ q_{∗} k^{∗}. Dans le cas général, on forme les carrés cartésiens

\xymatrix{X_{y} \ar[rr]^{k} \ar[r]^{i} \ar[d]_{q} & X/y \ar[r]^{j} \ar[d]_{p/y} & X \ar[d]^{p} \\ e \ar[r]_{(y,1_{y})} \ar[rr]_{y} & Y/y \ar[r]_{l} & Y & .}

Celui de gauche correspond à la situation que l’on vient d’examiner, et celui de droite induit un isomorphisme de changement de base (2.2). On en déduit les isomorphismes canoniques suivants

y^{∗}p_{∗} = (y, 1_{y})^{∗}l^{∗}p_{∗} ≃ (y, 1_{y})^{∗}p/y_{∗}j^{∗} ≃ q_{∗}i^{∗}j^{∗} = q_{∗}k^{∗} ,

ce qui achève la démonstration.

2.4. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. On considère un carré cartésien dans Dia

\xymatrix{X′ \ar[d]_{q} \ar[r]^{u} & X \ar[d]^{p} \\ Y′ \ar[r]_{v} & Y & ,}

dans lequel p (et donc q) est une cofibration. Alors le morphisme de changement de base

v^{∗} p_{∗} ⟶ q_{∗} u^{∗}

est un isomorphisme.

Démonstration. Cela résulte de l’axiome Der2 et du calcul des fibres dans ce cas (cf. le lemme ci-dessus).

2.5. Remarque. Le calcul ci-dessus s’inscrit dans le cadre plus général de la théorie des foncteurs propres. Il admet une version duale (ici en termes de fibrations), laquelle se généralise en une théorie des foncteurs lisses (voir [Gro83, §70], [Gro90] et [Mal05b]).

2.6. Proposition. Soit Dia une 2-catégorie de diagrammes, et F : 𝔻 ⟶ 𝔻′ un Diamorphisme entre dérivateurs faibles à gauche. Pour que F soit exact à gauche, il faut et il suffit que pour tout objet A de Dia, la flèche canonique

F p_{A}_{∗} ⟶ p_{A}_{∗} F

soit un isomorphisme dans 𝔻′(e).

Démonstration. Il est évident que c’est une condition nécessaire. Supposons que la condition ci-dessus soit vérifiée, et considérons un foncteur u : A ⟶ B dans Dia. On veut montrer que la flèche canonique

F u_{∗} ⟶ u_{∗} F

est un isomorphisme dans 𝔻′(B). En vertu de l’axiome Der 2, il suffit de vérifier que pour tout objet b de B, la flèche

b^{∗} F u_{∗} ≃ F b^{∗} u_{∗} ⟶ b^{∗} u_{∗} F

est un isomorphisme de 𝔻′(e). L’expression du foncteur b^{∗} u_{∗} obtenue grâce au changement de base de l’axiome Der 4g nous ramène en fin de compte au cas où B est la catégorie ponctuelle, ce qui permet d’invoquer l’hypothèse.

2.7. On rappelle que si 𝔻 est un prédérivateur de domaine Dia, pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, on définit un Dia-morphisme image inverse u^{∗} : 𝔻_{B} ⟶ 𝔻_{A} par les foncteurs

(u × 1_{C})^{∗} : 𝔻_{B}(C) = 𝔻(B × C) ⟶ 𝔻(A × C) = 𝔻_{A}(C) .

2.8. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. Pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, le Dia-morphisme image inverse u^{∗} : 𝔻_{B} ⟶ 𝔻_{A} est exact à gauche. En particulier, pour tout objet A de Dia, les images directes cohomologiques se calculent argument par argument.

Démonstration. En vertu de la proposition 2.6, il suffit de vérifier que pour tout objet C de Dia, le morphisme de changement de base associé au carré cartésien

\xymatrix{A × C \ar[r]^{u×1_{C}} \ar[d]_{pr_{1}} & B × C \ar[d]^{pr_{1}} \\ A \ar[r]_{u} & B}

est un isomorphisme dans 𝔻(A). Or cela résulte aussitôt de la proposition 2.4 puisque B × C est un catégorie cofibrée au-dessus de B.

2.9. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. On considère un triangle commutatif dans Dia

\xymatrix{X \ar[rr]^{ϕ} \ar[dr]_{p} &  & Y \ar[dl]^{q} \\  & S &  & ,}

dans lequel p et q sont des cofibrations. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(a) Pour tout objet s de S, le foncteur ϕ_{s} : X_{s} ⟶ Y_{s} est une 𝔻-équivalence.

(b) Pour tout objet s de S, le foncteur ϕ/s : X/s ⟶ Y/s est une 𝔻-équivalence.

(c) Le morphisme canonique q_{∗} q^{∗} ⟶ p_{∗} p^{∗} est un isomorphisme dans 𝔻(S).

(d) Le foncteur ϕ^{∗} : 𝔻(Y) ⟶ 𝔻(X) est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine de 𝔻(Y) formée des objets isomorphes à un objet du type q^{∗}F, F ∈ Ob 𝔻(S).

Démonstration. L’équivalence de (a) et de (b) résulte de [Cis03, corollaire 1.20] appliqué à aux inclusion du type X_{s} ⟶ X/s, et l’équivalence entre (c) et (d) se vérifie immédiatement. Il suffit donc de montrer que les assertions (a) et (c) sont équivalentes. En vertu du lemme 2.3, pour chaque objet s de S, on a un carré cartésien

\xymatrix{X_{s} \ar[d]_{p_{Xs}} \ar[r] & X \ar[d]^{p} \\ e \ar[r]_{s} & S}

qui induit un isomorphisme s^{∗} p_{∗} p^{∗} ≃ p_{X_{s}}_{∗} p_{X_{s}}^{∗} s^{∗}. De même, on a un isomorphisme s^{∗} q_{∗} q^{∗} ≃ p_{Y_{s}}_{∗} p_{Y_{s}}^{∗} s^{∗}. On en déduit (grâce à l’axiome Der 2) que l’assertion (c) est vérifiée si et seulement si pour tout s ∈ Ob S, le morphisme

p_{Y_{s}}_{∗} p_{Y_{s}}^{∗} ⟶ p_{X_{s}}_{∗} p_{X_{s}}^{∗}

est un isomorphisme de 𝔻(e), ce qui achève la démonstration.

2.10. Corollaire. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Dia. On considère une cofibration p : X ⟶ Y dans Dia. Les deux assertions suivantes sont équivalentes.

(a) Le foncteur p^{∗} : 𝔻(Y) ⟶ 𝔻(X) est pleinement fidèle.

(b) Toutes les fibres de p sont 𝔻-asphériques.

3. La propriété universelle de Hot_{A}

3.1. On rappelle qu’un localisateur fondamental [Cis04] est une classe W de flèches de Catvérifiant les axiomes suivants (on appelle W -équivalences les éléments de W ).

LF1 La classe W est faiblement saturée.

LF2 Toute petite catégorie admettant un objet final est asphérique.

LF3 Pour toute petite catégorie C, et tout triangle commutatif

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C &  & ,}

si u est asphérique au-dessus de C, alors u est une W -équivalence.

L’axiome LF1 signifie que W contient les identités, que dans tout triangle commutatif de Cat, si deux flèches sur les trois sont des équivalences faibles, alors il en est de même de la dernière, et que si i et r sont deux flèches composables telles que ri = 1 et ir ∈ W , alors r est une W -équivalence. Pour la compréhension des axiomes LF2 et LF3, on rappelle qu’une petite catégorie A est asphérique si l’unique foncteur de A vers la catégorie finale est une W -équivalence. Enfin, en reprenant les notations ci-dessus, u est asphérique au-dessus de C (on dira encore C-asphérique) si c’est une W -équivalence localement au-dessus de C, i.e. si pour tout objet c de C, le foncteur A/c ⟶ B/c est une W -équivalence.

3.2. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Cat. On rappelle qu’une flèche A ⟶ B de Catest une 𝔻-équivalence si elle induit un isomorphisme en cohomologie à coefficients constants dans 𝔻, i.e. si le morphisme canonique

p_{B}_{∗}p_{B}^{∗} ⟶ p_{A}_{∗}p_{A}^{∗}

est un isomorphisme dans 𝔻(e) (cf. [Cis03, définition 1.15]).

3.3. Proposition. Pour toute petite catégorie A, le foncteur canonique

\underline{Hom}(A^{op}, Cat) ⟶ Hot(A)

commute aux produits finis.

Démonstration. Cela résulte facilement du fait que les équivalences faibles commutent aux produits finis (voir par exemple [Cis04, 1.1.6]).

3.4. Proposition. Soient A et B deux petites catégories. On a des isomorphismes canoniques dans Hot.

p_{A^{op}}_{!}p_{A^{op}}^{∗}B ≃ A × B ≃ p_{A}_{!}p_{A}^{∗}B

Démonstration. En effet, si B désigne le foncteur constant de A vers Catde valeur B, ∫ B = A × B. Cela donne le premier isomorphisme. Le second résulte de la proposition 3.3 et de la preuve de [Cis04, proposition 1.2.6].

3.5. Corollaire. La classe des Hot-équivalences coïncide avec celle des ∞-équivalen-ces.

Démonstration. Il résulte trivialement des propositions 3.3 et 3.4 que la classe des Hot^{op}-équivalences coïncide avec celle des ∞-équivalences. Or pour tout dérivateur 𝔻, les notions de 𝔻^{op}-équivalence et de 𝔻-équivalence sont les mêmes (par un simple argument de transposition)

Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche de domaine Cat.

3.6. Lemme. On considère le triangle commutatif de Catci-dessous.

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C}

Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) Pour tout objet c de C, le foncteur A/c ⟶ B/c est une 𝔻-équivalence.

(ii) Le morphisme canonique β_{∗}p_{B}^{∗} ⟶ α_{∗}p_{A}^{∗} est un isomorphisme.

Démonstration. On procède comme pour la démonstration du cas particulier qu’est [Cis03, proposition 1.21]. Pour tout objet c de C, en vertu de l’axiome Der 4g, on a un carré commutatif canonique dont les flèches verticales sont des isomorphismes

\xymatrix{c^{∗}β_{∗}p_{B}^{∗} \ar[r] \ar[d]_{≀} & c^{∗}α_{∗}p_{A}^{∗} \ar[d]^{≀} \\ p_{B/c}_{∗}p_{B/c}^{∗} \ar[r] & p_{A/c}_{∗}p_{A/c}^{∗} & .}

Le lemme résulte donc immédiatement de l’axiome Der 2.

3.7. Proposition. Les 𝔻-équivalences forment un localisateur fondamental.

Démonstration. La vérification de la faible saturation est immédiate. L’axiome LF2 résulte aussitôt de [Cis03, proposition 1.18]. Montrons, l’axiome LF3. Soit

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C}

un triangle commutatif dans Cat. Si u est W_{𝔻}-asphérique au-dessus de C, le lemme cidessus nous donne un isomorphisme de foncteurs β_{∗}p_{B}^{∗} ⟶ α_{∗}p_{A}^{∗}. On en déduit aussitôt un isomorphisme

p_{B}_{∗}p_{B}^{∗} ≃ p_{C}_{∗}β_{∗}p_{B}^{∗} ≃ p_{C}_{∗}α_{∗}p_{A}^{∗} ≃ p_{A}_{∗}p_{A}^{∗} ,

ce qui achève la démonstration.

3.8. Remarque. Le corollaire 3.5 et la proposition 3.7, redonnent une preuve plus conceptuelle de [Cis04, théorème 2.1.13], à savoir du fait que les ∞-équivalences forment un localisateur fondamental. Cela peut donc aussi être vu comme une nouvelle preuve du théorème A de Quillen: il suffit de considérer le lemme 3.6 dans le cas où 𝔻 = Hot, B = C et β = 1_{C}.

3.9. Théorème. Les ∞-équivalences forment le localisateur fondamental minimal. En particulier, tout localisateur fondamental contient W_{∞}.

Démonstration. Voir [Cis04, théorème 2.2.11] (ou bien encore [Cis06, théorème 4.2.15] pour un point de vue plus précis et général).

3.10. Corollaire. Toute ∞-équivalence est une 𝔻-équivalence.

Démonstration. Cela résulte aussitôt du théorème 3.9 et de la proposition 3.7.

3.11. Un dérivateur à gauche est un dérivateur faible à gauche 𝔻 de domaine Cattel que pour tout triangle commutatif de Cat

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C &  & ,}

si le foncteur u est coasphérique au-dessus de C au sens de W_{∞} (i.e. si pour tout objet c de C, le foncteur c\A ⟶ c\B est dans W_{∞}), alors le morphisme canonique

p_{B}_{∗} β^{∗} ⟶ p_{A}_{∗} α^{∗}

est un isomorphisme dans 𝔻(e)^{2}.

3.12. Proposition. Tout dérivateur de domaine Catest un dérivateur à gauche.

Démonstration. Soit 𝔻 un dérivateur de domaine Cat. Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C}

est un C-morphisme coasphérique au-dessus de C au sens de W_{∞}, en vertu du corollaire 3.10 et de l’énoncé dual du lemme 3.6, on a un isomorphisme de foncteurs α_{!}p_{A}^{∗} ≃ β_{!}p_{B}^{∗}. Par transposition, cela nous donne un isomorphisme de foncteurs p_{B}_{∗}β^{∗} ≃ p_{A}_{∗}α^{∗}.

