Theory and Applications of Categories, Vol. 28, No. 19, 2013, pp. 552–576.

SUR LES TYPES D’HOMOTOPIE MODÉLISÉS PAR LES ∞-GROUPOÏDES STRICTS

À la mémoire de Jean-Louis Loday

DIMITRI ARA

Résumé. L’objet de ce texte est l’étude de la classe des types d’homotopie qui sont modélisés par les ∞-groupoïdes stricts. Nous démontrons que la catégorie homotopique des ∞-groupoïdes stricts simplement connexes est équivalente à la catégorie dérivée en degré homologique d ≥ 2 des groupes abéliens. Nous en déduisons que les types d’homotopie simplement connexes modélisés par les ∞-groupoïdes stricts sont exactement les produits d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane. Nous étudions également brièvement le cas des 3-catégories avec des inverses faibles. Nous terminons par deux questions autour du problème suggéré par le titre de ce texte. Abstract. The purpose of this text is the study of the class of homotopy types which are modelized by strict ∞-groupoids. We show that the homotopy category of simply connected strict ∞-groupoids is equivalent to the derived category in homological degree d ≥ 2 of abelian groups. We deduce that the simply connected homotopy types modelized by strict ∞-groupoids are precisely the products of Eilenberg-Mac Lane spaces. We also briefly study 3-categories with weak inverses. We finish by two questions about the problem suggested by the title of this text.

Introduction

Dans Pursuing Stacks ([12]), Grothendieck propose de généraliser le fait classique suivant : le foncteur groupoïde fondamental Π_{1} : Top → Gpd, de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupoïdes, induit une équivalence de catégories \overline{Π_{1}} : Hot_{1} → Ho(Gpd) entre la catégorie des 1-types d’homotopie et la localisation de la catégorie des groupoïdes par les équivalences de groupoïdes. Il conjecture l’existence d’une structure algébrique de ∞-groupoïdes (faibles) et d’un foncteur ∞-groupoïde fondamental qui induirait une équivalence de catégories entre la catégorie homotopique Hot et une localisation de la catégorie des ∞-groupoïdes (faibles) (voir [2] pour un énoncé précis de cette conjecture).

Grothendieck est conscient du fait que les ∞-groupoïdes stricts ne permettent pas de réaliser cette équivalence de catégories. En effet, il lui apparaît comme évident le fait

Received by the editors 2012-09-24 and, in revised form, 2013-07-16. Transmitted by Clemens Berger. Published on 2013-07-21. 2010 Mathematics Subject Classification: 18B40, 18D05, 18E30, 18E35, 18G35, 18G55, 55P10,

55P15, 55Q05, 55U15, 55U25, 55U35.

Key words and phrases: strict ∞-groupoid, homotopy type, chain complex, homotopy category, Eilenberg-Mac Lane space.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Dimitri Ara, 2013. Permission to copy for private use granted.

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que les types d’homotopie simplement connexes modélisés par ceux-ci sont exactement les produits d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane : « At first sight it had seemed to me that the Bangor group had indeed come to work out (quite independently) one basic intuition of the program I had envisioned in those letters to Larry Breen. […] But finally it appears this is not so, they have been working throughout with a notion of ∞-groupoid too restrictive for the purposes I had in mind (probably because they insist I guess on strict associativity of compositions, rather than associativity up to a (given) isomorphism (or rather, homotopy) — to the effect that the simply connected homotopy types they obtain are merely products of Eilenberg-Mac Lane spaces. »

Ce résultat apparaît huit ans plus tard dans [9], où il est attribué à Loday. (Le résultat est exprimé en termes de complexes croisés mais ceux-ci sont équivalents aux ∞-groupoïdes stricts par [8].)

Dans ce texte, qui est essentiellement un remaniement du premier chapitre de la thèse [1] de l’auteur, nous présentons une preuve élémentaire de ce résultat, sans doute plus proche de celle que Grothendieck avait en tête. Voici comment s’articule cette preuve. L’argument de Eckmann-Hilton montre qu’un ∞-groupoïde strict avec un unique objet et une unique 1-flèche (on dira qu’un tel ∞-groupoïde est 1-réduit) est canoniquement un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens. Par un théorème de Bourn ([6]), la donnée d’un tel ∞-groupoïde est équivalente à celle d’un complexe de groupes abéliens en degré homologique d ≥ 2. On en déduit facilement que la catégorie homotopique des ∞-groupoïdes stricts 1-réduits est canoniquement équivalente à la catégorie dérivée D_{≥2}(Ab) des groupes abéliens en degré homologique d ≥ 2. En utilisant un résultat classique sur les catégories dérivées, on obtient que tout ∞-groupoïde strict 1-réduit est faiblement équivalent à un produit de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane. Puisque tout ∞-groupoïde simplement connexe est faiblement équivalent à un ∞-groupoïde strict 1-réduit, on obtient facilement que tout foncteur de réalisation topologique raisonnable envoie un ∞-groupoïde strict simplement connexe sur un produit d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane.

En fait, nous obtenons un résultat plus précis. La catégorie homotopique des ∞-grou-poïdes simplement connexes est canoniquement équivalente à la catégorie dérivée D_{≥2}(Ab). Ce résultat est une conséquence facile des considérations précédentes et de l’existence de la structure de catégorie de modèles de Brown-Golasiński sur la catégorie des ∞-groupoïdes stricts (voir [7] et [4]). Nous avons pris soin de marquer clairement les résultats qui utilisent cette structure afin d’insister sur le fait que le résultat principal n’en dépend pas.

Une brève section de ce texte est consacrée aux ∞-groupoïdes quasi-stricts, c’est-à-dire aux ∞-catégories admettant des inverses faibles. Cette notion a été introduite par Kapranov et Voedvosky dans [16]. Les deux auteurs étaient convaincus que les ∞-grou-poïdes quasi-stricts modélisaient les types d’homotopie. Il n’en est en fait rien, comme l’a démontré Simpson dans [22] (voir également le chapitre 4 de [23]). Nous exposons dans ce texte un argument alternatif. Nous montrons qu’il résulte de considérations bien connues que tout 3-groupoïde quasi-strict est faiblement équivalent, via un pseudo-foncteur, à un 3-groupoïde strict, et donc que les 3-types d’homotopie simplement connexes modélisés par les 3-groupoïdes stricts, ou quasi-stricts, sont les mêmes. On retrouve ainsi le résultat de Simpson, à savoir que le 3-type de la sphère de dimension 2 n’est pas modélisé par un 3-groupoïde quasi-strict.

Nous insistons sur le fait que ce texte ne répond pas à la question suggérée par son titre. En effet, la détermination de la classe des types d’homotopie modélisés par les ∞-groupoïdes stricts reste à notre connaissance ouverte. Il en est de même de la question analogue pour les ∞-groupoïdes quasi-stricts. En particulier, il n’est pas à notre connaissance connu si ceux-ci modélisent strictement plus de types d’homotopie que les ∞-groupoïdes stricts.

Notre texte est organisé de la manière suivante. Dans la première section, nous rappelons la définition de ∞-groupoïde strict et fixons la terminologie. Dans la seconde section, nous définissons les groupes d’homotopie des ∞-groupoïdes stricts, ainsi que leurs équivalences faibles. Nous donnons différentes caractérisations de ces équivalences faibles. La troisième section est consacrée à la catégorie homotopique. On y définit notamment les notions de type d’homotopie et de n-type d’homotopie. La quatrième section est le cœur de ce texte. On y démontre, selon la stratégie exposée ci-dessus, que la catégorie homotopique des ∞-groupoïdes simplement connexes est canoniquement équivalente à la catégorie dérivée D_{≥2}(Ab). On définit une notion de ∞-groupoïde d’Eilenberg-Mac Lane et on montre que tout ∞-groupoïde simplement connexe est faiblement équivalent à un produit de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane. Dans la cinquième section, on définit une notion de foncteur de réalisation de Simpson et on démontre que les types d’homotopie simplement connexes modélisés par les ∞-groupoïdes stricts, via un tel foncteur de réalisation, sont exactement les produits d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane. On en déduit qu’aucune sphère de dimension n ≥ 2 n’est modélisée par un ∞-groupoïde strict. Dans la sixième section, on définit les ∞-groupoïdes quasi-stricts. On explique qu’il résulte de considérations bien connues que tout 3-groupoïde quasi-strict est faiblement équivalent, via un pseudo-foncteur, à un 3-groupoïde strict, et donc que les 3-types d’homotopie simplement connexes modélisés par les 3-groupoïdes stricts, ou quasi-stricts, sont les mêmes. Enfin, dans la dernière section, nous détaillons les deux questions exposées ci-dessus.