2On peut en fait montrer que tout dérivateur faible à gauche de domaine Catest un dérivateur à gauche. Cela résulte d’une généralisation adéquate du théorème 3.9 faisant intervenir la propriété de densité homotopique exprimée par la proposition 1.15. Cela demande cependant l’élaboration d’une machinerie plus lourde que celle développée dans [Cis04].

3.13. Corollaire. Le dérivateur Hot est un dérivateur à gauche.

3.14. On note π_{0} : Hot ⟶ Ens le foncteur “composantes connexes”. Un dérivateur faible à gauche 𝔻 est enrichi à gauche si pour tout objet X de 𝔻(e), il existe un Catmorphisme exact à gauche \underline{Hom}_{𝔻}(X,?) : 𝔻 ⟶ Hot et un isomorphisme naturel en Y ∈ Ob 𝔻(e):

π_{0}\underline{Hom}_{𝔻}(X, Y) ≃ Hom_{𝔻(e)}(X, Y) .

Par exemple, si M est une catégorie de modèles fermée admettant des petites limites projectives, le dérivateur faible à gauche associé 𝔻_{M} [Cis03, théorème 6.11] est enrichi à gauche [Cis03, proposition 6.14].

3.15. Proposition. Tout dérivateur faible à gauche enrichi à gauche est un dérivateur à gauche.

Démonstration. Soit 𝔻 un dérivateur faible à gauche enrichi à gauche, et soit

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{α} &  & B \ar[dl]^{β} \\  & C}

un triangle commutatif de Cat. Si u est coasphérique au-dessus de C au sens de W_{∞}, alors il résulte du corollaire 3.13 que pour tout objet X de 𝔻 et tout objet F de 𝔻(C), on a des isomorphismes canoniques:

Hom_{𝔻(e)}(X, p_{B}_{∗}β^{∗}F) ≃ π_{0}\underline{Hom}_{𝔻}(X, p_{B}_{∗}β^{∗}F)
≃ π_{0}p_{B}_{∗}β^{∗}\underline{Hom}_{𝔻}(X, F)
≃ π_{0}p_{A}_{∗} α^{∗}\underline{Hom}_{𝔻}(X, F)
≃ π_{0}\underline{Hom}_{𝔻}(X, p_{A}_{∗} α^{∗}F)
≃ Hom_{𝔻(e)}(X, p_{A}_{∗} α^{∗}F) .

Le lemme de Yoneda implique donc aussitôt que p_{B}_{∗}β^{∗}F ⟶ p_{A}_{∗}α^{∗}F est un isomorphisme.

3.16. Corollaire. Tout prédérivateur associé à une catégorie de modèles fermée admettant des petites limites projectives est un dérivateur à gauche.

3.17. On fixe à présent un dérivateur faible à gauche 𝔻 de domaine Cat, ainsi qu’une petite catégorie A. On suppose en outre que l’une des hypothèses suivantes est vérifiée.

H1 𝔻 est un dérivateur à gauche.

H2 La catégorie A est la catégorie ponctuelle.

3.18. Soit Φ un objet de 𝔻(A). Pour chaque petite catégorie X, on définit un foncteur

Φ^{!} : \underline{Hom}(A^{op} × X, Cat)^{op} ⟶ 𝔻(X)

par la formule Φ^{!}(F) = π(F)_{∗} ϖ(F)^{∗}(Φ) sur les objets. Si p : F ⟶ G est un morphisme de \underline{Hom}(A^{op} × X, Cat), on a le diagramme commutatif ci-dessous (où q = ∇∫ p).

\xymatrix{ & ∇∫ F \ar[dl]_{ϖ(F)} \ar@{-->}[dr]^{π(F)} \ar[d]^{q} \\ A & ∇∫ G \ar[l]^{ϖ(G)} \ar[r]_{π(G)} & X}

On obtient ainsi un morphisme Φ^{!}(p) : Φ^{!}(G) ⟶ Φ^{!}(F) comme le composé

π(G)_{∗}ϖ(G)^{∗}(Φ) ⟶ π(G)_{∗}q_{∗}q^{∗}ϖ(G)^{∗}(Φ) ≃ π(F)_{∗}ϖ(F)^{∗}(Φ) .

3.19. Lemme. La construction ci-dessus définit un morphisme de prédérivateurs

Φ^{!} : \underline{Hom}(A^{op}, Cat)^{op} ⟶ 𝔻 .

Démonstration. Soient ξ : X′ ⟶ X un foncteur entre petites catégories, et F un objet de \underline{Hom}(X × A^{op}, Cat)^{op}. On obtient les carrés cartésiens suivants :

\xymatrix{∇ ∫ ξ^{∗}F \ar[d]^{∇θ(ξ^{∗}F)} \ar[r]^{u_{ξ}} \ar[dd]_{π(ξ^{∗}F)} & ∇ ∫ F \ar[d]^{∇θ(F)} \ar[dd]^{π(F)} \\ A × X′ \ar[r]_{1_{A}×ξ} \ar[d]_{pr_{2}} & A × X \ar[d]^{pr_{2}} \\ X′ \ar[r]_{ξ} & X & .}

Comme π(F) est une cofibration, en vertu de la proposition 2.4, on a un isomorphisme canonique dans 𝔻(X′)

ξ^{∗} π(F)_{∗} ≃ π(ξ^{∗}F)_{∗} u_{ξ}^{∗} ,

ce qui induit, avec l’égalité ϖ(F) u_{ξ} = ϖ(ξ^{∗}F), les identifications suivantes

ξ^{∗} Φ^{!}(F) = ξ^{∗} π(F)_{∗} ϖ(F)^{∗}(Φ)
≃ π(ξ^{∗}F)_{∗} u_{ξ}^{∗} ϖ(F)^{∗}(Φ)
= π(ξ^{∗}F)_{∗} ϖ(ξ^{∗}F)^{∗}(Φ)
= Φ^{!}(ξ^{∗}F)  .

Si ξ est une identité, alors il en est de même de u_{ξ}, et π(ξ^{∗}F) = π(F). On en déduit aussitôt que dans ce cas l’isomorphisme ci-dessus est l’identité de Φ^{!}(F). On vérifie par ailleurs en explicitant la construction des morphismes de changement de base que si ξ′ : X′′ ⟶ X′ est un second morphisme de Cat, le triangle évident suivant commute

\xymatrix{ξ^{∗}ξ′^{∗}Φ^{!}(F) \ar[dr] \ar[rr] &  & Φ^{!}ξ^{∗}ξ′^{∗}(F) \\  & ξ^{∗}Φ^{!}ξ′^{∗}(F) \ar@{-->}[ur]}

(cela résulte du fait que les morphismes de changement de base se “composent” en un sens adéquat [Mal01]). Pour achever la démonstration, il reste à vérifier la compatibilité des isomorphismes ξ^{∗}Φ^{!} ≃ Φ^{!}ξ^{∗} aux 2-morphismes. Considérons à présent une 2-flèche de Cat

[figure: X′; χ; ξ; α; X] .

On peut la voir comme une flèche η : X′′ = X′ × Δ_{1} ⟶ X telle que ηδ_{0} = χ et ηδ_{1} = ξ, δ_{e} : X′ ⟶ X′×Δ_{1} désignant le foncteur x ⟼ (x, e). Si F est un foncteur de X à valeurs dans \underline{Hom}(A^{op}, Cat), on obtient d’après ce qui précède un isomorphisme canonique

η^{∗}Φ^{!}(F) ≃ Φ^{!}(η^{∗}F) .

L’image de ce dernier par le foncteur canonique

𝔻(X′ × Δ_{1}) ⟶ \underline{Hom}(Δ_{1}^{op}, 𝔻(X′))

est un diagramme commutatif de la forme ci-dessous dans 𝔻(X′).

[figure: ξ^{∗}Φ^{!}(F); δ_{1}^{∗}η^{∗}Φ^{!}(F); ∼; δ_{1}^{∗}Φ^{!}(η^{∗}F); χ^{∗}Φ^{!}(F); δ_{0}^{∗}η^{∗}Φ^{!}(F); ∼; δ_{0}^{∗}Φ^{!}(η^{∗}F)]

Il suffit donc de montrer que le carré suivant commute dans 𝔻(X′).

[figure: δ_{1}^{∗}Φ^{!}(η^{∗}F); ∼; Φ^{!}(δ_{1}^{∗}η^{∗}F); Φ^{!}(ξ^{∗}F); δ_{0}^{∗}Φ^{!}(η^{∗}F); ∼; Φ^{!}(δ_{0}^{∗}η^{∗}F); Φ^{!}(χ^{∗}F)]

Or si G est un foncteur de X′ × Δ_{1} vers \underline{Hom}(A^{op}, Cat), le morphisme

π(δ_{1}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{1}}^{∗} ⟶ π(δ_{0}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{0}}^{∗}

s’explicite comme suit. Il existe un foncteur ψ : ∇∫ δ_{0}^{∗}G ⟶ ∇∫ δ_{1}^{∗}G, induit par les foncteurs G_{(a,x,0)} ⟶ G_{(a,x,1)}, a ∈ Ob A, x ∈ Ob X′, tel que π(δ_{0}^{∗}G) = π(δ_{1}^{∗}G)ψ (ψ est cartésien au-dessus de A, et cocartésien au-dessus de X′). On a en outre un 2-morphisme structural u_{δ_{0}} ⟶ u_{δ_{1}}ψ, ce qui induit un morphisme

π(δ_{0}^{∗}G)^{∗}π(δ_{1}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{1}}^{∗} = ψ^{∗}π(δ_{1}^{∗}G)^{∗}π(δ_{1}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{1}}^{∗} ⟶ ψ^{∗}u_{δ_{1}}^{∗} ⟶ u_{δ_{0}}^{∗} .

Par adjonction on obtient bien une flèche π(δ_{1}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{1}}^{∗} ⟶ π(δ_{0}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{0}}^{∗}. Une vérification explicite montre que le carré suivant commute

\xymatrix{δ_{1}^{∗}π(G)_{∗} \ar[r] \ar[d] & π(δ_{1}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{1}}^{∗} \ar[d] \\ δ_{0}^{∗}π(G)_{∗} \ar[r] & π(δ_{0}^{∗}G)_{∗}u_{δ_{0}}^{∗} & ,}

ce qui achève la démonstration.

3.20. Lemme. Pour toute petite catégorie X, le foncteur

Φ^{!} : \underline{Hom}(X × A^{op}, Cat)^{op} ⟶ 𝔻(X)

envoie les ∞-équivalences sur des isomorphismes.

Démonstration. Supposons dans un premier temps que X soit la catégorie ponctuelle. Sous l’hypothèse H1, cela résulte de l’énoncé dual de [Cis04, propositions 1.2.6 et 1.1.12] et de la définition même de dérivateur à gauche donnée ici, et sous l’hypothèse H2, c’est une conséquence du corollaire 3.10. Le cas général en résulte grâce à l’axiome Der 2 et au lemme 3.19.

3.21. Proposition. Le morphisme de prédérivateurs

Φ^{!} : \underline{Hom}(A^{op}, Cat)^{op} ⟶ 𝔻

induit un Cat-morphisme exact à gauche

Φ^{!} : Hot_{A}^{op} ⟶ 𝔻 .

Démonstration. Les lemmes 3.19 et 3.20 montrent qu’on obtient bien ainsi un morphisme de prédérivateurs. Soient X une petite catégorie, et F un objet de Hot_{A}^{op}(X), i.e. un foncteur de X × A^{op} vers Cat. On va montrer que le morphisme canonique

Φ^{!}(p_{X}_{∗}F) ⟶ p_{X}_{∗}Φ^{!}(F)

est un isomorphisme dans 𝔻(e), ce qui est suffisant pour conclure en vertu de la proposition 2.6. Or dans Hot_{A}^{op}, p_{X}_{∗}F est représenté par le foncteur

∫ F : A^{op} ⟶ Cat, a ⟼ ∫ F_{a} ,

ce qui donne l’identification Φ^{!}(p_{X}_{∗}F) = π(∫ F)_{∗} ϖ(∫ F)^{∗}(Φ). La démonstration s’achève ainsi par une tautologie : le foncteur π(∫ F) est le foncteur canonique ∇ ∫ F ⟶ e, ce qui donne l’égalité π(∫ F) = p_{X} π(F), d’où un isomorphisme canonique π(∫ F)_{∗} ≃ p_{X}_{∗} π(F)_{∗}, et l’égalité ϖ(∫ F) = ϖ(F) amène à l’isomorphisme attendu.

3.22. Lemme. Les objets Φ et Φ^{!}(h_{A}) sont canoniquement isomorphes.

Démonstration. On a déjà remarqué que ∇ ∫ h_{A} = Fl A, π(h_{A}) correspondant au foncteur “but" t : Fl A ⟶ A, et ϖ(h_{A}) au foncteur “source" s : Fl A ⟶ A. On veut donc montrer que Φ ≃ s_{∗} t^{∗}Φ. On a un morphisme de foncteurs s ⟶ t, d’où un morphisme de foncteurs t^{∗} ⟶ s^{∗}. Comme t est une cofibration à fibres asphériques (lemme 1.3), le foncteur t^{∗} : 𝔻(A) ⟶ 𝔻(Fl A) est pleinement fidèle (corollaire 2.10). On obtient ainsi un morphisme

Φ ≃ t_{∗} t^{∗}Φ ⟶ t_{∗} s^{∗}Φ .