1. ∞-groupoïdes stricts

1.1. La catégorie des globes 𝔾 est la catégorie engendrée par le graphe

\xymatrix{D_{0} \ar[r]^{σ_{1}} \ar[r]_{τ_{1}} & D_{1} \ar[r]^{σ_{2}} \ar[r]_{τ_{2}} & ⋯ \ar[r]^{σ_{i−1}} \ar[r]_{τ_{i−1}} & D_{i−1} \ar[r]^{σ_{i}} \ar[r]_{τ_{i}} & D_{i} \ar[r]^{σ_{i+1}} \ar[r]_{τ_{i+1}} & …}

soumis aux relations coglobulaires

σ_{i+1}σ_{i} = τ_{i+1}σ_{i} et σ_{i+1}τ_{i} = τ_{i+1}τ_{i}, i ≥ 1.

La catégorie des ∞-graphes ou ensembles globulaires est la catégorie des préfaisceaux sur 𝔾. Si X est un ∞-graphe, on notera X_{n} l’ensemble X(D_{n}) et s_{i} (resp. t_{i}) l’application X(σ_{i}) (resp. X(τ_{i})). Ainsi, la donnée de X équivaut à celle d’un diagramme d’ensembles

\xymatrix{⋯ \ar[r]^{s_{n+1}} \ar[r]_{t_{n+1}} & X_{n} \ar[r]^{s_{n}} \ar[r]_{t_{n}} & X_{n−1} \ar[r]^{s_{n−1}} \ar[r]_{t_{n−1}} & ⋯ \ar[r]^{s_{2}} \ar[r]_{t_{2}} & X_{1} \ar[r]^{s_{1}} \ar[r]_{t_{1}} & X_{0}}

soumis aux relations globulaires

s_{i}s_{i+1} = s_{i}t_{i+1} et t_{i}s_{i+1} = t_{i}t_{i+1}, i ≥ 1.

Si X est un ∞-graphe et i, j sont deux entiers tels que i ≥ j ≥ 0, on définit des applications s_{j}^{i}, t_{j}^{i} : X_{i} → X_{j} en posant

s_{j}^{i} = s_{j+1} ⋯ s_{i−1}s_{i} et t_{j}^{i} = t_{j+1} ⋯ t_{i−1}t_{i}.

Si X est un ∞-graphe et n est un entier positif, on appellera X_{n} l’ensemble des n-flèches de X. Si n = 0, on appellera également X_{0} l’ensemble des objets de X. Si u est une n-flèche pour n ≥ 1, on appellera source (resp. but) de u, la (n−1)-flèche s_{n}(u) (resp. t_{n}(u)). Pour indiquer qu’une flèche u a pour source x et pour but y, on écrira u : x → y. On dira que deux n-flèches u et v sont parallèles si, ou bien n = 0, ou bien n ≥ 1 et u, v ont même source et même but.

1.2. Soient X un ∞-graphe, k un entier strictement positif et i_{1}, …, i_{k}, j_{1}, …, j_{k−1} des entiers positifs satisfaisant

j_{l} < i_{l} et j_{l} < i_{l+1}, pour 1 ≤ l ≤ k − 1.

On notera

X_{i_{1}} ×_{X_{j_{1}}} X_{i_{2}} ×_{X_{j_{2}}} ⋯ ×_{X_{j_{k−1}}} X_{i_{k}}

la limite projective du diagramme d’ensembles

\xymatrix{X_{i_{1}} \ar@{-->}[dr]_{s_{j_{1}}^{i_{1}}} &  & X_{i_{2}} \ar@{-->}[dl]^{t_{j_{1}}^{i_{2}}} \ar@{-->}[dr]_{s_{j_{2}}^{i_{2}}} &  & ⋯ &  & X_{i_{k}} \ar@{-->}[dl]^{t_{j_{k−1}}^{i_{k}}} \\  & X_{j_{1}} &  & X_{j_{2}} & ⋯ & X_{j_{k−1}} &  & .}

1.3. Une ∞-précatégorie est un ∞-graphe X muni d’applications

∗_{j}^{i} : X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} → X_{i}, pour i > j ≥ 0,
k_{i} : X_{i} → X_{i+1}, pour i ≥ 0,

vérifiant les relations suivantes :

– pour tout couple (v, u) dans X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} avec i > j ≥ 0, on a

s_{i}(v ∗_{j}^{i} u) = \begin{cases}s_{i}(u), & si j = i − 1 \\ s_{i}(v) ∗_{j}^{i−1} s_{i}(u), & si j < i − 1 \end{cases} ;

– pour tout couple (v, u) dans X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} avec i > j ≥ 0, on a

t_{i}(v ∗_{j}^{i} u) = \begin{cases}t_{i}(v), & si j = i − 1 \\ t_{i}(v) ∗_{j}^{i−1} t_{i}(u), & si j < i − 1 \end{cases} ;

– pour tout u dans X_{i} avec i ≥ 0, on a

s_{i+1}k_{i}(u) = u = t_{i+1}k_{i}(u).

Pour i et j deux entiers tels que i ≥ j ≥ 0, on notera

k_{i}^{j} = k_{i−1} ⋯ k_{j+1}k_{j}.

Un morphisme de ∞-précatégories est un morphisme de ∞-graphes qui respecte les applications ∗_{i}^{j} et k_{i}.

Une ∞-précatégorie X est une ∞-catégorie stricte si elle satisfait en outre les axiomes suivants :

– Associativité pour tout triplet (w, v, u) dans X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} avec i > j ≥ 0, on a

(w ∗_{j}^{i} v) ∗_{j}^{i} u = w ∗_{j}^{i}(v ∗_{j}^{i} u) ;

– Loi d’échange pour tout quadruplet (δ, γ, β, α) dans

X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} ×_{X_{k}} X_{i} ×_{X_{j}} X_{i},

avec i > j > k ≥ 0, on a

(δ ∗_{j}^{i} γ) ∗_{k}^{i}(β ∗_{j}^{i} α) = (δ ∗_{k}^{i} β) ∗_{j}^{i}(γ ∗_{k}^{i} α) ;

– Identités pour tout u dans X_{i} avec i ≥ 1 et tout j tel que i > j ≥ 0, on a

u ∗_{j}^{i} k_{i}^{j}s_{j}^{i}(u) = u = k_{i}^{j}t_{j}^{i}(u) ∗_{j}^{i} u;

– Fonctorialité des identités pour tout couple (v, u) dans X_{i} ×_{X_{j}} X_{i} avec i > j ≥ 0, on a

k_{i}(v ∗_{j}^{i} u) = k_{i}(v) ∗_{j}^{i+1} k_{i}(u).

On notera ∞-Cat la sous-catégorie pleine de la catégorie des ∞-précatégories dont les objets sont les ∞-catégories strictes.

1.4. Soient C une ∞-catégorie stricte, u une i-flèche pour i ≥ 1 et j un entier tel que 0 ≤ j < i. On dit que u admet un ∗_{j}^{i}-inverse s’il existe une i-flèche v telle que

s_{j}^{i}(v) = t_{j}^{i}(u), t_{j}^{i}(v) = s_{j}^{i}(u), u ∗_{j}^{i} v = k_{i}^{j}(t_{j}^{i}(u)) et v ∗_{j}^{i} u = k_{i}^{j}(s_{j}^{i}(u)).

Le même argument qu’en théorie des groupes montre que si un tel v existe, il est unique. On appelle alors v le ∗_{j}^{i}-inverse de u. Le ∗_{i−1}^{i}-inverse de u (s’il existe) sera noté u^{−1}.

On dit qu’une ∞-catégorie stricte C est un ∞-groupoïde strict si pour tous entiers i, j tels que 0 ≤ j < i, toute i-flèche de C admet un ∗_{j}^{i}-inverse. On notera ∞-Gpd la souscatégorie pleine de ∞-Cat dont les objets sont les ∞-groupoïdes stricts.

1.5. Proposition. Soit C une ∞-catégorie stricte. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. C est un ∞-groupoïde strict ;

2. C admet des ∗_{i−1}^{i}-inverses pour tout i ≥ 1 ;

3. C admet des ∗_{0}^{i}-inverses pour tout i ≥ 1 ;

4. pour tout i ≥ 1, il existe un entier j tel que 0 ≤ j < i pour lequel C admet des ∗_{j}^{i}-inverses.

Démonstration. Les implications 1 ⇒ 2, 1 ⇒ 3, 2 ⇒ 4 et 3 ⇒ 4 sont évidentes. Il s’agit donc de montrer l’implication 4 ⇒ 1. Supposons 4 et fixons deux entiers i et j tels que 0 ≤ j < i. Nous allons montrer que C admet des ∗_{j}^{i}-inverses par récurrence sur i. D’après 4, il existe un entier k tel que 0 ≤ k < i pour lequel C admet des ∗_{k}^{i}-inverses. On distingue trois cas :

– si k = j (c’est nécessairement le cas si i = 1), alors C admet bien des ∗_{j}^{i}-inverses ;

– si k < j, alors C admet des ∗_{k}^{j}-inverses d’après l’hypothèse de récurrence appliquée à j < i;

– si k > j, alors C admet des ∗_{j}^{k}-inverses d’après l’hypothèse de récurrence appliquée

à k < i. Pour conclure dans les deux derniers cas, il suffit de montrer que pour tous i > j > k ≥ 0, si C admet des ∗_{k}^{j}-inverses, alors C admet des ∗_{k}^{i}-inverses si et seulement si C admet des ∗_{j}^{i}-inverses. En utilisant le fait que le 2-graphe

\xymatrix{C_{i} \ar[r]^{s_{j}^{i}} \ar[r]_{t_{j}^{i}} & C_{j} \ar[r]^{s_{k}^{j}} \ar[r]_{t_{k}^{j}} & C_{k}}

est naturellement muni d’une structure de 2-catégorie stricte, on se ramène au cas k = 0, j = 1 et i = 2. Le résultat est alors une conséquence du lemme suivant.

1.6. Lemme. Soit C une 2-catégorie stricte dont les 1-flèches sont inversibles. Alors une 2-flèches de C est inversible pour la composition horizontale (c’est-à-dire ∗_{0}^{2}) si et seulement si elle est inversible pour la composition verticale (c’est-à-dire ∗_{1}^{2}).

Démonstration. Soit α : u → v une 2-flèche de C. Si α admet un inverse α^{∗} pour la composition horizontale, alors on vérifie immédiatement que v ∗_{0} α^{∗} ∗_{0} u est un inverse pour la composition verticale. Réciproquement, si α admet un inverse α^{−1} pour la composition verticale, alors v^{−1} ∗_{0} α^{−1} ∗_{0} u^{−1} est un inverse pour la composition horizontale.

2. Équivalences faibles de ∞-groupoïdes stricts

2.1. Soient G un ∞-groupoïde strict et u, v deux n-flèches pour n ≥ 0. Une homotopie de u vers v est une (n + 1)-flèche u → v. Si une telle homotopie existe, on dira que u est homotope à v et on écrira u ∼_{n} v. Par définition, si u est homotope à v, alors u et v sont parallèles.

2.2. Lemme. Soit G un ∞-groupoïde strict. Pour tout n ≥ 0, la relation ∼_{n} est une relation d’équivalence. De plus, si n ≥ 1, cette relation est compatible avec la composition ∗_{n−1}^{n}.

Démonstration. Soit u une n-flèche de G. La (n + 1)-flèche k_{n}(u) est une homotopie de u vers u. La relation ∼_{n} est donc réflexive.

Soit maintenant v une deuxième n-flèche de G et soit h : u → v une homotopie. La (n + 1)-flèche h^{−1} est une homotopie de v vers u. La relation ∼_{n} est donc symétrique.

Soit maintenant w une troisième n-flèche de G et k : v → w une deuxième homotopie. La (n+1)-flèche k ∗_{n}^{n+1} h est une homotopie de u vers w. La relation ∼_{n} est donc transitive.

Enfin, soit

[figure: u; u′; h; v; v′; k]

un diagramme dans G, où les flèches simples sont des n-flèches avec n ≥ 1 et les flèches doubles sont des (n + 1)-flèches. La (n + 1)-flèche k ∗_{n−1}^{n+1} h est une homotopie de v ∗_{n}^{n+1} u vers v′ ∗_{n}^{n+1} u′. La relation ∼_{n} est donc compatible avec la composition ∗_{n−1}^{n}.

2.3. Soit G un ∞-groupoïde strict. Pour n ≥ 0, on notera \overline{G_{n}} le quotient de G_{n} par la relation d’équivalence ∼_{n}.

Fixons maintenant n ≥ 1. Les applications

s_{n}, t_{n} : G_{n} → G_{n−1}, k_{n−1} : G_{n−1} → G_{n},

induisent des applications

s_{n}, t_{n} : \overline{G_{n}} → G_{n−1}, k_{n−1} : G_{n−1} → \overline{G_{n}}.

De plus, par le lemme ci-dessus, l’application

∗_{n−1}^{n} : G_{n} ×_{G_{n−1}} G_{n} → G_{n}

induit une application

∗_{n−1}^{n} : \overline{G_{n}} ×_{G_{n−1}} \overline{G_{n}} → \overline{G_{n}}.

Il est immédiat que le graphe

\xymatrix{\overline{G_{n}} \ar[r]^{s_{n}} \ar[r]_{t_{n}} & G_{n−1},}

muni des applications

∗_{n−1}^{n} : \overline{G_{n}} ×_{G_{n−1}} \overline{G_{n}} → \overline{G_{n}} et k_{n−1} : G_{n−1} → \overline{G_{n}}

définit un groupoïde. Nous noterons ϖ_{n}(G) ce groupoïde.

On vérifie facilement que ϖ_{n} définit un foncteur de la catégorie des ∞-groupoïdes stricts vers la catégorie des groupoïdes.

2.4. Soit G un ∞-groupoïde strict. L’ensemble des composantes connexes de G est l’ensemble

π_{0}(G) = π_{0}(ϖ_{1}(G)) = \overline{G_{0}}.

Soient n ≥ 1 et u, v deux (n − 1)-flèches parallèles de G. On notera

π_{n}(G, u, v) = Hom_{ϖ_{n}(G)}(u, v) et π_{n}(G, u) = π_{n}(G, u, u).

La composition de ϖ_{n}(G) induit une structure de groupe sur π_{n}(G, u).

Si n ≥ 1 et x est un objet de G, le n-ième groupe d’homotopie de (G, x) est le groupe

π_{n}(G, x) = π_{n}(G, k_{n−1}^{0}(x)).

L’argument de Eckmann-Hilton montre que ce groupe est abélien dès que n ≥ 2. On déduit de la fonctorialité de ϖ_{n} que :

– π_{0} définit un foncteur de la catégorie des ∞-groupoïdes stricts vers la catégorie des ensembles ;

– pour n ≥ 1, π_{n} définit un foncteur de la catégorie des ∞-groupoïdes stricts munis d’une (n − 1)-flèche (ou d’un objet) vers la catégorie des groupes.

2.5. Soit f : G → H un morphisme de ∞-groupoïdes stricts. On dira que f est une équivalence faible de ∞-groupoïdes stricts si

– l’application π_{0}(f) : π_{0}(G) → π_{0}(H) est une bijection ;

– pour tout n ≥ 1 et tout objet x de G, le morphisme π_{n}(f, x) : π_{n}(G, x) → π_{n}(H, f(x)) est un isomorphisme.

2.6. Proposition. Soit f : G → H un morphisme de ∞-groupoïdes stricts. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. f est une équivalence faible ;

2. l’application π_{0}(f) : π_{0}(G) → π_{0}(H) est une bijection, et pour tout n ≥ 1 et toute (n − 1)-flèche u de G, le morphisme f induit un isomorphisme

π_{n}(G, u) → π_{n}(H, f(u)) ;

3. le foncteur ϖ_{1}(f) : ϖ_{1}(G) → ϖ_{1}(H) est une équivalence de catégories, et pour tout n ≥ 2 et tout couple (u, v) de (n − 1)-flèches parallèles de G, le morphisme f induit une bijection

π_{n}(G, u, v) → π_{n}(H, f(u), f(v)) ;

4. le foncteur ϖ_{1}(f) : ϖ_{1}(G) → ϖ_{1}(H) est plein et essentiellement surjectif, et pour tout n ≥ 2 et tout couple (u, v) de (n − 1)-flèches parallèles de G, le morphisme f induit une surjection

π_{n}(G, u, v) → π_{n}(H, f(u), f(v)).

Démonstration. L’implication 2 ⇒ 1 est évidente. Montrons la réciproque. Le cas n = 1 est évident. Soient n ≥ 2 et u une (n − 1)-flèche de G. Posons x = s_{0}^{n−1}(u). On définit un isomorphisme

π_{n}(G, x) → π_{n}(G, u)

en envoyant une n-flèche v : k_{n−1}^{0}(x) → k_{n−1}^{0}(x) sur la n-flèche k_{n−1}(u) ∗_{0}^{n} v : u → u. Il est immédiat que le morphisme f commute à cet isomorphisme, c’est-à-dire que le carré

\xymatrix{π_{n}(G, x) \ar[d] \ar[r] & π_{n}(G, u) \ar[d] \\ π_{n}(H, f(x)) \ar[r] & π_{n}(H, f(u))}

est commutatif. Le morphisme π_{n}(G, u) → π_{n}(H, f(u)) est donc un isomorphisme.

L’implication 3 ⇒ 2 est évidente. Montrons la réciproque. Soient n ≥ 1 et u, v deux (n − 1)-flèches parallèles de G. Supposons qu’il existe une n-flèche α : u → v dans G. On définit alors une bijection

π_{n}(G, u) → π_{n}(G, u, v)

en envoyant une n-flèche β : u → u sur la n-flèche α ∗_{n−1}^{n} β : u → v. Il est immédiat que le morphisme f commute à cette bijection, c’est-à-dire que le carré

\xymatrix{π_{n}(G, u) \ar[d] \ar[r] & π_{n}(G, u, v) \ar[d] \\ π_{n}(H, f(u))) \ar[r] & π_{n}(H, f(u), f(v))}

est commutatif. Ainsi, pour conclure, il suffit de montrer que s’il existe une n-flèche f(u) → f(v) dans H, alors il existe une n-flèche u → v dans G. C’est clair pour n = 1 par injectivité de π_{0}(f). Soit donc n ≥ 2 et β : f(u) → f(v) une n-flèche de H. Posons x = s_{n−1}(u). La n-flèche k_{n−1}(f(u)^{−1}) ∗_{n−2}^{n} β de H a pour source f(u)^{−1} ∗_{n−2}^{n−1} f(u) : f(x) → f(x) et pour but f(u)^{−1} ∗_{n−2}^{n−1} f(v) : f(x) → f(x). Puisque l’application

π_{n−1}(G, x) → π_{n−1}(H, f(x))

est injective, les deux (n − 1)-flèches u^{−1} ∗_{n−2}^{n−1} u et u^{−1} ∗_{n−2}^{n−1} v sont égales dans π_{n−1}(G, x). Puisque ϖ_{n−1}(G) est un groupoïde, cela entraîne que u = v dans π_{n−1}(G, x, y) et donc qu’il existe une n-flèche de G de u vers v.