Pour montrer que c’est un isomorphisme, il suffit de le tester sur les fibres (axiome Der 2). Soit a un objet de A. Alors la fibre de a au-dessus de t est la catégorie A/a, et en vertu du lemme 2.3, on a un isomorphisme (t_{∗} s^{∗}Φ)_{a} ≃ p_{A/a}_{∗}Φ|_{A/a}. Comme A/a admet (a, 1_{a}) comme objet final, on a aussi par 2-fonctorialité p_{A/a}_{∗}Φ|_{A/a} ≃ Φ_{a}, d’où Φ_{a} ≃ (t_{∗} s^{∗}Φ)_{a}.

3.23. On note Der_{f}^{!} la 2-sous-catégorie de la 2-catégorie Prederdes prédérivateurs de domaine CatSi 𝔻 et 𝔻′ sont deux dérivateurs faibles à gauche, on note \underline{Hom}^{!}(𝔻, 𝔻′) la catégorie des 1-morphismes de 𝔻 vers 𝔻′ dans Der_{f}^{!}. On note enfin Der^{!} la 2-sous-catégorie pleine de Der_{f}^{!} formée des dérivateurs à gauche.

3.24. Théorème. Soit A une petite catégorie. Le 2-foncteur

Der^{!} ⟶ CA T, 𝔻 ⟼ 𝔻(A)

est représenté par Hot_{A}^{op}. Autrement-dit, pour tout dérivateur à gauche 𝔻, il existe une équivalence de catégories naturelle

\underline{Hom}^{!}(Hot_{A}^{op}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(A) .

Dans le cas où A est la catégorie ponctuelle cette représentabilité s’étend à Der_{f}^{!}, i.e. pour tout dérivateur faible à gauche 𝔻, on a une équivalence de catégories naturelle

\underline{Hom}^{!}(Hot^{op}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(e) .

Démonstration. On fixe un dérivateur faible à gauche 𝔻, et une petite catégorie A satisfaisant l’une des hypothèses H1 ou H2 (3.17).

On définit un foncteur

ε : \underline{Hom}^{!}(Hot_{A}^{op}, 𝔻) ⟶ 𝔻(A)

de la manière suivante. Si F : Hot_{A}^{op} ⟶ 𝔻 est un morphisme de Der_{f}^{!}, il se spécialise en un foncteur

F : Hot_{A}^{op}(A) = Hot(A^{op} × A)^{op} ⟶ 𝔻(A) ,

et on pose ε(F ) = F (h_{A}).

D’autre part, en vertu de la proposition 3.21 on a un foncteur

ϑ : 𝔻(A) ⟶ \underline{Hom}^{!}(Hot_{A}^{op}, 𝔻) , Φ ⟼ Φ^{!} .

Il résulte de la proposition 1.15, du lemme 3.22, et de la construction même de ϑ (3.18) que ces deux foncteurs sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

3.25. L’énoncé précédent admet bien entendu une version duale en termes de dérivateurs à droite. On note Der_{!}^{f} la 2-sous-catégorie de Prederdont les objets sont les dérivateurs faibles à droite de domaine Cat, les 1-flèches, les Cat-morphismes exacts à droite, et les 2-flèches, les 2-Cat-morphismes. Si 𝔻 et 𝔻′ sont deux dérivateurs faibles à droite, alors \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′) est la sous-catégorie pleine de \underline{Hom}(𝔻, 𝔻′) dont les objets sont les Catmorphismes exacts à droite. On désigne enfin par Der_{!} la 2-sous-catégorie pleine de Der_{!}^{f} dont les objets sont les dérivateurs à droite, i.e. les prédérivateurs 𝔻 de domaine Cattels que 𝔻^{op} soit un dérivateur à gauche.

3.26. Corollaire. Soit A une petite catégorie. Pour tout dérivateur à droite 𝔻, il existe une équivalence de catégories canonique

\underline{Hom}_{!}(Hot_{A}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(A^{op}) .

Si A = e est la catégorie ponctuelle, cette équivalence s’étend aux dérivateurs faibles à droites. Autrement dit, pour tout dérivateur faible à droite 𝔻, on a une équivalence de catégories canonique

\underline{Hom}_{!}(Hot, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(e) .

Démonstration. On a des équivalences de catégories

\underline{Hom}_{!}(Hot_{A}, 𝔻) ≃ \underline{Hom}^{!}(Hot_{A}^{op}, 𝔻^{op})^{op} ≃ 𝔻^{op}(A^{op}) ≃ 𝔻(A^{op}) ,

ce qui prouve le corollaire.

3.27. Corollaire. [l’hypothèse inspiratrice de Grothendieck [Gro83]] Toute auto-équi-valence de Hot est un objet final de \underline{Hom}_{!}(Hot, Hot). En particulier, toute auto-équi-valence de Hot est isomorphe à l’identité, et le seul endomorphisme de l’identité est l’identité.

Démonstration. Les équivalences \underline{Hom}_{!}(Hot, 𝔻) ≃ 𝔻(e) sont définies par le foncteur F ⟼ F (e), où e est l’objet final de Cat(et donc de Hot en vertu de la proposition 3.3). Dans le cas où 𝔻 = Hot, on en déduit aussitôt l’assertion.

4. La propriété universelle de Hot_{•,A}

4.1. On fixe pour le moment une catégorie de diagrammes Dia. Sauf mention explicite du contraire, tous les (pré-)dérivateurs considérés seront de domaine Dia.

Un Dia-morphisme G : 𝔻 ⟶ 𝔻′ est un adjoint à gauche d’un Dia-morphisme D : 𝔻′ ⟶ 𝔻 s’il existe des 2-Dia-morphismes ε : GD ⟶ 1_{𝔻′} et η : 1_{𝔻} ⟶ DG tels que Dεη_{D} = 1_{D} et ε_{G}Gη = 1_{G}.

4.2. Lemme. Soient i : 𝔻′ ⟶ 𝔻 une inclusion pleine de prédérivateurs ( i.e. un Diamorphisme tel que pour tout objet A dans Dia, le foncteur 𝔻′(A) ⟶ 𝔻(A) soit une inclusion pleine). On suppose que i admet un adjoint à gauche a : 𝔻 ⟶ 𝔻′. Tout foncteur dans Dia admettant une image directe homologique (resp. cohomologique) dans 𝔻 en admet une dans 𝔻′. Si 𝔻 est un dérivateur faible à droite (resp. faible à gauche), il en est de même de 𝔻′.

Démonstration. Soit u : A ⟶ B un foncteur dans Dia. Supposons que u admette une image directe homologique dans 𝔻. Pour F dans 𝔻′(A) et G dans 𝔻′(B), on a les bijections canoniques suivantes, lesquelles montrent que u admet aussi une image directe homologique dans 𝔻′.

Hom_{𝔻′(A)}(F, u^{∗}G) ≃ Hom_{𝔻(A)}(iF, iu^{∗}G)
≃ Hom_{𝔻(A)}(iF, u^{∗}iG)
≃ Hom_{𝔻(B)}(u_{!}iF, iG)
≃ Hom_{𝔻′(B)}(au_{!}iF, G) .

Supposons cette fois que u admette une image directe cohomologique dans 𝔻, et fixons un objet G de 𝔻′(A). Si F ⟶ F′ est une flèche de 𝔻(B) dont l’image par a est un isomorphisme, on obtient le diagramme commutatif suivant (dont toutes les flèches se révèlent être des bijections).

\xymatrix{Hom_{𝔻(B)}(F′, u_{∗}iG) \ar[r] \ar[d]_{≀} & Hom_{𝔻(B)}(F, u_{∗}iG) \ar[d]^{≀} \\ Hom_{𝔻(A)}(u^{∗}F′, iG) \ar[r] \ar[d]_{≀} & Hom_{𝔻(B)}(u^{∗}F, iG) \ar[d]^{≀} \\ Hom_{𝔻′(A)}(au^{∗}F′, G) \ar[r] \ar[d]_{≀} & Hom_{𝔻′(B)}(au^{∗}F, G) \ar[d]^{≀} \\ Hom_{𝔻′(A)}(u^{∗}aF′, G) \ar[r]^{∼} & Hom_{𝔻′(B)}(u^{∗}aF, G)}

Comme l’image de la flèche canonique u_{∗}iG ⟶ iau_{∗}G par a est un isomorphisme, ce qui précède implique que cette dernière est un isomorphisme dans 𝔻(B). Mais alors pour tout objet F de 𝔻′(B), on obtient les bijections canoniques suivantes.

Hom_{𝔻′(A)}(u^{∗}F, G) ≃ Hom_{𝔻(A)}(iu^{∗}F, iG)
≃ Hom_{𝔻(A)}(u^{∗}iF, iG)
≃ Hom_{𝔻(B)}(iF, u_{∗}iG)
≃ Hom_{𝔻(B)}(iF, iau_{∗}iG)
≃ Hom_{𝔻′(B)}(F, au_{∗}iG)

Il est à présent clair que si 𝔻 vérifie l’axiome Der 3d (resp. Der 3g), alors il en est de même de 𝔻′. L’explicitation des images directes homologiques (resp. cohomologiques) dans 𝔻′ en fonction de leurs analogues dans 𝔻 donnée ci-dessus permet de vérifier facilement l’axiome Der 4d (resp. Der 4g) dans 𝔻′ dès qu’ils sont vérifiés dans 𝔻. C’est enfin un exercice facile de vérifier que si 𝔻 vérifie les axiomes Der 1 et Der 2, alors il en est de même de 𝔻′.

4.3. On rappelle qu’un foncteur j : U ⟶ A est une immersion ouverte si c’est une inclusion pleine faisant de U un crible de A (i.e. pour tout objet a de A, s’il existe une flèche de source a et de but un objet de U, alors a est dans U). Un foncteur i : Z ⟶ A est une immersion fermée si c’est un inclusion pleine de faisant de Z un cocrible de A (ou de manière équivalente, si i^{op} : Z^{op} ⟶ A^{op} est une immersion ouverte). Par exemple le foncteur t : e ⟶ Δ_{1} qui pointe l’élément 0 (resp. s : e ⟶ Δ_{1} qui pointe l’élément 1) est une immersion ouverte (resp. fermée). Les immersions ouvertes sont stables par composition et par changement de base.

4.4. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à droite. Pour tout foncteur pleinement fidèle u : A ⟶ B dans Dia, le foncteur image directe u_{!} : 𝔻(A) ⟶ 𝔻(B) est pleinement fidèle. Si en outre u est une immersion ouverte, alors l’image essentielle du foncteur u_{!} est formée des objets F de 𝔻(B) tels que pour tout objet b de B qui n’est pas dans A, b^{∗}F est un objet initial de 𝔻(e).

Démonstration. Il s’agit de montrer que pour tout objet F de 𝔻(A), le morphisme F ⟶ u^{∗}u_{!}F est un isomorphisme. En vertu de l’axiome Der 2, il suffit de vérifier que pour tout objet a de A, a^{∗}F ⟶ a^{∗}u^{∗}u_{!}F est un isomorphisme dans 𝔻(e). Or la pleine fidélité de u implique le foncteur canonique a\A ⟶ a\B est un isomorphisme, et donc l’axiome Der 3d implique qu’on a un isomorphisme canonique

a^{∗}F = F_{a} = p_{a\A}_{!}F |_{a\A} ≃ p_{a\B}_{!}(u^{∗}F)|_{a\B} ≃ (u_{!}F)_{u(a)} = a^{∗}u^{∗}u_{!}F .

Si u est une immersion ouverte, et si b : e ⟶ B est un objet de B qui n’est pas dans A, on a un carré cartésien

\xymatrix{∅ \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ e \ar[r]_{b} & B}

et comme u est en particulier une fibration, l’énoncé dual de la proposition 2.4, donne un isomorphisme canonique pour tout objet F de 𝔻(A): ∅ = p_{∅}_{!}F |_{∅} ≃ b^{∗}u_{!}F. On en déduit aussitôt la seconde assertion.

4.5. Un dérivateur faible à droite 𝔻 est préponctué si la catégorie 𝔻 admet un objet final ⋆ et si pour tout objet A de Dia, le foncteur 1_{A} × s : A ≃ A × e ⟶ A × Δ_{1} admet une image directe cohomologique pleinement fidèle dans 𝔻 dont l’image essentielle est formée des objets F tels que (1_{A} × t)^{∗}F soit un objet final de 𝔻(A) (on vérifie en effet dans ce cas que pour tout A dans Dia, 𝔻(A) admet un objet final, à savoir p_{A}^{∗}⋆, car le foncteur p_{A}^{∗} admet un adjoint à gauche). Il est remarquable que tout dérivateur est un dérivateur faible à droite préponctué (4.4). Un dérivateur faible à droite est ponctué s’il est préponctué et si la catégorie 𝔻(e) admet un objet nul (i.e. à la fois initial et final), alors noté 0. Dans ce cas, pour tout A dans Dia, p_{A}^{∗}0 est un objet nul de 𝔻(A). En effet, le Dia-morphisme p_{A}^{∗} : 𝔻 ⟶ 𝔻_{A} est exact à droite (par l’énoncé dual de 2.8), ce qui implique en particulier que p_{A}^{∗}0 est aussi un objet initial. On peut définir dualement les notions de dérivateur faible à gauche préponctué et ponctué.