L’implication 3 ⇒ 4 est évidente. Montrons la réciproque. Soient n ≥ 1, u, v deux (n − 1)-flèches parallèles de G et α, β deux n-flèches de u vers v. Supposons qu’on ait f(α) = f(β) dans π_{n}(H, f(u), f(v)). Il existe alors une (n + 1)-flèche de H de f(α) vers f(β). Par surjectivité de l’application

π_{n+1}(G, α, β) → π_{n+1}(H, f(α), f(β)),

il existe une (n + 1)-flèche de G de α vers β. D’où α = β dans π_{n}(G, u, v).

2.7. Remarque. La dernière condition se reformule en la conjonction des propriétés suivantes :

– pour tout objet y de H, il existe un objet x de G tel que f(x) et y soient homotopes ;

– pour tout entier n ≥ 0, tout couple (u, v) de n-flèches parallèles de G et toute (n + 1)-flèche β : f(u) → f(v) de H, il existe une (n + 1)-flèche α : u → v de G telle que f(α) soit homotope à β.

C’est exactement la notion d’équivalence faible de ∞-catégories strictes exposée dans [18], restreinte aux ∞-groupoïdes stricts.

3. La catégorie homotopique

3.1. Un localisateur est la donnée d’une catégorie C et d’une classe de flèches W de C. On notera (C, W) un tel localisateur et on appellera W la classe des équivalences faibles.

La donnée d’un localisateur est suffisante pour définir les notions importantes homotopique, de limites homotopiques et de foncteurs dérivés).

Si (C, W) est un localisateur, la catégorie homotopique de (C, W) est la localisation de Gabriel-Zisman de C par W, c’est-à-dire la catégorie obtenue à partir de C en inversant formellement les flèches de W. On notera cette catégorie Ho_{W}(C) ou Ho(C) si le contexte rend claire la classe W.

A priori, l’existence de la catégorie Ho(C) nécessite un changement d’univers (au sens de Grothendieck). Cependant, dans tous les exemples que nous considèrerons, la catégorie Ho(C) existera sans changement d’univers.

3.2. Exemples.

1. Soient C = Top la catégorie des espaces topologiques et W_{∞} la classe des équivalences faibles topologiques, c’est-à-dire des applications continues f : X → Y vérifiant les propriétés suivantes :

– l’application π_{0}(f) : π_{0}(X) → π_{0}(Y) est une bijection ;

– pour tout x dans X et tout i ≥ 1, le morphisme π_{i}(f, x) : π_{i}(X, x) → π_{i}(Y, f(x)) est un isomorphisme. La catégorie homotopique Hot est la catégorie Ho_{W_{∞}}(Top). Un type d’homotopie est

un objet de Hot à isomorphisme canonique près.

2. Fixons un entier n ≥ 0. Soient C = Top et W_{n} la classe des n-équivalences faibles topologiques, c’est-à-dire des applications continues f : X → Y vérifiant les propriétés suivantes :

– l’application π_{0}(f) : π_{0}(X) → π_{0}(Y) est une bijection ;

– pour tout x dans X et tout i tel que 1 ≤ i ≤ n, le morphisme de groupes π_{i}(f, x) : π_{i}(X, x) → π_{i}(Y, f(x)) est un isomorphisme. La catégorie des n-types d’homotopie Hot_{n} est la catégorie Ho_{W_{n}}(Top). Un n-type

d’homotopie est un objet de Hot à isomorphisme canonique près.

3. Soit n ≥ 0. Notons Top_{≤n} la sous-catégorie pleine de Top constituée des espaces topologiques possédant la propriété suivante : pour tout i > n et tout x dans X, le groupe π_{i}(X, x) est trivial. Cette catégorie sera munie dans la suite des équivalences faibles topologiques (qui coïncide évidemment avec les n-équivalences faibles)

4. La catégorie CW des CW-complexes sera dans la suite munie des équivalences d’homotopie entre CW-complexes (qui sont également les équivalences faibles topologiques entre CW-complexes par un théorème de Whitehead).

5. La catégorie Δ̂ des ensembles simpliciaux sera dans la suite munie des équivalences faibles d’ensembles simpliciaux, c’est-à-dire des morphismes d’ensembles simpliciaux qui s’envoient via le foncteur réalisation géométrique | · | sur une équivalence d’homotopie entre CW-complexes.

6. La catégorie Cat des petites catégories sera dans la suite munie des équivalences faibles de catégories, c’est-à-dire des foncteurs s’envoyant via le foncteur nerf N sur une équivalence faible d’ensembles simpliciaux.

7. La catégorie ∞-Gpd des ∞-groupoïdes stricts sera dans la suite munie des équivalences faibles de ∞-groupoïdes stricts (qui ont été définies dans la section précédente).

8. Soient A une catégorie abélienne et k dans Z ∪ {−∞}. On notera C_{≥k}(A) la catégorie des complexes homologiques d’objets de A en degré supérieur ou égal à k. Cette catégorie sera munie dans la suite des quasi-isomorphismes, c’est-à-dire des morphismes de complexes induisant des isomorphismes en homologie.

La catégorie Ho(C_{≥k}(A)) n’est rien d’autre que la catégorie dérivée D_{≥k}(A) de A.

3.3. Theorème. La chaîne de foncteurs

Cat ⟶^{N} Δ̂ ⟶^{|·|} CW ↪ Top

induit une chaîne d’équivalences de catégories

Ho(Cat) ⟶^{\overline{N}} Ho(Δ̂) ⟶^{\overline{|·|}} Ho(CW) → Ho(Top) = Hot.

Démonstration. Voir le corollaire 3.3.1 du chapitre VI de [14] pour \overline{N}. Pour les deux autres foncteurs, voir [21] ou le chapitre VII de [10].

3.4. Remarque. Par le théorème précédent, on dispose donc de quatre définitions équivalentes de Hot. De même, un théorème similaire donne quatre définitions équivalentes de Hot_{n}. Le choix des définitions utilisant Cat est à la base de la théorie des catégories test de Grothendieck exposée dans [12] et [20].

3.5. Les propriétés universelles de Hot et Hot_{n} entraînent l’existence d’un triangle commutatif

\xymatrix{Ho(Top_{≤n}) \ar[rr]^{I} \ar@{-->}[dr]_{J} &  & Hot \ar[dl]^{K} \\  & _{Hot_{n}} &  & .}

Des résultats classiques de la théorie de l’homotopie montrent que I est pleinement fidèle et que J est une équivalence de catégories. Ainsi, on peut identifier la catégorie Hot_{n} à la sous-catégorie pleine de Hot dont les objets proviennent de Top_{≤n}.

Si X est un type d’homotopie, on appellera K(X) le n-type d’homotopie associé à X. On pourra le voir comme un objet de Hot via l’identification que l’on vient de décrire.

4. La catégorie homotopique des ∞-groupoïdes stricts simplement connexes

4.1. On dira qu’un ∞-groupoïde strict G est 0-connexe s’il a exactement une composante connexe. On dira que G est simplement connexe s’il est 0-connexe et si pour tout objet x de G, le groupe π_{1}(G, x) est trivial. On notera ∞-Gpd_{sc} la sous-catégorie pleine de ∞-Gpd formée des ∞-groupoïdes simplement connexes.

Soit k un entier positif. On dira qu’un ∞-groupoïde strict G est k-réduit si pour tout l ≤ k, G possède une unique l-flèche. On notera ∞-Gpd_{≥k+1} la sous-catégorie pleine de ∞-Gpd dont les objets sont les ∞-groupoïdes k-réduits.

4.2. Proposition. Pour tout ∞-groupoïde strict simplement connexe G, il existe un ∞-groupoïde strict 1-réduit G′ et une équivalence faible de G′ vers G. En particulier, le foncteur Ho(∞-Gpd_{≥2}) → Ho(∞-Gpd_{sc}), induit par le foncteur d’inclusion de ∞-Gpd_{≥2} dans ∞-Gpd_{sc}, est essentiellement surjectif.