Soit 𝔻 un dérivateur faible à droite préponctué. Pour chaque objet A de Dia, on note 𝔻_{•}(A) la sous-catégorie pleine de 𝔻(A × Δ_{1}) formée des objets F tels que (1_{A} × s)^{∗}F soit isomorphe à 0. On vérifie aussitôt que cela définit un sous-prédérivateur 𝔻_{•} de 𝔻_{Δ_{1}}.

4.6. On note = Δ_{1} × Δ_{1}, le sous-ensemble ordonné de formé des couples (i, j) ≠ (0, 0), et i : ⟶ l’inclusion. Si 𝔻 est un dérivateur faible à droite et A un objet de Dia, un objet F de 𝔻(A × ) est (homotopiquement) cocartésien s’il est dans l’image essentielle du foncteur (1_{A} × i )_{!} (lequel est pleinement fidèle en vertu de 4.4). Comme les images directes homologiques se calculent argument par argument dans 𝔻_{A} (2.8), on remarque grâce à l’axiome Der 2 qu’un objet F de 𝔻_{A}( ) est cocartésien si et seulement si pour tout objet a de A, a^{∗}F est un objet cocartésien de 𝔻( ). En utilisant les axiomes Der 2 et Der 3d, on vérifie facilement qu’un objet F de 𝔻( ) est cocartésien si et seulement si le morphisme canonique p _{!}i^{∗} F ⟶ F_{0,0} est un isomorphisme dans 𝔻(e).

4.7. Lemme. Soient u : A ⟶ B et v : ⟶ B deux foncteurs dans Dia. On suppose que x = v(0, 0) n’est pas dans l’image de u ni dans celle de vi , et qu’il existe une souscatégorie pleine C de E satisfaisant les conditions suivantes:

(a) u et v se factorisent par C;

(b) le foncteur ṽ : ⟶ x\(C ∖ {x}) induit par v admet un adjoint à droite.

Alors pour tout objet F de 𝔻(A), v^{∗}u_{!}F est un objet cocartésien de 𝔻( ).

Démonstration. La proposition 4.4 appliquée à l’inclusion de C dans B montre qu’on peut supposer que B = C, ce qui sera le cas dans la suite de cette preuve. Notons D = x\(B ∖ {x}) et w : D ⟶ l’adjoint à droite de ṽ. Alors par 2-fonctorialité, w^{∗} est un adjoint à droite de ṽ^{∗}. Autrement dit, on a une identification canonique ṽ^{∗} = w_{!}. En conséquence, on a des identifications canoniques p _{!}ṽ^{∗} = p _{!}w_{!} ≃ p_{D}_{!}. Soit u′ : A ⟶ B ∖ {x} la factorisation de u par l’inclusion k : B ∖ {x} ⟶ B. Le morphisme canonique u′_{!} ⟶ k^{∗}k_{!}u′_{!} est un isomorphisme (grâce à la proposition 4.4 appliquée à k). On en déduit des identifications: u_{!} = (ku′)_{!} ≃ k_{!}u′_{!} ≃ k_{!}k^{∗}k_{!}u′_{!} ≃ k_{!}k^{∗}u_{!}. Notons j : D ⟶ B ∖ {x} le foncteur d’oubli. On a les égalités kjṽ = vi (où i est l’inclusion de dans ). On en déduit les relations i^{∗}v^{∗} = ṽ^{∗}j^{∗}k^{∗}. On obtient donc des isomorphismes canoniques

p _{!}i^{∗}v^{∗}u_{!} ≃ p _{!}ṽ^{∗}j^{∗}k^{∗}k_{!}u′_{!} ≃ p_{D}_{!}j^{∗}k^{∗}k_{!}u′_{!} ≃ p_{D}_{!}j^{∗}k^{∗}u_{!} .

Or il résulte de l’axiome Der 3d que le foncteur p_{D}_{!}j^{∗}k^{∗}u_{!} s’identifie canoniquement à x^{∗}k_{!}k^{∗}u_{!} ≃ x^{∗}u_{!} = (0, 0)^{∗}v^{∗}u_{!}, ce qui achève la démonstration.

4.8. Proposition. Soit _{2} = Δ_{1} ×Δ_{2}. On note u_{i} : ⟶ _{2} (0 ≤ i ≤ 2) le foncteur correspondant à 1_{Δ_{1}×δ_{2}^{i}} (δ_{2}^{i} étant l’unique application strictement croissante de Δ_{1} vers Δ_{2} qui ne prend pas la valeur i). On considère enfin un objet F de 𝔻( _{2}), tel que u_{0}^{∗}F soit un objet cocartésien de 𝔻( ). Alors u_{2}^{∗}F est un objet cocartésien de 𝔻( ) si et seulement si u_{1}^{∗}F en est un.

Démonstration. Soit Z le sous-ensemble ordonné de _{2} formé des couples (i, j) tels que (i, j) ≠ (0, 0), (0, 1), et soit j : Z ⟶ _{2} l’inclusion. En vertu de la proposition 4.4, le foncteur j_{!} : 𝔻(Z) ⟶ 𝔻( _{2}) est pleinement fidèle, et on vérifie facilement grâce au lemme ci-dessus que l’image essentielle de j_{!} est formée des objets F de 𝔻( _{2}) tels que u_{0}^{∗}F et u_{i}^{∗}F soient cocartésiens pour i = 1 ou i = 2.

4.9. Lemme. Soit F un objet de 𝔻( ) tel que le morphisme induit F_{1,1} ⟶ F_{0,1}, soit un isomorphisme dans 𝔻(e). Si i désigne l’inclusion de dans , le morphisme canonique F_{1,0} ≃ (i_{!}F)_{1,0} ⟶ (i_{!}F)_{0,0} est un isomorphisme. Réciproquement, si F est un objet de 𝔻( ) tel que les morphismes F_{1,η} ⟶ F_{0,η}, η = 0, 1, soient des isomorphismes, alors F est cocartésien.

Démonstration. Soit p : ⟶ Δ_{1} le morphisme défini par p(ε, η) = η. Ce dernier admet un adjoint à droite j défini par j(η) = (1, η). En particulier, le morphisme de foncteurs de l’identité de vers jp induit en posant G = j^{∗}F, une flèche de F vers p^{∗}G, laquelle se révèle être un isomorphisme (grâce à l’hypothèse faite sur F et à l’axiome Der 2). On peut donc supposer que F = p^{∗}G pour un objet G de 𝔻(Δ_{1}). Par 2-fonctorialité, p^{∗} est un adjoint à gauche de j^{∗}, ce qui signifie encore que p^{∗} = j_{!}. Comme p_{Δ_{1}}_{!} est l’évaluation en 0, on en déduit que

p _{!}F = p _{!}p^{∗}G ≃ p _{!}j_{!}G ≃ p_{Δ_{1}}_{!}G ≃ G_{0} = F_{1,0} .

La réciproque résulte de la pleine fidélité de i_{!} et d’une nouvelle utilisation de l’axiome Der 2.

4.10. Lemme. L’inclusion i : 𝔻_{•} ⟶ 𝔻_{Δ_{1}} admet un adjoint à gauche a.

Démonstration. Il suffit de montrer que les inclusions

𝔻_{•}(A) ⟶ 𝔻_{Δ_{1}}(A) = 𝔻(A × Δ_{1})

admettent un adjoint à gauche. Quitte à remplacer 𝔻 par 𝔻_{A}, on voit qu’on peut se contenter du cas où A = e est la catégorie finale (cela ne sert qu’à alléger les notations). On a un foncteur image directe cohomologique

(1_{Δ_{1}} × s)_{∗} : 𝔻(Δ_{1}) ⟶ 𝔻( ) .

Si j : ⟶ désigne l’inclusion, on a deux foncteurs adjoints

j_{!} : 𝔻( ) ⟶ 𝔻( ) et j^{∗} : 𝔻( ) ⟶ 𝔻( ) .

On définit un foncteur a : 𝔻(Δ_{1}) ⟶ 𝔻_{•}(e) par a = (1_{Δ_{1}} × t)^{∗}j_{!}j^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}: le foncteur j_{!} est pleinement fidèle (4.4) et la description de l’image essentielle de (1_{Δ_{1}} × s)_{∗} montre que pour tout objet F de 𝔻(Δ_{1}), on a un objet cocartésien aF de 𝔻( ) dont l’image dans 𝔻(e) est de la forme ci-dessous.

\xymatrix{s^{∗}F \ar[r] \ar[d] & ⋆ \ar[d] \\ t^{∗}F \ar[r] & t^{∗}iaF}

Autrement dit, t^{∗}iaF est le quotient homotopique de s^{∗}F ⟶ t^{∗}F. En particulier, a est un foncteur de 𝔻(Δ_{1}) vers 𝔻_{•}(e). Si F est un objet de 𝔻(Δ_{1}), on a des isomorphismes canoniques

(1_{Δ_{1}} × s)^{∗}j_{!}j^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}F ≃ (1_{Δ_{1}} × s)^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}F ≃ F ,

et un morphisme (1_{Δ_{1}} × s)^{∗} ⟶ (1_{Δ_{1}} × t)^{∗} induit par la 2-flèche t ⟶ s, ce qui définit un morphisme naturel η_{F} : F ⟶ iaF. Si F est un objet de 𝔻_{•}(e), j^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}iF est un diagramme dont l’image dans 𝔻(e) est de la forme

F_{0} ⟵ F_{1} ⟶^{∼} ⋆ ,

d’où on déduit grâce à 4.9 que le morphisme canonique

j_{!}j^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}iF ⟶ (1_{Δ_{1}} × p_{Δ_{1}})^{∗}iF ≃ (1_{Δ_{1}} × t)_{∗}iF

est un isomorphisme. L’isomorphisme canonique (1_{Δ_{1}} × t)^{∗}(1_{Δ_{1}} × t)_{∗}iF ⟶ iF induit donc un isomorphisme ε_{F} : aiF ⟶ F. On vérifie alors que a et i forment un couple de foncteurs adjoints avec pour co-unité ε, et pour unité η.

4.11. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à droite préponctué (resp. un dérivateur). Alors 𝔻_{•} est un dérivateur faible à droite ponctué (resp. un dérivateur ponctué).

Démonstration. Cela résulte aussitôt des lemmes 4.2 et 4.10 et du fait que 𝔻_{Δ_{1}} est un dérivateur faible à droite préponctué (resp. un dérivateur).

4.12. Exemple. Vu que Hot est un dérivateur, on obtient de la sorte un dérivateur ponctué Hot_{•}, et on pose Hot_{•} = Hot_{•}(e). Ce dérivateur peut aussi être obtenu par une voie plus classique: Hot_{•} est le dérivateur associé au localisateur de Quillen (Cat_{•}, W_{∞}) formé de la catégorie des petites catégories pointées et de la classe des ∞-équivalences. Cette affirmation n’est qu’un énoncé de strictification: une fois choisi l’objet final ⋆ de Hot correspondant à l’objet final de Cat(ce qui a un sens en vertu de 3.3), la catégorie Hot_{•}(A) est équivalente à la sous-catégorie pleine de Hot(A × Δ_{1}) formée des objets F tels que (1_{A}×s)^{∗}F = p_{A}^{∗}⋆ (et non pas seulement (1_{A}×s)^{∗}F ≃ p_{A}^{∗}⋆). On peut bien entendu aussi le définir à partir de la catégorie des ensembles simpliciaux pointés, ou encore de celle des espaces topologiques pointés, etc.

4.13. Exemple. Si 𝔻 est un dérivateur faible à droite préponctué, alors pour tout objet A de Dia, il en est de même de 𝔻_{A}, et on vérifie aussitôt que 𝔻_{A,•} = 𝔻_{•,A}.

4.14. Soit 𝔻 un dérivateur faible à droite préponctué. Le Dia-morphisme image inverse t^{∗} : 𝔻_{Δ_{1}} ⟶ 𝔻 induit un Dia-morphisme d’oubli U : 𝔻_{•} ⟶ 𝔻.

4.15. Lemme. Le Dia-morphisme d’oubli U : 𝔻_{•} ⟶ 𝔻 admet un adjoint à gauche ?_{+} : 𝔻 ⟶ 𝔻_{•}.

Démonstration. Quitte à remplacer 𝔻 par 𝔻_{A}, il suffit encore une fois de vérifier que le foncteur d’oubli U : 𝔻_{•}(e) ⟶ 𝔻(e) admet un adjoint à gauche. Le foncteur image directe homologique t_{!} : 𝔻(e) ⟶ 𝔻(Δ_{1}) est pleinement fidèle et admet pour image essentielle les objets F tels que s^{∗}F soit un objet initial de 𝔻(e). Si X est un objet de 𝔻(e), on note X_{+} = ⋆ ⨿ t_{!}X (où ⋆ est un objet final de 𝔻(Δ_{1}). On va vérifier que X ⟼ X_{+} est un adjoint à gauche de U. On remarque que p_{Δ_{1}}^{∗} = s_{!}. Par conséquent, pour tout objet Y de 𝔻′_{•}(e), on a:

Hom_{𝔻(Δ_{1})}(⋆, iY) ≃ Hom_{𝔻(Δ_{1})}(s_{!}⋆, iY)
≃ Hom_{𝔻(e)}(⋆, s^{∗}iY)
≃ Hom_{𝔻(e)}(⋆, ⋆) = {1_{⋆}} .