Démonstration. Soit G un ∞-groupoïde strict simplement connexe. Le choix d’un objet de x de G détermine un sous-∞-groupoïde G′ de G défini de la manière suivante : G′_{0} = {x}, G′_{1} = {k_{1}^{0}(x)} et pour n ≥ 2, G′_{n} est l’ensemble des n-flèches f de G telles qu’on ait s_{1}^{n}(f) = k_{1}^{0}(x) = t_{1}^{n}(f). L’inclusion G′ → G est clairement une équivalence faible.

4.3. Remarque. Le foncteur Ho(∞-Gpd_{≥2}) → Ho(∞-Gpd_{sc}) est en fait une équivalence de catégories. Par la proposition précédente, il suffit de montrer que ce foncteur est pleinement fidèle. Cela résulte de l’existence de la structure de catégorie de modèles de Brown-Golasiński sur ∞-Gpd (voir [7] et [4]) et du fait que les sous-catégories ∞-Gpd_{≥2} et ∞-Gpd_{sc} admettent des remplacements cofibrants et fibrants pour cette structure.

4.4. On notera Ab la catégorie des groupes abéliens et ∞-Gpd(Ab) la catégorie des ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens, c’est-à-dire des objets ∞-groupoïdes stricts dans la catégorie des groupes abéliens. Par définition, un objet G de ∞-Gpd(Ab) est un ∞-groupoïde strict dont, pour tout n ≥ 0, l’ensemble des flèches G_{n} est muni d’une structure de groupe abélien, et dont tous les morphismes structuraux sont des morphismes de groupes abéliens. On notera ∞-Gpd_{≥2}(Ab) la catégorie des ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens 1-réduits. Le foncteur d’oubli de la catégorie des groupes abéliens vers la catégorie des ensembles induit un foncteur ∞-Gpd(Ab) → ∞-Gpd qui envoie un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens sur son ∞-groupoïde strict sous-jacent. Ce foncteur se restreint en un foncteur ∞-Gpd_{≥2}(Ab) → ∞-Gpd_{≥2}.

4.5. Proposition. Le foncteur ∞-Gpd_{≥2}(Ab) → ∞-Gpd_{≥2} est un isomorphisme de catégories.

Démonstration. Pour démontrer la proposition, il suffit de prouver que tout ∞-grou-poïde strict 1-réduit est canoniquement un ∞-groupoïde en groupes abéliens et que les morphismes de ∞-groupoïdes stricts préservent cette structure abélienne.

Soit donc G un tel ∞-groupoïde. Notons e_{ε} l’unique ε-flèche de G pour ε = 0, 1. Soit i ≥ 2. Si u et v sont deux i-flèches de G, alors

s_{ε}^{i}(u) = t_{ε}^{i}(u) = s_{ε}^{i}(v) = t_{ε}^{i}(v) = e_{ε}

pour ε = 0, 1. L’ensemble des i-flèches est donc muni de deux structures de groupes, induites par les compositions ∗_{0}^{i} et ∗_{1}^{i}. Par la loi de l’échange, ces deux opérations sont compatibles. De plus, elles ont la même unité puisque k_{i}^{0}(e_{0}) = k_{i}^{1}(e_{1}). Par l’argument d’Eckmann-Hilton, ces deux lois sont égales et commutatives. On notera + cette opération. Le groupe (G_{i}, +) est donc abélien.

Vérifions que les données de G sont compatibles avec cette structure abélienne. Supposons toujours i ≥ 2 et soient u, v deux i-flèches. On a

s_{i}(u + v) = s_{i}(u ∗_{0}^{i} v) = s_{i}(u) ∗_{0}^{i−1} s_{i}(v) = s_{i}(u) + s_{i}(v).

L’application s_{i} : G_{i} → G_{i−1} est donc un morphisme de groupes. Il en est de même de l’application t_{i}. Soient j tel que 0 ≤ j < i et u′, v′ deux autres i-flèches vérifiant s_{j}^{i}(u) = t_{j}^{i}(v) et s_{j}^{i}(u′) = t_{j}^{i}(v′). On a

(u + u′) ∗_{j}^{i}(v + v′) = (u ∗_{0}^{i} u′) ∗_{j}^{i}(v ∗_{0}^{i} v′) = (u ∗_{j}^{i} v) ∗_{0}^{i}(u′ ∗_{j}^{i} v′) = (u ∗_{j}^{i} v) + (u′ ∗_{j}^{i} v′).

Ainsi ∗_{j}^{i} est un morphisme de groupes. Supposons maintenant i ≥ 0 et soient u, v deux i-flèches. On a

k_{i}(u + v) = k_{i}(u ∗_{0}^{i} v) = k_{i}(u) ∗_{0}^{i+1} k_{i}(v) = k_{i}(u) + k_{i}(v)

et k_{i} est un morphisme de groupes.

Montrons maintenant que cette structure abélienne est unique. Donnons-nous donc une structure de ∞-groupoïde strict en groupes abéliens sur G. Fixons i ≥ 2 et notons +′ la loi de groupe sur G_{i} de cette structure. Puisque l’application k_{i}^{0} respecte la loi +′, l’unité de +′ est k_{i}^{0}(e_{0}). En particulier, +′ et ∗_{0}^{i} ont même unité. Par ailleurs, puisque l’application ∗_{0}^{i} : G_{i} × G_{i} → G_{i} respecte la loi +′, les lois +′ et ∗_{0}^{i} sont compatibles. Par l’argument d’Eckmann-Hilton, elles sont donc égales. Ainsi, la structure abélienne est uniquement déterminée par les compositions ∗_{0}^{i}.

De plus, puisque + = ∗_{0}^{i}, un morphisme de ∞-groupoïdes stricts 1-réduits est automatiquement un morphisme de ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens.

4.6. Nous allons maintenant montrer que la catégorie des ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens est canoniquement équivalente à la catégorie C_{≥0}(Ab) des complexes de groupes abéliens en degré homologique positif (ce résultat a été établi par Bourn dans [6]).

Soit C un tel complexe. Notons d_{i} : C_{i} → C_{i−1} sa différentielle. On associe à C un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens G défini de la manière suivante :

– le groupe G_{i} des i-flèches est C_{i} ⊕ C_{i−1} ⊕ ⋯ ⊕ C_{0} ;

– pour i ≥ 1, le morphisme s_{i} : G_{i} = C_{i} ⊕ G_{i−1} → G_{i−1} est la projection canonique ;

– pour i ≥ 1, le morphisme t_{i} : G_{i} = C_{i} ⊕ G_{i−1} → G_{i−1} est la somme de d_{i} et de la projection canonique ;

– pour i ≥ 0, le morphisme k_{i} : G_{i} → G_{i+1} = C_{i+1} ⊕ G_{i} est l’injection canonique ;

– pour i > j ≥ 0, le morphisme ∗_{j}^{i} : G_{i} ×_{G_{j}} G_{i} → G_{i} est défini par

(x_{i}, …, x_{0}) ∗_{j}^{i}(y_{i}, …, y_{0}) = (x_{i} + y_{i}, …, x_{j+1} + y_{j+1}, y_{j}, …, y_{0})

(notons que (x_{i}, …, x_{0}, y_{i}, …, y_{0}) appartient à G_{i} ×_{G_{j}} t_{j}^{i} si et seulement si on a (x_{j}, …, x_{0}) = (d_{j+1}(y_{j+1}) + y_{j}, y_{j−1}, …, y_{0})).

On vérifie facilement que G est bien un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens. Pour i > j ≥ 0, le ∗_{j}^{i}-inverse d’un élément (x_{i}, …, x_{0}) de G_{i} est donné par

(−x_{i}, …, −x_{j+1}, d_{j+1}(x_{j+1}) + x_{j}, x_{j−1}, …, x_{0}).

De plus, si f : C → C′ est un morphisme de complexes, les composantes f_{k} : C_{k} → C′_{k} induisent pour tout i positif, un morphisme G_{i} = C_{i} ⊕ ⋯ ⊕ C_{0} → G′_{i} = C′_{i} ⊕ ⋯ ⊕ C′_{0}. On vérifie facilement que ces morphismes définissent un morphisme de ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens. On vient ainsi de définir un foncteur C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab).

4.7. Proposition. Le foncteur C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab) défini ci-dessus est une équivalence de catégories.

Démonstration. Soit G un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens. Posons C_{0} = G_{0} et C_{i} = Ker s_{i} pour i ≥ 1. Puisque le morphisme s_{i} : G_{i} → G_{i−1} admet k_{i−1} comme section, G_{i} est canoniquement isomorphe à C_{i} ⊕G_{i−1}. Ainsi, on a montré que l’ensemble globulaire sous-jacent à G est isomorphe à un ∞-graphe en groupes abéliens de la forme

\xymatrix{C_{0} & C_{1} ⊕ C_{0} \ar[l]^{t_{1}} \ar[l]_{s_{1}} & ⋯ \ar[l]^{t_{2}} \ar[l]_{s_{2}} & C_{i} ⊕ C_{i−1} ⊕ ⋯ ⊕ C_{0} \ar[l]^{t_{i}} \ar[l]_{s_{i}} & ⋯ \ar[l]^{t_{i+1}} \ar[l]_{s_{i+1}}} .