Si X est un objet de 𝔻(e), on obtient donc

Hom_{𝔻_{•}(e)}(X_{+}, Y) ≃ Hom_{𝔻(Δ_{1})}(⋆ ⨿ t_{!}X, iY)
≃ Hom_{𝔻(Δ_{1})}(⋆, iY) × Hom_{𝔻(Δ_{1})}(t_{!}X, iY)
≃ Hom_{𝔻(e)}(X, t^{∗}iY) = Hom_{𝔻(e)}(X, UY) ,

ce qui achève la démonstration.

4.16. Lemme. Pour tout dérivateur faible à droite ponctué 𝔻, le Dia-morphisme ?_{+} : 𝔻 ⟶ 𝔻_{•} est une équivalence.

Démonstration. Quitte à remplacer 𝔻 par 𝔻_{A} pour chaque A dans Dia, il suffit de montrer que le foncteur ?_{+} : 𝔻(e) ⟶ 𝔻_{•}(e) est une équivalence de catégories. On constate que i?_{+} est isomorphe au foncteur t_{!}: en effet, comme 0 = ⋆ est un objet initial, pour tout objet F de 𝔻(Δ_{1}), 0 ⨿ F = F. Par conséquent, le foncteur ?_{+} est pleinement fidèle. Il est immédiat qu’il est aussi essentiellement surjectif: 𝔻_{•}(e) est exactement l’image essentielle du foncteur t_{!} (cf. 4.4).

4.17. Proposition. Soit 𝔻 un dérivateur faible à droite préponctué. Pour tout dérivateur faible à droite ponctué 𝔻′, le foncteur induit par ?_{+} : 𝔻 ⟶ 𝔻_{•}

\underline{Hom}_{!}(𝔻_{•}, 𝔻′) ⟶ \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′)

est une équivalence de catégories. Autrement dit, 𝔻_{•} est le dérivateur faible à droite ponctué universel associé à 𝔻.

Démonstration. Soit Φ : 𝔻 ⟶ 𝔻′ un Dia-morphisme exact à droite. Il induit un Dia-morphisme Φ_{•} : 𝔻_{•} ⟶ 𝔻′ obtenu par les compositions

𝔻_{•} ⟶^{i} 𝔻_{Δ_{1}} ⟶^{Φ_{Δ_{1}}} 𝔻′_{Δ_{1}} ⟶^{a} 𝔻′_{•} ⟶^{U} 𝔻′ .

On va montrer que le morphisme canonique aΦ_{Δ_{1}} ⟶ aΦ_{Δ_{1}}ia est un isomorphisme. En vertu de l’axiome Der 2, il suffit de le vérifier dans 𝔻′(e). On désigne par v l’unique application strictement croissante de _{2} vers × Δ_{1} qui ne prend pas les valeurs (1, 1, 0) et (0, 1, 0). On a un foncteur canonique

(1 × s)_{∗} : 𝔻′( ) ⟶ 𝔻′( × Δ_{1})

et un foncteur image inverse

v^{∗} : 𝔻′( × Δ_{1}) ⟶ 𝔻′( _{2}) .

En les composant, on définit donc un foncteur b_{0} : 𝔻′( ) ⟶ 𝔻′( _{2}). Soit Z le sousensemle ordonné de _{2} formé des couples (i, j) ≠ (0, 0), et soit k : Z ⟶ _{2} l’inclusion. On définit ainsi un foncteur

b = k_{!}k^{∗}b_{0} : 𝔻( ) ⟶ 𝔻( _{2}) .

Notons j : ⟶ l’inclusion. Si F est un objet de 𝔻(Δ_{1}), comme Φ est exact à droite, G = Φ (j_{!}j^{∗}(1_{Δ_{1}} × s)_{∗}F) est un objet cocartésien de 𝔻′( ), et en vertu du lemme 4.7 bG est un objet de 𝔻′( _{2}) vérifiant les hypothèses de la proposition 4.8 et dont l’image dans 𝔻′(e) est un diagramme commutatif de la forme

\xymatrix{s^{∗}Φ_{Δ_{1}}F \ar[r] \ar[d] & Φ⋆ \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[d] \\ t^{∗}Φ_{Δ_{1}}F \ar[r] & t^{∗}Φ_{Δ_{1}}iaF \ar[r] & t^{∗}iaΦ_{Δ_{1}}F & .}

On en déduit aussitôt un isomorphisme canonique aΦ_{Δ_{1}}F ≃ aΦ_{Δ_{1}}iaF. Considérons à présent un foncteur u : A ⟶ B dans Dia. On a alors les isomorphismes canoniques suivants dans 𝔻′(B).

u_{!}aΦ_{Δ_{1}}i ≃ au_{!}Φ_{Δ_{1}}i ≃ aΦ_{Δ_{1}}u_{!}i ≃ aΦ_{Δ_{1}}iau_{!}i ≃ aΦ_{Δ_{1}}iu_{!}ai ≃ aΦ_{Δ_{1}}iu_{!}

Grâce au lemme 4.7, on a ainsi prouvé que Φ_{•} est exact à droite. On a en outre un isomorphisme canonique Φ_{•} ?_{+} ≃ Φ. En effet, pour tout objet A de Dia, et tout objet F de 𝔻(A), on a un carré cocartésien (au sens usuel) dans 𝔻′(A) (car Φ commute aux sommes finies):

\xymatrix{Φ⋆ \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[d] \\ ΦF ⨿ Φ⋆ \ar[r] & Φ_{•}F_{+} & .}

Par un raisonnement similaire, on constate que si Ψ est un Dia-morphisme exact à droite de 𝔻_{•} vers 𝔻′, alors on a un isomorphisme canonique (Ψ ?_{+})_{•} ≃ Ψ. Il est donc clair que le foncteur

\underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′) ⟶ \underline{Hom}_{!}(𝔻_{•}, 𝔻′) , Φ ⟼ Φ_{•}

est un quasi-inverse du foncteur Ψ ⟼ Ψ ?_{+}.

4.18. On suppose à présent que Dia = Cat. On appelle dérivateurs ponctués à droite les dérivateurs à droite de domaine Catqui sont aussi ponctués.

4.19. Corollaire. Soit A une petite catégorie. Pour tout dérivateur ponctué à droite 𝔻 il existe une équivalence de catégories naturelle

\underline{Hom}_{!}(Hot_{•,A}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(A^{op}) .

Pour tout dérivateur faible à droite et ponctué 𝔻 de domaine Cat, il existe une équivalence de catégories canonique

\underline{Hom}_{!}(Hot_{•}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(e) .

Démonstration. Cela résulte aussitôt de la proposition précédente appliquée à Hot_{A} et du corollaire 3.26.

4.20. On appelle dualement dérivateurs ponctués à gauche les dérivateurs à gauche qui sont aussi ponctués.

4.21. Corollaire. Soit A une petite catégorie. Pour tout dérivateur ponctué à gauche 𝔻, il existe une équivalence de catégories

\underline{Hom}^{!}(Hot_{•,A}^{op}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(A) .

Pour tout dérivateur faible à gauche ponctué 𝔻 de domaine Cat, il existe une équivalence de catégories canonique

\underline{Hom}^{!}(Hot_{•}^{op}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(e) .

5. Sorites monoïdaux: 𝔻-algèbres et 𝔻-modules

Dans cette section, on fixe une catégorie de diagramme Dia(même si seul le cas Dia= Cat nous intéresse ici).

5.1. On désigne par e le prédérivateur ponctuel, i.e. le prédérivateur constant de valeur la catégorie pontcuelle. On remarque que pour tout prédérivateur 𝔻, \underline{Hom}(𝔻, e) est équivalente à la catégorie ponctuelle. D’autre part, le 2-foncteur 𝔻 ⟼ 𝔻(e) est représentable par e dans Preder . Autrement dit, on a une équivalence de catégories canonique \underline{Hom}(e, 𝔻) ≃ 𝔻(e). Cette dernière sera considérée comme une égalité. Autrement dit, si X est un objet de 𝔻(e), on note encore X : e ⟶ 𝔻 le Dia-morphisme correspondant.

Soient 𝔻 et 𝔻′ deux prédérivateurs (de domaine Dia). On définit un prédérivateur 𝔻 × 𝔻′ par

A ⟼ 𝔻(A) × 𝔻′(A) .

On vérifie aussitôt que 𝔻 × 𝔻′ est le 2-produit de 𝔻 et 𝔻′ dans Preder . Autrement dit, pour tout prédérivateur 𝔻′′, le foncteur induit par les projections canoniques

\underline{Hom}(𝔻′′, 𝔻 × 𝔻′) ⟶ \underline{Hom}(𝔻′′, 𝔻) × \underline{Hom}(𝔻′′, 𝔻′)

est une équivalence de catégories (c’est en fait un isomorphisme de catégories). Il est remarquable que si 𝔻 et 𝔻′ sont des dérivateurs faibles à droite, alors il en est de même de 𝔻 × 𝔻′, et les projections vers 𝔻 et 𝔻′ sont exactes à droites. En outre pour tout dérivateur faible à droite 𝔻′′, le foncteur canonique

\underline{Hom}_{!}(𝔻′′, 𝔻 × 𝔻′) ⟶ \underline{Hom}_{!}(𝔻′′, 𝔻) × \underline{Hom}_{!}(𝔻′′, 𝔻′)

est encore un isomorphisme de catégories.

On peut d’autre part définir pour tous prédérivateurs 𝔻 et 𝔻′ un prédérivateur Hom(𝔻, 𝔻′) par

A ⟼ Hom(𝔻, 𝔻′)(A) = \underline{Hom}(𝔻, 𝔻′_{A})

i.e. comme le composé des 2-foncteurs A ⟼ 𝔻′_{A} et \underline{Hom}(𝔻,?). On remarque aussitôt que pour tout prédérivateur 𝔻, on a une équivalence de prédérivateurs canonique Hom(e, 𝔻) ≃ 𝔻.

5.2. Proposition. Les prédérivateurs forment une 2-catégorie monoïdale symétrique fermée pour le produit cartésien. Autrement dit, pour tous prédérivateurs 𝔻, 𝔻′ et 𝔻′′, il existe une équivalence de catégories canonique

s : \underline{Hom}(𝔻 × 𝔻′, 𝔻′′) ⟶^{∼} \underline{Hom}(𝔻, Hom(𝔻′, 𝔻′′)) .

Démonstration. On définit le foncteur s comme suit. Soit Φ un Dia-morphisme de 𝔻 × 𝔻′ vers 𝔻′′. Si A et B sont deux catégories dans Dia, et si p (resp. q) désigne la projection de A × B sur A (resp. sur B), on peut former le foncteur composé

ρ(Φ)(A, B) : 𝔻(A) × 𝔻′(B) ⟶^{(p^{∗},q^{∗})} 𝔻(A × B) × 𝔻′(A × B)

⟶^{Φ} 𝔻′′(A × B) = 𝔻′′_{A}(B) .

Pour chaque objet F de 𝔻(A), on note

s(Φ)(A, B)(F) : 𝔻′(B) ⟶ 𝔻′′_{A}(B)

le foncteur G ⟼ ρ(Φ)(A, B)(F, G). Si v : B ⟶ B′ est un foncteur dans Dia, l’isomorphisme structural (1_{A} × v)^{∗}Φ ≃ Φ(1_{A} × v)^{∗} induit un isomorphisme de foncteurs v^{∗}s(Φ)(A, B′)(F) ≃ s(Φ)(A, B)(F)v^{∗}. On vérifie sans difficultés que ces données définissent un Dia-morphisme s(Φ)(A)(F) de 𝔻′ vers 𝔻′′_{A}. Il est d’autre part immédiat que cette construction est naturelle en F. On a ainsi défini un foncteur

s(Φ)(A) : 𝔻(A) ⟶ \underline{Hom}(𝔻′, 𝔻′′_{A}) = Hom(𝔻′, 𝔻′′)(A) .

Pour tout foncteur u : A ⟶ A′ dans Dia, les isomorphismes structuraux (u × 1_{B})^{∗}Φ ≃ Φ(u × 1_{B})^{∗}, B ∈ Ob Dia, induisent un isomorphisme de foncteurs

u^{∗}s(Φ)(A′) ≃ s(Φ)(A)u^{∗} .

Cela définit le Cat-morphisme s(Φ).

Construisons à présent un foncteur

e : \underline{Hom}(𝔻, Hom(𝔻′, 𝔻′′)) ⟶ \underline{Hom}(𝔻 × 𝔻′, 𝔻′′) .

Si Ψ est un Dia-morphisme de 𝔻 vers \underline{Hom}(𝔻′, 𝔻′′), à chaque catégorie A dans Dia et chaque objet F de 𝔻(A), le Dia-morphisme Ψ(F) définit en particulier un foncteur 𝔻′(A) ⟶ 𝔻′′(A × A). La diagonale δ_{A} : A ⟶ A × A induit un foncteur image inverse δ_{A}^{∗} : 𝔻′′(A × A) ⟶ 𝔻′′(A) et donne donc par composition un foncteur

ε(Ψ)(A)(F) : 𝔻′(A) ⟶ 𝔻′′(A) .