À travers cet isomorphisme, s_{i} devient la projection canonique C_{i} ⊕ G_{i−1} → G_{i−1}, et k_{i−1} l’inclusion canonique G_{i−1} → C_{i} ⊕ G_{i−1}. Puisque k_{i−1} est également une section de t_{i}, pour (0, y) dans C_{i} ⊕ G_{i−1}, on a t_{i}(0, y) = y. Par ailleurs, l’identité s_{i−1}t_{i} = s_{i−1}s_{i} entraîne que, pour (x, 0) dans C_{i} ⊕ G_{i−1}, on a t_{i}(x, 0) = (d_{i}(x), 0), où d_{i} est un morphisme de C_{i} vers C_{i−1}. Ainsi, t_{i} est la somme de la projection canonique et de ce morphisme d_{i}. L’identité t_{i−1}t_{i} = t_{i−1}s_{i} implique immédiatement qu’on a d_{i−1}d_{i} = 0. On a ainsi associé un complexe (C, d) à G.

On montre de même que si g : G → G′ est un morphisme de ∞-groupoïdes stricts en groupes abéliens, le morphisme g_{i} : G_{i} → G′_{i} se décompose en une somme de deux morphismes f_{i} ⊕ g_{i−1} : C_{i} ⊕ G_{i−1} → C′_{i} ⊕ G′_{i−1} et que les morphismes f_{i} définissent un morphisme de complexes.

On a donc construit un foncteur Ψ : ∞-Gpd(Ab) → C_{≥0}(Ab). Montrons que celui-ci est un quasi-inverse du foncteur K : C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab) de l’énoncé. Il est évident que ΨΦ est isomorphe à l’identité. Montrons que ΦΨ est isomorphe à l’identité. Soit donc G un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens. On a déjà montré que (ΦΨ)(G) et G ont des ensembles globulaires sous-jacents canoniquement isomorphes et que cette isomorphisme est compatible avec les identités. Pour conclure, il suffit de montrer que ces données suffisent à déterminer les composition ∗_{j}^{i}.

Soient donc C un complexe et i > j ≥ 0 deux entiers. Soit (x_{i}, …, x_{0}, y_{i}, …, y_{0}) un élément de G_{i} ×_{G_{j}} G_{i}. Rappelons que cela signifie que les relations

x_{j} = d_{j+1}(y_{j+1}) + y_{j} et x_{i} = y_{i}, pour 0 ≤ i < j,

sont satisfaites. On a alors

(x_{i}, …, x_{0}) ∗_{j}^{i}(y_{i}, …, y_{0})
= (x_{i}, …, x_{j+1}, d_{j+1}(y_{j+1}) + y_{j}, y_{j−1}, …, y_{0}) ∗_{j}^{i}(y_{i}, …, y_{0})
= (x_{i}, …, x_{j+1}, 0, … 0) ∗_{j}^{i}(0, …, 0) +
(0, …, 0, d_{j+1}(y_{j+1}) + y_{j}, y_{j−1}, …, y_{0}) ∗_{j}^{i}(y_{i}, …, y_{0})
= (x_{i}, …, x_{j+1}, 0, … 0) + (y_{i}, …, y_{0})
= (x_{i} + y_{i}, …, x_{j+1} + y_{j+1}, y_{j}, …, y_{0}),

où l’avant dernière égalité résulte des égalités

\begin{aligned}(0, …, 0) & = k_{i}^{j}(s_{j}^{i}(x_{i}, …, x_{j+1}, 0, …, 0)), \\ (0, …, 0, d_{j+1}(y_{j}) + y_{j}, y_{j−1}, …, y_{0}) & = k_{i}^{j}(t_{j}^{i}(y_{i}, …, y_{0})), \end{aligned}

et de l’axiome des identités.

4.8. Proposition. Dans l’équivalence de catégories C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab) de la proposition précédente, les quasi-isomorphismes et les équivalences faibles de ∞-groupoïdes sont échangés.

Démonstration. Soit G un ∞-groupoïde strict en groupes abéliens et n ≥ 1. Rappelons qu’on note ∼_{n} la relation d’équivalence d’homotopie des n-flèches. Si x est un objet de G, l’application G_{n} → G_{n}, qui à f associe f − k_{n−1}^{0}(x), induit un isomorphisme de groupes de π_{n}(G, x) vers π_{n}(G, 0). Par ailleurs, on a

π_{n}(G, 0) ≃ {f ∈ G_{n}; s_{n}(f) = t_{n}(f) = 0}/ ∼_{n}
= {f ∈ G_{n}; s_{n}(f) = t_{n}(f) = 0}/{f ∈ G_{n}; f ∼_{n} 0}
= {f ∈ G_{n}; s_{n}(f) = t_{n}(f) = 0}/{t_{n+1}(h); h ∈ G_{n+1}, s_{n+1}(h) = 0}
≃ {(f, 0) ∈ C_{n} ⊕ G_{n−1}; d_{n}(f) = 0}/{d_{n+1}(h); (h, 0) ∈ C_{n+1} ⊕ G_{n}}
≃ {f ∈ C_{n}; d_{n}(f) = 0}/{d_{n+1}(h); h ∈ C_{n+1}}
= Ker(d_{n})/ Im(d_{n+1})
= H_{n}(C(G)).

De même, on montre que π_{0}(G) ≃ H_{0}(C(G)).

La proposition résulte de la naturalité de ces isomorphismes.

4.9. Corollaire. L’équivalence de catégories C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab) induit une équivalence de catégories D_{≥0}(Ab) → Ho(∞-Gpd(Ab)).

4.10. Remarque. Soit k ≥ 0. L’équivalence de catégories C_{≥0}(Ab) → ∞-Gpd(Ab) se restreint en une équivalence de catégories C_{≥k}(Ab) → ∞-Gpd_{≥k}(Ab) et celle-ci induit une équivalence de catégories D_{≥k}(Ab) → Ho(∞-Gpd_{≥k}(Ab)).

4.11. Corollaire. On a une équivalence de catégories canonique C_{≥2}(Ab) → ∞-Gpd_{≥2}. Celle-ci induit une équivalence de catégories D_{≥2}(Ab) → Ho(∞-Gpd_{≥2}).

Démonstration. Cela résulte de la remarque ci-dessus et de la proposition 4.5.

4.12. Remarque. D’après la remarque 4.3 et le corollaire précédent, les deux catégories Ho(∞-Gpd_{sc}) et D_{≥2}(Ab) sont canoniquement equivalentes.

4.13. Soient A un groupe abélien et n un entier positif. On notera A[n] le complexe de groupes abéliens concentré en degré homologique n de valeur A. Si n ≥ 2, on notera K(A, n) le ∞-groupoïde strict image de A[n] par l’équivalence de catégories du corollaire ci-dessus. On peut décrire explicitement K(A, n) de la manière suivante :

– K(A, n) a un unique objet e;

– l’ensemble des i-flèches de K(A, n) est le singleton {e} pour i < n (on notera 0 ce singleton), et est A pour i ≥ n;

– les applications s_{i} et t_{i} sont égales et valent l’identité 1_{0} pour i < n, la projection A → 0 pour i = n, et l’identité 1_{A} pour i ≥ n + 1 ;

– l’application k_{i} vaut 1_{0} pour i < n−1, l’application 0 → A correspondant à l’élément neutre de A pour i = n − 1, et 1_{A} pour i ≥ n;

– pour i > j ≥ 0, l’application ∗_{j}^{i} vaut 1_{0} pour i < n, l’addition A×A → A pour i ≥ n et j < n, et vaut l’identité 1_{A} sinon (on a

K(A, n)_{i} ×_{K(A,n)_{j}} K(A, n)_{i} = \begin{cases}0 ×_{0} 0 ≃ 0 & si i < n, \\ A ×_{0} A ≃ A × A & si i ≥ n et j < n, \\ A ×_{A} A ≃ A & si j ≥ n). \end{cases}

Il est immédiat que K(A, n) est simplement connexe et que pour tout k ≥ 2, on a

π_{k}(K(A, n), e) = \begin{cases}A & si k = n, \\ 0 & sinon. \end{cases}

On peut définir de manière analogue des ∞-groupoïdes stricts K(E, 0) si E est un ensemble, et K(G, 1) si G est un groupe. Le ∞-groupoïde K(E, 0) a pour composantes connexes les éléments de E, et pour tout objet x de K(E, 0) et tout k ≥ 1, le groupe π_{k}(K(E, 0), x) est trivial. Quant à K(G, 1), il possède un unique objet e (en particulier, il est 0-connexe), et pour tout k ≥ 1, on a

π_{k}(K(G, 1), e) = \begin{cases}G & si k = 1, \\ 0 & sinon. \end{cases}

On appellera les ∞-groupoïdes définis dans ce paragraphe les ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane.

4.14. Proposition. Soit C un complexe dans C_{≥2}(Ab). Alors, dans D_{≥2}(Ab), C est isomorphe (non canoniquement) à ∏_{n≥2} H_{n}(C)[n].