Cette construction est naturelle en F et induit par conséquent un foncteur

ε(Ψ)(A) : 𝔻(A) ⟶ \underline{Hom}(𝔻′(A), 𝔻′′(A)) , F ⟼ ε(Ψ)(A)(F) .

Cela définit donc un foncteur e(Ψ)(A) : 𝔻(A) × 𝔻′(A) ⟶ 𝔻′′(A). On vérifie que pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, l’isomorphisme structural u^{∗}Ψ ≃ Ψu^{∗} induit un isomorphisme (u^{∗} × u^{∗})ε(Ψ)(B) ≃ ε(Ψ)(A)u^{∗}. Cela définit de la sorte un Dia-morphisme e(Ψ) : 𝔻 × 𝔻′ ⟶ 𝔻′′. On vérifie alors explicitement que e et s sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

5.3. Corollaire. Pour tous prédérivateurs 𝔻, 𝔻′ et 𝔻′′, il existe une équivalence de prédérivateurs canonique

Hom(𝔻 × 𝔻′, 𝔻′′) ≃ Hom(𝔻, Hom(𝔻′, 𝔻′′)) .

5.4. Soit 𝔻 un prédérivateur. Une structure prémonoïdale sur 𝔻 est la donnée d’un produit tensoriel ⊗, i.e. d’un Dia-morphisme ⊗ : 𝔻 × 𝔻 ⟶ 𝔻, d’un objet unité I, i.e. d’un objet I de 𝔻(e), et de 2-Dia-morphismes

a : ⊗ ∘ (1_{𝔻} × ⊗) ⟶ ⊗ ∘ (⊗ × 1_{𝔻}) ,
l : ⊗ ∘ (I × 1_{𝔻}) ⟶ 1_{𝔻} ,
r : ⊗ ∘ (1_{𝔻} × I) ⟶ 1_{𝔻} .

Pour chaque objet A de Dia, et tout couple (F, G) d’objets de 𝔻(A), on note F ⊗ G = ⊗(F, G) le produit tensoriel de F et de G. Si A et B sont deux objets de Dia, et F et G des objets de 𝔻(A) et 𝔻(B) respectivement, on note F ⊠ G le produit tensoriel extérieur de F et G, c’est-à-dire F ⊠ G = p^{∗}F ⊗ q^{∗}G dans 𝔻(A × B), où p (resp. q) désigne la projection de A × B vers A (resp. vers B). Le produit tensoriel extérieur à gauche par un objet F de 𝔻(A) définit un Dia-morphisme F ⊠ ? : 𝔻 ⟶ 𝔻_{A} qui n’est autre que s(⊗)(F) (cf. 5.2). Dualement, si τ désigne l’automorphisme d’échange des facteurs de 𝔻 × 𝔻, le produit tensoriel extérieur à droite par G définit un Dia-morphisme ? ⊠ G : 𝔻 ⟶ 𝔻_{B} correspondant à s(⊗ ∘ τ)(G). Les 2-Dia-morphismes a, l et r définissent des morphismes fonctoriels

a_{F,G,H} : F ⊠ (G ⊠ H) ⟶ (F ⊠ G) ⊠ H ,
l_{F} : I ⊠ F ⟶ F ,
r_{F} : F ⊠ I ⟶ F .

En outre, pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, on a des isomorphismes définis dans la structure de Dia-morphisme de ⊗

γ_{u} : u^{∗} ∘ ⊗ ≃ ⊗ ∘ (u^{∗} × u^{∗}) .

Une structure monoïdale sur un prédérivateur 𝔻 est une structure prémonoïdale (⊗, I, a, l, r) dont la restriction à chacune des catégories 𝔻(A) est une structure de catégorie monoïdale.

Autrement dit une structure monoïdale sur 𝔻 est une structure de pseudo monoïde dans la 2-catégorie monoïdale des prédérivateurs. Concrètement, cela revient à demander que a, l et r soient des isomorphismes et induisent les diagrammes commutatifs attendus: le pentagone de Mac Lane et les deux diagrammes de compatibilité entre l et r (voir [Mac98, p. 252] et [Joy93]). On vérifie alors que les isomorphismes γ_{u} définissent des structures de foncteurs monoïdaux sur les foncteurs image inverse u^{∗}, et que tous les 2-morphismes induits par les 2-flèches de Diasont des 2-morphismes de foncteurs monoïdaux. De manière équivalente, se donner une structure monoïdale sur 𝔻 revient à se donner pour chaque objet A de Dia, une structure de catégorie monoïdale sur 𝔻(A) d’objet unité (I_{A} = p_{A}^{∗}(I)), pour chaque foncteur u : A ⟶ B dans Dia, une structure de foncteur monoïdal sur le foncteur image inverse u^{∗} : 𝔻(B) ⟶ 𝔻(A), et pour chaque 2-flèche

[figure: A; u; v; α; B]

dans Dia, une structure de morphisme de foncteurs monoïdaux sur α^{∗},

[figure: 𝔻(B); v^{∗}; u^{∗}; α^{∗}; 𝔻(A)] ,

le tout de manière compatible aux différentes compositions dans Dia(c’est-à-dire de telle manière que les produits tensoriels sur chacune des catégories 𝔻(A) définissent de la sorte un Dia-morphisme etc.). Un prédérivateur monoïdal est un prédérivateur muni d’une structure monoïdale.

Un tressage sur un prédérivateur monoïdal 𝔻 est la donnée d’un 2-Dia-isomorphisme t : ⊗ ⟶ ⊗∘τ (où τ est l’automorphisme d’échange des facteurs de 𝔻×𝔻) dont la restriction à chacune des catégorie 𝔻(A) est un tressage de la structure de catégorie monoïdale (voir loc. cit.). Un prédérivateur monoïdal tressé est un prédérivateur monoïdal muni d’un tressage. Autrement dit, c’est un pseudo-monoïde tressé dans la 2-catégorie monoïdale symétrique des prédérivateurs.

Un prédérivateur monoïdal symétrique est un prédérivateur monoïdal muni d’un tressage t tel que t^{2} = 1 (voir loc. cit.). Autrement dit, c’est un pseudo-monoïde symétrique dans la 2-catégorie monoïdale symétrique des prédérivateurs.

Une structure monoïdale sur un prédérivateur 𝔻 est exacte à droite (resp. à gauche) si pour tout objet A de Dia et tout objet F de 𝔻(A), le produit tensoriel extérieur à gauche et à droite par F sont des Dia-morphismes exacts à droite (resp. à gauche). Un dérivateur monoïdal faible à droite (resp. à gauche) est un dérivateur faible à droite (resp. à gauche) muni d’une structure monoïdale exacte à droite (resp. à gauche). On définit de même les notions de dérivateur monoïdal tressé ou symétrique faible à droite (resp. à gauche).

5.5. Exemple. Le prédérivateur final e est un dérivateur monoïdal symétrique.

5.6. Exemple. Si 𝔻 est un prédérivateur, End(𝔻) = Hom(𝔻, 𝔻) est un prédérivateur monoïdal strict (ni symétrique ni tressé en général). Le produit tensoriel extérieur est défini par la composition des endomorphismes “gradués par Dia” de 𝔻: si A et B sont deux objets de Dia, et si Φ : 𝔻 ⟶ 𝔻_{A} et Ψ : 𝔻 ⟶ 𝔻_{B} sont deux Dia-morphismes, Φ ⊠ Ψ est le morphisme composé

𝔻 ⟶^{Φ} 𝔻_{A} ⟶^{Ψ_{A}} (𝔻_{B})_{A} = 𝔻_{A×B} .

L’objet unité est bien entendu l’identité de 𝔻.

5.7. Soient 𝔻 et 𝔻′ deux dérivateurs faibles à droite de domaine Dia. On définit un sous-prédérivateur plein Hom_{!}(𝔻, 𝔻′) de Hom(𝔻, 𝔻′) par

A ⟼ Hom_{!}(𝔻, 𝔻′)(A) = \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′_{A}) .

Pour voir que c’est un sous-prédérivateur, il suffit de constater que pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, le Dia-morphisme u^{∗} : 𝔻_{B} ⟶ 𝔻_{A} est exact à droite (2.8).

5.8. Proposition. Si 𝔻 et 𝔻′ sont deux dérivateurs faibles à droite, alors il en est de même de Hom_{!}(𝔻, 𝔻′). Si en outre 𝔻′ est ponctué (resp. dans le cas où Dia = Cat, si en outre 𝔻′ est un dérivateur à droite), alors Hom_{!}(𝔻, 𝔻′) est aussi ponctué (resp. un dérivateur à droite).

Démonstration. L’axiome Der 1 résulte aussitôt du fait que le 2-foncteur \underline{Hom}_{!}(𝔻,?) commute aux produits finis (voir 5.1). L’axiome Der 2 résulte du fait les Dia-morphismes sont compatibles aux images inverses, et que si Φ et Ψ sont deux Dia-morphisme de 𝔻 vers 𝔻′, et si α est un 2-Dia-morphisme de Φ vers Ψ, alors α est un isomorphisme si et seulement si pour tout A dans Dia, et tout objet X de 𝔻(A), α_{X} : ΦX ⟶ ΨX est un isomorphisme dans 𝔻(A). Les axiomes Der 3d et Der 4d sont quant à eux conséquences du fait que \underline{Hom}_{!}(𝔻,?) est un 2-foncteur. Autrement dit, si u : A ⟶ B est une flèche de Dia, le Dia-morphisme u_{!} : 𝔻_{A} ⟶ 𝔻_{B} défini par les foncteurs

(u × 1_{C})_{!} : 𝔻′(A × C) ⟶ 𝔻′(B × C) , C ∈ Ob Dia,

est un adjoint à gauche du Dia-morphisme u^{∗} : 𝔻′_{B} ⟶ 𝔻′_{A}. Par conséquent, par 2-fonc-torialité, le foncteur

\underline{Hom}_{!}(𝔻, u_{!}) : \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′_{A}) ⟶ \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′_{B})

est l’adjoint à gauche du foncteur

\underline{Hom}_{!}(𝔻, u^{∗}) : \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′_{B}) ⟶ \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′_{A}) ,

lequel n’est autre que le foncteur image inverse

u^{∗} : Hom_{!}(𝔻, 𝔻′)(B) ⟶ Hom_{!}(𝔻, 𝔻′)(A) .

On en déduit que tous les isomorphismes de foncteurs faisant intervenir des foncteurs image inverse et des foncteurs image directe homologique dans 𝔻′ induisent des isomorphismes analogues dans Hom_{!}(𝔻, 𝔻′). Cela montre l’axiome Der 4d et implique aussi que si 𝔻′ est un dérivateur à droite, il en est de même de Hom_{!}(𝔻, 𝔻′). Pour prouver le cas ponctué, on remarque que \underline{Hom}_{!}(𝔻, 𝔻′) admet un objet nul (à savoir le Dia-morphisme constant de valeur 0). Il suffit donc de montrer que le Dia-morphisme s_{∗} : 𝔻 ⟶ 𝔻_{Δ_{1}} est exact à droite. Comme s_{∗} est pleinement fidèle, en vertu de l’énoncé dual de la proposition 2.6, cela revient à montrer que si A est un objet de Dia, et si F est un objet de 𝔻(A × Δ_{1}) tel que (1_{A} × t)^{∗}F = 0, alors t^{∗}(p_{A} × 1_{Δ_{1}})_{!}F = 0. Or en vertu de l’énoncé dual de la proposition 2.4, on a un isomorphisme canonique t^{∗}(u × 1_{Δ_{1}})_{!}F ≃ p_{A}_{!}(1_{A} × t)^{∗}F, et comme u_{!} respecte l’objet nul, cela achève la démonstration.

5.9. Remarque. La même preuve montre que si 𝔻′ est un dérivateur faible à gauche, alors pour tout prédérivateur 𝔻, Hom(𝔻, 𝔻′) est un dérivateur faible à droite. Si en outre 𝔻 est aussi un dérivateur faible à droite, l’inclusion canonique

Hom_{!}(𝔻, 𝔻′) ⊂ Hom(𝔻, 𝔻′) est exacte à droite.

5.10. Corollaire. Pour tout dérivateur faible à droite 𝔻, End_{!}(𝔻) = Hom_{!}(𝔻, 𝔻) est un dérivateur monoïdal faible à droite.

Démonstration. On sait grâce à la proposition ci-dessus que End_{!}(𝔻) est un dérivateur faible à droite. Il est immédiat que la structure monoïdale canonique sur End(𝔻) décrite dans l’exemple 5.6 se restreint en une structure monoïdale sur End_{!}(𝔻). Comme les images directes homologiques se calculent argument par argument dans End_{!}(𝔻), on s’aperçoit aussitôt que cette structure est exacte à droite.

5.11. Si 𝔻 et 𝔻′ sont deux prédérivateurs monoïdaux, un Dia-morphisme monoïdal Φ : 𝔻 ⟶ 𝔻′ est la donnée d’un triplet (Φ, c, u), où Φ est un Dia-morphisme, c est un 2-Dia-isomorphisme de ⊗ ∘ (Φ × Φ) vers Φ ∘ ⊗, et i un isomorphisme de l’objet unité de 𝔻′ vers l’image de l’objet unité de 𝔻 par Φ, dont les restrictions Φ : 𝔻(A) ⟶ 𝔻′(A), A ∈ Ob Dia, sont des foncteurs monoïdaux (forts) au sens de loc. cit. Si en outre 𝔻 et 𝔻′ sont des prédérivateurs monoïdaux tressés, on dira que Φ est un Dia-morphisme tressé si chacun des foncteurs Φ : 𝔻(A) ⟶ 𝔻′(A), A ∈ Ob Dia, sont des foncteurs monoïdaux tressés. Un 2-Dia-morphisme monoïdal entre Dia-morphismes monoïdaux est un 2-Dia-morphisme compatible aux produits tensoriels et aux identités au sens de loc. cit (le tressage n’intervient pas au niveau des 2-morphismes).

Soit 𝔻 un prédérivateur monoïdal (resp. monoïdal tressé) fixé. Une 𝔻-algèbre (resp. une 𝔻-algèbre tressée) est un prédérivateur monoïdal (resp. un monoïdal tressé) muni d’un Dia-morphisme monoïdal (resp. tressé) i de 𝔻 vers 𝔻′. Si 𝔻′ et 𝔻′′ sont deux 𝔻-algèbres (resp. deux 𝔻-algèbres tressées), un 𝔻-morphisme (resp. un 𝔻-morphisme tressé) est un Dia-morphisme monoïdal (resp. tressé) Φ de 𝔻′ vers 𝔻′′ compatible avec les structures de 𝔻-algèbres i et i′ sur 𝔻′ et 𝔻′′ respectivement, c’est-à-dire muni d’un 2-Dia-morphisme monoïdal de Φi vers i′. Un 2-𝔻-morphisme entre 𝔻-morphismes est un 2-Dia-morphis-me monoïdal compatible aux structures de 𝔻-algèbres. On vérifie aussitôt qu’avec ces définitions, les 𝔻-algèbres (resp. les 𝔻-algèbres tressées) forment une 2-catégorie. Si en outre 𝔻 est un dérivateur faible à droite, on définit de manière analogue les 2-catégories des 𝔻-algèbres faibles à droite et des 𝔻-algèbres tressées faibles à droite.

5.12. Exemple. Pour tout prédérivateur monoïdal 𝔻, End(𝔻) est une 𝔻-algèbre (le morphisme structural est défini par le produit tensoriel via la correspondance de la proposition 5.2). Si 𝔻 est un dérivateur faible à droite, cette structure se restreint en une structure de 𝔻-algèbre faible à droite sur End_{!}(𝔻).

5.13. Exemple. Pour tout prédérivateur monoïdal 𝔻 et tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, le Dia-morphisme image inverse u^{∗} : 𝔻_{B} ⟶ 𝔻_{A} est monoïdal, et si en outre 𝔻 est tressé, alors u^{∗} est tressé. Cependant, si 𝔻 est un dérivateur monoïdal faible à droite, le Dia-morphisme u_{!} : 𝔻_{A} ⟶ 𝔻_{B} n’est pas monoïdal en général. Si on impose que u est une fibration, la relation de u_{!} avec le produit tensoriel apparaît sous la forme d’une formule de projection comme ci-dessous.

5.14. Proposition. Soient 𝔻, 𝔻′ et 𝔻′′ trois dérivateurs faibles à droite. On se donne un Dia-morphisme ⊗ de 𝔻 × 𝔻′ vers 𝔻′′ (on note F ⊗ G pour ⊗(F, G)). On suppose que pour tout objet X de 𝔻(e), le Dia-morphisme X ⊠ ? : 𝔻′ ⟶ 𝔻′′ induit par ⊗ ( 5.2) est exact à droite. Alors pour toute fibration p : A ⟶ B dans Dia, pour tout objet F de 𝔻(B) et tout objet G de 𝔻′(A), on a un isomorphisme canonique p_{!}(p^{∗}F ⊗G) ⟶^{∼} F ⊗p_{!}G dans 𝔻′′(B).

Démonstration. On a un morphisme canonique

p^{∗}F ⊗ G ⟶ p^{∗}F ⊗ p^{∗}p_{!}G ⟵^{∼} p^{∗}(F ⊗ p_{!}G) ,

ce qui induit un morphisme p_{!}(p^{∗}F ⊗ G) ⟶ F ⊗ p_{!}G. Soit b un objet de B. Formons le carré cartésien suivant.

\xymatrix{A_{b} \ar[r]^{i} \ar[d]_{q} & A \ar[d]^{p} \\ e \ar[r]_{b} & B}

En vertu de l’énoncé dual du lemme 2.3, on a un isomorphisme de changement de base q_{!}i^{∗} ≃ b^{∗}p_{!}. On obtient alors les isomorphismes canoniques suivants. b^{∗}p_{!}(p^{∗}F ⊗ G) ≃ q_{!}i^{∗}(p^{∗}F ⊗ G) ≃ q_{!}(i^{∗}p^{∗}F ⊗ i^{∗}G) ≃ q_{!}(q^{∗}b^{∗}F ⊗ i^{∗}G) = q_{!}(b^{∗}F ⊠ i^{∗}G)

≃ b^{∗}F ⊠ q_{!}i^{∗}G = b^{∗}F ⊗ q_{!}i^{∗}G ≃ b^{∗}F ⊗ b^{∗}p_{!}G ≃ b^{∗}(F ⊗ p_{!}G)

L’axiome Der 2 achève donc la démonstration.

5.15. Soit 𝔻 un prédérivateur monoïdal. Un 𝔻-module (à droite) 𝔻′ est la donnée d’un triplet (⊗, a, l), où ⊗ est un Dia-morphisme de 𝔻′ × 𝔻 vers 𝔻′, et

a : ⊗ ∘ (1_{𝔻′} × ⊗) ⟶ ⊗ ∘ (⊗ × 1_{𝔻}) ,
r : ⊗ ∘ (1_{𝔻′} × I) ⟶ 1_{𝔻′} ,

sont des 2-Dia-isomorphismes, satisfaisant les conditions de cohérence attendues (en fait, simplement l’associativité par un pentagone de Mac Lane et un triangle commutatif exprimant la trivialité de l’action de l’unité de 𝔻). De manière équivalente, en vertu de la proposition 5.2, cela revient à se donner une structure de 𝔻-algèbre sur End(𝔻′). Comme dans le cas des structures monoïdales, si F est un objet de 𝔻(A) et G un objet de 𝔻′(B), on peut définir des produits extérieurs

F ⊠ ? : 𝔻′ ⟶ 𝔻′ et ? ⊠ G : 𝔻 ⟶ 𝔻′_{B} .

Si 𝔻 est un dérivateur faible à droite, un 𝔻-module faible à droite est un dérivateur faible à droite 𝔻′ muni d’une structure de 𝔻-module telle que les Cat-morphismes de la forme F ⊠ ? et ? ⊠ G soient exacts à droite.

Un morphisme de 𝔻-modules est un couple (Φ, c), où Φ : 𝔻′ ⟶ 𝔻′′ est un Diamorphisme, et c : ⊗ ∘ (1_{𝔻} × Φ) ⟶ Φ ∘ ⊗ est un 2-Dia-isomorphisme satisfaisant des conditions de cohérence analogues à celles imposées pour les Dia-morphismes monoïdaux. On définit de même une notion de 2-morphisme entre morphismes de 𝔻-modules, ce qui permet de définir une 2-catégorie des 𝔻-modules.

5.16. Exemple. Tout prédérivateur 𝔻 est muni d’une structure de End(𝔻)-module: l’identité de End(𝔻) définit par la proposition 5.2 un Dia-morphisme 𝔻×End(𝔻) ⟶ 𝔻, ce qui définit la structure de module (en prenant pour a et r les identités). On vérifie aussitôt que si 𝔻 est un dérivateur faible à droite, cette action se restreint en une action exacte à droite de End_{!}(𝔻) sur 𝔻.

5.17. On considère une 2-sous-catégorie Der_{♯} de Preder . Si 𝔻 et 𝔻′ sont deux objets de Der_{♯}, on note \underline{Hom}_{♯}(𝔻, 𝔻′) la catégorie des 1-morphismes de 𝔻 vers 𝔻′ dans Der_{♯}. On suppose que pour tous 𝔻 et 𝔻′ dans Der_{♯}, le foncteur canonique

\underline{Hom}_{♯}(𝔻, 𝔻′) ⟶ \underline{Hom}(𝔻, 𝔻′)

est pleinement fidèle et que toute Dia-équivalence est dans Der_{♯}. On suppose que le 2foncteur 𝔻 ⟼ 𝔻(e) est représentable dans Der_{♯}, i.e. qu’il existe un objet Hot_{♯} de Der_{♯} et des équivalences de catégories naturelles en 𝔻:

\underline{Hom}_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻) ⟶^{∼} 𝔻(e) .

On suppose aussi que pour tout foncteur u : A ⟶ B dans Dia, et pour tout objet 𝔻 de Der_{♯}, le Dia-morphisme image inverse u^{∗} : 𝔻_{B} ⟶ 𝔻_{A} est dans Der_{♯}. Cela permet de définir des prédérivateurs Hom_{♯}(𝔻, 𝔻′) par

A ⟼ Hom_{♯}(𝔻, 𝔻′)(A) = \underline{Hom}_{♯}(𝔻, 𝔻′_{A}) .

On fait enfin l’hypothèse que pour tous 𝔻 et 𝔻′ dans Der_{♯}, Hom_{♯}(𝔻, 𝔻′) est dans Der_{♯}. Soient 𝔻_{1}, …, 𝔻_{n} une famille finie d’objets de Der_{♯}, et 𝔻 un objet de Der_{♯}. On considère un Dia-morphisme Φ de ∏_{i} 𝔻_{i} vers 𝔻. Pour chaque i, 0 ≤ i ≤ n, si F_{j} est un objet de 𝔻_{j}(A_{j}) pour j ≠ i (où les A_{j} sont des objets de Dia), on note

Φ(F_{1}, …, F_{j−1},?, F_{j+1}, …, F_{n}) : 𝔻_{i} ⟶ 𝔻_{∏_{i≠j} A_{j}}

le Dia-morphisme défini par les foncteurs déterminés pour chaque objet A_{i} de Diapar

F_{i} ⟼ Φ(p_{1}^{∗}F_{1}, …, p_{j−1}^{∗}F_{j−1}, p_{i}^{∗}F_{i}, p_{j+1}^{∗}F_{j+1}, …, p_{n}^{∗}F_{n}) ,

où p_{k} : ∏_{l} A_{l} ⟶ A_{k} désignent les projections. On note

\underline{Hom}_{♯}^{n}(𝔻_{1}, …, 𝔻_{n}; 𝔻)

la sous-catégorie pleine de \underline{Hom}(𝔻_{1} × ⋯ × 𝔻_{n}, 𝔻) formée des Dia-morphismes Φ tels que les Dia-morphismes de la forme

Φ(F_{1}, …, F_{j−1},?, F_{j+1}, …, F_{n})

soient dans Der_{♯}.

On peut alors définir un prédérivateur Hom_{♯}^{n}(𝔻_{1}, …, 𝔻_{n}; 𝔻) par

A ⟼ Hom_{♯}^{n}(𝔻_{1}, …, 𝔻_{n}; 𝔻)(A) = \underline{Hom}_{♯}^{n}(𝔻_{1}, …, 𝔻_{n}; 𝔻_{A}) .

5.18. Lemme. Pour tout n ≥ 2 et tout i, 0 ≤ i ≤ n, il existe des équivalences de catégories canoniques

\underline{Hom}_{♯}^{n}(𝔻_{1}, …, 𝔻_{n}; 𝔻) ≃ \underline{Hom}_{♯}^{n−1}(𝔻_{1}, …, 𝔻̂_{i}, …, 𝔻_{n}; Hom_{♯}(𝔻_{i}, 𝔻)) ,

(𝔻_{1}, …, 𝔻̂_{i}, …, 𝔻_{n}) désignant le n − 1-uplet dans lequel manque le facteur 𝔻_{i}.

Démonstration. Cela résulte de l’explicitation de l’équivalence de catégories de la proposition 5.2.

5.19. Lemme. Pour tout objet 𝔻 de Der_{♯}, il existe une Dia-équivalence naturelle

Hom_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻) ≃ 𝔻 .

Démonstration. Pour chaque objet A de Dia, on a une Dia-équivalence canonique

Hom_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻)(A) = \underline{Hom}_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻_{A}) ≃ 𝔻_{A}(e) = 𝔻(A) .

Il suffit donc de vérifier que cela définit bien un Dia-morphisme. Or l’équivalence de catégories \underline{Hom}_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻) ≃ 𝔻(e) est nécessairement le foncteur composé

\underline{Hom}_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻) ⊂ \underline{Hom}(Hot_{♯}, 𝔻) ⟶ \underline{Hom}(e, 𝔻) ≃ 𝔻(e) ,

où le second foncteur est celui induit par l’objet de Hot_{♯}(e) correspondant à l’identité de Hot_{♯}. On en déduit facilement l’assertion.

5.20. Lemme. Soit n ≥ 1 un entier. Il existe une équivalence de catégories naturelle Pour tout objet 𝔻 de Der_{♯}

\underline{Hom}_{♯}^{n}(Hot_{♯}, …, Hot_{♯}; 𝔻) ≃ 𝔻(e) .