Démonstration. Nous allons utiliser la structure de catégorie triangulée de D_{≥2}(Ab) munie de l’auto-équivalence de catégories qui à un complexe C associe le complexe C[1] défini par C[1]_{i} = C_{i−1}.

Soit C un complexe dans C_{≥2}(Ab). Notons d_{i} : C_{i} → C_{i−1} sa différentielle. Pour tout entier k, on notera

τ_{≥k}(C) = ⋯ → C_{k+2} → C_{k+1} → Ker d_{k} → 0 → 0 → ⋯
τ̃_{≥k}(C) = ⋯ → C_{k+2} → C_{k+1} → X_{k}  → Im d_{k} → 0 → ⋯
τ_{≤k}(C) = ⋯ → 0 → 0 → Coker d_{k+1} → C_{k−1} → C_{k−2} → · · · .

Fixons n ≥ 2. On a une suite exacte

0 → τ̃_{≥n+1}(C) → C → τ_{≤n}(C) → 0

dans C_{≥2}(Ab). Par ailleurs, le morphisme canonique τ_{≥n+1}(C) → τ̃_{≥n+1}(C) est un quasiisomorphisme. On dispose donc dans D_{≥2}(Ab) d’un triangle distingué

τ_{≥n+1}(C) → C → τ_{≤n}(C) → τ_{≥n+1}(C)[1].

Or tout morphisme, d’un complexe concentré en degré inférieur ou égal à n, vers un complexe concentré en degré supérieur ou égal à n + 2, est nul dans D_{≥2}(Ab) car les Ext_{Ab}^{(n+2)−n} = Ext_{Ab}^{2} sont triviaux. Ainsi, le morphisme de connexion de τ_{≤n}(C) vers τ_{≥n+1}(C)[1] = τ_{≥n+2}(C[1]) est nul. Par conséquent, le triangle ci-dessus est scindé et on dispose donc d’une section τ_{≤n}(C) → C. En composant l’inclusion canonique de H_{n}(C)[n] dans τ_{≤n}(C) et cette section, on obtient un morphisme

H_{n}(C)[n] → C

de D_{≥2}(Ab) qui induit un isomorphisme sur le H_{n}.

En passant à la somme directe, on obtient un morphisme

⨁_{n≥2} H_{n}(C)[n] → C

de D_{≥2}(Ab). Ce morphisme induit des isomorphismes sur tous les H_{n} et est donc un isomorphisme. Par ailleurs, on a ⨁_{n≥2} H_{n}(C)[n] = ∏_{n≥2} H_{n}(C)[n], d’où le résultat.

4.15. Remarques.

1. On a utilisé implicitement dans la preuve ci-dessus le fait que le foncteur de localisation C_{≥2}(Ab) → D_{≥2}(Ab) commute aux produits et aux sommes.

2. On démontre de manière similaire le résultat analogue dans D_{≥k}(Ab) pour k quelconque.

4.16. Remarque. Un complexe C dans C_{≥2}(Ab) est isomorphe à ∏_{n≥2} H_{n}(C)[n] dans C_{≥2}(Ab) si et seulement si sa différentielle est nulle. Dans l’équivalence de catégories entre ∞-Gpd_{≥2} et C_{≥2}(A), ces complexes correspondent aux ∞-groupoïdes stricts qui vérifient s_{n} = t_{n} pour n ≥ 1. Ainsi, un ∞-groupoïde dans ∞-Gpd_{≥2} est isomorphe à un produit de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane si et seulement si ses sources et buts coïncident. Le résultat est également vrai dans ∞-Gpd.

4.17. Theorème.

1. Soit G un ∞-groupoïde strict 1-réduit d’unique objet e. On a dans Ho(∞-Gpd_{≥2}) un isomorphisme (non canonique)

G ≃ ∏_{n≥2} K(π_{n}(G, e), n).

2. Soit G un ∞-groupoïde strict simplement connexe. On a dans Ho(∞-Gpd) un isomorphisme (non canonique)

G ≃ ∏_{n≥2} K(π_{n}(G, x), n),

où x est un objet quelconque de G.

Démonstration. Le premier point est une conséquence immédiate de la proposition précédente et de l’équivalence des catégories entre Ho(∞-Gpd_{≥2}) et Ho(C_{≥2}(Ab)) (corollaire 4.11).

Le second point résulte du fait que tout ∞-groupoïde strict simplement connexe est faiblement équivalent à un ∞-groupoïde strict 1-réduit (proposition 4.2) et du fait que le foncteur d’inclusion ∞-Gpd_{≥2} → ∞-Gpd commute aux produits.

4.18. Remarque. A priori, pour rendre la preuve du second point ci-dessus correcte, il faudrait considérer le produit de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane apparaissant dans l’énoncé comme un produit dans ∞-Gpd (plutôt que dans Ho(∞-Gpd)). Cette distinction n’a en fait pas lieu d’être car le foncteur de localisation ∞-Gpd → Ho(∞-Gpd) commute aux produits. Cela résulte immédiatement du fait que tous les ∞-groupoïdes stricts sont fibrants pour la structure de catégorie de modèles de Brown-Golasiński.

5. Types d’homotopie et ∞-groupoïdes stricts

5.1. On appellera foncteur de réalisation de Simpson (la notion est inspirée de [22]) la donnée d’un foncteur Q : ∞-Gpd → Top muni d’une application

b : G_{0} → Q(G)

naturelle en G, induisant une bijection

π_{0}(G) → π_{0}(Q(G)),

et d’isomorphismes

π_{n}(G, x) → π_{n}(Q(G), b(x)), pour n ≥ 1,

naturels en (G, x).

Dans la suite, on se donne un foncteur de réalisation de Simpson Q. On notera R : ∞-Gpd → Hot le composé P Q où P est le foncteur de localisation Top → Hot.

5.2. Soient A un groupe abélien et n ≥ 2. Considérons le ∞-groupoïde d’Eilenberg-Mac Lane K(A, n) et notons e son unique objet. Par définition, Q(K(A, n)) est connexe et on a

π_{m}(Q(K(A, n)), b(e)) = \begin{cases}A & si m = n, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Autrement dit, Q(K(A, n)) est un espace d’Eilenberg-Mac Lane de type K (A, n).

De même, si E est un ensemble et G un groupe, les espaces Q(K(A, 0)) et Q(K(G, 1)) sont des espaces d’Eilenberg-Mac Lane de types respectifs K (E, 0) et K (G, 1).

5.3. Proposition. Le foncteur Q commute aux produits de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane à équivalence faible près. Plus précisément, pour tout ensemble A_{0}, tout groupe A_{1} et tous groupes abéliens A_{n} pour n ≥ 2, le morphisme canonique

Q( ∏_{n≥0} K(A_{n}, n)) → ∏_{n≥0} Q(K(A_{n}, n))

est une équivalence faible topologique.

Démonstration. Fixons un entier positif n. On notera

p_{n} : ∏_{n≥0} K(A_{n}, n) → K(A_{n}, n) et q_{n} : ∏_{n≥0} Q(K(A_{n}, n)) → Q(K(A_{n}, n))

les projections canoniques. On dispose du triangle commutatif suivant :

\xymatrix{Q( ∏_{n≥0} K(A_{n}, n)) \ar[rr]^{f} \ar@{-->}[dr]_{Q(p_{n})} &  & ∏_{n≥0} Q(K(A_{n}, n)) \ar[dl]^{q_{n}} \\  & Q(K(A_{n}, n)) &  & .}

Pour n = 0, le morphisme p_{0} induit une bijection sur le π_{0}. Il en est donc de même de Q(p_{0}). Par ailleurs, q_{0} induit également une bijection sur le π_{0}. Il en est donc de même de f.

Soit n ≥ 1. Le morphisme p_{n} induit un isomorphisme sur le π_{n} pour tout point de base. Le morphisme Q(p_{n}) induit donc un isomorphisme sur le π_{n} pour tout point de base de la forme b(x), où x est un objet de ∏_{n≥0} K(A_{n}, n). Puisque b induit une bijection sur le π_{0}, l’application Q(p_{n}) induit un isomorphisme sur le π_{n} pour tout point de base. Par ailleurs, l’application q_{n} induit également un isomorphisme sur le π_{n} pour tout point de base. On en déduit que c’est également le cas de f, d’où le résultat.

5.4. Remarque. Le foncteur de localisation Top → Hot commute aux produits. Cela résulte, par exemple, du fait que tout espace topologique est fibrant pour la structure de catégorie de modèles usuelle sur Top. La proposition précédente peut donc se reformuler en disant que le foncteur R : ∞-Gpd → Hot commute aux produits de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane.

5.5. Theorème. Les types d’homotopie simplement connexes dans l’image essentielle du foncteur R sont exactement les produits d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane.

Démonstration. Un type d’homotopie simplement connexe provient d’un ∞-groupoïde strict simplement connexe. Par le théorème 4.17, un tel ∞-groupoïde est relié par un zigzag d’équivalences faibles à un produit de ∞-groupoïdes d’Eilenberg-Mac Lane. On en déduit immédiatement le résultat par la proposition précédente.

5.6. Proposition. Soit X un CW-complexe connexe de dimension finie n ≥ 1. Si X a un groupe d’homotopie π_{m}(X) non trivial pour m > n, alors le type d’homotopie de X n’est pas un produit d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane. En particulier, les sphères de dimension n pour n ≥ 2 n’ont pas le type d’homotopie d’un produit d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane.

Démonstation. Si X avait le type d’homotopie d’un tel produit, on aurait

H_{m}(X) ≃ H_{m}(X′),

où

X′ = ∏_{1≤k≤m+1} K (π_{k}(X), k).

Écrivons

X′ = K (π_{m}(X), m) × Y, où Y = ∏_{\begin{matrix}1≤k≤m+1 \\ k≠m \end{matrix}} K (π_{k}(X), k).

En appliquant la formule de Künneth à cette décomposition de X′, on obtient une injection de H_{m}(K (π_{m}(X), m)) ⊗ H_{0}(Y) ≅ π_{m}(X) dans H_{m}(X′) ≃ H_{m}(X). Mais puisque m > n, H_{m}(X) est trivial et il en est donc de même de π_{m}(X). Contradiction.

Ce résultat s’applique aux sphères de dimension n ≥ 2 car

π_{3}(S^{2}) = Z et π_{n+1}(S^{n}) = Z/2Z, pour n ≥ 3.

5.7. Corollaire. Le foncteur R n’est pas essentiellement surjectif.

5.8. Proposition. L’image essentielle du foncteur R est contenue dans la classe des espaces dont chaque composante connexe a pour revêtement universel un produit d’espaces d’Eilenberg-Mac Lane.

Démonstration. Soit G un ∞-groupoïde strict. Quitte à décomposer G en une somme sur ses composantes connexes, on peut supposer que G est 0-connexe. Choisissons un objet de G et appelons G′ le sous-∞-groupoïde 1-réduit de G déterminé par cet objet. Notons X = Q(G) et X′ = Q(G′). L’inclusion i : G′ → G induit des isomorphismes sur les π_{n} pour n ≥ 2 et il en est donc de même de Q(i) : X → X′. On notera X_{cw} (resp. X′_{cw}) un remplacement cellulaire de X (resp. de X′), c’est-à-dire un CW-complexe muni d’une fibration triviale r : X_{cw} → X (resp. r′ : X′_{cw} → X′). Soit π : X̃ → X_{cw} le revêtement universel de X_{cw}. La simple connexité de X′ et donc de X′_{cw} entraîne l’existence d’une application continue X′_{cw} → X̃ rendant le triangle

\xymatrix{ &  & X̃ \ar[d]^{π} \\  &  & X_{cw} \ar[d]^{r} \\ X′_{cw} \ar[r]_{r′} \ar[uurr] & X′ \ar[r]_{Q(i)} & X}

commutatif. Puisque X′_{cw} et X̃ sont simplement connexes, et que Q(i)r′ et rπ induisent des isomorphismes sur les π_{n} pour n ≥ 2, l’application X′_{cw} → X̃ est une équivalence faible. D’où le résultat par le théorème 5.5.

6. Types d’homotopie et 3-groupoïdes quasi-stricts

Pour tenter de contourner le caractère non essentiellement surjectif d’un tel foncteur de réalisation de Simpson, Kapranov et Voedvosky ont affaibli la notion de n-groupoïde en demandant seulement l’existence d’inverses « faibles » (voir [16]). Simpson a démontré dans [22] que cela ne suffit pas. Dans ce paragraphe, nous exposons un autre argument. Nous utiliserons la notion de n-groupoïde présentée par Street dans [24]. Celle-ci est équivalente par le corollaire 4.4 de [15] à celle de Kapranov et Voedvosky. Nous nous plaçons ici dans le cas n = ∞ qui est développé dans [18].

Soient C une ∞-catégorie stricte et x, y deux n-flèches de C pour n ≥ 0. On définit par coïnduction mutuelle les deux notions suivantes :

– les n-flèches x et y sont faiblement homotopes s’il existe une (n+1)-flèche faiblement inversible u : x → y;

– une (n + 1)-flèche u : x → y est faiblement inversible s’il existe une (n + 1)-flèche v : y → x telle que les (n + 1)-flèches v ∗_{n}^{n+1} u : x → x et u ∗_{n}^{n+1} v : y → y soient faiblement homotopes à des identités.

On dira qu’une ∞-catégorie stricte est un ∞-groupoïde quasi-strict si toutes ses n-flèches pour n ≥ 1 sont faiblement inversibles.

Soient G une ∞-catégorie stricte et n un entier positif. On montre (proposition 6 de [18]) que la relation de faible homotopie sur C_{n} est une relation d’équivalence. Si de plus G est un ∞-groupoïde quasi-strict, alors par définition, deux n-flèches u, v de G_{n} sont faiblement homotopes si et seulement si elles sont homotopes. On en déduit que la relation d’homotopie est une relation d’équivalence sur G_{n}. On peut donc définir l’ensemble π_{0}(G) et les groupes π_{n}(G, x) pour x un objet de G, et donc la notion d’équivalence faible de ∞-groupoïdes quasi-stricts, de la même manière que dans le cas strict.

Soit G un 3-groupoïde quasi-strict 1-réduit. Par définition, G est une 3-catégorie stricte 1-réduite telle que les 2-flèches aient un ∗_{1}^{2}-inverse à une 3-flèche près, et que les 3-flèches aient un ∗_{2}^{3}-inverse. En désuspendant G deux fois (c’est-à-dire en considérant les 2-flèches de G comme des objets et ses 3-flèches comme des 1-flèches), on obtient une catégorie monoïdale symétrique C, avec une symétrie et des contraintes triviales, qui est un groupoïde, et telle que le monoïde π_{0}(C) est un groupe (abélien). La catégorie C est un champ de Picard (sur le point) au sens de l’exposé XVIII de [13]. Ainsi, en vertu du lemme 1.4.13 de op. cit., il existe une catégorie monoïdale symétrique D, avec une symétrie et des contraintes triviales, qui est un groupoïde et telle que le monoïde D_{0} est un groupe (abélien), ainsi qu’un foncteur monoïdale symétrique (fort) de D vers C qui est une équivalence faible. En désuspendant deux fois, on obtient un 3-groupoïde strict H et un pseudo-foncteur H → G (c’est-à-dire un 3-foncteur qui ne respecte les compositions et identités qu’à isomorphisme près, ou plus précisément, un trihomomorphisme au sens de [11]) qui est une équivalence faible.

Ainsi, tout 3-groupoïde quasi-strict simplement connexe est faiblement équivalent à un 3-groupoïde strict via un pseudo-foncteur. Les 3-groupoïdes quasi-stricts simplement connexes ne modélisent donc pas plus de types d’homotopie que les 3-groupoïdes stricts simplement connexes. En particulier, ils ne modélisent pas le 3-type associé à la sphère de dimension 2 (comme le montre la démonstration de la proposition 5.6).

Il a par contre été démontré indépendamment par Leroy ([19]) et Joyal et Tierney (dans un texte non publié datant de 1984, depuis égaré) que les 3-groupoïdes faibles (au sens de [11]) modélisent bien les 3-types d’homotopie (voir également [5] et [17]).

7. Deux questions

Ce texte ne répond pas à la question suggérée par son titre :

7.1. Question. Quels sont les types d’homotopie modélisés par les ∞-groupoïdes stricts ?

Dans une version précédente de ce texte, nous avions formulé cette question de manière plus précise en fixant un foncteur de réalisation de Simpson. La question devenait alors : quelle est l’image essentielle du foncteur ∞-Gpd → Hot induit ? Il n’est cependant pas clair que la réponse à cette question ne dépende pas du choix du foncteur de réalisation de Simpson. Le foncteur ∞-Gpd → Hot qui nous intéresse vraiment ici est celui induit par l’inclusion des ∞-groupoïdes stricts dans les ∞-groupoïdes faibles, la catégorie homotopique de ceux-ci étant, d’après la conjecture de Grothendieck, la catégorie homotopique Hot (si on interprète « ∞-groupoïdes faibles » comme « ∞-groupoïdes de Grothendieck », ce foncteur d’inclusion est construit dans [3]). La proposition 5.8 donne une condition nécessaire pour être dans l’image essentielle de ce foncteur.

Une deuxième question naturelle est la généralisation de la question précédente aux ∞-groupoïdes quasi-stricts. En particulier, les ∞-groupoïdes quasi-stricts modélisent-ils plus de types d’homotopie que les ∞-groupoïdes stricts ? Plus précisément, en notant ∞-Gpd_{qs} la sous-catégorie pleine de ∞-Cat formée des ∞-groupoïdes quasi-stricts, nous proposons la question suivante :

7.2. Question. Le foncteur Ho(∞-Gpd) → Ho(∞-Gpd_{qs}), induit par le foncteur d’inclusion ∞-Gpd → ∞-Gpd_{qs}, est-il une équivalence de catégories ?

Références

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[24] R. Street – « The algebra of oriented simplexes », J. Pure Appl. Algebra 49 (1987), no. 3, p. 283–335.

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