Démonstration. On procède par récurrence sur n. Si n = 1, l’assertion est vérifiée par hypothèse. Si n ≥ 2, on obtient grâce aux lemmes 5.18 et 5.19 les équivalences de catégories suivantes

\underline{Hom}_{♯}^{n}(Hot_{♯}, …, Hot_{♯}; 𝔻)
≃ \underline{Hom}_{♯}^{n−1}(Hot_{♯}, …, Hot_{♯}; Hom_{♯}(Hot_{♯}, 𝔻))
≃ \underline{Hom}_{♯}^{n−1}(Hot_{♯}, …, Hot_{♯}; 𝔻) ,

ce qui achève la démonstration.

5.21. Soit 𝔻 un objet de Der_{♯}. Une ♯-structure monoïdale sur 𝔻 est une structure monoïdale sur 𝔻 dont le produit tensoriel est un objet de \underline{Hom}_{♯}^{2}(𝔻, 𝔻; 𝔻). Par exemple, pour tout objet 𝔻 de Der_{♯}, la structure monoïdale de End(𝔻) induit une ♯-structure monoïdale sur End_{♯}(𝔻) = Hom_{♯}(𝔻, 𝔻). Si 𝔻′ est un objet de Der_{♯}, une ♯-structure de 𝔻-module est une structure de 𝔻-module dont l’action est un objet de \underline{Hom}_{♯}^{2}(𝔻, 𝔻′; 𝔻′).

On note I_{♯} l’objet de Hot_{♯}(e) correspondant à l’identité de Hot_{♯}.

5.22. Théorème. On se place sous les hypothèses de 5.17.

(i) Le prédérivateur Hot_{♯} est muni d’une unique ♯-structure monoïdale dont l’objet unité est I_{♯}. En outre, cette structure monoïdale est symétrique, et l’équivalence de prédérivateurs canonique Hom_{♯}(Hot_{♯}, Hot_{♯}) ≃ Hot_{♯} est monoïdale.

(ii) Tout objet de Der_{♯} admet canoniquement une ♯-structure de Hot_{♯}-module. Tout morphisme de Der_{♯} est un morphisme de Hot_{♯}-modules. Tout 2-morphisme de Der_{♯} est un 2-morphisme de Hot_{♯}-modules.

(iii) Tout objet de Der_{♯} muni d’une ♯-structure monoïdale est une Hot_{♯}-algèbre. Tout morphisme monoïdal de Der_{♯} entre objet monoïdaux est un morphisme de Hot_{♯}- algèbres. Tout 2-morphisme monoïdal entre morphisme monoïdaux de Der_{♯} est un 2-morphisme de Hot_{♯}-algèbres.

(iv) Tout objet de Der_{♯} muni d’une ♯-structure monoïdale tressée est une Hot_{♯}-algèbre tressée. Tout morphisme tressé de Der_{♯} entre objet monoïdaux tressés est un morphisme de Hot_{♯}-algèbres tressées.

Démonstration. Lorsque Der_{♯} est la 2-catégorie Prederdes prédérivateurs de domaine Dia, Hot_{♯} est alors le dérivateur ponctuel e, et ce théorème est alors une trivialité. Dans le cas général, on remarque grâce au lemme 5.20 que, pour tout prédérivateur 𝔻 dans Der_{♯}, on a une équivalence de catégories

\underline{Hom}_{♯}^{n}(Hot_{♯}, …, Hot_{♯}; 𝔻) ≃ \underline{Hom}^{n}(e, …, e; 𝔻) = 𝔻(e) .

Autrement dit, toute action de Hot_{♯} sur 𝔻 est totalement déterminée par l’action induite de e sur le prédérivateur 𝔻. Dans la mesure où le foncteur d’oubli de Der_{♯} vers Preder respecte les structures de modules et d’algèbres (éventuellement tressées ou symétriques), le cas général résulte donc trivialement du cas Der_{♯} = Preder .

5.23. Remarque. En vertu du corollaire 3.26 (resp. 4.19) et de la proposition 5.8, le théorème ci-dessus s’applique à la 2-catégorie des dérivateurs faibles à gauche (resp. des dérivateurs ponctués faibles à gauche). On a alors Hot_{♯} = Hot (resp. Hot_{♯} = Hot_{•}), et l’objet unité de Hot (resp. de Hot_{•}) est l’objet final de Hot (resp. la sphère S^{0}). En effet, l’explicitation de l’équivalence \underline{Hom}_{!}(Hot, Hot) ≃ Hot (resp. \underline{Hom}_{!}(Hot, Hot_{•}) ≃ Hot_{•}) envoie l’identité de Hot (resp. ?_{+}) sur l’objet final de Hot (resp. sur la sphère S^{0}).

6. Catégories de modèles monoïdales

6.1. Proposition. Soit M une catégorie de modèles monoïdale (symétrique) au sens de [Hov99, 4.2.6]. Alors le dérivateur associé 𝔻_{M} admet une structure monoïdale (symétrique) exacte à droite, et la structure de catégorie monoïdale (symétrique) induite sur la catégorie homotopique Ho M = 𝔻_{M}(e) est celle définie dans [Hov99, théorème 4.3.2].

Démonstration. Soit X un objet de M . Les foncteurs

X ⊗ ?, ? ⊗ X : M ⟶ M

sont des foncteurs de Quillen à gauche. En particulier, ils respectent donc les cofibrations, les cofibrations triviales, et les équivalences faibles entre objets cofibrants. Si M_{c} désigne la sous-catégorie des objets cofibrants de M , pour toute petite catégorie A, on définit un foncteur

⊗ : \underline{Hom}(A^{op}, M_{c}) × \underline{Hom}(A^{op}, M_{c}) ⟶ \underline{Hom}(A^{op}, M )

en posant (F ⊗ G)(a) = F (a) ⊗ G(a), a ∈ Ob A. Ce foncteur respecte les équivalences faibles, et en vertu de l’équivalence de prédérivateurs canonique 𝔻_{M_{c}} ≃ 𝔻_{M} [Cis03, proposition 6.9], induit de la sorte un Cat-morphisme

⊗^{L} : 𝔻_{M} × 𝔻_{M} ⟶ 𝔻_{M} ,

lequel se révèle être le foncteur dérivé (total) à gauche de ⊗. La propriété universelle du foncteur dérivé total à gauche [Qui67, chap. I, 4, définition 1], l’énoncé dual de [Cis03, proposition 2.7 (ii)], et l’axiome Der 2 montrent aussitôt que la structure monoïdale sur \underline{Hom}(A^{op}, M ) induit une structure monoïdale sur 𝔻_{M}(A). Pour la même raison, les foncteurs image inverse sont canoniquement munis d’une structure monoïdale, ainsi que les images inverses de 2-morphismes. Autrement dit, 𝔻_{M} est ainsi muni d’une structure monoïdale. Si en outre M est tressée (resp. symétrique), la propriété universelle des foncteurs dérivés totaux à gauche induit de même une structure tressée. Il est clair que la structure monoïdale (symétrique) induite sur 𝔻_{M}(e) est celle construite dans [Hov99, théorème 4.3.2]. Pour conclure, il suffit donc de vérifier que pour toute petite catégorie A, et tout préfaisceau F sur A à valeurs dans M , les Cat-morphismes ? ⊠^{L} F et F ⊠^{L} ? sont exacts à droite. Or l’axiome Der 2, et le fait que les images directes homologiques se calculent argument par argument dans 𝔻_{A} (2.8) montrent qu’il suffit de traiter le cas A = e. L’assertion est alors une conséquence immédiate de l’énoncé dual de [Cis03, proposition 6.12] appliqué aux foncteurs ? ⊠ F et F ⊠ ?.

6.2. Corollaire. La structure monoïdale exacte à droite canonique sur Hot est celle induite par le produit cartésien.

Démonstration. Le produit cartésien d’ensembles simpliciaux fait de Δ̂ une structure de catégorie de modèles monoïdale symétrique. On en déduit par la proposition précédente une structure monoïdale exacte à droite sur Hot ≃ 𝔻Δ̂. Or en vertu de la proposition 3.3, l’objet unité de cette structure est l’objet final de Hot. L’assertion résulte donc aussitôt de la remarque 5.23.

6.3. Remarque. Ce corollaire est en fait une conséquence immédiate des propositions 3.3 et 3.4.

6.4. Corollaire. La structure monoïdale exacte à droite canonique sur Hot_{•} est celle induite par le ∧-produit.

Démonstration. Le ∧-produit d’ensembles simpliciaux pointés fait de Δ̂_{•} une catégorie de modèles monoïdale (symétrique) dont l’objet unité est la 0-sphère. La proposition ci-dessus et la remarque 5.23 permettent donc de conclure.

6.5. Proposition. Soit M une catégorie de modèles admettant des petites limites inductives. L’action de Hot sur Ho M définie par la propriété universelle de Hot (théorème 5.22) coïncide avec celle définie par [Hov99, théorème 5.5.3]. Si en outre M admet un objet nul, alors l’action de Hot_{•} sur Ho M définie par la propriété universelle de Hot_{•} coïncide avec celle définie par [Hov99, théorème 5.7.3].

Démonstration. On considère un objet cosimplicial A de M . On suppose qu’il est cofibrant pour la structure de Reedy [Hov99, théorème 5.2.5], et que pour tout entier n ≥ 0, le morphisme A_{n} ⟶ A_{0} est une équivalence faible. On note

A_{!} = A ⊗ ? : Δ̂ ⟶ M

l’unique foncteur de la catégorie des ensembles simpliciaux vers M qui commute aux petites limites inductives et qui prolonge A. C’est un foncteur de Quillen à gauche [Hov99, corollaire 5.4.4], et donc en vertu de l’énoncé dual de [Cis03, proposition 6.12], il induit un Cat-morphisme exact à droite

A ⊗^{L} ? : Hot ⟶ 𝔻_{M} .

Or il résulte du corollaire 3.26 que ce Cat-morphisme est celui induit par l’objet A_{0}. Ces identifications sont fonctorielles en A, et le corollaire 3.26 permet d’une manière générale de vérifier que l’action de Hot définie par Hovey sur Ho M est celle induite par la propriété universelle en ne considérant que l’action homotopique de l’objet final Δ_{0} sur M , ce qui rend les vérifications triviales. Des arguments analogues permettent de traiter le cas où M admet un objet nul.

6.6. Corollaire. Si M est une catégorie de modèles monoïdale (symétrique), alors le foncteur monoïdal (symétrique) de Hot vers Ho M défini par [Hov99, 5.6.5] est la restriction du Cat-morphisme monoïdal (symétrique) canonique de Hot vers 𝔻_{M}. De même, si M admet en outre un objet nul, le foncteur monoïdal (symétrique) de Hot_{•} vers Ho M défini par [Hov99, 5.7.4] est la restriction du Cat-morphisme monoïdal (symétrique) canonique de Hot_{•} vers 𝔻_{M}.

Démonstration. Le Cat-morphisme monoïdal de Hot (resp. de Hot_{•}) vers 𝔻_{M} est le Cat-morphisme exact à droite défini par l’objet unité de 𝔻_{M}(e) = Ho M . De même, le foncteur monoïdal de Hot (resp. de Hot_{•}) vers Ho M défini dans [Hov99] est induit par l’action de Hot (resp. de Hot_{•}) sur l’objet unité de Ho M . La proposition précédente implique donc que ce dernier est isomorphe au foncteur induit par le morphisme de Hot vers 𝔻_{M}. Il est par ailleurs immédiat que les structures de foncteurs monoïdaux coïncident^{3}.

On peut à présent démontrer la conjecture de cohérence de Hovey [Hov99, 5.6.6].

6.7. Corollaire. Soit M une catégorie de modèles monoïdale d’objet unité S. On considère un ensemble simplicial K. Les isomorphismes naturels de Ho M , définis pour tout objet X de M par

X ⊗^{L} (S ⊗^{L} K) ≃ (X ⊗^{L} S) ⊗^{L} K ≃ X ⊗^{L} K ,

définissent un 2-morphisme de morphismes de Hot-modules.

Démonstration. La propriété universelle de Hot permet d’invoquer le théorème 5.22 avec Hot_{♯} = Hot (5.23). En vertu de la proposition 6.1 et du corollaire 6.6, ces isomorphismes sont donc des 2-morphismes induits par restriction de 2-morphismes entre Cat-morphismes exacts à droite, ce qui implique aussitôt l’assertion.

De même, la propriété universelle de Hot_{•} implique la variante ponctuée de l’énoncé précédent (c’est-à-dire [Hov99, conjecture 5.7.5]).

6.8. Corollaire. Soit M une catégorie de modèles monoïdale ponctuée d’objet unité S, et soit K un ensemble simplicial pointé. Les isomorphismes naturels de Ho M , définis pour tout objet X de M par

X ⊗^{L} (S ⊗^{L} K) ≃ (X ⊗^{L} S) ⊗^{L} K ≃ X ⊗^{L} K ,

définissent un 2-morphisme de morphismes de Hot_{•}-modules.

6.9. Remarque. Les conséquences de ces deux énoncés données dans [Hov99] peuvent bien entendu être montrées directement en termes de dérivateurs.

3Le théorème 5.22 et cette démonstration redonnent en fait une preuve de [Hov99, théorèmes 5.6.5 et 5.7.4] en évitant la vérification de diagrammes de cohérence non triviaux.

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